专题05：圆柱的容积（计算专项训练）数学北师大版六年级下册

专题05：圆柱的容积 计算专项训练 一、圆柱的容积 1.定义：圆柱形容器所能容纳物体的体积，叫做圆柱的容积。容积仅针对“容器”而言（如水桶、油桶、鱼缸、蓄水池等），是描述容器“装物多少”的属性。 2.核心公式（重点掌握，与体积计算方法相同）： 基础公式：（其中表示圆柱容积，表示容器内部底面面积，表示容器内部的高）； 推导公式（已知内部底面半径）：（通常取3.14，为容器内部底面半径）； 拓展公式（已知内部底面直径）：（为容器内部底面直径），因此； 拓展公式（已知内部底面周长）：（为容器内部底面周长），因此。 二、容积与体积的核心区别： 1.测量不同：体积从圆柱外部测底面半径（或直径）和高；容积从圆柱内部测（若容器壁厚度忽略不计，可近似用外部数据计算）； 2.意义不同：体积描述“物体占空间的大小”（如圆柱铁块的体积）；容积描述“容器装物体的多少”（如水桶能装多少水）； 3.大小关系：同一圆柱形容器，容积＜体积（因为容器壁有厚度，内部空间小于外部体积），忽略厚度时可看作相等。 题型1：已知容器内部半径和高，求圆柱容积 典型例题：一个圆柱形油桶，从内部量，底面半径是3分米，高是8分米，这个油桶的容积是多少升？（忽略桶壁厚度，取3.14） 解题思路：已知容器内部半径和高，先代入求出容积（单位：立方分米），再根据换算成升，步骤清晰，注意单位统一。 解题过程 计算容器内部底面积：（平方分米）； 代入容积公式计算：（立方分米）； 单位换算：因为，所以226.08立方分米 = 226.08升； 答：这个油桶的容积是226.08升。 跟踪训练：一个圆柱形鱼缸，从内部量，底面半径是4厘米，高是15厘米，这个鱼缸的容积是多少毫升？（忽略缸壁厚度，取3.14） 题型2：已知容器内部直径和高，求圆柱容积 典型例题：一个圆柱形水桶，从内部量，底面直径是10分米，高是6分米，这个水桶能装水多少升？（忽略桶壁厚度，取3.14） 解题思路：已知容器内部直径和高，先根据求出内部底面半径，再计算内部底面积，代入容积公式求出体积（立方分米），最后换算成升。 解题过程 计算容器内部底面半径：（分米）； 计算内部底面积：（平方分米）； 计算容积：（立方分米）； 单位换算：，所以471立方分米 = 471升； 答：这个水桶能装水471升。 跟踪训练：一个圆柱形保温杯，从内部量，底面直径是6厘米，高是12厘米，这个保温杯的容积是多少毫升？（忽略杯壁厚度，取3.14） 题型3：已知容器内部周长和高，求圆柱容积 典型例题：一个圆柱形蓄水池，从内部量，底面周长是18.84米，高是5米，这个蓄水池的容积是多少立方米？合多少升？（忽略池壁厚度，取3.14） 解题思路：已知容器内部周长和高，先根据求出内部底面半径，再计算内部底面积，代入容积公式求出容积（立方米），最后根据换算成升。 解题过程 计算内部底面半径：（米）； 计算内部底面积：（平方米）； 计算容积：（立方米）； 单位换算：，所以141.3立方米 = 141300升； 答：这个蓄水池的容积是141.3立方米，合141300升。 跟踪训练：一个圆柱形粮囤，从内部量，底面周长是25.12分米，高是7分米，这个粮囤的容积是多少立方分米？合多少升？（忽略囤壁厚度，取3.14） 练习巩固 1．这个杯子能否装下450毫升的牛奶？ 2．一个圆柱形水桶，从桶内量得底面直径是3分米，高是4分米，这个水桶的容积是多少升？ 3．做一个无盖的圆柱形水桶，底面半径是4分米，高6分米，至少需要铁皮多少平方分米？它能装水多少升？ 4．一个封闭的瓶子里装着一些水，已知：瓶子的底面积是25平方厘米，根据图中数据，请求出瓶子的容积。（瓶子厚度忽略不计）（单位：厘米） 5．小宇家来了5位客人，他用一盒牛奶招待客人，牛奶盒是一个长方体（如下图）。如果给每位客人都倒上一满杯后，牛奶还有剩余吗？（牛奶盒和杯子的厚度忽略不计） 6．一个底面内半径是3厘米的瓶子，水的高度是7厘米，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18厘米，这个瓶子的容积是多少毫升？ 7．一个圆柱形木桶，底面内圆的周长为6.28分米，桶口距底面最大高度为9分米，最低高度为7分米。这个木桶如下图放置时，最多能装多少升水？ 8．把一瓶2升的可乐倒入底面周长是18.84厘米，高10厘米的圆柱形玻璃杯中（杯壁厚度忽略不计），最多能倒满多少杯？ 9．母亲节要到了，懂事的贝贝给水杯中部装饰了一条软丝带，这是贝贝特意给妈妈做的。经过测量，这条软丝带正好宽5厘米。算一算，这条软丝带的面积至少是多少平方厘米？