第七章 复数单元练习 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章　复数 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知i为虚数单位,(1+i)2=(　　) A.-2i B.2i C.2-2i D.2+2i 2.复数6+5i与-3+4i对应的向量分别为,则表示向量的复数为(　　) A.3+9i B.2+8i C.-9-i D.9+i 3.(2025湖北武汉高一期末)若复数z=i(1-4i),则|z+2i|=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知复数z=,则的虚部为(　　) A. B.i C. D.i 5.复数i+i2+i3+…+i2 025=(　　) A.i-1 B.i C.-1 D.0 6.对于任意的两个数对(a,b)和(c,d),定义运算(a,b)*(c,d)=ad-bc,若(1,-1)*(z,zi)=1-i,则复数z为(　　) A.2+i B.2-i C.i D.-i 7.已知z是复数,且p:z=i;q:z+∈R,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2025河北邢台高一期中)设复数z1,z2满足|z1|=3,|z2|=4,且z1-z2=3-4i,则|z1+z2|=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.下列表示复数1+i的三角形式中,正确的是(　　) A.cos--isin- B.cos+isin C.sin+icos D.cos+isin 10.已知复数z满足z(+i)=-2i,则(　　) A.|z|=1 B.z的虚部为 C.z3+1=0 D.z2= 11.已知复数z1=(i为虚数单位),下列说法正确的是(　　) A.z1在复平面上对应的点在第三象限 B.z1的虚部为-1 C.=4 D.满足|z|=|z1|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上 三、填空题 12.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-2,1),则i·z=　　　　　.  13.已知复数z满足|z+2-4i|=2,则|z-1|的取值范围是　　　　.  14.(2025上海松江高一期中)已知关于x的方程x2-px+1=0(p为实数)的两虚根为x1,x2,若|x1-x2|=1,则实数p的值为　　　　　.  四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在①z+=4,②z为纯虚数,③z为实数这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题. 已知复数z=(m2-3m+2)+(m2-5m+6)i(m∈R,i为虚数单位),为z的共轭复数,若　　　　　,求实数m的值.  16.设复数z1=2+ai(其中a∈R),z2=4-3i,i为虚数单位. (1)若z1+z2是实数,求a的值,并计算z1·z2的值; (2)若是纯虚数,求a的值. 17.已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-3+i,a∈R. (1)求z1的共轭复数; (2)若|z1-z2|<|z1|,求a的取值范围. 18.已知复数z=1+mi,是实数,其中i是虚数单位,m∈R. (1)求m的值; (2)若复数z0=-3-i+z是关于x的方程x2+bx+c=0的根,求实数b和c的值. 19.已知z为虚数,若ω=z+∈R,且-1<ω<2. (1)求z的实部的取值范围; (2)设μ=,求ω-μ2的最小值. 参考答案 1.B　(1+i)2=12+2×1×i+i2=2i.故选B. 2.D　因为,所以表示向量的复数为(6+5i)-(-3+4i)=9+i.故选D. 3.C　由题意,复数z=i(1-4i)=4+i, 所以|z+2i|=|4+3i|==5.故选C. 4.C　z=i,故i,故的虚部为. 5.B　∵i4=1,i2 025=(i4)506·i=i, ∴i+i2+i3+…+i2 025=506×0+i2 025=i.故选B. 6.D　因为(a,b)*(c,d)=ad-bc,(1,-1)*(z,zi)=1-i,所以zi+z=1-i.