6.4.3.2 正弦定理 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3.2 正弦定理 一、必备知识基础练 1.(探究点一)在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=,c=4,cos C=,则b=( ) A.3 B.3 C. D. 2.(探究点二 2025江苏南京高一期末)在 ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,B=,b=,c=,则C=( ) A. B. C. D. 3.(探究点四)在 ABC中,AB=2,BC=5, ABC的面积为4,则cos∠ABC等于( ) A. B. C.- D. 4.(探究点三)在 ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,则 ABC是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 5.(探究点二)在 ABC中,a=4,b=12,A=,则此三角形( ) A.无解 B.有两解 C.有一解 D.解的个数不确定 6.(探究点三)在 ABC中,a=bsin A,则 ABC一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 7.(探究点一) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= . 8.(探究点二、四)在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60 ,c=a. (1)求sin C的值; (2)当a=7时,求 ABC的面积. 9.(探究点二) ABC为锐角三角形,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2asin B. (1)求A; (2)若b=c+1,a=,求边BC上的高AD的长. 二、关键能力提升练 10.在 ABC中,A=60 ,a=,则等于( ) A. B. C. D.2 11.已知 ABC的外接圆半径为4,sin B+sin C=,sin Bsin C=,则 ABC的面积为( ) A. B. C. D. 12.在 ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2cos B-cos A=cos C,a=3,b=4,则cos A的值为( ) A. B. C. D. 13.已知 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,c2=a2+b2-ab,则 ABC的形状是( ) A.钝角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 14.(多选题) ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,sin B=sin 2A,S ABC是 ABC的面积,则( ) A.sin B= B.cos A=- C.c=3 D.S ABC=2 15.在 ABC中,B=,BC边上的高AD等于BC,且AD=1,则AC=  ,sin∠BAC=  . 16.在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a,2sin B=3sin C, ABC的面积为,则cos A= ,a= . 17.(北师大版教材例题)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30 ,∠ADB=45 .求∠BAD的正弦值和BD的长. 三、学科素养创新练 18.(2025浙江台州高一期中)在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 ABC的面积为,则 ABC三个内角中最小的角的正弦值为( ) A. B. C. D. 19.在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=6,且满足bcos C=a+csin B. (1)求角B; (2)若角B的平分线交AC于点D,BD=,点E在线段AC上,EC=2EA,求 BDE的面积. 参考答案 1.B ∵cos C=,C∈(0, ), ∴sin C=,又B=,c=4,由正弦定理,可得,解得b=3.故选B. 2.A 由正弦定理可得,代入可得,则sin C=,又b>c,由大边对大角可得C=.故选A. 3.B 由S=AB BC sin∠ABC,得4= 2 5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,从而cos∠ABC= . 4.C 因为sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,由正弦定理得a∶b∶c=4∶5∶6,设a=4t(t>0),则b=5t,c=6t,由余弦定理得cos C=>0,则C为锐角,又C为最大内角,故 ABC为锐角三角形.故选C. 5.B 在 ABC中,a=4,b=12,A=,则bsin A=12 =6,可得bsin A<a<b,可得此三角形有两解.故选B. 6.B 由已知,得=b=,所以sin B=1,所以B=90 ,故 ABC一定是直角三角形. 7. 在 ABC中,由cos A=,cos C=,可得sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,又a=1,故由正弦定理得b=. 8.解(1)在 ABC中,因为A=60 ,c=a,所以由正弦定理,得sin C=. (2)因为a=7,所以c= 7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得72=b2+32-2b 3 ,解得b=8或b=-5(舍). 所以 ABC的面积S=bcsin A= 8 3 =6. 9.解(1)由正弦定理可得sin B=2sin Asin B, 因为sin B≠0,所以=sin A, 又 ABC为锐角三角形,A∈0,,所以A=. (2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可知()2=b2+c2-2bccos=b2+c2-bc=(b-c)2+bc=7. 又b=c+1,即b-c=1,代入上式可得bc=6,则 ABC的面积为S=bcsin A= 6 ,则S=BC AD= AD=,解得AD=. 10.B 由a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C得=2R=. 11.D 由sin B+sin C=,sin Bsin C=,解得sin B=sin C=.由正弦定理可得b=2Rsin B=3,c=2Rsin C=3,所以B=C,则sin A=sin( -2B)=sin 2B=2sin Bcos B=2 ,所以S ABC=bcsin A= 9 .故选D. 12.B 由2cos B-cos A=cos C,可得2bcos B=ccos A+acos C,由正弦定理得2sin Bcos B=(cos Asin C+sin Acos C),故2sin Bcos B=sin(A+C)=sin B,又sin B>0,所以cos B=.因为B∈(0, ),所以B=.在 ABC中,由正弦定理得,又a=3,b=4,所以sin A=,因为a<b,所以A为锐角,所以cos A=.故选B. 13.B 由c2=a2+b2-ab,得a2+b2-c2=ab,而cos C=,又0 <C<180 ,所以C=60 . 因为,由正弦定理得, 即,得sin=sin, 又∈0,,所以,得A=B, 又C=60 ,所以 ABC为等边三角形.故选B. 14.ACD 因为sin B=sin 2A,所以sin B=2sin Acos A,即b=2acos A. 又a=3,b=2,所以cos A=,sin A=,sin B=. 又b<a,所以cos B=.cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B==cos A,所以c=a=3. S ABC=bcsin A= 2 3 =2.故选ACD. 15. 如图,由AD=1,B=,知BD=1, 又AD=BC=BD,∴BC=3,DC=2,AC=. 由正弦定理知,sin∠BAC=. 16.- 4 在 ABC中,∵2sin B=3sin C, ∴2b=3c,又b-c=a,∴a=2c,b=. ∴由余弦定理可得cos A==-,又A∈(0, ),∴sin A=, 又 ABC的面积为,∴bcsin A=,即c c ,解得c=2.∴a=4. 17.解在 ABC中,AB=5,AC=9,∠BCA=30 . 由正弦定理,得,sin∠ABC=. 因为AD∥BC,所以∠BAD=180 -∠ABC,于是sin∠BAD=sin∠ABC=.在 ABD中,由正弦定理,得,BD=. 18.C 由三角形的面积公式可得S ABC=acsin B=,整理可得2sin B=≥2=2,即sin B≥1,又因为0<sin B≤1,则sin B=1,当且仅当,即当a=c时,等号成立,此时B=,由勾股定理可得b==2c,故C为最小的内角,且sin C=. 所以 ABC三个内角中最小的角的正弦值为.故选C. 19.解(1)因为bcos C=a+csin B, 所以由正弦定理得sin Bcos C=sin A+sin Csin B, 所以sin Bcos C=sin[ -(B+C)]+sin Csin B, 所以sin Bcos C=sin(B+C)+sin Csin B,所以sin Bcos C=sin Bcos C+cos Bsin C+sin Csin B, 所以cos Bsin C+sin Csin B=0,因为sin C≠0,所以cos B+sin B=0,所以tan B=-, 因为B∈(0, ),所以B=. (2)因为角B的平分线交AC于点D,所以∠CBD=∠ABD=∠ABC=.因为BD=,所以由S ABC=S BCD+S ABD, 得acsina sinc sin,所以ac=(a+c),由余弦定理得b2=a2+c2-2accos,所以(a+c)2-ac=36,所以(a+c)2-(a+c)-36=0,解得a+c=4或a+c=-3(舍去),所以ac=12,解得a=c=2,所以BC=BA.因为角B的平分线交AC于点D,所以BD⊥AC,因为EC=2EA,所以DE=1,所以S BDE= 1 . 5 学科网(北京)股份有限公司 $