6.4.3.3余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例【九大题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版）

本讲义聚焦余弦定理、正弦定理在几何与生活中的应用，系统梳理仰角俯角、方位角等专业术语，衔接距离测量、高度计算、角度确定等实际问题，构建从定理应用到三角形形状判定、周长面积最值的完整学习支架。 资料以九类典型题型为核心，结合渔船航行、塔高测量等生活案例，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过推理运算发展数学思维，以数学语言建模解决实际问题。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

6.4.3.3余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一．几个专业术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 知识二　距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 知识三　高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 【题型归纳】 题型一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 【例1】．（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【举一反三】 1．（25-26高三上·山东·月考）在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 2．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．（24-25高一下·山西·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 题型二：测量距离问题 【例2】．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【举一反三】 1．（25-26高三上·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东·月考）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东45°方向的C处的乙船，此时C处的乙船测得渔船位于自己的北偏东30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（   ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 题型三：测量角度问题 【例3】．（23-24高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【举一反三】 1．（23-24高一下·广东广州·月考）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 2．（2022高三·全国·专题练习）游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于 ． 3．（23-24高三上·广东广州·月考）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 小时，角的正弦值为 ．    题型四：测量高度问题 【例4】．（25-26高三上·甘肃·月考）小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【举一反三】 1．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 题型五：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 【例5】．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·辽宁·期中）在锐角三角形中，、、的对边分别为、、，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江西赣州·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：求三角形面积最值或者范围问题 【例6】．（24-25高三上·天津·月考）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 【举一反三】 1．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则面积的最大值为 . 2．（22-23高一下·上海金山·月考）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 3．（22-23高三上·安徽·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是 ． 题型七：几何图形中的计算 【例7】．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【举一反三】 1．（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 2．（2024·福建·模拟预测）在中，D为BC的中点，且. (1)求； (2)若，求. 3．（25-26高三上·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 题型八：正余弦定理与三角函数的交汇问题 【例8】．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【举一反三】 1．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 2．（23-24高三上·福建泉州·月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为 (1)求角A的大小； (2)当时，求的取值范围. 3．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． 已知a，b，c是的三个内角A，B，C的对边，且______． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围． 题型九：正、余弦定理在几何中的综合性问题 【例9】．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【举一反三】 1．（25-26高三上·河南郑州·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)若，求的周长的最大值． 2．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 3．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·天津南开·月考）中，“”是“是以为的直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·湖北宜昌·月考）在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 4．（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 5．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的总高度AB约（   ）米（取，） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 7．（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（   ） A．m B．15m C．m D．30m 8．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·云南昭通·月考）的内角的对边分别为，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若的外接圆半径是，则 D．若，则 10．（24-25高三上·宁夏·期中）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A．是钝角三角形 B． C． D． 11．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B． C．为钝角三角形 D．的外接圆面积为 12．（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（25-26高三上·山东·月考）在四边形ABCD中，，，，，则 . 14．（24-25高一下·四川巴中·期中）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为 . 15．（24-25高一下·河南·月考）已知不是直角三角形，且，则的最小值是 . 16．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是 ． 四、解答题 17．（25-26高三上·湖北随州·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)若的面积为，求的最小值． 18．（2025·湖南长沙·二模）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求； (2)若，求 的最大值. 19．（25-26高三上·江西南昌·期中）如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 20．（25-26高三上·湖南长沙·期中）记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)已知，的内切圆半径为. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3.3余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一．几个专业术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 知识二　距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 知识三　高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 【题型归纳】 题型一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 【例1】．（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由此可得出结论. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 整理得， 因为，所以，故，故，所以为直角三角形． 故选：A． 【举一反三】 1．（25-26高三上·山东·月考）在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【分析】根据诱导公式和正弦定理化简为，再根据，结合两角和的正弦公式化简，即可求解. 【详解】由条件可知，即， 因为， 所以， 整理为， 所以， 所以是等腰三角形. 故选：C 2．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 3．（24-25高一下·山西·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦定理代入计算即可得到边，从而得到结果. 【详解】设，由余弦定理， 得，整理得，所以， 所以为等腰三角形． 故选：D 题型二：测量距离问题 【例2】．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值． 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 【举一反三】 1．（25-26高三上·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出，，即可求出，再由余弦定理计算可得. 【详解】连接，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 又，所以， 又，在中由余弦定理， 即. 故选：C 2．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理和勾股定理，解三角形，求出两点之间的距离. 【详解】由题意知，，所以． 因为，在中，． 故选：D 3．（24-25高一下·山东·月考）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东45°方向的C处的乙船，此时C处的乙船测得渔船位于自己的北偏东30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（   ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】A 【分析】先根据题意作出示意图，在中，由正弦定理求出的长，再求出由C处到达B处的时间，根据速度等于路程除以时间计算即可. 【详解】根据题意作出示意图如下， 由题意可知，，海里． 在中，由正弦定理可知， 则 海里． 甲船的行驶时间为小时， 所以乙船的速度为海里/小时． 故选：A 题型三：测量角度问题 【例3】．（23-24高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 【举一反三】 1．（23-24高一下·广东广州·月考）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【答案】南偏西 【分析】由正弦定理得到，由余弦定理得，从而由正弦定理得到，结合，得到，得到答案. 【详解】如图，在中，，    由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 2．（2022高三·全国·专题练习）游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于 ． 【答案】 【分析】设乙的速度为x m/s，根据正弦定理列式＝，可得AC＝1 260 m，再由余弦定理求解即可. 【详解】依题意，设乙的速度为x m/s， 则甲的速度为x m/s， 因为AB＝1 040 m，BC＝500 m， 所以＝，解得AC＝1 260 m． 在△ABC中，由余弦定理得， cos∠BAC＝＝＝， 所以sin∠BAC＝＝＝． 故答案为：. 3．（23-24高三上·广东广州·月考）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 小时，角的正弦值为 ．    【答案】 2 / 【分析】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，即可得到，，在中，利用余弦定理得到关于的方程，求解得到x，从而得到，再利用正弦定理得到. 【详解】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，则，，.        根据余弦定理得，解得， 故，. 根据正弦定理得，解得， 故答案为：2；. 题型四：测量高度问题 【例4】．（25-26高三上·甘肃·月考）小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果. 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 【举一反三】 1．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【详解】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A 2．（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中利用正弦定理求得的值，在中根据即可求解 【详解】由题可知，在中，，，故， 由正弦定理，得， 因为. 所以， 因为在中，. 故选：C. 3．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 题型五：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 【例5】．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【详解】因为 所以由正弦定理得，， 所以， 因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，． 故． 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 2．（23-24高三上·辽宁·期中）在锐角三角形中，、、的对边分别为、、，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由余弦定理可得，整理可得， 由正弦定理可得 ，因为、，则， 因为正弦函数在上单调递增，所以，，所以，， 则， 因为为锐角三角形，则，解得，则， 所以， ， 令，则函数在上为增函数， 故， 故选：D. 3．（2023·江西赣州·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由正弦定理得， ，由于，所以， 所以，由于，所以，所以， 所以，则， 函数的开口向上，对称轴为， 所以. 故选：A 题型六：求三角形面积最值或者范围问题 【例6】．（24-25高三上·天津·月考）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理可得，从而求得的外接圆半径，再利用正弦定理和三角形面积公式，将边化成角，替换掉，根据锐角三角形求出的范围即可求解. 【详解】由得，， 所以，即， 所以，所以. 设的外接圆半径为，由正弦定理得. 所以， 又，所以 由是锐角三角形得，，解得， 所以，所以. 故答案为：. 【举一反三】 1．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和与差的正弦公式可得，再利用余弦定理，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 整理得， 又因为，则， 可得，整理得， 且，则， 由余弦定理，即， 则，当且仅当时，等号成立， 整理得， 可得面积， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 2．（22-23高一下·上海金山·月考）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 【答案】 【分析】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理，， ∵，∴. 由余弦定理及基本不等式，， ∴，当且仅当时取等号， ∴当且仅当时，的面积的最大值为. 故答案为：. 3．（22-23高三上·安徽·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由正弦定理和三角恒等变换将题干中等式化简求得角B，再根据的外接圆的面积求得其直径，代入三角形面积公式中，化为三角函数求其值域即可. 【详解】由 ∴ 得 ， 所以， 因为所以，所以， 而，所以． 又由的外接圆的面积为，所以外接圆直径， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 的面积取值范围为． 故答案为：. 题型七：几何图形中的计算 【例7】．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长； （2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果 【详解】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 【举一反三】 1．（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 【答案】(1)(2)； 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 又， 所以，因为为三角形内角，，所以，可得， 因为，所以； （2）（Ⅰ）此时，， 所以， 所以，， ， 在中，由正弦定理可得 ； （Ⅱ）设，由， 可得，化简可得 有， 由于，所以， 所以， 则． 2．（2024·福建·模拟预测）在中，D为BC的中点，且. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易知两角互补正弦值相等，再由正弦定理可得； （2）分别在和中，由余弦定理得，即可得. 【详解】（1）由，可得，如图所示：    在中，由正弦定理得， 所以 在中，由正弦定理得， 所以 故 因为为的中点， 所以，即， （2）由（1）不妨设 在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得. 所以. 解得. 故 3．（25-26高三上·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差余弦公式可求得，根据余弦定理可求得结果； （2）利用两角和差正弦公式可求得，采用面积桥，结合三角形面积公式可构造方程求得结果. 【详解】（1），，， ， . （2）由（1）得：； ，， 即，解得：. 题型八：正余弦定理与三角函数的交汇问题 【例8】．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得. 【详解】（1）由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； （2）由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 【举一反三】 1．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）（1）因为， 可得 ， 因为，所以. （2）解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则，所以函数的值域是. 2．（23-24高三上·福建泉州·月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为 (1)求角A的大小； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可； （2）根据正弦定理先得出，根据三角形内角和性质及余弦函数的单调性计算即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， 所以，即， 因为，所以， 又，所以 （2），，由正弦定理， 所以， 因为为锐角三角形，所以，则， 所以， 所以 3．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． 已知a，b，c是的三个内角A，B，C的对边，且______． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，根据题意，利用正弦定理得到，利用余弦定理求得，即可求解； 选②，根据题意，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解； 选③，根据题意和正弦定理得得到，求得，即可求解； （2）由题意，得到，求得周长，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：选①，由， 可得， 因为及正弦定理，可得， 所以，整理得， 则，因为，所以． 选②，由，可得，即， 因为，可得，所以，即． 选③，由，由正弦定理得， 即， 即， 整理得， 因为，，可得，即， 因为，所以． （2）解：由，，可得， 所以周长， 又由，可得， 又因为，可得，所以， 所以，所以的周长的取值范围为. 题型九：正、余弦定理在几何中的综合性问题 【例9】．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ，因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是，所以，故， 令，，任取、且，则 ，因为，所以，则，所以，所以函数在上为增函数，故，故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ，因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 【举一反三】 1．（25-26高三上·河南郑州·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求的最大值，进而可得周长的最大值. 【详解】（1）由， 得. 由正弦定理，可得. 由余弦定理，， 又角为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，得， 即. 又，所以， 所以（当且仅当时取等号）. 所以当为正三角形时，周长取得最大值，为9. 2．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 【详解】（1） 连接， 因为，，， 所以为正三角形，， 在中，由余弦定理可得， 代入数值可得，解得. （2）在中，由正弦定理可得， 所以， 所以四边形的周长 ， 所以当时，的最大值为. 3．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，， 所以. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，. 又. 所以， . 所以的周长为. （3）因为为锐角三角形，且，所以，且， 所以 . 因为，所以，所以， 所以. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·天津南开·月考）中，“”是“是以为的直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用余弦定理确定三角形形状，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即，则或， 因此是以为顶角的等腰三角形或以为直角的直角三角形， 所以“”是“是以为的直角三角形”的必要不充分条件. 故选：B 2．（25-26高三上·湖北宜昌·月考）在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理结合得，利用正弦定理得，进而得，由已知求得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理有：，又，所以， 又由正弦定理有：， 又， 所以， 又为三角形的内角， 所以或（舍去），所以，又， 所以    ，所以， 所以， 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】利用二倍角公式将已知等式化为，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断. 