8.4 机械能守恒定律（高效培优讲义）物理人教版必修第二册

8.4 机械能守恒定律 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 追寻守恒量和动能与势能的相互转化 1 题型2 机械能守恒定律 6 题型3 功能关系 13 题型4 机械能守恒定律的应用 16 【能力培优练】 24 【链接高考】 34 【重难题型讲解】 题型1 追寻守恒量和动能与势能的相互转化 1、追寻守恒量 （1）能量概念的特殊性：能量对科学与生活影响巨大，但难以被准确定义，这也是牛顿未明确提出该概念的原因之一。 （2）伽利略曾研究过小球在斜面上的运动，如图所示。 将小球由斜面A上某位置由静止释放，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同，不会更高一点，也不会更低一点，这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的。 （3）伽利略斜面实验的隐含规律：在忽略空气阻力和摩擦力的理想条件下，小球滚下斜面 A 后，会沿斜面 B 上升到与初始高度完全相同的位置，不会更高或更低；这一现象表明，小球运动过程中存在某种 “不变的东西”，它正是机械能守恒的早期萌芽。 （4）历史局限与突破：伽利略的实验已经触及机械能守恒的核心，但受限于当时 “能量” 概念尚未诞生，他未能直接提出机械能守恒的结论；能量概念的引入，是科学前辈们追寻 “守恒量” 的重要成果，也为后续能量守恒定律的建立奠定了基础。 ★特别提醒 追寻守恒量揭示了物理规律的发现是一个逐步演进的过程，伽利略的实验不仅体现了 “守恒” 思想的起源，也展现了科学概念与实验现象相互推动的关系。 2、重力势能与动能的转化 只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能。 3、弹性势能与动能的转化 只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能。 4、机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能，重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。 ★特别提醒 （1）机械能是由动能、重力势能和弹性势能组成的，动能与势能之间可以通过重力或弹力做功进行转化。 （2）一个物体或系统的机械能是由重力势能、弹性势能及动能中的两个或三个共同组成的，没有外力作用的情况下，机械能的总和保持不变，在几者之间相互转化。 5、天体运动中机械能的变化 （1）本考点旨在针对卫星变轨过程中的机械能变化情况。 （2）卫星变轨有两种情况，一种是低轨加速进高轨；一种是高轨减速进低轨。 （3）加速过程需要发动机向后喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向前，对卫星做正功，卫星的机械能增加；反之，减速过程需要发动机向前喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向后，对卫星做负功，卫星的机械能减小。 ★特别提醒 （1）卫星在变轨的时候需要经过精密的速度调控以进入精确的轨道，所以卫星有多个发动机，可以实现全方位的加减速。 （2）单独的比较物体在高轨和低轨的机械能是困难的，因为物体在低轨的势能小，动能大；在高轨的势能大，动能小；而如果有特定的运动方式将两个轨道联系起来，就可以对物体在两个轨道的机械能进行比较了。 【探究归纳】自然界存在守恒量，机械能中动能与势能可相互转化，转化过程中若只有重力或弹力做功，机械能的总量保持不变。 【典例1-1】地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图，P、Q和M、N分别为长、短轴端点，彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞经地球将在2061年，则彗星（　　） A．从P到N用时大于从Q到M B．从Q到P动能增加，机械能增加 C．运行速率处处大于地球运行速率 D．轨迹半长轴约为地球轨道半径的18倍 【答案】D 【详解】A．哈雷彗星越靠近太阳速度越大，所以从P到N用时小于从Q到M，故A错误； B．从Q到P引力做正功，速度增大，动能增加，机械能不变，故B错误； C．根据万有引力提供向心力有 所以 设过Q点彗星绕太阳做匀速圆周运动，则该圆周运动的速度大于彗星在椭圆轨道经过Q点的速度，而该圆周运动的速度小于地球绕太阳运动的速度，所以地球运行速率大于彗星经过Q点的速度，故C错误； D．根据开普勒第三定律可得， 所以，故D正确。 故选D。 【典例1-2】（多选）如图所示，质量为2m、长度为L的小车静止在光滑水平面上，质量为m的物块（可视为质点）放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，物块滑到小车的最右端时，物块运动的距离为x。此过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块动能增量为（F-μmg）x B．摩擦力对小车做的功为2μmgL C．小车动能的增量为μmg（x-L） D．物块和小车增加的机械能为Fx 【答案】AC 【详解】A．对物块由动能定理，物块动能增量等于合外力做的功，即为（F-μmg）x，故A正确； B．小车的位移为，摩擦力对小车做的功为，故B错误； C．小车动能的增量等于小车受合外力做的功，即为，故C正确； D．物块和小车增加的机械能为物块和小车受到的除重力和弹力以外的其它力所做的功，即为，故D错误。 故选AC。 跟踪训练1如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力F，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中错误的是（　　） A．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大 B．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大 C．当A、B加速度相等时，A、B与弹簧构成的系统机械能最大 D．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大 【答案】C 【详解】所有接触面均光滑，不考虑摩擦力，在运动方向上(水平方向上)，A、B之间的作用力为弹簧的弹力。 弹簧开始时处于原长，此时弹力，A开始做加速运动，加速度 随后，弹簧开始拉长，B开始做加速运动，加速度 D．当时，A、B加速度相等，在此之前，在此之后，所以，此时A、B的速度差最大，故D正确； 根据对称性，当时，A、B的速度相等。 在从静止开始运动到第一次速度相等的过程中： A．，A一直做加速运动，所以A、B的速度相等时，A的速度达到最大 B．弹力一直在增大，弹簧一直在被拉伸，弹簧的弹性势能一直在增加，所以A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，故B正确； C．一直在对整个系统做正功，根据能量守恒定律，A、B与弹簧构成的系统机械能一直在增加，所以A、B的速度相等时，A、B与弹簧构成的系统机械能最大，故C错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）如图所示，甲、乙是车间内高度不同的两个工作台，它们距地面的固定高度分别为、，且。在这两个工作台之间设计了两个斜面，从点静止释放的工件经点滑至点时速度刚好为零，此时工作台之间的距离为。、、位于同一竖直平面内。斜面、之间平滑连接，工件通过点时没有动能损失。工件可视为质点且与两个斜面之间的动摩擦因数皆为。下列说法正确的是（   ） A．是一个唯一的确定值 B．只改变点的位置，工件从滑到过程中因摩擦而产生的热量保持不变 C．只将点向右移动少许，工件可能无法下滑 D．只将斜面换成曲面，工件也可以到达点 【答案】AB 【详解】A．工件从A点滑到B点，根据能量守恒有 其中、分别为斜面AC和斜面CB的长度，、分别为斜面AC和斜面CB与水平方向的夹角，化简整理得 由于 联立有 联立解得 表明是一个位移的确定值，与斜面的具体形状无关，只取决于高度差和动摩擦因数，A正确； B．由上述分析可知无论C点位置在哪，从A点到B点过程中摩擦力做功为 由功能关系可知 可见只改变点的位置，工件从滑到过程中因摩擦而产生的热量保持不变，B正确; C．上述分析可知 将C点向右移动少许后，滑块要在斜面AC上滑动受力分析可知需满足 即 始终成立，故只将点向右移动少许，工件仍可以下滑，C错误； D．将斜面换成曲面后，工件从A点滑到B点得路径变长，摩擦力做功增加，重力做功不变，故摩擦力做功可能超过重力做功，导致工件在到达B点之前停止，D错误。 故选AB。 题型2 机械能守恒定律 1、机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 （1）表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。 （2）应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算。 2、对机械能守恒条件的理解 (1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化：如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动（自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等）。 (2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。例如： ①物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力对物体不做功； ②在光滑水平面上的小球运动中碰到弹簧，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来。 (3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。 (4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零；系统机械能没有转化为其他形式的能，物体的机械能不变，这不属于真正的守恒，但也可以当作守恒来处理。 ★特别提醒 机械能守恒的物体所受合外力不一定为零。 3、判断机械能是否守恒的方法有 （1）做功条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析。分析各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒。 （2）能量转化分析法：从能量转化的角度进行分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转化成其他形式的能（如内能增加），则系统的机械能守恒。 （3）增减情况分析法：直接从机械能的各种形式的能量的增减情况进行分析。若系统的动能与势能均增加或均减少；若系统的动能与势能只有一种形式的能发生了变化；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则可判定机械能不守恒。 （4）典型过程：对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。 4、机械能守恒的判断 （1）用做功来判断：分析物体或物体受力情况（包括内力和外力）明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。 （2）用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，无机械能与其他形式的能的转化，则系统机械能守恒。 ★特别提醒 （1）合力为零是物体处于平衡状态的条件。物体的合力为零时，它一定处于匀速直线运动状态或静止状态，但它的机械能不一定守恒。 （2）合力做功为零是物体动能不变的条件。合力对物体不做功，它的动能一定不变，但它的机械能不一定守恒。 （3）只有重力做功或系统内弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力对物体做功时，物体的机械能-定守恒；只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能一定守恒。 5、机械能如何转化：如果“外力”对系统做正功，系统的机械能增大；如果外力对系统做负功，系统的机械能减小。 6、机械能守恒定律的不同表达式 项目 表达式 物理意义 说明 从守恒的角度看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须先选零势能面 从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选零势能面 从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能 【探究归纳】只有重力或弹力做功的系统内，动能与势能相互转化，机械能的总量保持不变。 【典例2-1】竖直向上抛出一个小球，忽略空气阻力，小球到最高点后又落回的过程中，小球距抛出位置的高度h和运动时间t的关系图像如图所示。下列关于小球的判断正确的是（　　） A．t2时小球的动能最大 B．t2和t3时小球的机械能相等 C．t1时小球的机械能大于t3时小球的机械能 D．小球从t1到t2这段时间内，重力势能转化为动能 【答案】B 【详解】A．小球做竖直上抛运动，由图可知t2时小球到达最高点，此时小球速度为0，动能为0，动能最小。故A错误； BC．小球做竖直上抛运动，忽略空气阻力，全过程机械能守恒，因此在每时每刻机械能都不变。故B正确，C错误； D．由图可知小球从t1到t2这段时间内，高度变大，根据可知重力势能变大，由于全过程机械能守恒，因此动能减小，所以小球从t1到t2这段时间内，动能转化为重力势能。故D错误。 故选B。 【典例2-2】（多选）如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲图中，从滑梯上加速下滑的小朋友机械能不守恒 B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客机械能守恒 C．丙图中，在光滑的水平面上，小球和弹簧系统机械能守恒 D．丁图中，不计任何阻力和细绳质量时，A的机械能守恒 【答案】AC 【详解】A．甲图中，从滑梯上加速下滑的小朋友，摩擦力对其做负功，则其机械能不守恒，故A正确； B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客，动能不变，但是重力势能在变化，所以他们的机械能不守恒，故B错误； C．丙图中，在光滑的水平面上，只有弹簧弹力对小球做功，故小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故C正确； D．丁图中，不计任何阻力和细绳质量时，绳子拉力对A做负功，所以A的机械能不守恒，故D错误。 故选AC。 【典例2-3】如图所示，质量m=0.1kg的小球（可视为质点）用长L=1.25m的轻质细线悬于点。将小球向左拉起使悬线呈水平伸直状态后，无初速地释放小球，小球运动到最低点O时细线恰好被拉断，B为O点正下方地面上的点，且OB高度h=5m。取g=10m/s2，求： (1)小球到O点时的速度大小； (2)细线所能承受的最大拉力； (3)小球落地点与B点距离。 【详解】（1）小球由A到O的过程，由机械能守恒定律得 解得v0=5m/s （2）在O点由牛顿第二定律得 解得F=3N （3）绳被拉断后，小球做平抛运动 水平方向x=v0t 竖直方向 解得 x=5m 跟踪训练1如图甲和图乙所示，一根轻绳的一端固定于O点，另一端系有一个小球。如图丙和图丁所示，一根轻杆的一端铰接在转轴O处，另一端同样固定一个小球，不计一切摩擦。在下列条件下，当小球由静止释放至最低点的过程中，机械能不守恒的情况是（　　） A．图甲：释放时轻绳水平且伸直 B．图乙：释放时轻绳与水平方向成一定夹角且伸直 C．图丙：释放时轻杆水平 D．图丁：释放时轻杆与水平方向成一定的夹角 【答案】B 【详解】A．在图甲中，当小球由静止释放至最低点的过程中，只有重力做功，绳的拉力的方向始终与小球的速度方向垂直，故拉力对小球的作用力不做功，所以小球的机械能守恒，故A错误； B．在图乙中，小球在下落过程中首先进行自由落体运动，此时绳子处于松弛状态；当小球运动至细绳完全伸直的那一刻，沿绳子方向的分速度减为零，导致机械能有损失，所以机械能不守恒。故B正确； CD．在图丙和图丁中，当小球由静止释放至最低点的过程中，只有重力做功，轻杆对小球的作用力不做功，所以小球的机械能守恒，故CD错误。 故选B。 跟踪训练2（多选）如图所示，质量为的物体A，其下端拴接一固定在水平地面上的轻质弹簧，弹簧的劲度系数，物体A的上端通过不可伸长的细线跨过两个光滑的小定滑轮连接中间有孔的小球B，小球B套在倾角的光滑直杆上，D为杆的底端，与固定杆的夹角也是，细线水平，此时细线的拉力是。小球B的质量，C是杆上一点且与杆垂直，，重力加速度g取。现由静止释放小球B，下列说法正确的是（　　） A．物体A与小球组成的系统的机械能守恒 B．小球第一次运动到C点时的动能为17.2J C．小球第一次运动到C点时细线对B做的功为10J D．小球第一次运动到D点时A的动能为7.2J 【答案】BC 【详解】A．物体A与小球B组成的系统除了受到重力以外，弹簧弹力对A做功，即其它力所做功不为零，则物体A与小球B组成的系统机械能不守恒，故A错误； B．小球B第一次运动到C点时，物体A下降的高度 小球B下降的高度为 未释放小球B时，设弹簧的形变量为，对物体A有 解得 此时弹簧被拉伸，当小球B第一次运动到C点时 此时弹簧被压缩，故此时弹簧的弹性势能与未释放小球B时相等，A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，有 由于小球B在C点时，细线与小球B速度方向垂直，可知 故解得 故B正确； C．小球B从释放第一次运动到C点，对小球B，根据动能定理可得 解得 故C正确； D．由几何知识可得 故小球B第一次运动到D点细线物体A回到初始位置，设此时小球B的速度为，物体A的速度为，则 小球B下降的高度为 整个过程根据动能定理可得 联合解得 故D错误。 故选BC。 跟踪训练3如图所示，半径为的四分之一圆弧轨道固定在光滑水平面上，质量为、足够长的木板A紧挨轨道右端放置在光滑水平面上，其上表面与圆弧最低点相切，木板A右侧固定有挡板P。一质量为的小物块B从轨道最高点由静止释放，当小物块B下滑至轨道最低点时对轨道的压力大小为40N，随后小物块B滑上木板A，当小物块B与木板A的速度相同时，木板A的右端恰与挡板P碰撞。已知小物块B与木板A之间的动摩擦因数，重力加速度g取。求： (1)小物块B沿轨道下滑的过程中克服摩擦力做的功； (2)初始时木板A右端与挡板P的距离s。 