如果把0.5升的水倒入水杯中，那么能正好装满吗？ 10．如图，一个圆柱形木桶，从里面量，底面周长是94.2cm。桶口部分被损坏，缺口距底面的最小高度是30cm，木桶高是50cm。用这个木桶装水，最多能装多少升水？ 11．李师傅做一个无盖的圆柱形水桶用来装水，水桶高6分米，从里面量得的底面半径与高的比是1∶3，这个水桶能装水多少升？ 12．一个圆柱形蓄水池的底面直径是6米，深是3米，这个蓄水池的占地面积是多少平方米？它的容积是多少立方米？ 13．一瓶白酒瓶上写着含量500mL，若将这瓶酒倒入一个底面直径为6cm，高为20cm的圆柱形容器中，能不能倒满？请计算说明。 14．一个圆柱形油桶，底面直径是6分米，高是8分米，装满了油，把桶里的油倒出后，还剩多少升油？ 15．一个圆柱形游泳池，底面直径是12米，池深1.5米，为了保证儿童游泳安全，水深不得超过1.2米。这个游泳池规定的蓄水量最多是多少立方米？ 16．一个圆柱形水池，从里面量得它的底面直径是8米，深是2.5米，池上装有3根同样的进水管，每个管每小时可以注入水12.56立方米，三管齐开，几小时可以注满水池？ 17．有一张长方形铁皮，如图剪下阴影部分制成铁桶，求这个铁桶的容积。（单位：分米） 18．一个圆柱形水桶容积是48立方分米，底面积是12平方分米，装了桶水，水高多少分米？ 19．一个圆柱形汽油桶，已知它的底面周长是12.56分米，高是5分米，制作这个汽油桶至少要用多少平方分米的铁皮？它最多能装多少升汽油？ 20．一个圆柱体罐子里装了600升水，把这些水倒入一个长12分米，宽7分米，高8分米的长方体水槽里，然后把一个11立方分米的西瓜放入水槽中，水会溢出来吗？ 题型1：已知容器内部半径和高，求圆柱容积 答案：753.6毫升 解析：1. 内部底面积：（平方厘米）；2. 容积：（立方厘米）；3. 换算：，所以753.6立方厘米 = 753.6毫升。 题型2：已知容器内部直径和高，求圆柱容积 答案：339.12毫升 解析：1. 内部半径：（厘米）；2. 内部底面积：（平方厘米）；3. 容积：（立方厘米） = 339.12毫升。 题型3：已知容器内部周长和高，求圆柱容积 答案：351.68立方分米，合351.68升 解析：1. 内部半径：（分米）；2. 内部底面积：（平方分米）；3. 容积：（立方分米）；4. 换算：，即351.68升。 练习巩固： 1．能 【分析】圆柱容积＝底面积×高，据此列式求出圆柱的容积，从而判断能否装下450毫升的牛奶。 【详解】3.14×（8÷2）2×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方厘米） 502.4立方厘米＝502.4毫升 502.4毫升＞450毫升 答：这个杯子能装下450毫升的牛奶。 【点睛】本题考查了圆柱的容积，掌握公式是解题关键。 2．28.26升 【分析】根据题干分析可得，此题就是求这个圆柱形水桶的容积，根据公式：圆柱形水桶的容积＝底面积×高即可得解。 【详解】3.14×（3÷2）2×4 ＝3.14×2.25×4 ＝28.26（立方分米） ＝28.26（升） 答：这个水桶的容积是28.26升。 【点睛】此题主要考查圆柱形容器的容积公式的计算应用。 3．200.96平方分米；301.44升 【分析】已知圆柱形铁皮水桶无盖，也就是只有侧面和一个底面；那么做一个无盖的圆柱形水桶所需铁皮的面积＝侧面积＋底面积，根据S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算求解。 求它能装水多少升，就是求圆柱形水桶的容积；根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，以及进率“1立方分米＝1升”求解。 【详解】2×3.14×4×6＋3.14×42 ＝25.12×6＋3.14×16 ＝150.72＋50.24 ＝200.96（平方分米） 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（立方分米） 301.44立方分米＝301.44升 答：需要铁皮200.96平方分米，它能装水301.44升。 4．425立方厘米 【分析】观察第一个瓶子，首先根据“圆柱的体积＝底面积×高”计算得出水的体积为25×13＝325（立方厘米），同样求出第二个瓶子未装水的体积为：25×（20－16），又已知水的体积加上瓶子未装水的体积即瓶子的体积，据此即可得出瓶子的容积。 【详解】25×13＝325（立方厘米） 25×（20－16） ＝25×4 ＝100（立方厘米） 325＋100＝425（立方厘米） 答：瓶子的容积是425立方厘米。 