第八章 立体几何初步单元练习 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章　立体几何初步 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图,△A'B'C'是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图,其中B'C'=C'A'=1,A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,则BC=(　　) A. B.2 C. D.4 2.某圆锥高为,母线与底面所成的角为,则该圆锥的表面积为(　　) A.3π B.4π C.5π D.6π 3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题正确的是(　　) A.若m∥n,m∥α,n∥β,则α∥β B.若α∥β,m∥α,n⊂β,则m∥n C.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β D.若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n 4.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为(　　) A.(60+4)π B.(60+8)π C.(56+8)π D.(56+4)π 5.(2025上海徐汇高一期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是A1C1,BB1的中点,则以下和直线PQ相交的直线是(　　) A.AD1 B.BD1 C.CD1 D.DD1 6.(2025广东茂名高一期末)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,O为底面ABCD的中心,则直线A'O与B'D'所成的角为(　　) A.45° B.60° C.90° D.120° 7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论错误的是(　　) A.FM∥A1C1 B.当E为A1C1中点时,BE⊥FM C.三棱锥B-CEF的体积为定值 D.存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D 8.已知三棱锥P-ABC的高为1,底面三角形ABC为等边三角形,PA=PB=PC,且P,A,B,C都在体积为的球O的表面上,则该三棱锥的底面三角形ABC的边长为(　　) A. B. C.3 D.2 二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.如图,圆柱的轴截面是四边形ABCD,E是底面圆周上异于A,B的一点,则下列结论中正确的是(　　) A.AE⊥CE B.BE⊥DE C.DE⊥平面CEB D.平面ADE⊥平面BCE 10.如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,下列结论正确的是(　　) A.PD∥平面OMN B.平面PCD∥平面OMN C.直线PD与直线MN所成角的大小为90° D.ON⊥PB 11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则(　　) A.直线D1D与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面面积为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 三、填空题 12.圆柱的高是8 cm,表面积是130π cm2,则它的底面圆的半径等于　　　　cm,圆柱的体积是　　　　cm3.  13.如图,正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为,高为2,一只蚂蚁要从顶点A沿三棱柱的表面爬到顶点C',若侧面AA'C'C紧贴墙面(不能通行),则爬行的最短路程是　　　　　.  14.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C为120°,则点A到△BCD所在平面的距离为　　　　　.  四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图所示,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB,PC的中点,平面PBC∩平面APD=l. (1)判断直线l与BC的位置关系并证明; (2)求证:MN∥平面PAD. 16.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,AD=,点M为BC的中点. (1)证明:平面PAM⊥平面PBD; (2)求点B到平面PAM的距离. 17.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=1,M,N,Q分别为AC,B1C1,CC1的中点.求证: (1)MN∥平面ABB1A1; (2)A1B⊥平面MNQ. 18.如图,四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形,底面四边形ABCD为矩形,且平面PAD⊥平面ABCD,M,N分别为AB,AD的中点,二面角D-PN-C的正切值为2. (1)求四棱锥P-ABCD的体积; (2)证明:DM⊥PC; (3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值. 19.(2025江苏常州高一期末)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=,点M为线段BC上的动点(不含端点),将△ABM沿AM折起,点B翻折至B'位置,且使二面角B'-AM-D的大小为. (1)若N为棱B'D的中点,且满足CN∥平面AMB',求的值; (2)若∠BAM=,求三棱锥B'-AMC的体积; (3)求二面角B'-CM-D的正切值的取值范围. 参考答案 1.C　在△A'B'C'中,B'C'=C'A'=1,∠B'A'C'=45°, 由余弦定理可得B'C'2=A'C'2+A'B'2-2A'C'·A'B'·cos 45°, 即A'B'2-A'B'=0,而A'B'>0,解得A'B'=. 由斜二测画法可知,在△ABC中,AB⊥AC,AB=A'B'=,AC=2C'A'=2, 故BC=.故选C. 2.A　由圆锥高为,母线与底面所成的角为,得圆锥底面圆半径r==1,母线l==2,所以圆锥的表面积S=πr2+πrl=3π.故选A. 3.C　对于A,若m∥n,m∥α,n∥β,当m,n都平行于α与β的交线时,满足条件,此时α与β相交,故A错误; 对于B,若α∥β,m∥α,n⊂β,则m,n可能异面,故B错误; 对于C,若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β,故C正确; 对于D,若α⊥β,m∥α,n∥β,则m,n可能平行或异面,故D错误. 故选C. 4. A　四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体,如图. S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π+π(r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2=(60+4)π.故选A. 5.D　 如图,连接B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段A1C1的中点,所以P是线段B1D1的中点. 由PQ∥BD1,PQ⊄平面ABC1D1,BD1⊂平面ABC1D1,得PQ∥平面ABC1D1,所以PQ与AD1不相交,故A不符合题意. 由P,Q分别是线段B1D1,BB1的中点,得PQ∥BD1,故B不符合题意. 由PQ⊂平面BDD1B1,D1∉PQ,C∉平面BDD1B1,得CD1与直线PQ异面,故C不符合题意. 对于D,因为DD1∥BB1,BB1∩PQ=Q,所以DD1与直线PQ不平行,又DD1,PQ⊂平面BDD1B1,所以DD1与直线PQ相交,故D符合题意. 故选D. 6.C　因为B'D'∥BD,所以直线A'O与B'D'所成的角即为∠BOA'或其补角. 设正方体棱长为2,则cos∠BOA'==0, 又∠BOA'∈[0°,90°],故∠BOA'=90°.故选C. 7.D　 连接AC,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1=CC1且AA1∥CC1,所以四边形AA1C1C为平行四边形,则AC∥A1C1. 因为F,M分别是AD,CD的中点,所以FM∥AC∥A1C1,故A正确; 连接BA1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BA1=BC1,当E为A1C1的中点时,BE⊥A1C1,所以BE⊥FM,故B正确; 因为三棱锥B-CEF的体积即为三棱锥E-BCF的体积,在三棱锥E-BCF中,底面三角形BCF的面积为定值,棱锥的高等于AA1,为定值,三棱锥E-BCF的体积为定值,则三棱锥B-CEF的体积为定值,故C正确; 直线BF与平面CC1D1D有交点,所以不存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D,故D错误.故选D. 8.C　设球O的半径为R,由球的体积为可得,πR3=,解得R=2. 因为三棱锥P-ABC的高h为1,所以球心O在三棱锥外. 如图,设点O1为△ABC的外心,则OO1⊥平面ABC. 在Rt△AO1O中,由A=OA2-O,且OO1=R-h=1,得AO1=. 因为△ABC为等边三角形,所以AO1=AB·sin 60°=AB,所以AB=AO1=3.故选C. 9.ABD　由AB是底面圆的直径,得∠AEB=90°,即AE⊥EB. ∵圆柱的轴截面是四边形ABCD, ∴AD⊥底面AEB,BC⊥底面AEB. ∴BE⊥AD,又AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE, ∴BE⊥平面ADE,∴BE⊥DE. 同理可得,AE⊥CE,易得平面BCE⊥平面ADE. 可得A,B,D正确. ∵AD∥BC,∴∠ADE(或其补角)为DE与CB所成的角,显然∠ADE≠90°,∴DE⊥平面CEB不成立,即C错误. 10.ABD　连接BD,图略,显然O为BD的中点,又N为PB的中点,所以PD∥ON,由线面平行的判定定理可得,PD∥平面OMN,A正确; 由M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB,又底面为正方形,所以AB∥CD,所以MN∥CD,由线面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又由选项A得PD∥平面OMN,由面面平行的判定定理可得,平面PCD∥平面OMN,B正确; 因为MN∥CD,所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角,又因为所有棱长都相等,所以∠PDC=60°,故直线PD与直线MN所成角的大小为60°,C错误; 因为底面为正方形,所以AB2+AD2=BD2,又所有棱长都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PB⊥PD, 又PD∥ON,所以ON⊥PB,D正确. 11.BC　∵AD1∥EF, ∴平面AEF即平面AEFD1,故A错误. ∵A1G∥D1F,A1G⊄AEFD1, ∴A1G∥平面AEFD1,即A1G∥平面AEF,故B正确. 平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1,易知梯形面积为,故C正确. 点G到平面AEFM的距离即点A1到面AD1F的距离,显然D错误. 12.5　200π　设圆柱的底面圆的半径为r cm, 则S圆柱表=2π·r·8+2πr2=130π.解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5 cm.圆柱的体积V=52π×8=200π(cm3). 13.　正三棱柱ABC-A'B'C'的侧面部分展开图如图所示, 图1 图2 如图1,连接AC'与BB'交于点G,则爬行的最短路程是沿着AC'爬行, 此时AC'==4. 如图2,连接AC',过C'作AB的垂线交A'B'于点E,则C'E=A'C'·sin 60°=,则C'F=,所以AC'=. ∵<4,∴爬行的最短路程是. 14.　设AC∩BD=O,则翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且AO=1,故d=1×sin 60°=. 15.(1)解l∥BC.证明如下: 因为四边形ABCD为平行四边形,所以BC∥AD. 因为AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD, 则BC∥平面PAD. 又平面PAD∩平面PBC=l,BC⊂平面PBC, 所以l∥BC. (2)证明取PD的中点F,连接AF,FN, 因为F,N分别为PD,PC的中点, 所以FN∥CD且FN=CD, 因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD且AB=CD,因为M为AB的中点,所以AM∥CD且AM=CD,所以AM∥FN,AM=FN,故四边形AFNM为平行四边形,故MN∥AF,因为AF⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD. 16.(1)证明因为PD⊥底面ABCD,AM⊂平面ABCD,所以PD⊥AM. 因为底面ABCD为矩形,且PD=DC=1,AD=,所以tan∠ABD==tan∠AMB,所以∠ABD=∠AMB,所以Rt△ABD∽Rt△BMA,易知BD⊥AM, 又PD∩BD=D,PD,BD⊂平面PBD,所以AM⊥平面PBD,而AM⊂平面PAM,所以平面PAM⊥平面PBD. (2)解设AM与BD交于E,连接PE,过点B作BH⊥PE于点H. 由(1)知,平面PAM⊥平面PBD,平面PAM∩平面PBD=PE,BH⊥PE且BH⊂平面PBD, 因此BH⊥平面PAM,线段BH的长为点B到平面PAM的距离. AM=, 由BE·AM=AB·BM,得BE=, 又BD=,所以DE=,所以PE=, 由S△PEB=·BE·PD=·PE·BH,解得BH=.所以点B到平面PAM的距离为. 17.证明(1)取AB中点P,连接MP,PB1,则MP∥BC,MP=BC.又N是B1C1的中点,所以B1N=B1C1.因为BC∥B1C1,BC=B1C1,所以MP∥B1N,MP=B1N.所以四边形MPB1N是平行四边形,所以MN∥PB1.因为MN⊄平面ABB1A1,PB1⊂平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1. (2)连接AC1,A1C,BC1,B1C,如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,则BC⊥CC1,而AC⊥BC,则有BC⊥平面CC1A1A,必有BC⊥AC1,又由AC=CC1=1,四边形ACC1A1为正方形,则AC1⊥A1C,BC⊂平面A1BC,A1C⊂平面A1BC,BC∩A1C=C,则AC1⊥平面A1BC,必有AC1⊥A1B.又由M,Q分别为AC,CC1的中点,则MQ∥AC1, 则有MQ⊥A1B.同理,NQ⊥A1B, 而MQ⊂平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,MQ∩NQ=Q, 故有A1B⊥平面MNQ. 18.(1)解∵△PAD是边长为2的正三角形,N为AD的中点,∴PN⊥AD,PN=. ∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊂平面PAD,∴PN⊥平面ABCD. 又NC⊂平面ABCD,∴PN⊥NC.∴∠DNC为二面角D-PN-C的平面角,∴tan∠DNC=2=. 又DN=1,∴DC=2,∴底面ABCD为正方形. ∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×2×. (2)证明由(1)知,PN⊥平面ABCD,DM⊂平面ABCD, ∴PN⊥DM. 在正方形ABCD中,易知△DAM≌△CDN, ∴∠ADM=∠DCN, 而∠ADM+∠MDC=90°,∴∠DCN+∠MDC=90°, ∴DM⊥CN. ∵PN∩CN=N,PN,CN⊂平面PNC,∴DM⊥平面PNC. ∵PC⊂平面PNC,∴DM⊥PC. (3)解设DM∩CN=O,连接PO,MN. ∵DM⊥平面PNC, ∴∠MPO为直线PM与平面PNC所成的角. ∵AD=2,AM=1,∴DM=,DO=, ∴MO=.又MN=,PM=,∴sin∠MPO=, ∴直线PM与平面PNC所成角的正弦值为. 19.解(1)如图,在线段AD上截取AE=CM,由AD∥CM,可得四边形AMCE为平行四边形,所以CE∥AM, 又CE⊄平面AMB',AM⊂平面AMB',所以CE∥平面AMB'.因为CN∥平面AMB',又CN∩CE=C,CN,CE⊂平面CEN,则平面CEN∥平面AMB'.因为EN⊂平面CEN,所以EN∥平面AMB',因为EN⊂平面AB'D,平面AB'D∩平面AMB'=AB',所以EN∥AB',又N为棱B'D的中点,所以E为AD的中点,则CM=AD=BC,即=1. (2)由∠BAM=,AB=1,得BM=,AM=,CM=. 过B'作B'O⊥平面AMCD于点O,过点O作OP⊥AM于点P,连接B'P. 由B'O⊥平面AMCD,AM⊂平面AMCD,得B'O⊥AM, 又OP∩B'O=O,OP,OB'⊂平面OPB',则AM⊥平面OPB',又B'P⊂平面OPB',则B'P⊥AM,所以∠B'PO为二面角B'-AM-D的平面角,所以∠B'PO=. 在Rt△AB'M中,B'M=,AM=,B'A=1, 由等面积法可知,B'P=,B'O=,而S△AMC=×1=,所以V棱锥B'-AMC=. (3)设B'M=t,则MC=-t,t∈(0,), 在Rt△AB'M中,由等面积法可知B'P=, 所以PO=B'P=,B'O=, 在矩形ABCD中,OB=OP+BP=OP+B'P=, 过点O作OQ⊥CM于点Q,易得△ABM∽△BQO,所以,所以OQ=·t=. 设二面角B'-CM-D的大小为θ,则tan θ=, 由于t∈(0,),则tan θ∈,+∞, 即二面角B'-CM-D的正切值的取值范围是,+∞. 17 学科网（北京）股份有限公司 $