专题07：组合体的体积（计算专项训练）数学北师大版六年级下册

专题07：组合体的体积 计算专项训练 一、组合体的体积核心定义 由圆柱、圆锥两种立体图形组合而成的图形，其体积 = 各组成部分的体积之和（或差）。核心原则：先拆分、再计算、最后合并（拆分后均为已学过的圆柱、圆锥，分别求体积后，根据组合方式求和或求差）。 二、必备基础公式（回顾巩固，必考） 1.圆柱体积公式：（通常取3.14，为底面半径，为高）； 2.圆锥体积公式：（牢记漏乘，是高频易错点）； 3.补充：底面积相关公式（已知直径：；已知周长：）。 三、常见组合体类型（北师大版高频考点） 1.求和型（最基础，必考）：圆柱 + 圆锥、圆柱 + 圆柱、圆锥 + 圆锥（少见），体积 = 圆柱体积 + 圆锥体积（或两个圆柱/圆锥体积之和）； 2.求差型（重点，易错）：圆柱中挖去一个圆锥、圆锥中挖去一个圆柱（少见），体积 = 大立体图形体积 - 小立体图形体积； 题型1：圆柱 + 圆锥（等底等高，求和型） 典型例题：一个组合体由一个圆柱和一个圆锥组成，它们等底等高，圆柱的底面半径是3厘米，高是6厘米，求这个组合体的体积。（取3.14） 解题思路：先判断组合类型（求和型），因圆柱和圆锥等底等高，可直接利用公式分别求两者体积，再相加；也可利用“等底等高的圆锥体积是圆柱的”简化计算（组合体体积 = 圆柱体积×）。 解题过程 方法一（分步计算）： 计算圆柱体积：（立方厘米）； 计算圆锥体积（等底等高，漏乘）：（立方厘米）； 组合体体积：（立方厘米）。 方法二（简化计算）： 组合体体积 = 圆柱体积× = （立方厘米）； 答：这个组合体的体积是226.08立方厘米。 跟踪训练：一个组合体由圆柱和圆锥组成，二者等底等高，圆锥的底面直径是8分米，高是9分米，求这个组合体的体积。（取3.14） 题型2：圆柱 + 圆锥（不等底不等高，求和型） 典型例题：一个组合体，下面是一个圆柱，底面半径是2厘米，高是5厘米；上面是一个圆锥，底面半径是3厘米，高是4厘米，求这个组合体的体积。（取3.14） 解题思路：组合体为求和型，圆柱和圆锥不等底、不等高，需分别找准各自的底面半径和高，单独计算两者体积，再将体积相加（注意：不可误用“等底等高”的体积关系）。 解题过程 计算圆柱体积：（立方厘米）； 计算圆锥体积：（立方厘米）； 组合体体积：（立方厘米）； 答：这个组合体的体积是100.48立方厘米。 跟踪训练：一个组合体，圆柱部分底面周长是18.84分米，高是7分米；圆锥部分底面半径是2分米，高是6分米，求组合体的体积。（取3.14） 题型3：圆柱中挖去圆锥（等底等高，求差型） 典型例题：一个圆柱形木块，底面半径是4厘米，高是10厘米，从它的内部挖去一个与它等底等高的圆锥，求剩下部分的体积（即组合体体积）。（取3.14） 解题思路：组合体为求差型（圆柱挖去圆锥），二者等底等高，可先求圆柱体积，再求圆锥体积，用圆柱体积减去圆锥体积；也可利用“等底等高的圆锥体积是圆柱的”简化计算（剩下体积 = 圆柱体积×）。 解题过程 方法一（分步计算）： 圆柱体积：（立方厘米）； 圆锥体积：（立方厘米）； 剩下体积：（立方厘米）。 方法二（简化计算）： 剩下体积 = 圆柱体积× = （立方厘米）； 答：剩下部分的体积是334.93立方厘米。 跟踪训练：一个圆柱形水桶，底面直径是10分米，高是8分米，桶内有一个与水桶等底等高的圆锥形铁块（完全浸没），求水桶内剩余的空间体积。（取3.14） 题型4：圆柱 + 圆柱（求和型，基础拓展） 典型例题：一个组合体由两个圆柱拼接而成，第一个圆柱的底面半径是3分米，高是4分米；第二个圆柱的底面直径是8分米，高是5分米，求这个组合体的体积。（取3.14） 解题思路：两个圆柱拼接，组合体体积 = 第一个圆柱体积 + 第二个圆柱体积，重点找准两个圆柱各自的底面半径（注意第二个圆柱给的是直径，需先求半径）和高，分别计算后求和。 解题过程 计算第一个圆柱体积：（立方分米）； 计算第二个圆柱的底面半径：（分米）； 计算第二个圆柱体积：（立方分米）； 组合体体积：（立方分米）； 答：这个组合体的体积是364.24立方分米。 跟踪训练：两个圆柱拼接成一个组合体，第一个圆柱底面周长是25.12厘米，高是6厘米；第二个圆柱底面半径是3厘米，高是4厘米，求组合体体积。（取3.14） 练习巩固 1．求下列图形的体积。(π取3.14) 2．计算下面图形的体积。 3．求下面各图形的体积。(单位：cm) （1） （2） （3） （4） 4．计算下面图形的体积。(单位：cm) 5．求出下面图形的体积。 6．求下图的体积。 7．求下面立体图形的体积。 8．求图中几何体的体积。 9．一套酒具有甲、乙两个酒杯，它们的杯口直径相同(如图)，一瓶630 mL的饮料，恰好能倒满3套这样的酒具，甲酒杯的容积是　 　mL。 10．下图a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米，将水瓶倒置后，如下图b，瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容积等于　 　立方厘米.（π＝3.14，水瓶壁厚不计） 11．如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水　 　升。 12．请你算一算如图所示(单位： 米)“粮仓”的容积为 　 　立方米。(π=3.14) 13．一年一度的科技节正如火如荼的进行中，如图是乐乐参加比赛制作的火箭模型，其体积是　 　cm3。 14．有一个底面周长为18.84的圆柱体，斜着截取一段后，体积是　 　. (π取3.14) 15．一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积之差是24立方厘米，圆柱的体积是　 　立方厘米。 16．如图，长方形ABCD中，BC=6 cm ，AB= 10 cm，对角线AC、BD相交于点O。E、F分别是AD、BC的中点，图中的图形以EF为轴旋转--周，则白色部分旋转后形成的立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3） 17．陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个底面直径是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 18．如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18cm，圆柱的高是20cm，此时水面高度为24cm。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米? 题型1：圆柱 + 圆锥（等底等高，求和型） 答案：301.44立方分米 解析：1. 底面半径分米；2. 圆柱体积立方分米；3. 圆锥体积立方分米；4. 组合体体积立方分米。 题型2：圆柱 + 圆锥（不等底不等高，求和型） 答案：232.36立方分米 解析：1. 圆柱半径分米，体积立方分米；2. 圆锥体积立方分米；3. 组合体体积立方分米。 题型3：圆柱中挖去圆锥（等底等高，求差型） 跟踪训练答案：418.67立方分米 解析：1. 水桶底面半径：（分米）；2. 水桶体积：（立方分米）；3. 圆锥体积（等底等高）：（立方分米）；4. 剩余空间：（立方分米） 题型4：圆柱 + 圆柱（求和型，基础拓展） 跟踪训练答案：276.32立方厘米 解析：1. 第一个圆柱底面半径：（厘米）；2. 第一个圆柱体积：（立方厘米）；3. 第二个圆柱体积：（立方厘米）；4. 组合体体积：（立方厘米） 练习巩固： 1．【答案】解：. 【解析】根据圆柱和圆锥体的体积公式计算，然后求和解答即可. 2．【答案】解： 答：该图片的体积是44.56立方厘米 【解析】圆锥：圆锥是一种由一个圆（底面）和一个点（顶点）连接而成的几何体，这个点不在圆的平面上。圆锥的体积可以通过公式计算，其中 是底面半径， 是高。 长方体：长方体是一个有六个矩形面的几何体，相对的面彼此平行且相等。长方体的体积可以通过公式 计算，其中、、 分别是长方体的长、宽和高。 3．【答案】（1）解：12×5×10-5×5×5 =600-125 =475(cm3) （2）解： =3.14×100+3.14×27 =3.14×127 （3）解： =48+3.14×4 （4）解： =75600-9420 【解析】（1）观察图形，图形体积=长方体体积-正方体体积，已知长方体的长是12cm，宽是10cm，高是5cm，正方体的棱长是5cm，根据长方体的体积公式：V=长×宽×高，正方体的体积公式：V=棱长×棱长×棱长，计算即可； （2）观察图形，图形体积=大圆柱的体积+小圆柱的体积，首先根据半径=直径÷2，计算出两个圆柱的底面半径，然后根据圆柱的体积公式：V=πr2h，计算即可； （3）观察图形，图形体积=长方体体积+圆锥体积，首先根据半径=直径÷2，计算出圆锥的底面半径，再根据长方体的体积公式：V=长×宽×高，圆锥的体积公式：V=πr2h，计算即可； （4）观察图形，图形体积=长方体体积-圆柱的体积，首先根据半径=直径÷2，计算出圆柱的底面半径，然后根据长方体的体积公式：V=长×宽×高，圆柱的体积公式：V=πr2h，计算即可。 4．【答案】解： = = = =82.425(cm3) 【解析】观察图形，其体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积，已知两个圆锥的底面直径，根据半径=直径2，计算得出它们的底面半径，再根据圆锥的体积公式：V=πr2h，代入数据计算即可。 5．【答案】549.5m3 6．【答案】解： （cm3） 答：下图的体积是84.78cm3。 【解析】观察立体图形，由两个圆锥体构成，首先根据半径=直径2，计算得出两个圆锥体的底面半径为62=3（cm），然后根据圆锥的体积公式：V=πr2h，分别表示出两个圆锥体的体积，再相加计算即可得到图中几何体的体积。 7．【答案】解：V=π×52×12+×52×9×π =1177.5dm3 【解析】此图形是由一个圆柱和一个圆锥组成的，根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出再相加即可得出答案 8．【答案】解：×3.14×（20÷2）2 ×3 +3.14×（20÷2）2 ×6 =×3.14×100×3 +3.14×100 ×6 =314+1884 =2198（m3） 答：几何体的体积是2198立方米。 【解析】π×底面半径的平方×高=圆柱的体积；π×底面半径的平方×高÷3=圆锥的体积；圆柱的体积+圆锥的体积=几何体的体积。 9．【答案】180 【解析】【解答】解：乙酒杯的容积看做1，甲酒杯的容积就是1×3×2=6，甲酒杯的容积是乙的6倍， 一套酒具的容积：630÷3=210（毫升） 乙酒杯的容积：210÷（6+1）=210÷7=30（毫升） 甲酒杯的容积：30×6=18（毫升） 故答案为：180。 乙酒杯的容积×3=等底等高的甲酒杯的容积，等底等高的甲酒杯的容积×2=甲酒杯的容积； 和倍问题：和÷（倍数+1）=较小数，较小数×倍数=较大数。 10．【答案】1727 【解析】【解答】解：如果将瓶中的液体取出一部分，使正立时高度为11厘米，倒立时高度为15厘米，这时瓶中的液体刚好为瓶的容积的一半，所以瓶的容积相当于一个高22厘米(底面积不变)的圆柱的体积，即瓶的容积是： 3.14x()2x22=1727(立方厘米) 故答案为：1727 通过分析水瓶正放和倒置时液体和空白部分的高度关系，将水瓶的容积转化为一个等底圆柱的体积，再利用圆柱体积公式V = πr2h进行计算。 11．【答案】400 【解析】【解答】解：50×8=400（升）。 故答案为：400。 圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍，所以容器最多能装水的体积=圆锥形容器中装有水的体积×8。 12．【答案】141.3 【解析】【解答】这个粮仓的容积 故答案为： 141.3. 先根据图形确定出圆锥和圆柱的底面半径和高，然后代入计算即可. 13．【答案】376.8 【解析】【解答】解：3.14×（6÷2）2×12+×3.14×（6÷2）2×（16-12） =3.14×108+3.14×12 =3.14×120 =376.8（cm3） 故答案为：376.8。 观察图形，已知火箭模型的体积由底面直径均为6cm的圆柱的圆锥组成，圆柱的高是12cm，圆锥的高是16-12=4（cm），根据半径=直径÷2，计算得出圆柱和圆锥的底面半径均是6÷2=3（cm），然后根据圆柱的体积公式：V=πr2h，圆锥的体积公式：V=πr2h，分别计算得出圆柱和圆锥的体积，相加即为火箭模型的体积。 14．【答案】183.69 【解析】【解答】解：根据图形所示，可得 底面半径为：18.84÷2÷3.14=3（厘米） 3.14×3×3×9-3.14×3×3×4 =254.34-113.04 =141.3（立方厘米） 141.3÷2=70.65（立方厘米） 254.34 - 70.65 =183.69（立方厘米） 答：截后的体积是 183.69 立方厘米。 故答案为：183.69 先根据底面周长，算出底面半径，然后再利用圆柱体的体积公式，分别求出以高为9和高为4的圆柱体体积，然后用高为9的圆柱体体积减去高为4的圆柱体体积，然后将得到的体积除以2，求出以高为5的圆柱体体积的一半，最后再用高为9的圆柱体体积减去高为5的圆柱体的一半，即可求解 15．【答案】36 【解析】【解答】解：设圆柱体积是x立方厘米，则圆锥体积是立方厘米。 x=36 因此圆柱的体积是36立方厘米。 故答案为：36。 圆柱体体积=底面积×高，圆锥体体积=底面积×高×。因为“圆柱体和圆锥体等底等高”，当圆锥体体积等于x立方厘米的时候，即底面积×高=x，因此圆锥体体积=立方厘米。而“它们的体积之差是24立方厘米”，所以有，求解x即可。 16．【答案】解：（6÷2）2×3×10×（1-） =270× = 180（立方厘米 ） 答：白色部分旋转后形成的立体图形的体积是180立方厘米。 【解析】长方形ABCD旋转后形成的立体图形为圆柱，圆柱的体积=底面积×高=（6÷2）2×3×10=270（cm3），涂色部分旋转后形成的立体图形为2个圆锥，体积之和=与圆柱等底等高的圆锥体积，则白色部分旋转后形成的立体图形体积为270×（1-）=180立方厘米。 17．【答案】解：3.14×（6÷2）2×3+×3.14×（6÷2）2×3 ＝3.14×9×3+3.14×9×3 ＝84.78+28.26 ＝113.04（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是113.04立方厘米。 【解析】首先，我们需要理解题目中陀螺的形状，它由一个圆柱和一个圆锥组成，接下来需要计算圆柱和圆锥的体积，圆柱的体积可以通过底面积乘以高来计算，而圆锥的体积则是圆柱体积的1/3。最后，我们将圆柱和圆锥的体积相加，得到陀螺的总体积。 18．【答案】解：（24-18）+18÷3 =6+6 =12（厘米） 答：水面的高是12厘米。 【解析】水的高度-圆锥的高=圆柱内水的高度，圆锥内水的高度÷3=放入圆柱后水的高度，两个高度的和就是容器倒立放置水面的高度。 1 学科网（北京）股份有限公司 $