【点睛】瓶子的容积等于水的体积加上空白部分的体积，且水在瓶子里变换位置，水的体积是不变的。 5．牛奶还有剩余。 【分析】用圆柱的体积公式：底面积×高，算出杯子的容积后乘5得到客人一共需要的牛奶体积，再用长方体体积公式：长×宽×高，算出牛奶盒中牛奶体积，最后比较可知有没有剩余。 【详解】（立方厘米） （立方厘米） 答：给每位客人都倒上一满杯后，牛奶还有剩余。 6．706.5毫升 【分析】瓶子的容积＝左图水的体积＋右图无水部分的容积，根据圆柱体积＝底面积×高，分别计算出左图水的体积和右图无水部分的容积，相加即可。 【详解】3.14×32×7 ＝3.14×9×7 ＝197.82（立方厘米） 3.14×32×18 ＝3.14×9×18 ＝508.68（立方厘米） 197.82＋508.68＝706.5（立方厘米） 706.5立方厘米＝706.5毫升 答：这个瓶子的容积是706.5毫升。 7．21.98升 【分析】根据圆的周长公式，则，据此可计算出圆柱的底面半径。木桶最多能装水的高度是由木桶的最低高度决定的，求木桶的容积，高只能取最低高度7分米，再根据圆柱的体积（容积），即可算出这个木桶的容积。 【详解】 （分米） （立方分米） 21.98立方分米＝21.98升 答：最多能装21.98升水。 8．7杯 【分析】已知圆柱形玻璃杯的底面周长，则底面半径，据此算出底面半径，再根据圆柱的体积公式，计算出一个玻璃杯的容积，可乐的总体积除以每个杯子的容积，商的小数部分表示不满一杯的量，故结果采用去尾法，保留整数即可。 【详解】（厘米） （立方厘米） 2升＝2000立方厘米 （杯） 答：最多能倒满7杯。 9．125.6平方厘米；不能 【分析】（1）由题意知，这条软丝带的长就等于圆柱形茶杯的底面周长，已知底面直径是8厘米，利用圆的周长公式C=π×d可求得这条装饰带的长，又已知宽是5厘米，则用长×宽即可得出丝带的面积； （2）根据圆面积公式：圆的面积=πr2可知水杯的底面积，圆柱形茶杯的高是15厘米，利用圆柱的体积公式V=底面积×高可求得容积，然后与0.5升比较即可解决。 【详解】8×3.14×5 ＝25.12×5 ＝125.6（平方厘米） （8÷2）2×3.14×15 ＝16×3.14×15 ＝50.24×15 ＝753.6（cm3） ＝0.7536（L） 0.7536＞0.5，不能装满。 答：这条软丝带的面积至少是125.6平方厘米；如果把0.5升的水倒入水杯，不能装满。 10．21.195L 【分析】因桶口部分被损坏，所以圆柱形木桶能装水的实际高度是30厘米。根据底面半径＝，求得水桶的底面半径，再根据圆柱的体积公式，将数值代入即可求得水桶实际能装多少升水。 【详解】94.2÷3.14÷2 ＝30÷2 ＝15（厘米） 3.14×152×30 ＝3.14×225×30 ＝706.5×30 ＝21195（立方厘米） 21195立方厘米＝21.195立方分米＝21.195升 答：最多能装21.195升水。 11．75.36升 【分析】已知水桶高6分米，从里面量得的底面半径与高的比是1∶3，也就是底面半径是高的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出底面半径，再根据圆柱的容积（体积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】6×＝2（分米） 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（立方分米） 75.36立方分米＝75.36升 答：这个水桶能装水75.36升。 【点睛】此题主要考查圆柱的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12．28.26平方米；84.78立方米 【分析】蓄水池的占地是一个圆形，根据圆的面积公式：S＝π（d÷2）2，把数代入公式即可求解，再根据圆柱的容积公式：底面积×高，把数代入即可求解。 【详解】6÷2＝3（米） 3.14×3×3＝28.26（平方米） 28.26×3＝84.78（立方米） 答：这个蓄水池的占地面积是28.26平方米；它的体积是84.78立方米。 【点睛】本题主要考查圆的面积和圆柱的容积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。 13．不能 【分析】根据圆柱的容积公式：底面积×高，把数代入公式即可求出容器的容积，再与500比较即可。 【详解】3.14×（6÷2）2×20 ＝3.14×9×20 ＝565.2（mL） 565.2＞500 答：将这瓶酒倒入一个底面直径为6cm，高为20cm的圆柱形容器中，不能倒满。 【点睛】本题主要考查圆柱的容积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。 14．56.52升 【分析】根据圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入即可求出圆柱形油桶的体积，再根据1立方分米＝1升，转换单位，由于倒出桶里的后，单位“1”是桶里的量，单位“1”已知，用乘法，用桶里的量×，之后再用桶里的量减去用掉的即可求出剩下的。 【详解】3.14×（6÷2）2×8 ＝3.14×9×8 ＝226.08（立方分米） 226.08立方分米＝226.08升 226.08×＝169.56（升） 226.08－169.56＝56.52（升） 答：还剩56.52升。 【点睛】本题主要考查圆柱的体积公式，熟练掌握它的体积公式并灵活运用，同时要注意体积和容积的换算。 15．135.648立方米 【分析】根据圆柱体的容积（体积）公式∶V＝π（d÷2）2h，游泳池的底面直径12米，深1.5米，规定游泳池水深不得超过1.2米，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（12÷2）2×1.2 ＝3.14×36×1.2 ＝135.648（立方米） 答：这个游泳池安全规定的蓄水量最多是135.648立方米。 【点睛】解答此题应弄清要求的是什么，进而根据圆柱体体积计算方法，进行解答即可。 16．小时 【分析】根据圆柱的容积（体积）公式：V＝abh，求出这个水池的容积（装满水的体积），再求出三个进水管1小时注入水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。 【详解】3.14×（8÷2）2×2.5÷（12.56×3） ＝3.14×40÷37.68 ＝125.6÷37.68 ＝（小时） 答：小时可以注满水池。 【点睛】此题主要考查圆柱的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 17．113.04立方分米 【分析】由图可知：铁桶的底面周长是18.84，带入圆的周长公式求出底面直径。再用长方形的宽减去底面直径求出铁桶的高，最后带入圆柱的容积公式即可解答。 【详解】18.84÷3.14＝6（分米） 10－6＝4（分米） 3.14×（6÷2）2×4 ＝3.14×9×4 ＝3.14×36 ＝113.04（立方分米） 答：这个铁桶的容积是113.04立方分米。 【点睛】本题主要考查圆柱的容积公式，求出铁桶的底面直径及高是解题的关键。 18．3.5分米 【分析】要求水面的高，根据一个数乘分数的意义，先要求出桶中水的体积；然后根据“圆柱的体积＝底面积×高”代入数值，计算解答即可。 【详解】48×÷12 ＝42÷12 ＝3.5（分米） 答：水高3.5分米。 【点睛】此题解答的关键是先求出圆柱桶里的水的体积，然后根据圆柱的体积和底面积、高的关系，进行解答即可。 19．87.92平方分米；62.8升 【分析】求铁皮的面积也就是求圆柱的表面积，根据圆柱的表面积S＝2πr2＋πdh，计算即可；求最多能装多少升汽油，也就是求圆柱的容积，根据圆柱的体积V＝πr2h，代入计算即可。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（分米）； 3.14×22×2＋3.14×2×2×5 ＝3.14×8＋3.14×20 ＝87.92（平方分米）； 3.14×22×5 ＝3.14×20 ＝62.8（立方分米） ＝62.8（升） 答：制作这个汽油桶至少要用87.92平方分米的铁皮，它最多能装62.8升汽油。 【点睛】此题主要考查了圆柱表面积和容积的实际应用，牢记公式并能灵活运用是解题关键。 20．不会 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水槽的容积，与水和西瓜的体积之和比较，即可知道水是否会溢出。 【详解】12×7×8 ＝84×8 ＝672（立方分米） 600升＝600立方分米 600＋11＝611（立方分米） 672＞611 答：水不会溢出来。 【点睛】此题考查了长方体的体积计算，掌握长方体的体积公式，灵活运用即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $