2.1 双曲线及其标准方程-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

§2　双曲线 2．1　双曲线及其标准方程 学习目标 1.掌握双曲线的定义及其标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程．　2.通过对双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．　3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题． 一　双曲线的定义 1．文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于____________(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距． 2．集合语言：M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|}． [答案自填] 常数 思考1　若去掉双曲线定义中的“绝对值”，结果如何？ 提示：若将绝对值去掉，其余条件不变，则此时动点的轨迹是双曲线的一支． 思考2　把“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”，将“等于非零常数”改为“等于零”，结果如何？ 提示：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点).若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹不存在．(2)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 　(1)已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或a＝5时，点P的轨迹分别为(　　) A．双曲线，一条直线 B．双曲线，两条直线 C．双曲线的一支，一条直线 D．双曲线的一支，一条射线 (2)在平面直角坐标系中，F1(－2，0)，F2(2，0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是(　　) A．(0，4) B．(0，4] C．(4，＋∞) D．(0，4)∪(4，＋∞) 【解析】　(1)当a＝3时，2a＝6，|AB|＝10，所以点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a＝5时，2a＝10，|AB|＝10，所以点P的轨迹为射线，且是以B为端点沿y轴正方向的一条射线． (2)由题意知||PF1|－|PF2||＝a，又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，可得||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4，所以0<a<4.故选A． 【答案】　(1)D　(2)A 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件． [跟踪训练1] (1)(2024·河南南阳期中)已知两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是(　　) A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6 C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0 解析：选A．选项A中，因为|F1F2|＝6，所以||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；选项B中，动点P的轨迹是以F1和F2为端点的两条射线；选项C中，符合条件的点P不存在；选项D中，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． (2)已知相距4k米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是________________． 解析：||PA|－|PB||＝2k＜4k＝|AB|，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上． 答案：双曲线 二　双曲线的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 ______________ ______________ 图象 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝____________ [答案自填] －＝1(a＞0，b＞0)　－＝1(a＞0，b＞0)　a2＋b2 　求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足||PF1|－|PF2||＝2； (2)以椭圆＋＝1的长轴的端点为焦点，且经过点(3，)； (3)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上． 【解】　(1)由题意知，双曲线的焦点在x轴上且c＝4，a＝1，故b2＝15，所以双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.因为点P，Q在双曲线上，则解得故双曲线的标准方程为－＝1. 用待定系数法求双曲线的标准方程的一般步骤 [跟踪训练2] (1)焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为________． 解析：由题意得c2＝4，可设双曲线的标准方程为－＝1，将点(2，3)代入方程可得－＝1，解得a2＝1或a2＝16(舍去)，从而b2＝4－a2＝3，所以双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1 (2)焦点在x轴上，且经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为_____________________________________________． 解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，将点(4，－2)和(2，2)代入方程得解得所以双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 三　双曲线定义和方程的应用 　(2024·广西梧州期中)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，求△PF1F2的面积． 【解】　由已知得2a＝2，|F1F2|＝10，又3|PF1|＝4|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2为直角三角形，故△PF1F2的面积为×6×8＝24. 【变式探究】 (条件变式)若将“3|PF1|＝4|PF2|”改为“|PF1|·|PF2|＝48”，求△PF1F2的面积． 解：由已知得2a＝2，|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝±2.因为|PF1||PF2|＝48，所以cos ∠F1PF2＝＝＝＝0，所以△PF1F2为直角三角形， 所以S△＝×|PF1|·|PF2|＝24. 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式S△＝×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积． (2)利用公式S△＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积． [跟踪训练3] 设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A． B．3 C． D．2 解析：选B．设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S△＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3，故选B． 四　双曲线在生活中的应用 　某工程需要开挖一个横截面为半圆形的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP或BP运到P处(如图)，已知AP＝100，BP＝150，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工． 【解】　如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线(沿AP，BP到点P的路程相等的点的轨迹)上的点， 连接MA，MB，则MA＋AP＝MB＋BP，于是有MA－MB＝BP－AP＝150－100＝50，这说明分界线是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且a＝25.在△APB中，AB2＝AP2＋BP2－2AP·BP cos 60°＝17 500，从而c2＝()2＝4 375，b2＝3 750，故所求分界线的方程为－＝1(x≥25).即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工． 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系； (2)求出双曲线的标准方程； (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). [跟踪训练4] 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km. 解析：如图所示， 以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．则|DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支．故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故曲线PQ的轨迹方程为x2－＝1(x≥1).根据题意知C(3，)，A(－2，0)，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2－2.当A，M，C三点共线时，等号成立，此时两条公路MB，MC的路程之和最短． 答案：x2－＝1(x≥1)　2－2 1．(多选)双曲线2x2－y2＝8的焦点坐标是(　　) A．(0，－2) B．(－2，0) C．(2，0) D．(0，2) 解析：选BC．因为双曲线方程可化为－＝1，所以c2＝4＋8＝12，得c＝2，所以焦点坐标为(－2，0)，(2，0).故选BC． 2．(多选)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝(　　) A．5 B．3 C．7 D．6 解析：选BC．由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝±2a，即5－|PF2|＝±2，所以|PF2|＝3或|PF2|＝7.故选BC． 3．(2024·陕西咸阳期末)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是______________． 解析：因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则解得k<5. 答案：(－∞，5) 4.如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，所以|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.所以动圆圆心M的轨迹方程为－＝1. 1．已学习：双曲线的定义、双曲线的标准方程，双曲线在实际生活中的应用． 2．须贯通：(1)求解双曲线的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法； (2)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想． 3．应注意：(1)忽略双曲线的定义中的2a<|F1F2|或把双曲线的一支误认为是双曲线的两支； (2)辨明双曲线的标准方程中a，b，c的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $