5 正态分布-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦正态分布，涵盖定义、曲线性质及3σ原则，通过实际问题直方图导入，衔接概率分布知识，搭建从探究到巩固的学习支架，帮助学生逐步理解正态曲线特征与概率计算。 其亮点在于结合数学眼光观察现实问题，如考试成绩、零件直径等实例，通过例题推理与区间转化培养数学思维，用公式和模型强化数学语言表达。易错点分析与课堂小结助力知识体系构建，能提升学生应用能力，也为教师提供高效教学支持。

§5　正态分布 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．　2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．　3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率． 返回导航 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　正态分布 1．定义：由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数 图象如图，对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝ ____________________，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数， 这一类随机变量X的分布密度(函数)称为___________________(函数)，简称____________，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为____________． 正态分布密度 正态分布 正态曲线 新知学习 探究 返回导航 2．几何意义：  如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a， b(a<b)，随机变量X在区间(a，b]的概率可以用__________ 来表示．它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在 区间(a，b]对应的曲边梯形面积的值(如图). 3．记法：若随机变量X服从正态分布，则记为____________．其中EX＝________，DX＝________． P(a<X≤b) X～N(μ，σ2) μ σ2 新知学习 探究 返回导航 4．正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，关于直线________对称． (3)曲线的最高点位于________处． x＝μ x＝μ 新知学习 探究 返回导航 (4)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降； 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴 为渐近线，如图．  因为正态分布完全由μ和σ确定，所以正态曲线 还具有下列特点： ①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． ②当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中． 大 小 新知学习 探究 返回导航 提示：EX＝2 新知学习 探究 返回导航 √ 【解】　正态曲线关于直线x＝μ对称，由题图可知，μ1<μ2＝μ3；σ越小，正态曲线越“高瘦”，所以σ1＝σ2<σ3.故选D． 新知学习 探究 返回导航 (2)如图是一条正态曲线，试根据该图象写出其对应的正态分布密度函数的解析式，求出服从这一分布随机变量的均值和方差． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确． 因为函数图象关于直线x＝80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同，分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确．故选ACD． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 二　3σ原则 1.概率的几何意义 正态分布随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ](σ>0)上取值的 概率为阴影部分的面积． 2．正态分布在三个特殊区间内取值的概率 P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 4. 3．实际应用3σ原则：在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则． 新知学习 探究 返回导航 思考　对于固定的μ，σ的变化对随机变量取值在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率有何影响？ 提示：从正态曲线可以看出，对于固定的μ和σ而言，随机变量取值在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大． 新知学习 探究 返回导航 　　　设X～N(1，22)，则 (1)P(－1<X≤3)＝____________； 【解析】　因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2. P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 6. (2)P(3<X≤5)＝____________． 0.682 6 0.135 9 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (设问变式)若本例条件不变，则P(X≥5)＝______________． 0.022 8 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] (多选)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项中正确的是(　　) (参考数值：随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 4) A．EX＝100 B．DX＝100 C．P(X>90)≈0.841 3 D．P(X≤120)≈0.998 7 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：随机变量X服从正态分布N(100，102)，所以EX＝μ＝100，DX＝σ2＝102＝100，故A，B正确； 新知学习 探究 返回导航 三　正态分布的性质 角度1　利用正态分布的性质求概率 　　　在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0，2)内取值的概率为0.2，求 (1)X在(0，4)内取值的概率； 【解】　由于X～N(2，σ2)，正态曲线对称轴为直线x＝2， 画出示意图，因为P(0<X<2)＝P(2<X<4)，所以P(0<X<4) ＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4. 新知学习 探究 返回导航 (2)P(X≥4). 新知学习 探究 返回导航 利用正态曲线的性质求概率 (1)正态曲线关于直线x＝μ对称； (2)正态分布中随机变量取值的概率． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] (1)若随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ≤－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝(　　) A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 解析：由随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，得P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96) ＝1－2×0.025＝0.950. (2)已知随机变量X～N(4，σ2)，P(X<6)＝0.78，则P(X≤2)＝________． 解析：由题意得P(X≤2)＝P(X≥6)＝1－P(X<6)＝1－0.78＝0.22. √ 0.22 新知学习 探究 返回导航 角度2　正态分布的实际应用 　　　在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布N(90，100). (1)试求考试成绩ξ位于区间(70，110]上的概率； 【解】　因为ξ～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝10. 由于随机变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率约为0.954 4，而该正态分布中μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，所以考试成绩ξ位于区间(70，110]上的概率约为0.954 4. 新知学习 探究 返回导航 (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在区间(80，100]的考生的人数． 【解】　由于随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率约为0.682 6，而该正态分布中，μ－σ＝80，μ＋σ＝100，所以考试成绩ξ位于区间(80，100]内的概率约为0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在区间(80，100]的考生大约有2 000×0.682 6 ≈1 365(人). 新知学习 探究 返回导航 正态曲线的应用及求解策略 　　解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练4] 某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.52).质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？ 解：由于X服从正态分布N(4，0.52)，由正态分布的性质，可知X在(4－3×0.5，4＋3×0.5]之外取值的概率只有0.002 6，而5.7∉(2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的． 新知学习 探究 返回导航 [典例展示]　把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是(　　) A．曲线C2仍是正态曲线 B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等 C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2 D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2 易错点 对正态密度函数中参数的意义认识不清致误 √ 新知学习 探究 返回导航 [错解展示]　把正态密度函数μ，σ的意义混淆了，错选D． 新知学习 探究 返回导航 [易错警示]　正态曲线的左右平移只改变其均值的大小，不改变方差的大小也就是平移变换不改变随机变量的方差，只有沿y轴方向的伸缩变换才改变其方差． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 34 √ 解析：由正态分布密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即标准差σ＝2.故选B． 课堂巩固 自测 返回导航 √ 2．设X～N(μ，σ2)，则众数，中位数，平均数满足(　　) A．众数＝σ2，中位数＝平均数＝μ B．平均数＝μ，众数＝中位数＝σ2 C．中位数＝μ，众数＝平均数＝σ2 D．众数＝中位数＝平均数＝μ 解析：利用众数、中位数、平均数的定义同频率分布直方图的关系．故选D． 课堂巩固 自测 返回导航 16 课堂巩固 自测 返回导航 4．在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现在已知该班同学中成绩在80～85 分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？ 解：因为成绩服从正态分布N(80，52)，所以μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.所以成绩在(75，85]内的同学约占全班同学的68.26%，成绩在[80，85]内的同学约占全班同学的34.13%.设该班有x名同学，则x·34.13%＝17，解得x≈50.因为μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，所以成绩在(70，90]内的同学约占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学约占全班同学的2.28%.即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：正态分布的定义与几何意义，3σ原则，正态曲线的性质． 2．须贯通：(1)要记住正态总体取值在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，要注意对称性的运用和数形结合思想的应用． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 3．应注意：在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，而不是x＝0. 课堂巩固 自测 返回导航 e 思考　如果随机变量X服从正态分布，且其总体密度曲线对应的函数是φ(x)＝e (x∈R)，那么EX等于多少？ 【解】　从题图可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20，＝，所以σ＝.于是f(x)＝ e，x∈R，服从这一分布随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，得σ＝4.故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞). 正解：正态密度函数为f(x)＝e，正态曲线对称轴为直线x＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝.所以曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位，所以均值μ增大了2个单位．故选C． $