1.1 椭圆及其标准方程-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

该教案聚焦椭圆的定义、标准方程及综合应用核心知识点，通过“思考定义条件2a>|F1F2|的必要性”“圆内定点轨迹探究”等问题与实例导入，梳理从定义理解到方程推导的脉络，搭建坐标法解决几何问题的学习支架。 该资料亮点在于注重定义双向运用与变式探究，如通过焦点三角形面积计算（60°、90°角条件变式）培养学生推理能力和运算能力，用“mx²+ny²=1”形式设方程体现模型意识。助力学生提升几何问题解决能力，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

§1　椭　圆 1．1　椭圆及其标准方程 学习目标 1.掌握椭圆的定义及其标准方程、几何图形、会用待定系数法求椭圆的标准方程． 2．通过对椭圆方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力． 一　椭圆的定义 1．定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两个焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|PF1|＋|PF2|＝______(a为大于0的常数)且2a____|F1F2|. [答案自填] 常数　2a　> 思考　椭圆定义中为什么要有条件2a>|F1F2|? 提示：只有加上条件2a>|F1F2|，点P的轨迹才是椭圆，否则当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在． 　如图，圆O的半径为r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 【解】　如图，连接QA.由已知，得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|.根据椭圆的定义得，点Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆． 椭圆定义的双向运用 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和等于常数(大于两定点间的距离) [跟踪训练1] (1)设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝m＋(m>0)，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 解析：选D．因为m>0，所以m＋≥2＝4(当且仅当m＝2时，等号成立)，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆或线段． (2)已知△ABC的底边长为12，其中点B(－6，0)，C(6，0)，其他两边AB，AC上的中线之和为30，则三角形重心G的轨迹为________． 解析：设边AB，AC的中点分别为D，E，故|CD|＋|BE|＝30，所以|CG|＋|BG|＝×30＝20>12＝|BC|，所以点G的轨迹为不包含点(－10，0)，(10，0)的椭圆． 答案：椭圆(去掉点(－10，0)，(10，0)) 二　椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图象 焦点坐标 ______________ ______________ a，b，c的关系 a2＝____________ [答案自填] F1(－c，0)，F2(c，0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　b2＋c2 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. 【解】　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设标准方程为＋＝1(a>b>0).又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以解得所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设标准方程为＋＝1(a>b>0).由椭圆的定义知，2a＝ ＋＝2，即a＝，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)方法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0). 依题意，有 解得又a>b>0，不合题意，故舍去． ②当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).依题意，有 解得符合a>b>0，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).则解得所以椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆的标准方程． (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”． 当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件． (3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程． [跟踪训练2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)以点F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点，经过点P(2，)； (2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点； (3)椭圆的中心在原点，过点(，－2)和(0，2). 解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(m>n>0)，焦距为2c0.由题意得c0＝1，|PF1|＝＝，|PF2|＝＝，则m＝＝＝，n＝＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)代入，可得＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，椭圆过点(，－2)和(0，2)，则解得所以椭圆的标准方程为＋＝1. 三　椭圆标准方程与定义的综合应用 　已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 【解】　由已知得|F1F2|＝6.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝. 【变式探究】 1．(条件变式)若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝90°”，求△F1PF2的面积． 解：由椭圆＋＝1知|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝6，因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝36，所以|PF1|·|PF2|＝6，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝3. 2．(条件变式)若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积． 解：由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝3，从而|F1F2|＝2c＝6.在△F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，所以|PF2|＝4－|PF1|.从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，解得|PF1|＝，所以S△F1PF2＝|PF1|·|F1F2|＝××6＝. 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识求解． [跟踪训练3] (1)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△GPF1的面积为(　　) A．24 B．12 C．8 D．6 解析：选C．因为P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8.又|F1F2|＝2c＝2＝10，所以易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24.因为△PF1F2的重心为点G，所以S△PF1F2＝3S△GPF1，所以△GPF1的面积为8. (2)已知椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为____________． 解析：由椭圆＋＝1，可得a＝4，b＝3，则c＝＝，由|PF1|＝6，可得|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2，在△PF1F2中，由余弦定理的推论得cos∠F1PF2＝＝，因为0°<∠F1PF2<180°，所以∠F1PF2＝60°. 答案：60° 易错点 求出轨迹方程后忽略方程中变量的范围致错 [典例展示]　已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为_____________________． [错解展示]　设动圆P的半径为R，由题意得|MP|＝R＋1，|NP|＝3－R，则|MP|＋|NP|＝4>2＝|MN|，所以动点P的轨迹是以点M，N为焦点的椭圆，由题得2a＝4，c＝1，所以b＝，所以动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1. 正解：设动圆P的半径为R，由题意得|MP|＝R＋1，|NP|＝3－R，则|MP|＋|NP|＝4>2＝|MN|，所以动点P的轨迹是以点M，N为焦点的椭圆的一部分，由题得2a＝4，c＝1，所以b＝，所以椭圆的方程为＋＝1，但是当点P的坐标为(－2，0)时，动圆P不存在，此时圆变成了一个点，所以与已知矛盾．所以动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1(x≠－2). [易错警示]　错解在于求出轨迹方程后没有注意方程中变量的范围，通常在求出轨迹方程后需要进行检验，检验也并不是每一个点都要检验，主要检验一些特殊点(坐标轴的交点、顶点等)是否符合题意． 1．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．当|MF1|＋|MF2|>|F1F2|时，M的轨迹才是椭圆．故“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的必要不充分条件．故选B． 2．(2024·广西桂林期中)若椭圆＋y2＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一个焦点的距离为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选A．椭圆＋y2＝1的长轴长2a＝10，而点P到椭圆一个焦点的距离为7，所以P到另一个焦点的距离为2a－7＝3.故选A． 3．若方程kx2＋y2＝2表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是____________． 解析：由题意可得k>0且＋＝1，若表示焦点在x轴上的椭圆，则>2，解得0<k<1，所以实数k的取值范围是(0，1). 答案：(0，1) 4．如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程． 解：设动圆P和定圆B内切于点M(图略)，动圆圆心P到两定点A(－3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆B的半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为＋＝1. 1．已学习：椭圆的定义及其应用、椭圆的标准方程的求解及判别． 2．须贯通：求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法． 用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想． 3．应注意：(1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系； (2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程． 学科网（北京）股份有限公司 $