湖北武汉市洪山高级中学等校2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

高二数学参考答案及评分标准 一、二：选择题（共58分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B D C A D B A D ABD BCD 三：填空题（共15分） 12. （一般方程：） 13. 14. 四：解答题（共77分） 15.解：（1）， ....................3分 在点处的切线斜率为1， .......................4分 所求切线方程为，即 ........................6分 （2） 的定义域为， ， ......................9分 由，得，，解得，的解集为 ........................................13分 （解集不写成集合或区间的形式扣2分） 16.解：（1）当时，.，，点的轨迹是双曲线的一支.点的轨迹方程为 ...................................3分 直线方程为 ...................................4分 设.由，化简可得.且 . ............................7分 （2）设点的坐标为，依题设得，即，....................9分 因此，点、、三点不共线，得 。因此，点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故． . ......................................11分 将代入，并解得，........................13分 因为，所以，解得，即的取值范围为 ............................15分 17．解：（1）因为四棱锥中，四边形为直角梯形，， 又平面平面，，所以. 所以，，又四边形为直角梯形且， 则，故两两垂直． ...........................2分 以为坐标原点，可建系如图： 则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，...............3分 所以，显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则， 取， .............................5分 所以平面与平面夹角的余弦值为： ； .............................7分 （2）因为，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取． .........................10分 假设存在满足题意，与平面所成角为， 则． ....................12分 化简得，解得，． 故存在，使得与平面所成角的正弦值为． ....................15分 18.（1）证明： 当时， ................................................2分 又，有，又， ..........4分 有，又，可知，.数列是以1为首项，1为公差的等差数列. ..................................................... 5分 （如果求出前几项，猜出通项公式得2分，后面可以利用此通项公式解答，不扣分.） （2）解：由（1）可得， ...............8分 当为偶数时，. 当为奇数时，. . ............................................ 11分 （3）假设存在不同的三项依次成等差数列，不妨设 则有， ........................................... 13分 两边同除以，可得. ............................................... 15分 又为偶数，为偶数，为奇数，不可能成立.假设不成立，即不存在不同的三项，使这三项成等差数列. ...................................... 17分 19.解：（1）抛物线的方程为：. ..................................2分 （2） 由题意可知直线的斜率不可能为0， 设直线的方程为：，设点的坐标为 联立方程程为：， .........5分 由题意得：直线的斜率之和为0，设点， 则有：，即，， ， 因为上式与无关，.所以存在点，满足条件 ....................8分 （3） 解法1：当直线的斜率均存在时，直线的方程为：,联立可得：，整理得：. ，，同理，................10分 又四点共圆，，又，.，.又由题意可知，.， ，.，即. 当直线有斜率不存在时，不妨设直线的斜率不存在，此时.不妨设,则.，.又,当时，.，，，. ，不合题意. . .............................15分 即 所以因解得：为或 又，或． .............................................17分 解法2：设点，的倾斜角分别为点， 所以设的方程为：设，代入抛物线方程 同理可得：. ........................................12分 因为四点共圆，所以，. ..........................15分 即 所以因解得：为或 又，或． .............................................................17分 第 4 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学试卷 考试时间：2026年2月3日下午15：00一17：00试卷满分：150分 一。单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线y=2x2的准线方程为() A.x=-1 B.x=- 2 8 C.y=-1 2 D.y=-1 2已知函数f闭=cox,则f原=《） A.0 B. 2 2 D.2 3.已知直线：x+y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x-y+1=0上，则MP的最小值 是() A.5 B.5 c.35 D.V5 5 4.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则 AP,AB的最大值为（) A.4W2 B.6 C.8√2 D.12 5,若数列{a,}的通项公式a,=n-100 a-az az-a;+la;-as+.+d3 doo= () A.162 B.182 C.198 D.242 1 6.点P在曲线y=二x2+二1nx上移动，设点P处切线的倾斜角为a,则角a的范围是() ππ π3π (π3π 3元 A. 元πU 42 B.4224 c2'4 D 4 ，π 7.己知正项等比数列{a}满足ag=8,41+4a2=3,则a4a取最大值时n的值为() A.9 B.10 C.11 D.10或11 第1页共4页 8已知圆C于+若-1a>>0的左，右焦点分别为水，R.RQ为C上关于坐标原点对 称的两点，且Pg=引，△PF,Q的面积S≥Pg,则椭圆C的离心率的取值范围是 16 () 2W5 √22W5 26 0, B 2’5 23 二。多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的 得部分分。 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a>0,且S,=S。,则下列说法正确的是() A.当n=9或10时，Sn取得最大值； B.S>0; C.Sn<0成立的n的最大值为20： D.a,a1<0 10椭圆C:+二=1的左、右焦点分别为R,R,点P在椭圆C上，若方程mx+y+3m-4=0 43 所表示的直线恒过定点M,点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法 正确的是() A.椭圆C的离心率为 B.PPF的最大值为4： C.△PRR的内切圆半径可能为V2 D.PO-PF的最小值为25-6. 11.设A,B是抛物线C:y2=4x上不同的两点，设A(x1,y),B(x2,y2),O是坐标原点，下 列结论成立的是() A.若OA⊥OB,则yy2=-4; B.若OA⊥OB,则OAOB232; C.若OA⊥OB,过O作AB的垂线，垂足为D,则在平面内存在一点E,使DE为定值； D.点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D:x2+y2-6x+8=0作切线，切点分别为M,N, 则四边形PMDN的面积的最小值为√7 第2页共4页 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆M经过三点A(0,0),B1,2+√7)，C(4,4),则圆M的方程为 13.己知抛物线y=16$的焦点与双曲线+上=1(m≠0)的一个焦点重合，则该双曲线的渐 A m 近线方程为 14.数列b}的通项公式为bn=(n-4) 记数列{b}的前n项和为T.,若Tn≤劢n对 任意neN*恒成立，则实数的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步聚。 15.(1)求曲线y=3x-1在点 处的切线方程： (2)已知函数f)-号+2x-3,求了的号数，并求出了的>0的解尖 16.设平面内动点P到点M(-2,0)、N(2,0)距离之差为2m (1)若m=1,过点N且斜率为2的直线1交点P的轨迹C于A、B两点，求线段AB的长 (2)若存在点P到x、y轴的距离之比为√3，求m的取值范围. 17.如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD, AB //CD,AD=DC=1,PA=AB=2. (I)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值： (2)若点E在线段PB上，且PE=PB(0<<1).是否存在元，使得PD与平面AEC所 成角的正弦值为30？若存在，请求出2的值：若不存在，请说明理由。 10 第3页共4页 18.已知正项数列{a}的前n项和为Sn,满足a=1,43+a,3++a3=Sn2. (1)证明：数列{a}为等差数列： (2)已知b.=(←1)2n+1 andn ,求数列bn}的前n项的和Tn: (3)已知cn=2,在数列{Cn}中是否存在不同的三项，使这三项依次成等差数列？如果 存在，求出这三项；如果不存在，说明理由 19.己知抛物线：y2=2px(p>0)的焦点是点F1,0),过F的直线交抛物线于A、B两点 (1)求抛物线的方程. (2)在x轴上是否存在一点E,使得x轴平分∠AEB？如果存在，求出点E的坐标；如果 不存在，请说明理由. (3)已知点M(2,1),直线AM、BM分别交抛物线于C、D两点，若A、B、C、D四点共 圆，求直线AB的斜率. 第4页共4页