【详解】（1）小物块B在轨道最低点，由牛顿第二定律得    解得 小物块B从释放到下滑到轨道最低点的过程中，根据动能定理有 解得小物块B沿轨道下滑的过程中克服摩擦力做的功 （2）对木板A受力分析，根据牛顿第二定律，有 解得木板A的加速度大小 对小物块B受力分析，根据牛顿第二定律，有 解得小物块B的加速度大小 设时刻，木板A和小物块B速度相同，为，则有 解得，    对木板A，有 题型3 1、内容 （1）功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。 （2）做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必通过做功来实现。 2、高中物理中几种常见的功能关系 功 能量的变化 合外力做正功 动能增加 重力做正功 重力势能减少 弹簧弹力做正功 弹性势能减少 电场力做正功 电势能减少 其他力（除重力、弹力）做正功 机械能增加 一对滑动摩擦力做的总功为负功 系统的内能增加 ★特别提醒 （1）功和能的单位一致，但功是过程量，能是状态量，能的变化需要做功的过程。 （2）常见的功能关系：合力做功——动能变化；重力做功——重力势能变化；弹力做功——弹性势能变化；摩擦力做功——内能变化；其他力做功——机械能变化。 （3）判断和计算做功或能量变化时，可以反其道而行之，通过计算能量变化或做功多少来进行。 【探究归纳】功是能量转化的量度，合外力做功对应动能变化，重力做功对应重力势能变化，弹力做功对应弹性势能变化，除重力和弹力外其他力做功对应机械能变化。 【典例3-1】如图，公园里的喷泉有40个相同的喷口，每个喷泉管口直径为2cm。喷嘴方向可变化，喷出的水柱最高可达约10m，则喷泉电动机的输出功率约为（　　） A．6kW B．18kW C．60kW D．180kW 【答案】B 【详解】喷出的水柱最高达10m，可得最大速度 根据能量转化，有 又 解得 故选B。 【典例3-2】（多选）如图所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块放在小车的最左端，现用一水平力F作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为f，经过一段时间小车运动的位移为x，小物块刚好滑到小车的最右端，则下列说法中正确的是（　）。 A．此时物块的动能为F（x＋L） B．此时小车的动能为f（x＋L） C．这一过程中，物块和小车增加的机械能为F（x＋L）−fL D．这一过程中，物块和小车因摩擦而产生的热量为fL 【答案】CD 【详解】A．由图和题意可知，在拉力的作用下物块前进的位移为L＋x，故拉力对物块做的功为F（x＋L），摩擦力对物块做的功为−f（x＋L），则由动能定理可知，小物块刚好滑到小车的最右端时，物块的动能为（F−f）（x＋L），故A错误； B．小车受摩擦力作用，摩擦力作用的位移为x，故摩擦力对小车做功为fx，由动能定理得，此时小车的动能为fx，B错误； CD．这一过程中，物块和小车增加的机械能等于力F做的功减去系统内能的增量，系统内能的增量等于fL，故系统机械能的增量为F（x＋L）−fL，CD正确。 故选CD。 跟踪训练1一物体被水平抛出后，重力做功50J，同时克服阻力做功20J，则下列说法正确的是（　　） A．物体重力势能增加了50J B．动能减少了30J C．物体机械能增加了30J D．物体机械能减少了20J 【答案】D 【详解】A．根据重力做功与重力势能的关系知，重力做功50J，则物体重力势能减少了50J，故A错误； B．依题意，根据动能定理有 物体动能增加了30J，故B错误； CD．物体机械能的增加量等于除重力外，其它外力做功的代数和，依题意，可知物体机械能的减少量等于物体克服阻力所做的功，即减少了20J，故C错误，D正确。 故选D。 跟踪训练2（多选）如图所示，长木板B放在光滑水平面上，上面放一物块A，均处于静止状态。现以恒定的外力拉B向前移动一段距离，由于A、B间有摩擦力的作用，A也向前运动且对B有相对滑动，在此过程中（　　） A．外力F做的功等于A和B动能的增量 B．B对A的摩擦力所做的功，等于A的动能的增量 C．B克服A的摩擦力所做的功，等于B对A的摩擦力所做的功 D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和 【答案】BD 【详解】A．根据功能关系可以知道外力F做的功等于A和B动能的增量与产生的内能之和，故A选项错误； B．以A物体作为研究对象，A物体所受的合外力就是B对A的摩擦力，对A物体运用动能定理，则有B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量，故B选项正确； C．A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等方向相反，但是因为A在B上相对滑动，A、B对地的位移不等，所以一对摩擦力做功不相等，故C选项错误； D．对B应用动能定理有 即 即外力F对B做的功等于B的动能增量与B克服摩擦力所做的功之和，故D选项正确。 故选BD。 题型4 机械能守恒定律的应用 1、运用机械能守恒定律的基本思路 2、机械能守恒定律和动能定理的比较 3、应用机械能守恒定律解题的基本思路 （1）选取研究对象--物体或系统。 （2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 （3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末态时的机械能。 （4）选取方便的机械能守恒定律的方程形式（Ek1+Ep1=Ek2+Ep2、△Ek=-△Ep或△EA=-△EB）进行求解。 ★特别提醒 机械能守恒定律的应用往往与曲线运动综合起来，其联系点主要在初末状态的速度与圆周运动的动力学问题有关、与平抛运动的初速度有关。 4、对于系统机械能守恒问题，应抓住以下几个关键 （1）分析清楚运动过程中各物体的能量变化； （2）哪几个物体构成的系统机械能守恒； （3）各物体的速度之间的联系。 5、动能定理与机械能守恒定律的选择 （1）能用机械能守恒定律解决的题一般都能用动能定理解决，而且省去了确定是否守恒和选定重力势能参考平面的麻烦。 （2）能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍。 6、多物体系统内物体间的速度关系 （1）绳连接的两个物体，在任一时刻沿绳方向上的速度分量相同。 （2）杆连接的两物体，当绕固定点转动时，两物体角速度相等；当杆自由运动时，两物体沿杆方向上的速度分量相同。 （3）接触的两物体在任一时刻沿垂直于接触面方向上的速度分量相同。 【探究归纳】机械能守恒定律应用需先判断系统只有重力/弹力做功，弹簧类关注弹性势能与动、重力势能转化，曲线运动结合运动学规律分析能量变化，多物体系统统研整体能量，传送带和板块模型从能量角度分析做功与能量转化，图像类提取坐标中能量、位移等信息结合定律列式求解。 【典例4-1】如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O点（图中未标出）。物块质量，弹簧劲度系数，物块与桌面间的动摩擦因数。现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，弹簧伸长量，撤去拉力后物块由静止向左运动经O点最远到达B点。重力加速度为。下列说法中正确的是（    ） A．物块在B点所受弹簧弹力与在A点大小相等 B．物块运动的总路程为 C．物块最终停在O点右侧处 D．物块最终停在O点左侧处 【答案】D 【详解】A．如果没有摩擦力，物块以O点为平衡位置做简谐运动，则O点应该在AB中间，物块在B点所受弹簧弹力与在A点受弹簧弹力大小相等，由于有摩擦力，物体从A到B过程中机械能损失，故无法到达没有摩擦力情况下的B点，也即O点靠近B点，故物块在B点所受弹簧弹力小于在A点的弹力，故A错误； BCD．物块最终停止的位置应满足 解得 即物块若在O点左右两侧2cm的范围内的速度为0时，就会停止运动。物体从A到B过程由能量守恒 解得 物体从B往右运动到O点右侧由能量守恒 解得 以此类推，物体再次往左运动到O点左侧处停止，再往右运动到O点右侧处停止，接着再往左运动到O点左侧处停止，物块再向右侧运动时不足以运动到O点右侧，物块停在距离O点左侧处，根据能量守恒定律 解得 物块运动的总路程为，故BC错误，D正确。 故选D。 【典例4-2】（多选）如图所示，一根轻质弹簧的一端固定于光滑竖直杆底部，另一端与质量为的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过光滑定滑轮将滑块P和重物Q连接起来，重物Q的质量为M，与水平方向的夹角，且在点时弹簧处于原长.把滑块P从图中点由静止释放，滑块刚好能运动到点，水平.已知，，下列说法正确的是（    ） A．从到的过程中，重物Q的机械能一直减小 B．从到的过程中，重物Q一直处于失重状态 C．从到的过程中，P与Q的机械能之和先增大后减小 D．重物Q与P两者的质量关系为 【答案】AD 【详解】A．从到的过程中，由于绳子对Q做负功，故重物Q的机械能一直减小，故A正确； B．由于P、Q沿绳子方向速度相同，则有 由题意可知，P滑块刚好能运动到点，则此时P速度为零，则Q的速度也为零，故从到的过程中，重物Q初末速度均为零，则Q的速度先增大后减小，速度方向向下，则其加速度方向先向下后向上，故重物Q先处于失重状态，后处于超重状态，故B错误； C．从到的过程中，由于弹簧一直处于拉伸状态，则在从到过程中，弹簧一直对滑块P做负功，可知P与Q的机械能之和一直减小，故C错误； D．由B选项分析可知P、Q初末速度均为零，设长度为，由能量守恒可得 解得，故D正确 故选AD。 【典例4-3】如图所示，水平面上固定一轻质弹簧，左端与墙壁相连，右端与质量为的小物块（可看成质点）接触（不连接）。弹簧处于原长时物块位于点，点左侧的水平面光滑，点右侧的水平面OB部分粗糙，长度为，与物块间的动摩擦因数为。OB右端与竖直面内的半圆形导轨在点平滑连接，导轨半径为。已知弹簧被压缩至位置时的弹性势能为，现将物块由静止释放，物块离开弹簧后沿水平面运动，经过点沿半圆形导轨运动，恰好能通过最高点C。重力加速度，求： (1)物块运动到半圆形轨道的点时，对轨道的压力大小； (2)物块沿半圆形轨道从点运动到点的过程中，摩擦力所做的功。 【详解】（1）物块自到，根据能量守恒得 在点，轨道支持力与重力的合力提供向心力，得 解得 由牛顿第三定律得物块对轨道的压力大小 （2）物块恰好通过点，重力提供向心力 解得 对到过程列动能定理，得 解得摩擦力所做的功 跟踪训练1如图所示，劲度系数为的轻质弹簧上端固定在天花板上，下端与质量为的物块A相连接。初始时刻，用挡板B托住物块A，使其处于静止状态，弹簧处于原长。利用计算机系统精确控制使挡板B竖直向下做加速度大小为的匀加速直线运动，直至挡板与物块A分离，分离后物块A向下做加速度减小的加速运动，达到最大速度，而后向下减速运动到达最低点。此后物块A在竖直方向做往复运动。则下列说法正确的是（　　） A．挡板B与物块A分离时，弹簧的伸长量 B．物块A达到最大速度时，弹簧的伸长量 C．弹簧的最大伸长量为 D．物块A的最大速度 【答案】D 【详解】A．挡板B与物块A分离时，A、B之间的弹力为零，加速度相等为，设此时弹簧的伸长量为，根据牛顿第二定律得 解得，故A错误； B．当物块A受力平衡时速度最大，根据平衡条件有 解得，故B错误； C．当物块A是自由下落时弹簧的最大形变量为 解得弹的最大形变量为 但因为一开始有挡板B阻碍A下落，其中有能量损失，所以弹簧的最大形变量应该是小于 的，故C错误； D．当A和B分离后，对A，根据牛顿第二定律得，即 则a随x增大而均匀减小；物块A加速度a随坐标x变化的图像如图所示 根据可知，a-x图线与坐标轴所围面积为，则 解得，故D正确。 故选D。 跟踪训练2（多选）如图所示，质量均为m的小球A、B穿在一光滑细杆上，A、B之间用长为2l的轻质细线相连，在轻质细线的中间有一轻质光滑滑轮，滑轮上悬挂一质量为2m的小球C。开始时，用外力托举小球C，细线恰好水平伸直，整体处于静止。现释放小球C，重力加速度为 g，小球A、B、C均看作质点，则在小球C的下降过程中，下列说法正确的是（    ） A．当细线与水平方向成夹角时，小球A的速度与小球C的速度之比 B．当细线与水平方向成夹角时，小球C的速度 C．当小球C的下落高度时，小球C的动能最大 D．小球A、B的最大速度为 【答案】BD 【详解】A．当细线与水平方向成夹角时，根据速度关联可知小球A的速度与小球C的速度沿绳的分量大小相等，可知 可得，故A错误； B．当细线与水平方向成夹角时，根据能量守恒可得 A、B的速度大小相等，解得小球C的速度，故B正确； C．当小球C下落的高度为时，速度最大，有 根据几何关系有 根据 可得 根据数学知识可得 而且仅当时取等，可知当时取等，即取最大，小球C的动能最大，故C错误； D．当小球C下落到最低点时，速度为零，小球A、B的速度最大，有 解得小球A、B的最大速度为，故D正确。 故选BD。 跟踪训练3如图所示，粗糙水平面AB与竖直面内的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，一质量为m的小滑块（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，经过B点后恰好能通过最高点C做平抛运动。已知导轨半径，小滑块的质量，小滑块与轨道AB间的动摩擦因数，的长度，重力加速度取。 （1）求小滑块对圆轨道最低处B点的压力大小； （2）求弹簧压缩至A点时弹簧的弹性势能； （3）若仅改变AB的长度L，其他条件不变，要使小滑块在半圆轨道运动时不脱离轨道，求出L的可能值。 【详解】（1）小滑块恰好能通过最高点，有 解得 从到根据动能定理有 解得 在点，对小滑块有 解得 根据牛顿第三定律可得小滑块对圆轨道最低处点的压力大小为6N。 （2）设弹簧压缩至点时弹簧的弹性势能为，根据能量守恒定律有 解得 （3）当小滑块恰好能通过最高点做平抛运动时，的长度为20m，则有； 当小滑块运动到与圆心等高时速度为零，从到与圆心等高位置，根据能量守恒定律可得 解得 小滑块恰好到达点时，根据能量守恒定律可得 解得 则有 【能力培优练】 1．如图，篮球队运动员进行原地纵跳摸高训练。运动员先下蹲，重心下降，经过充分调整后，由静止发力跳起摸高。忽略空气阻力影响，在蹬地过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动员始终处于超重状态 B．运动员的机械能守恒 C．地面对运动员不做功 D．地面对运动员做正功 【答案】C 【详解】A．运动员起跳时，先向上加速，速度达到最大后开始减速，直至离开地面。此过程中，运动员先超重后失重，故A错误； B．运动员起跳消耗体内化学能转化为机械能，机械能增加，故B错误； CD．地面对运动员的支持力在起跳过程中没有位移，根据功的定义，支持力不做功，故C正确，D错误。 故选C。 2．如图是某运动员在撑杆跳比赛过程中通过频闪照相机获得的一组合成照片，相邻两图之间的时间间隔相等（杆可视为轻质弹性杆），则下列说法中正确的是（    ） A．从1到3过程中，运动员的动能减小 B．从4到7过程中，杆的弹性势能增加 C．从6到8过程中，运动员的重力势能减小 D．从6到8过程中，杆的弹性势能减小 【答案】D 【详解】A．从1到3过程中，运动员处于加速助跑阶段，动能增大，A错误； B．从4到7过程中，杆的形变先增大后减小，故杆的弹性势能先增大后减小，B错误； C．从6到8过程中，运动员的高度逐渐增大，重力势能逐渐增大，C错误； D．从6到8过程中，杆逐渐恢复形变，弹性势能逐渐减小，D正确。 故选D。 3．如图所示，在水平如镜的湖面上方，一颗钢珠从离水面不高处由静止落入水中，会溅起几滴小水珠。下列关于溅起的小水珠说法正确的是（　　） A．小水珠在空中上升过程处于超重状态 B．所有小水珠运动到各自最高点时速度一定为零 C．所有小水珠机械能总和等于钢珠静止下落时的机械能 D．所有小水珠机械能总和小于钢珠静止下落时的机械能 【答案】D 【详解】A．小水珠在空中上升时，加速度方向向下，处于失重状态，而不是超重状态，A错误； B．被溅起来的小水珠有的可能是竖直上抛，有的可能是斜抛，所以小水珠运动到最高点时竖直方向上的速度一定为零，水平方向上不一定为零，B错误； CD．钢珠下落时，部分能量会转化为水的内能、声能等其他形式的能量，因此小水珠的机械能总和会小于钢珠静止下落时的机械能，C错误，D正确。 故选D。 4．如图甲所示，一质量为1kg的滑块（视为质点）以某一初速度冲上足够长的固定斜面，以斜面底端为位移的起点，滑块在斜面上运动的动能随位移x变化的关系如图乙所示。取重力加速度大小。下列说法正确的是（　　） A．滑块在斜面上一直做减速运动 B．斜面倾角的正弦值为0.5 C．滑块与斜面间的动摩擦因数为0.25 D．滑块上滑过程克服摩擦力做的功为20J 【答案】C 【详解】ABD．由乙图可知滑块上滑时做减速运动，下滑时做加速运动，上滑的最大位移为5m，从斜面底端上滑至回到斜面底端过程中克服阻力做功为20J，所以上滑和下滑过程克服阻力做功都为。则上滑过程中有， 解得 故ABD错误； C．上滑过程中阻力做功， 解得 故C正确。 故选C。 5．如图所示，半径为R的半球固定在水平面上，质量为m的物块静止在半球的最高点，给物块一个微小扰动，物块沿半球下滑到B点时离开球面，B点与球心O连线与水平方向夹角为30°，重力加速度为g，不计物块大小，不计空气阻力，则物块在球面上运动过程中因摩擦产生的热量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设物块在B点时速度大小为v，则 从A到B过程，根据能量守恒 解得 故选C。 6．一根钓鱼线在拉紧和放松过程中，拉力与它的伸长量的关系如图所示。在这个过程中能量大致损耗（　　） A． B．0.5J C． D． 【答案】B 【详解】F-∆l图像的面积等于拉力的功可知，拉紧过程中增加的能量 放松过程中恢复的能量为 在这个过程中能量大致损耗 故选B。 7．如图，表面光滑的竖直圆环轨道固定在水平面上，半径为R，一小球静止在轨道的最高点A点。小球受到轻微的扰动，从A点由静止沿轨道滑下。已知P、O两点的连线与竖直方向的夹角为，小球可看作质点，重力加速度大小为g，则小球在P点受到轨道的支持力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小球从A点运动到P点，根据机械能守恒定律有 小球在P点时有 联立解得 故选D。 8．如图所示，一根轻弹簧右端固定在竖直挡板上，弹簧处于原长状态时，左端位于点。质量为2kg的滑块从点以初速度开始向右运动，与此同时在滑块上施加一个大小为20N的恒力，的方向与竖直方向成角，当滑块滑到点时与弹簧相撞，弹簧被压缩到位置时滑块速度为零，然后滑块反弹，运动到点时，速度再次为零。已知、的间距为2m，是、两点的中间位置，、的间距为0.5m，滑块可看作质点，取，，，则下面说法不正确的是（　　） A．滑块接触弹簧就开始减速 B．全过程因摩擦产生的热量为16J C．滑块与水平面之间的动摩擦因数为 D．弹簧的最大弹性势能为24J 【答案】A 【详解】A．