所以z==-i. 7.A　显然,当z=i时,z+i+i+=1∈R,但当z+∈R时,若令z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+=(a+)+(b-)i,所以有b=0或a2+b2=1,不一定有z=i.故p是q的充分不必要条件,选A. 8.C　设z1,z2在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知||=3,||=4,||=|3-4i|=5,由于32+42=52,则以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形为矩形,由于矩形的对角线相等,故|z1+z2|=||=5.故选C. 9.BD　对于A,[cos(-)-isin(-)]=1+i,但是不满足复数的三角形式,故A不正确;对于B,(cos+isin)=1+i,故B正确;对于C,(sin+icos)=1+i,不满足复数的三角形式,故C不正确;对于D,(cos+isin)=1+i,故D正确. 10.AD　由z(+i)=-2i,得z=-i,|z|==1,A正确; z的虚部为-,B错误; z3+1=(-i)3=1+1=2,C错误; z2=(-i)2=-i=,D正确.故选AD. 11.AB　复数z1==-=-=-1-i.z1在复平面上对应的点(-1,-1)在第三象限,故A正确;z1的虚部为-1,故B正确;(z1)4=(-1-i)4=(2i)2=-4,故C不正确;|z1|=,满足|z|=|z1|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为的圆上,故D不正确.故选AB. 12.-1-2i　因为复数z对应的点的坐标是(-2,1), 所以z=-2+i,所以i·z=(-2+i)·i=-1-2i. 13.[3,7]　设z=(x,y)(x,y∈R),∵复数z满足|z+2-4i|=2,∴=2,即(x+2)2+(y-4)2=4.∴z在复平面内对应的点Z的集合是以(-2,4)为圆心,r=2为半径的圆. |z-1|表示的是点Z与(1,0)之间的距离. 圆心与点(1,0)之间的距离d==5, 则|z-1|的取值范围是[d-r,d+r],即[3,7]. 14.±　因为方程x2-px+1=0的两虚根为x1,x2,则Δ=p2-4<0,所以-2<p<2,若|x1-x2|=1,则|x1-x2|=||=|i|==1, 解得p=±,适合题意. 15.解若选择①, 因为z=(m2-3m+2)+(m2-5m+6)i,所以=(m2-3m+2)-(m2-5m+6)i,又z+=4,所以2(m2-3m+2)=4,即m2-3m=0,解得m=0或m=3; 若选择②, 因为z为纯虚数,所以解得m=1; 若选择③, 因为z为实数,所以m2-5m+6=0,解得m=2或m=3. 16.解(1)∵z1=2+ai(其中a∈R),z2=4-3i,∴z1+z2=6+(a-3)i.由z1+z2是实数,所以a-3=0,解得a=3. ∴z1=2+3i,z2=4-3i, 则z1·z2=(2+3i)(4-3i)=17+6i. (2)因为i是纯虚数,所以解得a=,故a=. 17.解(1)∵(1+i)z1=-1+5i,∴(1-i)(1+i)z1=(1-i)(-1+5i),∴2z1=-1+5+6i, ∴z1=2+3i,∴z1的共轭复数=2-3i. (2)z1-z2=2+3i-(a-3+i)=5-a+2i,a∈R. 若|z1-z2|<|z1|,则,化为(a-2)(a-8)<0,解得2<a<8,∴a的取值范围为(2,8). 18.解(1)因为z=1+mi,所以i.因为是实数, 所以=0,解得m=-3,故m的值为-3. (2)由(1)可知z=1-3i,所以z0=-3-i+z=-2-4i. 因为z0是关于x的方程x2+bx+c=0的根, 所以(-2-4i)2+b(-2-4i)+c=0,即(-2b+c-12)+(-4b+16)i=0,由解得b=4,c=20. 19.解(1)设z=a+bi,b≠0,则ω=z+=a+bi+=a+bi+i, 又ω∈R,则=0,所以a2+b2=1, 所以ω=2a,即-1<2a<2,解得-<a<1. (2)μ=, 由(1)得a2+b2=1,ω=2a,所以μ==-i, 所以ω-μ2=2a+=2a+=2a+=2a-1+=2a+2+-3,又-<a<1,所以a+1>0,所以2a+2+≥2=4,当且仅当2a+2=,即a=0时等号成立,所以ω-μ2=2a+2+-3≥4-3=1,即ω-μ2的最小值为1. 5 学科网（北京）股份有限公司 $