专题10：比例尺应用（计算专项训练）数学北师大版六年级下册

专题10：比例尺应用 计算专项训练 一、核心定义 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。比例尺是表示图上距离与实际距离缩放关系的比，无单位（图上距离和实际距离单位需统一），核心用于解决平面图形（地图、图纸等）的缩放问题。 二、必备基础（回顾巩固，必考） 1.核心公式（3个，相互转化，必考）： 比例尺 = 图上距离 : 实际距离（最简整数比，前项通常为1，或后项为1，如1:1000、10:1）； 图上距离 = 实际距离 × 比例尺； 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺。 2.比例尺的两种形式：① 数值比例尺（如1:50000、）；② 线段比例尺（如“0 50 100 150千米”，表示图上1厘米对应实际50千米）； 3.关键注意：① 计算时，图上距离和实际距离的单位必须统一（常用单位：厘米、米、千米，换算关系：1千米=1000米=100000厘米）；② 数值比例尺不带单位，线段比例尺需注意标注的实际单位；③ 结果需根据题意保留合适单位或化简。 三、比例尺应用的一般步骤（北师大版高频考点，重点掌握） 审题：明确题目所求（图上距离、实际距离或比例尺），找出已知条件，标注单位； 统一单位：将图上距离和实际距离的单位转化为相同单位（优先转化为“厘米”，方便计算）； 选公式：根据已知条件和所求问题，选择对应的核心公式； 计算：代入数据进行计算，数值比例尺注意转化为分数或整数比计算，线段比例尺注意对应关系； 检验（可选，推荐）：代入原比例尺公式，验证计算结果是否正确，单位是否统一、规范。 题型1：求比例尺（已知图上距离和实际距离） 典型例题：在一幅地图上，量得A、B两地的图上距离是5厘米，实际距离是100千米，求这幅地图的比例尺。 解题思路：根据比例尺公式“比例尺 = 图上距离 : 实际距离”，第一步先统一单位（将实际距离100千米转化为厘米），第二步代入公式写出比，第三步化简比，确保比例尺为最简整数比，且前项为1。 解题过程 解：统一单位：实际距离100千米 = 100 × 100000 = 10000000厘米； 代入比例尺公式，写出比：比例尺 = 图上距离 : 实际距离 = 5 : 10000000； 化简比（两边同时除以5）：5:10000000 = 1:2000000； 检验：图上距离5厘米 ÷ 比例尺 = 10000000厘米 = 100千米，与实际距离一致，计算正确。 答：这幅地图的比例尺是1:2000000。 跟踪训练 1. 一幅图纸上，零件的图上长度是3厘米，实际长度是6毫米，求这幅图纸的比例尺。 2. 地图上量得甲、乙两地的距离是4厘米，实际距离是200千米，求这幅地图的比例尺。 题型2：求实际距离（已知图上距离和比例尺） 典型例题：一幅地图的比例尺是1:3000000，量得两地的图上距离是6厘米，求这两地的实际距离是多少千米？ 解题思路：根据公式“实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺”，先代入数据计算（比例尺1:3000000转化为分数），得到的结果单位为“厘米”，再根据题意转化为“千米”，注意单位换算准确。 解题过程 解：已知比例尺1:3000000，即，图上距离6厘米； 代入公式计算实际距离（厘米）：实际距离 = 6 ÷ = 6 × 3000000 = 18000000厘米； 单位转化（厘米→千米）：18000000厘米 = 18000000 ÷ 100000 = 180千米； 检验：实际距离180千米 = 18000000厘米，图上距离 = 18000000 × = 6厘米，与已知条件一致，计算正确。 答：这两地的实际距离是180千米。 跟踪训练 1. 一幅图纸的比例尺是1:500，量得一个长方形花坛的图上长是4厘米，宽是3厘米，求花坛的实际长和宽各是多少米？ 