滑块未接触弹簧时 故滑块刚接触弹簧时，滑块所受合外力方向水平向右，滑块仍有向右的加速度，还在加速，故A错误； BC．滑块从起始位置到运动到d点速度为零的整个过程中，因摩擦产生的热量等于滑块动能的减少量与恒力F做的功之和，即 又因为 解得，故BC正确； D．滑块由到的过程中，动能减少了 F做的功 由于摩擦产生的热量 由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为，故D正确。 本题选择错误选项，故选A。 9．（多选）质量为m的物体从弹簧原长处由静止释放，当物体运动到最低点时，弹簧压缩量为h，重力加速度为g，则物体从释放到最低点的过程中，下列说法正确的是（    ） A．物体的重力势能增加了mgh B．合力对物体做的功是mgh C．物体重力势能减少，物体的动能先增加后减少 D．弹簧弹性势能增加了mgh 【答案】CD 【详解】AD．物体下降h后速度为零，则其重力势能减少了mgh，此过程物体和弹簧组成的整体，机械能守恒，则弹簧弹性势能增加了mgh，故A错误，D正确； B．由动能定理，合力对物体做的功为零，故B错误； C．物体重力势能减少，在弹簧对物体的弹力等于重力之前，物体所受合力均是竖直向下，则速度增加，弹力等于重力时，速度达到最大，弹力大于重力时，合力竖直向上，则物体速度减小，即物体的动能先增加后减少，故C正确。 故选CD。 10．（多选）神舟十二号返回舱载着空间站上一批航天员翟志刚、王亚平和叶光富返回地球。返回舱进入大气层一段时间后，逐一打开引导伞、减速伞、主伞，最后启动反冲装置，实现软着陆，其运动简化为竖直方向的直线运动，图像如图所示。设该过程中，重力加速度不变，返回舱质量不变，下列说法正确的是（　　） A．在时间内，返回舱的加速度减小 B．在时间内，返回舱重力的功率大小不变 C．在时间内，返回舱的动能随时间不变 D．在时间内，返回舱的机械能减小 【答案】AD 【详解】A．图像的斜率表示加速度，从图像来看在时间内图像的斜率在减小，加速度减小，故A正确； B．重力的功率为 由图像可知，整个过程中速度在随时间减小，所以重力的功率随时间减小，故B错误； C．物体的动能为 而在时间内，物体的速度在逐渐减小，所以动能也随时间在减小，故C错误； D． 在时间内，返回舱的动能在减小，下降过程重力势能也在减小，所以机械能在减小，故D正确。 故选AD。 11．（多选）如图所示，从水平地面上同一位置抛出两个不同的小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则（　　） A．落地时，小球B与小球A的速度相等 B．小球B与小球A的飞行时间相同 C．飞行时，小球B比小球A的机械能大 D．相同时间内小球B与小球A的速度变化相同 【答案】BD 【详解】AB．小球从最高点到地面过程中，在竖直方向做自由落体运动，由 两球运动的最大高度相同，以及运动的对称性可知小球在空中的飞行时间一样，由图可知B球在水平方向的位移更大，故 在竖直方向上有 可知 小球的落地速度为 联立可知小球的落地速度不相等，A错误；B正确； C．在最高点时，两个小球的速度 但小球的机械能除跟速度有关外还和小球的质量有关，故飞行时，小球B与小球A的机械能无法比较，C错误； D．在空中相同时间内的速度变化为 故相同时间内B球的速度变化与A球的速度变化相同，D正确。 故选BD。 12．（多选）水平面上有一固定斜面，斜面长，一质量为的小滑块以的初动能从斜面底端沿斜面向上滑动，恰好能够到达斜面顶端，重力势能增加了，然后小滑块又从斜面顶端滑回到底端。重力加速度，空气阻力不计，下面说法正确的是（　　） A．斜面的倾角为 B．滑块与斜面之间的动摩擦因数为 C．滑块下滑过程的加速度大小为 D．滑块下滑到斜面底端时的动能为 【答案】BD 【详解】A．设最低点处重力势能为零，滑块运动到最高点时，速度为0，此时滑块的重力势能为，由 解得 设斜面倾角为，则有 所以，故A错误； B．根据题意可知，滑块上滑过程中，除重力以外只有摩擦力做功，由功能关系可知 代入数据解得，故B正确； C．滑块下滑过程，由牛顿第二定律有 代入数据解得，故C错误； D．根据动能定理可知，滑块从顶端下滑到底端动能的增加量为 所以滑块下滑到斜面底端时的动能为，故D正确。 故选BD。 13．如图所示，AB为竖直平面内光滑弧形轨道，质量m=2kg的物体，在高度h=0.8m的A点，从静止沿轨道滑下，并进入与弧形轨道平滑连接的水平轨道BC。选BC所在平面重力势能为零，g取10m/s2。求： （1）物体在A点所具有的重力势能Ep； （2）物体下滑至B点时速度的大小v。 【详解】（1）物体在A点所具有的重力势能 （2）由A到B，根据机械能守恒 解得 14．某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛，如图所示，比赛路径由水平直线轨道AC和竖直固定圆轨道平滑连接组成。可视为质点的赛车从起点A由静止出发，沿固定轨道AC以恒功率运动，经过刚好到达B点，此时关闭发动机，B点右侧所有轨道均视为光滑轨道。赛车经C点进入半径的竖直圆轨道，恰好能够经过圆轨道最高点D。已知赛车质量，在AB段受到的阻力，g取，忽略空气阻力。求： (1)赛车通过D点时的速度大小； (2)赛车通过圆轨道的C点时对轨道的压力大小； (3)水平直线轨道AB的长度L。 【详解】（1）赛车恰好经过D点，重力提供向心力有 解得 （2）赛车从C点运动到D点，由机械能守恒 赛车在C点，合外力提供向心力有 解得 （3）赛车从A点运动到B点，由动能定理 解得 15．如图所示，竖直面内光滑圆弧轨道最低点与水平面平滑连接，圆弧轨道半径为，圆弧所对圆心角为，水平面上点左侧光滑，右侧粗糙。一根轻弹簧放在水平面上，其左端连接在固定挡板上，右端自由伸长到点。现将质量为的物块放在水平面上，并向左压缩弹簧到位置，由静止释放物块，物块被弹开后刚好不滑离圆弧轨道，已知物块与段间的动摩擦因数为，段的长度也为，重力加速度为，不考虑物块大小。，。求： (1)物块运动到圆弧轨道点时，对轨道的压力大小； (2)物块最终停下的位置离点的距离； (3)调整弹簧的压缩量，物块由静止释放恰能到达与点等高的高度，则弹簧的最大弹性势能为多大。 【详解】（1）设物块第一次到达点时速度为，由于物块刚好能到达点，根据机械能守恒定律有 在点根据牛顿第二定律可得 联立解得 根据牛顿第三定律可知，物块在点对轨道的压力大小为。 （2）设物块第一次从点返回后直到停止运动，在段上运动的位移大小为，根据功能关系 解得 因此物块停在点左边距离为处。 （3）设物块运动到点的速度为，从点抛出后做斜抛运动，则竖直方向有 根据能量守恒可得 联立解得 【链接高考】 1．（2025·江西·高考真题）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，P、Q为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，下列选项正确的是（　　） A．速率增大，机械能增大 B．速率减小，机械能减小 C．速率增大，机械能不变 D．速率减小，机械能不变 【答案】D 【详解】根据题意可知，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，只有万有引力做负功，则机械能不变，动能减小，即速率减小。 故选D。 2．（2025·山东·高考真题）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力（k为常量），该光伏电池的光电转换效率为，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意小车匀速运动，则有 小车的机械功率 由于电动机的效率为，则有 光伏电池的光电转换效率为，即 可得 故选A。 3．（2025·浙江·高考真题）（多选）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（　　） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度 【答案】BC 【详解】根据题意可知椭圆轨道的一个焦点为，设椭圆的另外一个焦点为，如图所示 设椭圆的半长轴为，焦距为，根据椭圆知识可知 根据开普勒第三定律可知如果物体沿椭圆运动的周期最短，则椭圆的半长轴最小，根据几何关系可知当垂直于时，半长轴最小，如图所示 由几何关系有 解得 C．根据几何关系可得椭圆的焦距，故C正确； A．根据几何关系可得发射点离月面的高度，故A错误； B．设物体绕月球表面做匀速圆周运动时的周期为，则由重力提供向心力得 结合开普勒第三定律 联立可得物体沿椭圆运动的周期为，故B正确； D．由引力势能公式 结合万有引力公式 结合机械能守恒定律有 联立可得，故D错误。 故选BC。 4．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得x=4m （3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4 机械能守恒定律 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 追寻守恒量和动能与势能的相互转化 1 题型2 机械能守恒定律 4 题型3 功能关系 8 题型4 机械能守恒定律的应用 10 【能力培优练】 14 【链接高考】 20 【重难题型讲解】 题型1 追寻守恒量和动能与势能的相互转化 1、追寻守恒量 （1）能量概念的特殊性：能量对科学与生活影响巨大，但难以被准确定义，这也是牛顿未明确提出该概念的原因之一。 （2）伽利略曾研究过小球在斜面上的运动，如图所示。 将小球由斜面A上某位置由静止释放，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同，不会更高一点，也不会更低一点，这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的。 （3）伽利略斜面实验的隐含规律：在忽略空气阻力和摩擦力的理想条件下，小球滚下斜面 A 后，会沿斜面 B 上升到与初始高度完全相同的位置，不会更高或更低；这一现象表明，小球运动过程中存在某种 “不变的东西”，它正是机械能守恒的早期萌芽。 （4）历史局限与突破：伽利略的实验已经触及机械能守恒的核心，但受限于当时 “能量” 概念尚未诞生，他未能直接提出机械能守恒的结论；能量概念的引入，是科学前辈们追寻 “守恒量” 的重要成果，也为后续能量守恒定律的建立奠定了基础。 ★特别提醒 追寻守恒量揭示了物理规律的发现是一个逐步演进的过程，伽利略的实验不仅体现了 “守恒” 思想的起源，也展现了科学概念与实验现象相互推动的关系。 2、重力势能与动能的转化 只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能。 3、弹性势能与动能的转化 只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能。 4、机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能，重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。 ★特别提醒 （1）机械能是由动能、重力势能和弹性势能组成的，动能与势能之间可以通过重力或弹力做功进行转化。 （2）一个物体或系统的机械能是由重力势能、弹性势能及动能中的两个或三个共同组成的，没有外力作用的情况下，机械能的总和保持不变，在几者之间相互转化。 5、天体运动中机械能的变化 （1）本考点旨在针对卫星变轨过程中的机械能变化情况。 （2）卫星变轨有两种情况，一种是低轨加速进高轨；一种是高轨减速进低轨。 （3）加速过程需要发动机向后喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向前，对卫星做正功，卫星的机械能增加；反之，减速过程需要发动机向前喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向后，对卫星做负功，卫星的机械能减小。 ★特别提醒 （1）卫星在变轨的时候需要经过精密的速度调控以进入精确的轨道，所以卫星有多个发动机，可以实现全方位的加减速。 （2）单独的比较物体在高轨和低轨的机械能是困难的，因为物体在低轨的势能小，动能大；在高轨的势能大，动能小；而如果有特定的运动方式将两个轨道联系起来，就可以对物体在两个轨道的机械能进行比较了。 【探究归纳】自然界存在守恒量，机械能中动能与势能可相互转化，转化过程中若只有重力或弹力做功，机械能的总量保持不变。 【典例1-1】地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图，P、Q和M、N分别为长、短轴端点，彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞经地球将在2061年，则彗星（　　） A．从P到N用时大于从Q到M B．从Q到P动能增加，机械能增加 C．运行速率处处大于地球运行速率 D．轨迹半长轴约为地球轨道半径的18倍 【典例1-2】（多选）如图所示，质量为2m、长度为L的小车静止在光滑水平面上，质量为m的物块（可视为质点）放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，物块滑到小车的最右端时，物块运动的距离为x。此过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块动能增量为（F-μmg）x B．摩擦力对小车做的功为2μmgL C．小车动能的增量为μmg（x-L） D．物块和小车增加的机械能为Fx 跟踪训练1如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力F，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中错误的是（　　） A．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大 B．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大 C．当A、B加速度相等时，A、B与弹簧构成的系统机械能最大 D．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大 跟踪训练2（多选）如图所示，甲、乙是车间内高度不同的两个工作台，它们距地面的固定高度分别为、，且。在这两个工作台之间设计了两个斜面，从点静止释放的工件经点滑至点时速度刚好为零，此时工作台之间的距离为。、、位于同一竖直平面内。斜面、之间平滑连接，工件通过点时没有动能损失。工件可视为质点且与两个斜面之间的动摩擦因数皆为。下列说法正确的是（   ） A．是一个唯一的确定值 B．只改变点的位置，工件从滑到过程中因摩擦而产生的热量保持不变 C．只将点向右移动少许，工件可能无法下滑 D．只将斜面换成曲面，工件也可以到达点 题型2 机械能守恒定律 1、机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 （1）表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。 （2）应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算。 2、对机械能守恒条件的理解 (1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化：如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动（自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等）。 (2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。例如： ①物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力对物体不做功； ②在光滑水平面上的小球运动中碰到弹簧，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来。 (3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。 (4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零；系统机械能没有转化为其他形式的能，物体的机械能不变，这不属于真正的守恒，但也可以当作守恒来处理。 ★特别提醒 机械能守恒的物体所受合外力不一定为零。 3、判断机械能是否守恒的方法有 （1）做功条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析。分析各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒。 （2）能量转化分析法：从能量转化的角度进行分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转化成其他形式的能（如内能增加），则系统的机械能守恒。 （3）增减情况分析法：直接从机械能的各种形式的能量的增减情况进行分析。若系统的动能与势能均增加或均减少；若系统的动能与势能只有一种形式的能发生了变化；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则可判定机械能不守恒。 （4）典型过程：对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。 4、机械能守恒的判断 （1）用做功来判断：分析物体或物体受力情况（包括内力和外力）明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。 （2）用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，无机械能与其他形式的能的转化，则系统机械能守恒。 ★特别提醒 （1）合力为零是物体处于平衡状态的条件。物体的合力为零时，它一定处于匀速直线运动状态或静止状态，但它的机械能不一定守恒。 （2）合力做功为零是物体动能不变的条件。合力对物体不做功，它的动能一定不变，但它的机械能不一定守恒。 （3）只有重力做功或系统内弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力对物体做功时，物体的机械能-定守恒；只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能一定守恒。 5、机械能如何转化：如果“外力”对系统做正功，系统的机械能增大；如果外力对系统做负功，系统的机械能减小。 6、机械能守恒定律的不同表达式 项目 表达式 物理意义 说明 从守恒的角度看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须先选零势能面 从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选零势能面 从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能 【探究归纳】只有重力或弹力做功的系统内，动能与势能相互转化，机械能的总量保持不变。 【典例2-1】竖直向上抛出一个小球，忽略空气阻力，小球到最高点后又落回的过程中，小球距抛出位置的高度h和运动时间t的关系图像如图所示。下列关于小球的判断正确的是（　　） A．t2时小球的动能最大 B．t2和t3时小球的机械能相等 C．t1时小球的机械能大于t3时小球的机械能 D．小球从t1到t2这段时间内，重力势能转化为动能 【典例2-2】（多选）如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲图中，从滑梯上加速下滑的小朋友机械能不守恒 B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客机械能守恒 C．丙图中，在光滑的水平面上，小球和弹簧系统机械能守恒 D．丁图中，不计任何阻力和细绳质量时，A的机械能守恒 【典例2-3】如图所示，质量m=0.1kg的小球（可视为质点）用长L=1.25m的轻质细线悬于点。将小球向左拉起使悬线呈水平伸直状态后，无初速地释放小球，小球运动到最低点O时细线恰好被拉断，B为O点正下方地面上的点，且OB高度h=5m。取g=10m/s2，求： (1)小球到O点时的速度大小； (2)细线所能承受的最大拉力； (3)小球落地点与B点距离。 跟踪训练1如图甲和图乙所示，一根轻绳的一端固定于O点，另一端系有一个小球。如图丙和图丁所示，一根轻杆的一端铰接在转轴O处，另一端同样固定一个小球，不计一切摩擦。在下列条件下，当小球由静止释放至最低点的过程中，机械能不守恒的情况是（　　） A．图甲：释放时轻绳水平且伸直 B．图乙：释放时轻绳与水平方向成一定夹角且伸直 C．图丙：释放时轻杆水平 D．图丁：释放时轻杆与水平方向成一定的夹角 跟踪训练2（多选）如图所示，质量为的物体A，其下端拴接一固定在水平地面上的轻质弹簧，弹簧的劲度系数，物体A的上端通过不可伸长的细线跨过两个光滑的小定滑轮连接中间有孔的小球B，小球B套在倾角的光滑直杆上，D为杆的底端，与固定杆的夹角也是，细线水平，此时细线的拉力是。小球B的质量，C是杆上一点且与杆垂直，，重力加速度g取。现由静止释放小球B，下列说法正确的是（　　） A．物体A与小球组成的系统的机械能守恒 B．小球第一次运动到C点时的动能为17.2J C．小球第一次运动到C点时细线对B做的功为10J D．小球第一次运动到D点时A的动能为7.2J 跟踪训练3如图所示，半径为的四分之一圆弧轨道固定在光滑水平面上，质量为、足够长的木板A紧挨轨道右端放置在光滑水平面上，其上表面与圆弧最低点相切，木板A右侧固定有挡板P。一质量为的小物块B从轨道最高点由静止释放，当小物块B下滑至轨道最低点时对轨道的压力大小为40N，随后小物块B滑上木板A，当小物块B与木板A的速度相同时，木板A的右端恰与挡板P碰撞。已知小物块B与木板A之间的动摩擦因数，重力加速度g取。求： (1)小物块B沿轨道下滑的过程中克服摩擦力做的功； (2)初始时木板A右端与挡板P的距离s。 题型3 1、内容 （1）功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。 （2）做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必通过做功来实现。 2、高中物理中几种常见的功能关系 功 能量的变化 合外力做正功 动能增加 重力做正功 重力势能减少 弹簧弹力做正功 弹性势能减少 电场力做正功 电势能减少 其他力（除重力、弹力）做正功 机械能增加 一对滑动摩擦力做的总功为负功 系统的内能增加 ★特别提醒 （1）功和能的单位一致，但功是过程量，能是状态量，能的变化需要做功的过程。 （2）常见的功能关系：合力做功——动能变化；重力做功——重力势能变化；弹力做功——弹性势能变化；摩擦力做功——内能变化；其他力做功——机械能变化。 （3）判断和计算做功或能量变化时，可以反其道而行之，通过计算能量变化或做功多少来进行。 【探究归纳】功是能量转化的量度，合外力做功对应动能变化，重力做功对应重力势能变化，弹力做功对应弹性势能变化，除重力和弹力外其他力做功对应机械能变化。 【典例3-1】如图，公园里的喷泉有40个相同的喷口，每个喷泉管口直径为2cm。喷嘴方向可变化，喷出的水柱最高可达约10m，则喷泉电动机的输出功率约为（　　） A．6kW B．18kW C．60kW D．180kW 【典例3-2】（多选）如图所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块放在小车的最左端，现用一水平力F作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为f，经过一段时间小车运动的位移为x，小物块刚好滑到小车的最右端，则下列说法中正确的是（　）。 A．此时物块的动能为F（x＋L） B．此时小车的动能为f（x＋L） C．这一过程中，物块和小车增加的机械能为F（x＋L）−fL D．这一过程中，物块和小车因摩擦而产生的热量为fL 跟踪训练1一物体被水平抛出后，重力做功50J，同时克服阻力做功20J，则下列说法正确的是（　　） A．物体重力势能增加了50J B．动能减少了30J C．物体机械能增加了30J D．物体机械能减少了20J 跟踪训练2（多选）如图所示，长木板B放在光滑水平面上，上面放一物块A，均处于静止状态。现以恒定的外力拉B向前移动一段距离，由于A、B间有摩擦力的作用，A也向前运动且对B有相对滑动，在此过程中（　　） A．外力F做的功等于A和B动能的增量 B．B对A的摩擦力所做的功，等于A的动能的增量 C．B克服A的摩擦力所做的功，等于B对A的摩擦力所做的功 D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和 题型4 机械能守恒定律的应用 1、运用机械能守恒定律的基本思路 2、机械能守恒定律和动能定理的比较 3、应用机械能守恒定律解题的基本思路 （1）选取研究对象--物体或系统。 （2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 （3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末态时的机械能。 （4）选取方便的机械能守恒定律的方程形式（Ek1+Ep1=Ek2+Ep2、△Ek=-△Ep或△EA=-△EB）进行求解。 ★特别提醒 机械能守恒定律的应用往往与曲线运动综合起来，其联系点主要在初末状态的速度与圆周运动的动力学问题有关、与平抛运动的初速度有关。 4、对于系统机械能守恒问题，应抓住以下几个关键 （1）分析清楚运动过程中各物体的能量变化； （2）哪几个物体构成的系统机械能守恒； （3）各物体的速度之间的联系。 5、动能定理与机械能守恒定律的选择 （1）能用机械能守恒定律解决的题一般都能用动能定理解决，而且省去了确定是否守恒和选定重力势能参考平面的麻烦。 （2）能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍。 6、多物体系统内物体间的速度关系 （1）绳连接的两个物体，在任一时刻沿绳方向上的速度分量相同。 （2）杆连接的两物体，当绕固定点转动时，两物体角速度相等；当杆自由运动时，两物体沿杆方向上的速度分量相同。 （3）接触的两物体在任一时刻沿垂直于接触面方向上的速度分量相同。 【探究归纳】机械能守恒定律应用需先判断系统只有重力/弹力做功，弹簧类关注弹性势能与动、重力势能转化，曲线运动结合运动学规律分析能量变化，多物体系统统研整体能量，传送带和板块模型从能量角度分析做功与能量转化，图像类提取坐标中能量、位移等信息结合定律列式求解。 【典例4-1】如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O点（图中未标出）。物块质量，弹簧劲度系数，物块与桌面间的动摩擦因数。现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，弹簧伸长量，撤去拉力后物块由静止向左运动经O点最远到达B点。重力加速度为。下列说法中正确的是（    ） A．物块在B点所受弹簧弹力与在A点大小相等 B．物块运动的总路程为 C．物块最终停在O点右侧处 D．物块最终停在O点左侧处 【典例4-2】（多选）如图所示，一根轻质弹簧的一端固定于光滑竖直杆底部，另一端与质量为的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过光滑定滑轮将滑块P和重物Q连接起来，重物Q的质量为M，与水平方向的夹角，且在点时弹簧处于原长.把滑块P从图中点由静止释放，滑块刚好能运动到点，水平.已知，，下列说法正确的是（    ） A．从到的过程中，重物Q的机械能一直减小 B．从到的过程中，重物Q一直处于失重状态 C．从到的过程中，P与Q的机械能之和先增大后减小 D．重物Q与P两者的质量关系为 【典例4-3】如图所示，水平面上固定一轻质弹簧，左端与墙壁相连，右端与质量为的小物块（可看成质点）接触（不连接）。弹簧处于原长时物块位于点，点左侧的水平面光滑，点右侧的水平面OB部分粗糙，长度为，与物块间的动摩擦因数为。OB右端与竖直面内的半圆形导轨在点平滑连接，导轨半径为。已知弹簧被压缩至位置时的弹性势能为，现将物块由静止释放，物块离开弹簧后沿水平面运动，经过点沿半圆形导轨运动，恰好能通过最高点C。重力加速度，求： (1)物块运动到半圆形轨道的点时，对轨道的压力大小； (2)物块沿半圆形轨道从点运动到点的过程中，摩擦力所做的功。 跟踪训练1如图所示，劲度系数为的轻质弹簧上端固定在天花板上，下端与质量为的物块A相连接。初始时刻，用挡板B托住物块A，使其处于静止状态，弹簧处于原长。利用计算机系统精确控制使挡板B竖直向下做加速度大小为的匀加速直线运动，直至挡板与物块A分离，分离后物块A向下做加速度减小的加速运动，达到最大速度，而后向下减速运动到达最低点。此后物块A在竖直方向做往复运动。则下列说法正确的是（　　） A．挡板B与物块A分离时，弹簧的伸长量 B．物块A达到最大速度时，弹簧的伸长量 C．弹簧的最大伸长量为 D．物块A的最大速度 跟踪训练2（多选）如图所示，质量均为m的小球A、B穿在一光滑细杆上，A、B之间用长为2l的轻质细线相连，在轻质细线的中间有一轻质光滑滑轮，滑轮上悬挂一质量为2m的小球C。开始时，用外力托举小球C，细线恰好水平伸直，整体处于静止。现释放小球C，重力加速度为 g，小球A、B、C均看作质点，则在小球C的下降过程中，下列说法正确的是（    ） A．当细线与水平方向成夹角时，小球A的速度与小球C的速度之比 B．当细线与水平方向成夹角时，小球C的速度 C．当小球C的下落高度时，小球C的动能最大 D．小球A、B的最大速度为 跟踪训练3如图所示，粗糙水平面AB与竖直面内的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，一质量为m的小滑块（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，经过B点后恰好能通过最高点C做平抛运动。已知导轨半径，小滑块的质量，小滑块与轨道AB间的动摩擦因数，的长度，重力加速度取。 （1）求小滑块对圆轨道最低处B点的压力大小； （2）求弹簧压缩至A点时弹簧的弹性势能； （3）若仅改变AB的长度L，其他条件不变，要使小滑块在半圆轨道运动时不脱离轨道，求出L的可能值。 【能力培优练】 1．如图，篮球队运动员进行原地纵跳摸高训练。运动员先下蹲，重心下降，经过充分调整后，由静止发力跳起摸高。忽略空气阻力影响，在蹬地过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动员始终处于超重状态 B．运动员的机械能守恒 C．地面对运动员不做功 D．地面对运动员做正功 2．如图是某运动员在撑杆跳比赛过程中通过频闪照相机获得的一组合成照片，相邻两图之间的时间间隔相等（杆可视为轻质弹性杆），则下列说法中正确的是（    ） A．从1到3过程中，运动员的动能减小 B．从4到7过程中，杆的弹性势能增加 C．从6到8过程中，运动员的重力势能减小 D．从6到8过程中，杆的弹性势能减小 3．如图所示，在水平如镜的湖面上方，一颗钢珠从离水面不高处由静止落入水中，会溅起几滴小水珠。下列关于溅起的小水珠说法正确的是（　　） A．小水珠在空中上升过程处于超重状态 B．所有小水珠运动到各自最高点时速度一定为零 C．所有小水珠机械能总和等于钢珠静止下落时的机械能 D．所有小水珠机械能总和小于钢珠静止下落时的机械能 4．如图甲所示，一质量为1kg的滑块（视为质点）以某一初速度冲上足够长的固定斜面，以斜面底端为位移的起点，滑块在斜面上运动的动能随位移x变化的关系如图乙所示。取重力加速度大小。下列说法正确的是（　　） A．滑块在斜面上一直做减速运动 B．斜面倾角的正弦值为0.5 C．滑块与斜面间的动摩擦因数为0.25 D．滑块上滑过程克服摩擦力做的功为20J 5．如图所示，半径为R的半球固定在水平面上，质量为m的物块静止在半球的最高点，给物块一个微小扰动，物块沿半球下滑到B点时离开球面，B点与球心O连线与水平方向夹角为30°，重力加速度为g，不计物块大小，不计空气阻力，则物块在球面上运动过程中因摩擦产生的热量为（　　） A． B． C． D． 6．一根钓鱼线在拉紧和放松过程中，拉力与它的伸长量的关系如图所示。在这个过程中能量大致损耗 A． B．0.5J C． D． 7．如图，表面光滑的竖直圆环轨道固定在水平面上，半径为R，一小球静止在轨道的最高点A点。小球受到轻微的扰动，从A点由静止沿轨道滑下。已知P、O两点的连线与竖直方向的夹角为，小球可看作质点，重力加速度大小为g，则小球在P点受到轨道的支持力大小为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，一根轻弹簧右端固定在竖直挡板上，弹簧处于原长状态时，左端位于点。质量为2kg的滑块从点以初速度开始向右运动，与此同时在滑块上施加一个大小为20N的恒力，的方向与竖直方向成角，当滑块滑到点时与弹簧相撞，弹簧被压缩到位置时滑块速度为零，然后滑块反弹，运动到点时，速度再次为零。已知、的间距为2m，是、两点的中间位置，、的间距为0.5m，滑块可看作质点，取，，，则下面说法不正确的是（　　） A．滑块接触弹簧就开始减速 B．全过程因摩擦产生的热量为16J C．滑块与水平面之间的动摩擦因数为 D．弹簧的最大弹性势能为24J 9．（多选）质量为m的物体从弹簧原长处由静止释放，当物体运动到最低点时，弹簧压缩量为h，重力加速度为g，则物体从释放到最低点的过程中，下列说法正确的是（    ） A．物体的重力势能增加了mgh B．合力对物体做的功是mgh C．物体重力势能减少，物体的动能先增加后减少 D．弹簧弹性势能增加了mgh 10．（多选）神舟十二号返回舱载着空间站上一批航天员翟志刚、王亚平和叶光富返回地球。返回舱进入大气层一段时间后，逐一打开引导伞、减速伞、主伞，最后启动反冲装置，实现软着陆，其运动简化为竖直方向的直线运动，图像如图所示。设该过程中，重力加速度不变，返回舱质量不变，下列说法正确的是（　　） A．在时间内，返回舱的加速度减小 B．在时间内，返回舱重力的功率大小不变 C．在时间内，返回舱的动能随时间不变 D．在时间内，返回舱的机械能减小 11．（多选）如图所示，从水平地面上同一位置抛出两个不同的小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则（　　） A．落地时，小球B与小球A的速度相等 B．小球B与小球A的飞行时间相同 C．飞行时，小球B比小球A的机械能大 D．相同时间内小球B与小球A的速度变化相同 12．（多选）水平面上有一固定斜面，斜面长，一质量为的小滑块以的初动能从斜面底端沿斜面向上滑动，恰好能够到达斜面顶端，重力势能增加了，然后小滑块又从斜面顶端滑回到底端。重力加速度，空气阻力不计，下面说法正确的是（　　） A．斜面的倾角为 B．滑块与斜面之间的动摩擦因数为 C．滑块下滑过程的加速度大小为 D．滑块下滑到斜面底端时的动能为 13．如图所示，AB为竖直平面内光滑弧形轨道，质量m=2kg的物体，在高度h=0.8m的A点，从静止沿轨道滑下，并进入与弧形轨道平滑连接的水平轨道BC。选BC所在平面重力势能为零，g取10m/s2。求： （1）物体在A点所具有的重力势能Ep； （2）物体下滑至B点时速度的大小v。 14．某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛，如图所示，比赛路径由水平直线轨道AC和竖直固定圆轨道平滑连接组成。可视为质点的赛车从起点A由静止出发，沿固定轨道AC以恒功率运动，经过刚好到达B点，此时关闭发动机，B点右侧所有轨道均视为光滑轨道。赛车经C点进入半径的竖直圆轨道，恰好能够经过圆轨道最高点D。已知赛车质量，在AB段受到的阻力，g取，忽略空气阻力。求： (1)赛车通过D点时的速度大小； (2)赛车通过圆轨道的C点时对轨道的压力大小； (3)水平直线轨道AB的长度L。 15．如图所示，竖直面内光滑圆弧轨道最低点与水平面平滑连接，圆弧轨道半径为，圆弧所对圆心角为，水平面上点左侧光滑，右侧粗糙。一根轻弹簧放在水平面上，其左端连接在固定挡板上，右端自由伸长到点。现将质量为的物块放在水平面上，并向左压缩弹簧到位置，由静止释放物块，物块被弹开后刚好不滑离圆弧轨道，已知物块与段间的动摩擦因数为，段的长度也为，重力加速度为，不考虑物块大小。，。求： (1)物块运动到圆弧轨道点时，对轨道的压力大小； (2)物块最终停下的位置离点的距离； (3)调整弹簧的压缩量，物块由静止释放恰能到达与点等高的高度，则弹簧的最大弹性势能为多大。 【链接高考】 1．（2025·江西·高考真题）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，P、Q为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，下列选项正确的是（　　） A．速率增大，机械能增大 B．速率减小，机械能减小 C．速率增大，机械能不变 D．速率减小，机械能不变 2．（2025·山东·高考真题）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力（k为常量），该光伏电池的光电转换效率为，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·浙江·高考真题）（多选）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（　　） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度 4．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 / 学科网（北京）股份有限公司 $