3.2 第2课时 抛物线方程及性质的应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦抛物线方程及性质的应用，涵盖焦半径、焦点弦、通径、轨迹问题、最值问题及实际应用，通过复习抛物线定义与标准方程导入，搭建从定义到性质应用的学习支架，逐步深入知识点。 其亮点在于结合探照灯、拱桥等实际问题培养数学眼光，通过定义转化（如最值问题化折线为直线）发展数学思维，用坐标系建模提升数学语言表达。例题与跟踪训练系统，助力学生提升应用能力，教师可直接用于教学提高效率。

第2课时　抛物线方程及性质的应用 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 学习目标 1.掌握与抛物线有关的轨迹问题和实际问题．　2.会利用抛物线定义求解相关的最值问题．　3.能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题． 返回导航 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　焦半径和焦点弦、通径 1．抛物线的焦半径 新知学习 探究 返回导航 2.焦点弦 设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在的直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可． 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径，通径长为2p. 新知学习 探究 返回导航 　　　(1)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．14 【解析】　如图所示，过点A，M，B分别作准线x＝－1的 垂线，垂足分别为C，M′，D，由抛物线的定义，得|AF| ＝|AC|，|BF|＝|BD|，因为点M为AB的中点，且|MM′|＝6， 所以|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12. √ 新知学习 探究 返回导航 (2)(2024·河南南阳检测)已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且垂直于x轴的直线与C在第一象限内交于点A，点B(－3，0)，若|FB|＝|AF|＋1，则p＝____________． 4 新知学习 探究 返回导航 　　求抛物线的焦半径和焦点弦、通径，除了需要把抛物线的方程化为标准形式外，还需要结合抛物线的定义求解． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)若过抛物线y＝2x2的焦点作垂直于y轴的垂线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝___________________． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 y2＝4x 新知学习 探究 返回导航 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程． (2)定义法：利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程． (3)相关点法：利用两个动点间的关系求动点的轨迹方程． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)已知平面上动点P到定点F(1，0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程． 新知学习 探究 返回导航 方法二：由题意知动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点符合题意；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0). 新知学习 探究 返回导航 三　抛物线中的最值问题 　　　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点D(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值． 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 1．(综合变式)若将本例中的点D(0，2)改为“点A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 　　在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 四　抛物线的实际应用问题 　　　如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转 而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线 经过反射之后平行射出．已知灯口圆的直径为60 cm，灯的 深度为40 cm. (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点．光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66 cm，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 新知学习 探究 返回导航 解决抛物线实际应用问题的五个步骤 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练4] 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分为0.75 m，货物的宽度与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 31 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 2．已知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x 课堂巩固 自测 返回导航 3．已知点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x＝－1的距离之和的最小值是____________． 课堂巩固 自测 返回导航 4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m， 水面宽4 m．则水位下降1 m后，水面宽为________m. 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：与抛物线有关的轨迹问题和最值问题、抛物线的实际应用． 2．须贯通：灵活求解抛物线的轨迹问题和最值问题． 3．应注意：用定义法求轨迹未考虑变量的取值范围而致错． 课堂巩固 自测 返回导航 定义 以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段 焦半径 公式 P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点． ①若抛物线y2＝2px(p>0)，则|PF|＝x0＋； ②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则|PF|＝－x0； ③若抛物线x2＝2py(p>0)，则|PF|＝y0＋； ④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则|PF|＝－y0 2 $