2. 地图比例尺是1:4000000，图上距离是8厘米，求实际距离是多少千米？ 题型3：求图上距离（已知实际距离和比例尺） 典型例题：两地的实际距离是150千米，在一幅比例尺是1:5000000的地图上，量得这两地的图上距离是多少厘米？ 解题思路：根据公式“图上距离 = 实际距离 × 比例尺”，第一步先将实际距离150千米转化为厘米（统一单位），第二步将比例尺转化为分数，代入公式计算，结果即为图上距离（单位：厘米）。 解题过程 解：统一单位：实际距离150千米 = 150 × 100000 = 15000000厘米； 已知比例尺1:5000000，转化为分数； 代入公式计算图上距离：图上距离 = 15000000 × = 3厘米； 检验：图上距离3厘米 ÷ = 15000000厘米 = 150千米，与实际距离一致，计算正确。 答：这两地的图上距离是3厘米。 跟踪训练 1. 一座教学楼的实际高度是18米，比例尺是1:300，求在图纸上的图上高度是多少厘米？ 2. 甲、乙两地实际距离是240千米，地图比例尺是1:6000000，求图上距离是多少厘米？ 题型4：线段比例尺与数值比例尺的转化 典型例题：一幅地图的线段比例尺是“0 40 80 120千米”，将这条线段比例尺转化为数值比例尺。 解题思路：线段比例尺的含义是“图上1厘米对应实际40千米”，先将实际距离40千米转化为厘米（统一单位），再根据“比例尺 = 图上距离 : 实际距离”，写出数值比例尺并化简，确保前项为1。 解题过程 解：线段比例尺“0 40 80 120千米”表示：图上1厘米 = 实际40千米； 统一单位：40千米 = 40 × 100000 = 4000000厘米； 转化为数值比例尺：比例尺 = 图上距离 : 实际距离 = 1厘米 : 4000000厘米 = 1:4000000； 注意：数值比例尺不带单位，化简后前项为1，与线段比例尺含义一致，转化正确。 答：这条线段比例尺对应的数值比例尺是1:4000000。 跟踪训练 1. 线段比例尺“0 60 120 180千米”，转化为数值比例尺。 2. 数值比例尺1:2500000，转化为线段比例尺（标注出0、对应实际距离）。 练习巩固 1．阳光小区的草坪长120m，宽80m，画在作业本上，选(　　)比例尺最合适。 A． B． C． D． 2．在一幅钟表制作图上，量得一个精密零件的长度是4厘米，这个零件的实际长度却只有2毫米，这幅制作图的比例尺是（　　） A．1：20 B．20：1 C．2：1 3．我国研制的“太极-Ⅱ”光芯片为人工智能大模型探索了光训练的新路径。若一颗芯片长8mm，画在图纸上长12cm，则宽7mm画在同一图纸上宽(　　)cm。 A．10.5 B．105 C．1.05 D．4.5 4．在比例尺是 的平面图上，量得一间教室的地面长4cm，实际长　 　m。 5．学校操场长400米，画在一幅图纸上，操场长8分米，这幅图纸的比例尺是　 　。 6．地图上 有一条 线 段 比 例 尺 ， 把 它 改 写 成 数 值 比 例尺是　 　；这幅地图上量得宁波轨道交通4号线起始站东钱湖站到终点慈城站的距离是18cm，4号线全线的实际长度大约是　 　km。 7．丫丫在一本旅游地图上，看到上面标的线段比例尺是，将线段比例尺改写成数值比例尺是　 　；她用直尺测量了地图上A、B两地的距离是4.5cm，那么A、B两地的实际距离是　 　km。 8．线段比例尺，改写成数值比例尺是　 　，百色到桂林的实际距离约是550km，在这幅地图上的距离是　 　cm。 9．裴秀的《禹贡地域图》是按照“一分为十里，一寸为百里”的标准绘制而成。以“一分为十里”为例，一分＝厘米，十里＝5000米，换算成现在是比例尺是　 　。 10．科技馆中有一种精密零件长2毫米，画在图纸上的长度为10厘米，这幅图纸的比例尺是　 　。 11．一幅地图的线段比例尺是，将它改成数值比例尺是　 　。该图上一公园进口到出口的距离大约是2厘米，则实际距离大约是　 　千米。 12．在一幅地图上，线段比例尺是：，把它化成数值比例尺是　 　，上海到杭州的实际距离大约是 150千米，在这幅地图上，两地之间的距离是　 　厘米。 13．“‘益’起捡跑，净卫地球”公益活动的参与者们一边慢跑，一边清理路旁绿化带中的垃圾，路线全长3km，画在一幅图上长20cm，这幅图的比例尺是　 　，改写成线段比例尺是　 　；另一场活动的路线在这幅图上的全长是12cm，则实际全长　 　m，苏苏前10分钟跑了500m，按照这个速度，还需x分钟才能跑完剩下的路程，可列比例式为　 　。 14．立春过后是雨水，那天龙龙一家要驾车看望外公外婆。在比例尺1：600000的地图上量得龙龙家到外婆家的距离是3.3 cm，两家的实际距离是多少千米？龙龙一家上午出发，过了小时到达外婆家，路上一共用了多少分钟？ 15．节假日期间，淘淘一家开车到花仙谷游玩。在比例尺是的地图上，量得淘淘家到花仙谷的距离是4.5厘米。他们开车平均每小时行驶90千米，则从淘淘家到花仙谷需要多少小时？ 16．(求实际距离)在一幅比例尺为的地图上，量得甲、乙两地相距3.2 cm。王老师8：00从甲地开车驶往乙地，如果每小时行80 km，王老师能赶上10： 30在乙地召开的会议吗？ 17．甲、乙两地之间相距100 km，在一 幅地图上测得距离为5 cm，乙、丙两地在这幅地图上测得距离为8 cm，则乙、丙两地之间的实际距离是多少千米？ 18．小华拿出三张地图，它们的比例尺分别是、1：5000000、，哪张地图上4cm的线段表示的实际距离最长？ 19．拱宸桥是杭州市古桥中最高最长的石拱桥。在一幅比例尺为1 ：500的导游图中，拱宸桥长19.6 cm，而梦梦手绘的拱宸桥长4.9 cm，梦梦手绘的图的比例尺是多少？ 题型1：求比例尺（已知图上距离和实际距离） 答案：1. 5:1；2. 1:5000000 解析：1. 统一单位：6毫米=0.6厘米，比例尺=3:0.6=5:1（放大比例尺，后项为1）；2. 200千米=20000000厘米，比例尺=4:20000000=1:5000000。 题型2：求实际距离（已知图上距离和比例尺） 答案：1. 实际长20米，实际宽15米；2. 320千米 解析：1. 实际长=4÷=2000厘米=20米，实际宽=3÷=1500厘米=15米；2. 8÷=32000000厘米=320千米。 题型3：求图上距离（已知实际距离和比例尺） 答案：1. 6厘米；2. 4厘米 解析：1. 18米=1800厘米，图上高度=1800×=6厘米；2. 240千米=24000000厘米，图上距离=24000000×=4厘米。 题型4：线段比例尺与数值比例尺的转化 答案：1. 1:6000000；2. 线段比例尺“0 25 50 75千米”（图上1厘米对应实际25千米） 解析：1. 60千米=6000000厘米，比例尺=1:6000000；2. 1:2500000表示图上1厘米对应实际25千米，标注线段比例尺即可。 练习巩固： 1．【答案】B 【解析】解：120米＝12000厘米，80米＝8000厘米 A.12000×＝60（厘米），8000×＝40（厘米），画在作业本上，尺寸过大，不符合实际情况，故不合适； B.12000×＝6（厘米），8000×＝4（厘米），画在作业本上比较合适； C.12000×＝0.6（厘米），8000×＝0.4（厘米），画在作业本上太小，故不合适； D.12000×＝0.06（厘米），8000×＝0.04（厘米），画在作业本上太小，故不合适。 故答案为：B 把草坪的实际长度120米和实际宽度80米，分别化成以厘米作单位的数，即120米＝12000厘米，80米＝8000厘米，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，可求出用各个比例尺绘图时的图上距离，从而做出选择。 2．【答案】B 【解析】解：4厘米＝40毫米 40毫米：2毫米＝20：1 这幅制作图的比例尺是20：1。 故答案为：B。 把4厘米化成40毫米，根据：图书距离：实际距离=比例尺，解答即可。 3．【答案】A 【解析】解：8mm=0.8cm，7mm=0.7cm ，即比例尺为15：1（放大比例） 图上宽度：0.7×15=10.5（cm） 故答案为：A。 首先通过已知的芯片长度和其图上长度确定比例尺，再利用该比例尺将实际宽度转换为图纸上的宽度。 4．【答案】8 【解析】解：4÷＝800（厘米），800厘米＝8米 故答案为：8 实际距离＝图上距离÷比例尺，据此代入数值进行计算即可。 5．【答案】1：500 【解析】解：400米=4000分米 8：4000=1：500 故答案为：1：500。 先统一图上距离和实际距离的单位，再根据比例尺公式“比例尺=图上距离：实际距离”进行计算，最后化简成最简整数比。 6．【答案】1： 200000；36 【解析】解：数值比例尺=图上距离：实际距离=1cm：2km =1：200000 2×18=36(千米) 把它的数值比例尺是1：200000；4号线全线的实际长度大约是36km。 故答案为：1：200000；36。 （1）数值比例尺=图上距离：实际距离。观察题目中的线段比例尺标注2km、4km、6km，说明地图上每相邻两个刻度之间的线段长度代表实际距离2km。通常地图上这段线段的标准长度是1厘米，因此图上1厘米对应实际2km。即1：200000； （2）根据线段比例尺，可知图上1厘米代表实际2千米。图上量得18厘米，实际距离就是18个2千米，用乘法解答即可。 7．【答案】1∶8000000；360 【解析】解：由线段比例尺可知图上1cm表示实际80km 80km＝8000000cm，1÷8000000=1：8000000； （km）； 故答案为：1∶8000000；360 由线段比例尺可知图上1cm表示实际80km，根据比例尺＝图上距离÷实际距离，然后再根据1km＝100000cm，把80km转化为以cm为单位，再代入数值计算比例尺即可；图上4.5cm即表示有4.5个80km，用乘法计算即可作答。 8．【答案】1：25000000；2.2 【解析】解：（1）250千米＝25000000厘米 数值比例尺：1：25000000。 （2）550÷250＝2.2（厘米） 答：改写成数值比例尺是1：25000000，百色到桂林的实际距离约是550km，在这幅地图上的距离是2.2cm。 故答案为：1：25000000；2.2 （1）根据1千米=100000厘米，用250千米乘以100000，即可求出每一段的实际距离，根据比例尺=图上距离÷实际距离，即可求解； （2）根据百色到桂林的实际距离除以图上每一段的实际距离，即可求出该图的图上距离。 9．【答案】1：1500000 【解析】500米=500000厘米；：50000=1：1500000； 故答案为：1：1500000 解：根据题意我们可以知道：厘米表示5000米，再根据1米=100厘米，统一单位，在 依据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变进行化简即可。 10．【答案】50：1 【解析】解：10厘米＝100毫米 100毫米：2毫米＝50：1 答：这幅图纸的比例尺是50：1。 故答案为：50：1 根据1厘米=10毫米，将图纸上精密零件的长度化成毫米，然后根据比例尺=图上距离÷实际距离，代入数据即可求解。 11．【答案】1：50000；1 【解析】解：数值比例尺=1cm：0.5km=1cm：500m=1cm：50000cm=1：50000 =2×50000=100000（cm），100000cm=1000m=1km 故答案为： 1：50000 ；1。 已知线段比例尺图上1厘米表示实际0.5千米，也就是50000厘米（1千米=100000厘米），根据比例尺=图上距离：实际距离，计算得出这幅地图的比例尺是1：50000；又已知 数值比例尺 ，根据实际距离=图上距离÷比例尺，计算即可。 12．【答案】1：2000000；30 【解析】20km=2000000cm，所以比例尺为1：2000000； 150千米=15000000厘米，=30（厘米）； 故答案为：1：2000000；30 由线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离20千米，根据比例尺=图上距离÷实际距离，代入数据解答即可；要求上海到杭州的图上距离，根据“比例尺×实际距离”，代入数值求解即可。 13．【答案】1：15000；；1800；500：10=(1800-500)：x 【解析】解：20：300000=1：15000 1cm：150m 12×15000cm=180000cm=1800m 设需x分钟 则50x=1300，可列比例式为500：10 = (1800-500)：x 故答案为：1：15000，，1800，500：10=(1800-500)：x 比例尺=图上距离/实际距离。 题目中图上距离为20cm，实际距离为3km=300000cm，因此比例尺为20：300000=1：15000， 线段比例尺为1cm：150m，苏苏速度为500m/10分钟=50m/分钟。 剩余路程为1300m，设需x分钟，则50x=1300，可列比例式为500：10 = (1800-500)：x 14．【答案】解：3.3÷=19800000( cm) 19800000 cm= 198 km 小时=144分钟． 答： 路上一共用了144分钟. 【解析】已知比例尺为，在地图上量得龙龙家到外婆家的距离为3.3厘米。根据比例尺计算公式：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺，得到 1小时=60分，将这个时间换算成分钟 15．【答案】解：图上1厘米表示实际距离的30千米。 （小时） 答：从淘淘家到花仙谷需要1.5小时。 【解析】根据线段比例尺可知，图上1厘米的距离表示实际30千米，图上4.5厘米就有4.5个30，用乘法计算可得实际距离，再根据路程÷速度=时间，代入数值计算即可作答。 16．【答案】解：比例尺： 1 cm ： 50 km=1 ： 5000000 实际距离： 3.2÷= 16000000 (cm) =160 ( km) 所需时间： 160÷80=2 (时) 10：30-8：00=2时30分 2时30分>2时 答：王老师能赶上10：30在乙地召开的会议。 【解析】图上距离÷实际距离=比例尺，据此可以求出比例尺和甲乙两地之间的实际距离；路程÷速度=时间，可以求出王老师开车需要的时间；8：00到10：30之间的时间大于王老师开车需要的时间，因此王老师能赶上会议。 17．【答案】解：100 km= 10000000 cm 5 ：10000000=1 ： 2000000 8÷= 16000000（cm) 16000000 cm= 160 km 答：乙、丙两地之间的实际距离是160千米。 【解析】首先根据比例尺=图上距离：实际距离，利用甲乙两地之间的距离求出这幅地图的比例尺，接下来利用图上距离=实际距离×比例尺，求出乙丙两地之间的实际距离，注意进行单位的换算。 18．【答案】解：> 1cm：10km=1cm：1000000cm=1：1000000 > 答：比例尺是的地图上4cm的线段表示的实际距离最长。 【解析】图上距离相等，根据“实际距离=图上距离÷比例尺”得出比例尺越小实际距离越长，然后将三个比例尺分别化为分数形式，根据分子相同分母越大分数越小比较即可得出结果。 19．【答案】解：19.6÷= 9800( cm) 4.9： 9800 = 1： 2000 答：梦梦手绘的图的比例尺是1：2000。 【解析】本题的关键在于理解比例尺的定义及其应用，即地图上的距离与实际距离的比例关系。首先，根据给定的比例尺和地图上的桥长，计算出桥的实际长度。随后，利用梦梦手绘图的桥长和之前计算出的实际桥长，找到梦梦手绘图的比例尺。 1 学科网（北京）股份有限公司 $