【详解】利用二倍角公式将已知等式化为， 即，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 4．（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C 【分析】结合已知条件应用余弦定理计算求解. 【详解】 因为，且.. 在中，由余弦定理得， 即. 所以； 故选：C. 5．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的总高度AB约（   ）米（取，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中由正弦定理求出，再解直角，就可以得到. 【详解】在中，，，可得， 由正弦定理得：，则， 可得：， 再在直角中，， 故选：C 6．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 【答案】D 【分析】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 7．（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（   ） A．m B．15m C．m D．30m 【答案】D 【分析】由余弦定理求解． 【详解】设，由得， 又，，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 故选：D． 8．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据图形求得角度，然后利用正弦定理得到，最后使用余弦定理计算即可. 【详解】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高一下·云南昭通·月考）的内角的对边分别为，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若的外接圆半径是，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由正弦定理结合题意得即可求解判断A；由角A，B不确定即可判断B；由正弦定理直接求出a即可判断C；由为锐角，为钝角时即可判断D. 【详解】对于A：由正弦定理及可得，即，由，知，A正确； 对于B：，则为锐角，但是角A，B不确定，故B错误； 对于C：由正弦定理得，C正确； 对于D：若为锐角，为钝角，则错误. 故选：AC. 10．（24-25高三上·宁夏·期中）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A．是钝角三角形 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意可知边长最大，即B是最大角， 由余弦定理知， 则，是锐角三角形，故A错误； 由余弦定理知，则，故B正确； 由上可知，作出三角形图形如上， 由平分，可知，即，故C正确； 作，易得均为等腰直角三角形， 且，所以，故D正确. 故选：BCD 11．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B． C．为钝角三角形 D．的外接圆面积为 【答案】ABD 【分析】在中，由题中条件及正弦定理可得，∴，，即可判断选项A；由余弦定理可得，结合，即可判断选项B；又，可得为的最大角.由余弦定理可得，即可判断选项C；由选项B知，则由正弦定理可求出的外接圆半径，即可判断选项D. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理可得. 又，∴，，∴周长为，故选项A正确； 由余弦定理可得.因为，所以，故选项B正确； 又，所以，所以为的最大角. 由余弦定理可得，结合，可知为锐角，所以为锐角三角形，故选项C错误； 由选项B知，所以.设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，解得， 所以的外接圆面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 12．（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据所给条件表示出、、，在中利用正弦定理表示出、，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】由题意可知，，，，， 分别在，中，，， 所以， 又， ， 在中，由正弦定理可得，， 即， 所以， 在中，，故A正确，B错误； 在中，由正弦定理可得，， 即， 所以， 在中，， 又， 所以，故C正确、D错误. 故选：AC 三、填空题 13．（25-26高三上·山东·月考）在四边形ABCD中，，，，，则 . 【答案】 【分析】借助余弦定理计算可得，再借助可得A、B、C、D四点共圆，且为圆的直径，最后借助正弦定理计算即可得. 【详解】在中，，则， 因为，则， 所以A、B、C、D四点共圆，其中为圆的直径， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一下·四川巴中·期中）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为 . 【答案】 【分析】根据余弦定理可得，即可由同角关系可得，进而由正弦定理即可求解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理，； 因为，所以， 在中，由正弦定理， 所以，解得， 故答案为：. 15．（24-25高一下·河南·月考）已知不是直角三角形，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据三角恒等变换和差化积公式及二倍角公式解三角形. 【详解】已知，根据和差化积公式得， 即，可化为，由题意得，所以，， 可得，则当时，取得最大值1，此时取得最小值. 故答案为：. 16．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵，∴， ∴ 由余弦定理得，， ∴， ∴由得，，∴， ∴，，. 又由正弦定理得，， ， 是锐角三角形，， ， ，， .故答案为：. 四、解答题 17．（25-26高三上·湖北随州·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换求角； （2）利用三角形面积公式和余弦定理结合基本不等式求的最小值. 【详解】（1）由已知及正弦定理得， 由，得，得， 由，得，得，得， 得，得； （2）由，得， 由余弦定理得， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，得．故的最小值为2． 18．（2025·湖南长沙·二模）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求； (2)若，求 的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角形内角的取值范围，即可求得答案； （2）利用正弦定理得出，代入得，再利用余弦定理和基本不等式，即可求得答案； 【详解】（1） 因为，所以不为； 所以， 所以， 又因为，所以，故， 所以； （2）由（1）得：，所以， 所以，所以； 由余弦定理：； 根据基本不等式得：，代入得：，仅当时，等号成立， 解得：，所以的最大值为. 19．（25-26高三上·江西南昌·期中）如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中与中分别使用余弦定理，从而可得的值，再根据三角形面积公式求解四边形的面积； （2）结合余弦定理，三角面积公式以及正弦型三角函数即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）连接BD，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，则， 从而， 因此四边形ABCD的面积为：． （2）连接BD．在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 因为，所以， 四边形ABCD的面积， 则①， 由，则②， 联立①②，解得，则， 当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值． 20．（25-26高三上·湖南长沙·期中）记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)已知，的内切圆半径为. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用正弦定理化简，可得，利用辅助角公式结合三角函数值即可求解； （2）（ⅰ）利用三角形面积与内切圆的半径关系化简可得，利用余弦定理可得，由正弦定理化简可得即可求解；（ⅱ）利用三角形面积与内切圆的半径关系化简可得，由余弦定理结合基本不等式可得，从而得到即可求解. 【详解】（1）易得， 由正弦定理得， 而，故， 易知，故， 即，由可知 （2）（ⅰ）记的面积为，则，即，， 而，即，故， 于是，解得，而，故，同理， 故，得到 （ⅱ）， 而，即， 故，当且仅当时等号成立，故的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $