强化课 对称与最值问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件系统梳理了对称与最值问题的核心内容，涵盖中心对称（点关于点、直线关于点）和轴对称（点关于直线、直线关于直线）两大对称题型，以及由距离、对称转化求最值的三大最值题型，通过例题解析、解题方法总结与跟踪训练，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“题型归类-方法提炼-分层训练”模式，如中心对称问题用中点坐标公式推导对称点，轴对称问题结合垂直与中点条件列方程，培养学生几何直观与逻辑推理能力。跟踪训练分基础与综合题，适配不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用与问题解决能力。

强化课　对称与最值问题 1 √ 强 化 课 强 化 课 (2)求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程． 【解】　方法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点P(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点P(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点P(2，－1)的对称点为B1(3，－1).可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 强 化 课 方法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，则可设l的方程为3x－y＋C＝0(C≠－4).在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，则点(0，－4)关于点P(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋C＝0上，所以3×4－2＋C＝0，解得C＝－10.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 强 化 课 强 化 课 (2)直线关于点对称 ①在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线． ②在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程． [注意]　两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行． 强 化 课 [跟踪训练1] (1)已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝(　　) A．－5 B．14 C．－14 D．5 √ 强 化 课 (2)已知直线l′与直线x＋3y＋1＝0关于点M(2，1)对称，则直线l′的方程为______________________． x＋3y－11＝0 强 化 课 题型2　轴对称问题 　　　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标； 强 化 课 (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程． 强 化 课 强 化 课 强 化 课 (2)直线关于直线对称 ①若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． ②若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解． 强 化 课 √ [跟踪训练2] (1)点P(2，0)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点Q的坐标为(　　) A．(－3，5) B．(－1，－4) C．(4，1) D．(2，3) 强 化 课 (2)直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0 √ 强 化 课 强 化 课 强 化 课 √ 强 化 课 强 化 课 (2)(2024·江西南昌模拟)点P为直线2x－y－4＝0上的动点，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值为________． 强 化 课 　　直线上一点到两定点距离和差的最值问题的求解策略： (1)利用平面几何的性质，“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，结合两点间距离公式求最值． (2)借助对称性对距离进行转化． 强 化 课 √ 强 化 课 强 化 课 (2)若三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为________． 强 化 课 3 $