专题08：不规则物体的体积（计算专项训练）数学北师大版六年级下册

专题08：不规则物体的体积 计算专项训练 一、核心定义 形状不规则（无法直接用公式计算体积）的物体，借助圆柱、圆锥容器（或与圆柱、圆锥体积相关的方法），通过“转化法”将其体积转化为可计算的规则体积（如圆柱内水的体积变化），进而求出不规则物体的体积。核心原则：转化思想——不规则→规则，未知→已知（北师大版教材重点强调）。 二、必备基础公式 1.圆柱体积公式：（通常取3.14，为底面半径，为高）； 2.圆锥体积公式：（部分题型需借助圆锥体积反向求不规则物体体积）； 3.补充公式：圆柱底面积（已知直径：；已知周长：）。 三、常用解题方法 1.排水法：适用于能完全浸没在水中且不吸水、不溶于水的不规则物体（如石头、铁块、玻璃球等）。 核心原理：不规则物体体积 = 容器内水上升（或下降）的体积； 两种常见场景：水未溢出：上升的水的体积 = 圆柱底面积×水面上升的高度（，为上升后水面高度 - 上升前水面高度）；水有溢出：不规则物体体积 = 圆柱底面积×容器内水面上升的最大高度 + 溢出的水的体积（少见，重点练未溢出场景）。 2.填补法（重点）：适用于形状不规则但可填补成圆柱、圆锥（或与圆柱、圆锥相关的规则图形）的物体。 核心原理：不规则物体体积 = 填补后的规则图形（圆柱/圆锥）体积 - 填补部分的规则体积； 2.等积转化法（拓展）：借助圆锥体积与圆柱体积的关系，将不规则物体体积转化为圆锥（或圆柱）体积计算（如不规则铁块熔铸成圆锥，体积不变）。 题型1：排水法（圆柱容器，水未溢出，完全浸没） 典型例题：一个圆柱形玻璃容器，底面半径是5厘米，里面装有一定量的水，水面高度是8厘米。将一块不规则的石头完全浸没在水中（水未溢出），此时水面高度上升到10厘米，求这块石头的体积。（取3.14） 解题思路：判断解题方法：石头是不规则物体，完全浸没在圆柱容器的水中，水未溢出，用排水法。核心：石头体积 = 水上升的体积，先求圆柱底面积，再求水面上升的高度，最后用“底面积×高度差”计算上升的水的体积（即石头体积）。 解题过程 计算圆柱玻璃容器的底面积：（平方厘米）； 计算水面上升的高度：（厘米）； 计算石头的体积（即水上升的体积）：（立方厘米）； 答：这块石头的体积是157立方厘米。 跟踪训练：一个圆柱形水桶，底面直径是12分米，里面的水高是6分米。将一块不规则铁块完全浸没在水中后，水面上升到8分米（水未溢出），求这块铁块的体积。（取3.14） 题型2：排水法（圆柱容器，已知底面周长，完全浸没） 典型例题：一个圆柱形水槽，底面周长是25.12厘米，水槽内装有水，水面高度是7厘米。把一个不规则的玻璃球完全浸没在水中，水面上升到9厘米，求这个玻璃球的体积。（取3.14） 解题思路：与题型1核心一致（排水法），区别在于：题目给出圆柱底面周长，需先根据周长求出底面半径，再求底面积，最后用“底面积×高度差”计算玻璃球体积（水未溢出，完全浸没）。 解题过程 计算圆柱水槽的底面半径：（厘米）； 计算水槽的底面积：（平方厘米）； 计算水面上升的高度：（厘米）； 计算玻璃球的体积：（立方厘米）； 答：这个玻璃球的体积是100.48立方厘米。 跟踪训练：一个圆柱形容器，底面周长是18.84分米，里面装有水，水面高度是5分米。将一个不规则的塑料块完全浸没在水中后，水面上升到7.5分米，求塑料块的体积。（取3.14） 题型3：填补法（不规则物体→圆柱，求体积） 典型例题：一块不规则的木块，将其填补成一个完整的圆柱后，圆柱的底面半径是3厘米，高是8厘米。已知填补部分是一个高为2厘米的圆柱（与完整圆柱等底），求这块不规则木块的体积。（取3.14） 解题思路：不规则木块体积 = 填补后的完整圆柱体积 - 填补部分的圆柱体积。明确两者等底（底面半径相同），分别计算两个圆柱体积，相减即可。 解题过程 计算完整圆柱的体积：（立方厘米）； 计算填补部分圆柱的体积：（立方厘米）； 计算不规则木块的体积：（立方厘米）； 答：这块不规则木块的体积是169.56立方厘米。 跟踪训练：一个不规则的金属零件，填补成一个完整的圆柱后，圆柱的底面直径是10分米，高是12分米。填补部分是一个高为3分米的圆柱（与完整圆柱等底），求这个金属零件的体积。（取3.14） 题型4：等积转化法（不规则物体→圆锥，体积不变） 典型例题：把一块不规则的铁块熔铸成一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥（熔铸过程中体积不变），求这块不规则铁块的体积。（取3.14） 解题思路：铁块的体积 = 熔铸成的圆锥的体积（熔铸时体积不变）。直接利用圆锥体积公式计算，注意不要漏乘。 解题过程 计算熔铸成的圆锥的体积：； 分步计算：（立方厘米）； 因为熔铸体积不变，所以不规则铁块的体积 = 100.48立方厘米； 答：这块不规则铁块的体积是100.48立方厘米。 跟踪训练：将一块不规则的铜块熔铸成一个底面直径是8分米，高是9分米的圆锥（体积不变），求这块铜块的体积。（取3.14） 练习巩固 1．计算出石头的体积是多少立方厘米？ 2．向一个内部长为8厘米、宽为5厘米、高为6厘米的长方体容器中注水后，放入一个棱长为2厘米的正方体铁块（完全浸没且水未溢出），水面会上升多少厘米? 3．计算西红柿的体积。 4．仔细观察，计算出每个钢珠的体积。（单位：cm） 5．用一个底面边长为8cm的正方形，高为14cm的长方体容器，测量一个不规则石块的体积，水面距离容器口有3cm，放入不规则石块后，有部分水溢出，取出石块后，水面距离容器口有4.5cm，则这个不规则石块的体积是多少? 6．一个土豆浸没在盛有水的量杯中，这个土豆的体积是多少立方厘米? 7．一个长、宽分别为60厘米、40厘米的长方体容器，容器内竖直立着一个高100厘米，底面边长都是20厘米的长方体铁块，此时容器里的水深60厘米，现将铁块轻轻向上提起36厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米? 8．在下图的玻璃鱼缸中放入一块高1.5dm、体积为 6dm3的假山石。如果水管以每分钟 10dm3的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？ 9．如图所示，一个长方体容器里面的水深2.5dm。把一块矿石放入水中(完全浸没)，从容器中溢出 1L水，这块矿石的体积是多少立方分米？ 10．求石块的体积。 11．一个长34厘米，宽20厘米，高32厘米的鱼缸中，水深25厘米。将一石块完全浸没水中后，水深27厘米，这石块的体积是多少方立方厘米？合多少立方分米？ 12．一个正方体容器，从里面量得棱长是6cm，在里面放入一些水，水深2.5cm，再放入一个土豆，土豆完全浸没在水中，这时水深是4cm，这个土豆的体积是多少立方厘米? 13．如下图，将石头放入A容器中（全部淹没水中），水位上升1.5厘米（未溢出），如果将其放入B容器中（全部淹没水中），那么水位上升多少厘米？（未溢出） 14．如下图，一个无水观赏鱼缸中放有一块高为28cm、体积为4200 cm3的假山。如果水管以每分钟8dm3的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能将假山完全淹没？ 15．一个长方体的玻璃缸，长8dm，宽4dm，高7dm，水深3.2dm，如果放入一块形状不规则的铁块，这时如果水面离似口距离2.3dm，那铁块的体积是多少? 16．一个长80 cm、宽50 cm、高60 cm的长方体容器，在这个容器中直立着一个高0.8 m、底面积是200 cm2的长方体铁块，这时容器中的水深50 cm。现在把铁块轻轻向上提起至水深28.5 cm，这时铁块没入水中多少厘米？ 17．一个长方体鱼缸从里面量长32cm、宽25cm，如果每条金鱼的体积都是640cm3，那么从鱼缸中捞出3条金鱼后，鱼缸中的水位下降了多少厘米？ 18．将一个棱长是1.6 dm的正方体石块浸没在一个长方体水槽中，水面上升了0.8 dm。接着放入一个铁块并完全浸没，水面又上升了2.5 dm（水没有溢出）。求铁块的体积。 19．一个底面长和宽都是3 dm的长方体容器装有10.8L的水，将一个石块完全浸没在水中时，容器内水的高度达到1.25dm。这个石块的体积是多少立方分米？ 20．要测量一块不规则的岩石标本的体积，实验小组的同学先将1L水倒进一个长方体水箱，量得水深8cm，然后将岩石标本完全浸没在水中，这时水深13 cm，请你利用观察到的数据求出岩石标本的体积。 题型1：排水法（圆柱容器，水未溢出，完全浸没） 答案：226.08立方分米 解析：1. 水桶底面半径：（分米）；2. 底面积：（平方分米）；3. 水面上升高度：（分米）；4. 铁块体积：（立方分米）。 题型2：排水法（圆柱容器，已知底面周长，完全浸没） 答案：70.65立方分米 解析：1. 容器底面半径：（分米）；2. 底面积：（平方分米）；3. 水面上升高度：（分米）；4. 塑料块体积：（立方分米）。 题型3：填补法（不规则物体→圆柱，求体积） 答案：706.5立方分米 解析：1. 完整圆柱底面半径：（分米）；2. 完整圆柱体积：（立方分米）；3. 填补部分体积：（立方分米）；4. 金属零件体积：（立方分米）。 题型4：等积转化法（不规则物体→圆锥，体积不变） 答案：150.72立方分米 解析：1. 圆锥底面半径：（分米）；2. 圆锥体积（即铜块体积）：（立方分米）。 练习巩固： 1．【答案】288立方厘米 2．【答案】解：正方体铁块的体积：2×2×2=8(立方厘米) 水面上升的高度：8÷(8×5)=0.2(厘米) 答：水面会上升0.2厘米。 【解析】根据“水面上升的高度＝浸入物体的体积÷容器底面积”解答即可。 3．【答案】解：10×15×（10-8.5） =150×1.5 =225（cm3）； 答：西红柿的体积为225cm3。 【解析】西红柿的体积即为水上涨的体积，根据长方体的体积公式：长×宽×高，据此求解。 4．【答案】解：5个钢珠的体积： 8×4×（10－5） ＝32×5 ＝160（cm3） 1个钢珠的体积： 160÷5＝32（cm3） 答：每个钢珠的体积是32cm3。 【解析】首先根据“排出水的体积＝放入钢珠的体积”，据此求出5个钢珠的体积，然后计算出1个钢珠的体积即可。 5．【答案】解：8×8×4.5=288(cm3) 答：这个不规则石块的体积是288 cm3。 【解析】放入石块时，水有溢出，说明容器中水是满的，当拿出石块后，水面下降了4.5厘米，根据“石块体积＝水面下降部分的体积”列算式：8×8×4.5=288(cm3)。 6．【答案】解：800-600=200(mL) 200 mL=200立方厘米 答：这个土豆的体积是200立方厘米。 【解析】根据土豆浸没在水中时，水面上升部分的体积就等于土豆的体积。 7．【答案】解：容器内水的体积：(60×40-20×20)×60=2000×60=120000(立方厘米) 提起铁块后，容器底部到铁块底部的水的体积：60×40×36=86400(立方厘米) 那么水面到铁块底部的水的体积：120000-86400=33600(立方厘米) 对应水面高度：33600÷(60×40-20×20)=33600÷2000=16.8(厘米) 水面下降高度：60-36-16.8=7.2(厘米) 被水浸湿部分的长度：36+7.2=43.2(厘米) 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长43.2厘米。 【解析】物体部分浸入水中，当轻轻提起物体时，水的体积不变，提起的那部分铁棒的体积=容器中下降那部分水的体积，下降那部分水的底面积=容器的底面积一铁棒的底面积。用“提起的那部分铁棒的体积÷(容器的底面积一铁块的底面积)”求出水面下降的高度，再加上提起的24厘米就是露出水面的铁棒上被水浸湿的部分的长度。 8．【答案】解：（6×4×1.5-6）÷10 =（36-6）÷10 =30÷10 =3（分） 答：至少需要3分钟才能把假山石刚好淹没。 【解析】把假山石刚好淹没至少需要的时间=（容器的长×宽×假山石的高-假山石的体积）÷水管的流速。 9．【答案】解：1升=1立方分米 1＋2×2×（3-2.5） =1＋4×0.5 =1＋2 =3（立方分米） 答：这块矿石的体积是3立方分米。 【解析】这块矿石的体积=溢出水的体积＋长方体容器的长×宽×（高-原来有水的高度） 。 10．【答案】240cm3 11．【答案】解：34×20×（27－25） ＝680×2 ＝1360（立方厘米） 1360立方厘米＝1.36立方分米 答：这石块的体积是1360方立方厘米，合1.36立方分米。 【解析】这石块的体积=上升水的体积=鱼缸的长×宽×（浸没石块后水面的高度-放入石块前水面的高度），然后再依据1立方分米=1000立方厘米单位换算。 12．【答案】解：6×6×（4－2.5） ＝36×1.5 ＝54（立方厘米）； 答：这个土豆的体积是54立方厘米。 【解析】水面上升部分水的体积就是土豆体积，根据长方体体积公式计算即可。 13．【答案】解： 8×8×1.5 =64×1.5 =96（立方厘米） 96÷32=3（厘米） 答：水位上升3厘米。 【解析】将石块放入A容器中（全部淹没水中），水位上升1.5厘米，上升部分水的体积就是石块的体积，根据长方体的体积=长×宽×高，求出这个石块的体积，再除以B容器的底面积就是B容器中水位上升的高度。 14．【答案】解：8dm3=8000cm3 （46×25×28-4200）÷8000 =（32200－4200）÷8000 =28000÷8000 =3.5（分钟） 答：至少需要3.5分钟时间才能将假山完全淹没。 【解析】先统一单位：1立方分米=1000立方厘米，大单位转化成小单位乘进率；根据题意可得：鱼缸的长×宽×假山的高=淹没假山时水与假山的总体积，鱼缸的长×宽×假山的高－假山的体积=淹没假山至少需要的水的体积，（鱼缸的长×宽×假山的高－假山的体积）÷水管每分钟注入的水的体积=需要注水的时间。 15．【答案】解：放入铁块后无水部分的高度：7-2.3=4.7（dm） 水面上升的高度：4.7-3.2=1.5（dm） 铁块的体积：1.5×8×4=48（dm3） 答：那铁块的体积是48dm3。 【解析】玻璃缸的高度-水面离玻璃钢口距离=放入铁块后无水部分的高度，放入铁块后无水部分的高度-原来水的高度=水面上升的高度，长方体的长×宽×水面上升的高度=铁块的体积。 16．【答案】解：0.8 m=80 cm 水的总体积： （80×50-200）×50 =3800×50 =190000（cm3 ） 铁块提起后下面28.5cm深的水的体积： 80×50×28.5 =4000×28.5 =114000（cm3） 这时铁块没入水中的高度： （190000-114000）÷（80×50-200） =76000÷3800 =20（cm） 答：这时铁块没入水中20厘米。 【解析】根据题意可得：容器的长×宽－铁块的底面积=水的底面积，（容器的长×宽－铁块的底面积）×此时水深=水的总体积；容器的长×宽×铁块提起至的水深=28.5cm下面的水的体积；水的总体积－28.5cm下面的水的体积=28.5cm上面的水的体积，（水的总体积－28.5cm下面的水的体积）÷（容器的长×宽－铁块的底面积）=铁块没入水中的高度。 17．【答案】解：640×3÷（32×25） =1920÷800 =2.4（cm） 答：鱼缸中的水位下降了2.4厘米。 【解析】通过操作可知捞出金鱼的体积就是下降部分水的容积，因此，每条金鱼的体积×3=捞出的金鱼体积，长×宽=鱼缸的底面积，每条金鱼的体积×3÷（长×宽）=水位下降的高度。 18．【答案】解：1.6×1.6×1.6÷0.8×2.5 =4.096÷0.8×2.5 =5.12×2.5 =12.8（dm3） 答：铁块的体积是12.8dm3。 【解析】根据题意可知上升部分水的容积就是石块或铁块的体积，因此，棱长×棱长×棱长=石块的体积，棱长×棱长×棱长÷水面上升的高度=长方体水槽的底面积，棱长×棱长×棱长÷水面上升的高度×放入铁块后水面上升的高度=铁块的体积。 19．【答案】解：10.8 L=10.8 dm3 3×3×1.25-10.8 =11.25-10.8 =0.45（dm3） 答：这个石块的体积是0.45立方分米。 【解析】先统一单位：1dm3=1L，根据题意可得：长×宽×最终水的高度=容器内水和石块体积的和，因此，长×宽×最终水的高度－水的容积=石块的体积。 20．【答案】解：1L=1dm3=1000cm3 1000÷8=125 (cm2) 125×(13-8) =125×5 =625(cm3) 答：岩石标本的体积是625cm3。 【解析】根据题意及看图可知：放入岩石标本后，岩石标本会把原位置的水往上排挤，所以上升部分的水的体积就是岩石标本的体积，因此，水的体积÷高=长方体水箱的底面积，长方体水箱的底面积×（放入岩石标本后水的高度－原水的高度）=岩石标本的体积；1L=1dm3=1000cm3，单位不同先统一单位再计算。 1 学科网（北京）股份有限公司 $