6.4.1-6.4.2·平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.1-6.4.2·平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 一、6.4.1平面几何中的向量方法 1.平面几何中向量方法的核心思想 知识点：平面几何中的向量方法，核心是“向量化”，即利用平面向量的概念、运算（加减、数乘、数量积）及性质，将平面几何中的线段、角、平行、垂直等几何关系，转化为向量之间的运算关系，通过向量运算求解或证明几何问题；核心步骤：①建立向量模型（选取基底或建立坐标系，用向量表示几何元素）；②进行向量运算（根据几何问题，套用向量加减、数乘、数量积公式）；③转化为几何结论（将向量运算结果翻译为几何中的平行、垂直、长度、夹角等结论） 易错辨析：①建立向量模型时，误选共线向量作为基底，导致无法表示所有几何向量；②混淆“向量运算结果”与“几何结论”，未将向量运算结果翻译为几何语言（如将直接当作结论，未说明对应线段垂直）；③忽略平面几何中线段的“长度非负”特征，误将向量模长的负值当作几何线段长度；④建立坐标系时，原点或坐标轴选取不当，导致向量坐标复杂，增加运算量 重点记忆：①核心口诀：“几何问题向量化，向量运算几何化”（精准概括向量方法的本质）；②向量模型建立的两种方式（适配不同题型）：一是选取合适的基底（非共线向量），表示几何中的线段、角；二是建立平面直角坐标系，用坐标表示向量（优先用于有垂直关系、对称关系的几何图形）；③核心关联：几何中的“平行”对应向量中的“共线”，“垂直”对应向量中的“数量积为0”，“线段长度”对应向量中的“模长”，“角”对应向量中的“夹角”；④解题核心：转化思想，将抽象的几何关系转化为具体的向量运算 常考结论：①平面几何中，所有与平行、垂直、长度、夹角相关的问题，均可通过向量方法求解；②基底选取技巧：优先选取几何图形中夹角已知、长度已知的线段对应的向量作为基底（如三角形的两条边、矩形的邻边）；③坐标系建立技巧：优先以几何图形的对称中心、直角顶点为原点，以对称轴、直角边为坐标轴，简化向量坐标 2.向量在平面几何中证明平行（高频考点） 知识点：平面几何中，两条不重合的直线平行（或线段平行），等价于这两条直线（或线段）对应的向量共线（非零向量）；核心方法：①基底法：设线段对应的向量为、，若存在实数，使得，且与不共线（不重合），则；②坐标法：若、，且，且与不共线（不重合），则 易错辨析：①忽略“不重合”前提，误将共线且重合的向量对应的线段当作平行线段（重合线段不是平行线段）；②仅证明向量共线，未说明线段不重合，导致证明不严谨；③用坐标法证明时，混淆向量坐标与点坐标，误将点坐标当作向量坐标计算；④基底法中，误选共线基底，导致无法判断向量共线关系 重点记忆：①证明平行的核心：转化为“向量共线+线段不重合”，二者缺一不可；②两种方法的选择：有垂直关系、易建立坐标系的图形，优先用坐标法；无垂直关系、线段长度/夹角已知的图形，优先用基底法；③常用结论：若四边形ABCD中，，则四边形ABCD为平行四边形（既共线又等长，且不重合）；④证明步骤：先表示出对应线段的向量→证明向量共线→说明线段不重合→得出平行结论 常考结论：①若（），且A、B、C、D四点不共线，则，且（平行且成比例）；②三角形中位线定理的向量证明：若E、F分别为△ABC的AB、AC中点，则，故且；③若两条线段对应的向量反向共线（），且不重合，仍为平行线段（平行不区分方向） 3.向量在平面几何中证明垂直（高频考点） 知识点：平面几何中，两条直线（或线段）垂直，等价于这两条直线（或线段）对应的非零向量的数量积为0；核心方法：①基底法：设线段对应的非零向量为、，若，则；②坐标法：若、（非零向量），且，则 易错辨析：①忽略“非零向量”前提，误将零向量与任意向量的数量积为0，当作线段垂直（零向量无法对应几何中的直线/线段）；②用基底法证明时，未正确表示出垂直线段对应的向量，导致数量积计算错误；③坐标法中，向量坐标求解错误（如误算为起点坐标减终点坐标）；④误将“向量垂直”当作“线段垂直”，未说明向量与线段的对应关系（如向量对应线段AB） 重点记忆：①证明垂直的核心：转化为“非零向量数量积为0”，无需考虑向量方向，仅需计算数量积；②两种方法的选择：优先用坐标法（计算简洁，不易出错），尤其适用于矩形、正方形、直角三角形等有垂直关系的图形；基底法适用于无法建立坐标系、但基底向量数量积易计算的图形；③常用场景：证明矩形的邻边垂直、三角形的高线、菱形的对角线垂直等；④证明步骤：先表示出垂直线段对应的非零向量→计算向量数量积→若数量积为0→得出线段垂直结论 常考结论：①菱形的对角线垂直的向量证明：设菱形ABCD，对角线AC、BD交于O，则、，（菱形邻边等长），故；②若，则，可用于证明线段相等（如矩形的对角线相等）；③若三角形的两条边对应的向量数量积为0，则该三角形为直角三角形，且这两条边为直角边 4.向量在平面几何中求线段长度（高频考点） 知识点：平面几何中，线段的长度等于该线段对应的向量的模长；核心方法：①基底法：设线段对应的向量为，则，若（为基底），则；②坐标法：若，则；若A、B，则 易错辨析：①求长度时，忘记对向量数量积开平方，误将当作线段长度；②坐标法中，误将点坐标的横、纵坐标直接平方相加再开平方，忽略向量坐标是“终点减起点”；③基底法中，漏算基底向量的数量积项（仅当基底垂直时，该term为0）；④误将向量的模长的平方当作线段长度的平方，导致后续计算出错 重点记忆：①求长度的核心公式：（通用公式），坐标法公式（优先使用，简洁高效）；②两种方法的选择：有坐标系时，优先用坐标法；无坐标系时，用基底法，且优先选取垂直基底（可省略数量积项，简化计算）；③常用场景：求三角形的边长、平行四边形的边长、对角线长度、圆的半径等；④计算步骤：先表示出线段对应的向量（或求出向量坐标）→计算向量的模长（或模长的平方）→得出线段长度 常考结论：①平行四边形对角线长度公式：设平行四边形ABCD，对角线AC、BD，则，；②三角形中线长度公式（向量版）：设M为△ABC的BC中点，则；③若，则（勾股定理的向量体现） 5.向量在平面几何中的其他应用（拓展考点，适配综合题型） 知识点：除平行、垂直、长度外，向量还可用于求解平面几何中的夹角、证明三点共线、求解中点/等分点等问题：①求夹角：几何中两条线段的夹角（锐角或钝角），等于对应非零向量的夹角（或其补角），套用夹角公式；②证明三点共线：若A、B、C三点，存在实数，使得（或），则三点共线；③求中点/等分点：若M为AB中点，则，n等分点可推广为（k为等分份数） 易错辨析：①求几何夹角时，忽略夹角范围，误将向量的钝角夹角当作几何中的锐角夹角（几何中线段夹角为）；②证明三点共线时，未说明三个点有公共点，仅证明向量共线；③求等分点时，混淆等分点的比例，导致向量表达式错误；④用向量夹角公式时，漏算向量模长，或数量积计算错误 重点记忆：①几何夹角与向量夹角的区别：几何中线段夹角为锐角或直角（），向量夹角为，故需取向量夹角的锐角或直角；②三点共线的核心：向量共线且有公共点（如与共线，且有公共点A）；③中点向量公式（高频）：，可直接套用求中点坐标或中点相关线段；④综合解题思路：灵活选用基底法或坐标法，将多种几何关系转化为向量运算，分步求解 常考结论：①三角形内角平分线定理的向量体现：若AD为△ABC的内角平分线，且，则；②若A、B、C三点共线，则存在实数、，使得，且；③几何中，若两条线段对应的向量夹角为，且模长相等，则对应的三角形为等边三角形 二、6.4.2向量在物理中的应用举例 1.向量在物理中的核心对应关系（基础铺垫） 知识点：物理中，许多矢量（既有大小又有方向的量）均可借助平面向量表示，核心对应关系：①位移、速度、加速度、力、动量等矢量，对应平面向量（大小对应向量模长，方向对应向量方向）；②矢量的合成与分解，对应平面向量的加减运算；③矢量的数乘运算，可表示矢量的缩放（如力的大小加倍，方向不变，对应向量数乘2）；④矢量的数量积，可用于求解功、功率等物理量（如功，为力与位移的夹角） 易错辨析：①混淆“标量”与“矢量”，误将质量、路程、功等标量当作向量处理（标量只有大小，无方向，不能用向量表示）；②矢量合成时，忽略方向的影响，误将矢量的大小直接相加（如两个反向的力，合力大小为两力大小之差，而非之和）；③用向量表示矢量时，误将方向标错（如速度方向与位移方向混淆）；④计算功时，误将力与位移的夹角当作向量的夹角的补角，导致功的正负错误 重点记忆：①核心原则：物理中的矢量运算，完全遵循平面向量的运算规则（加减、数乘、数量积）；②关键对应：大小→模长，方向→向量方向，合成→加法，分解→减法（或加法逆运算）；③常用矢量：力、位移、速度、加速度（重点掌握这四个矢量的向量应用）；④注意事项：矢量的方向具有实际物理意义，运算时必须先确定方向（可建立坐标系，用坐标表示矢量方向） 常考结论：①所有矢量的合成与分解，均遵循平行四边形定则或三角形定则（与向量加减的几何意义一致）；②若两个矢量垂直，则其合矢量的大小为（勾股定理，高频应用）；③功的正负判定：时，（力做正功）；时，（力不做功）；时，（力做负功） 2.向量在力的合成与分解中的应用 知识点：力是矢量，力的合成与分解完全遵循平面向量的加减运算规则：①力的合成：两个力、的合力，对应向量加法，几何意义为平行四边形定则（以两个力为邻边，对角线为合力）或三角形定则（首尾相接，从起点到终点为合力）；②力的分解：一个力分解为两个分力、，对应向量减法，本质是合成的逆运算，需根据实际物理场景确定分力方向（如沿斜面和垂直斜面分解） 易错辨析：①力的合成时，误将两个力的大小直接相加，忽略方向（如两个反向力，合力大小为）；②力的分解时，未根据实际场景确定分力方向，随意分解（如斜面上的重力，应沿斜面和垂直斜面分解，而非水平和竖直方向）；③分解力时，误将分力的大小当作合力的大小，或计算分力时三角函数使用错误（如斜面倾角，重力沿斜面分力应为，垂直斜面为）；④多个力合成时，漏算某个力的方向，导致合力计算错误 重点记忆：①力的合成核心公式（两个力）：若与夹角为，则合力大小，方向由确定（为合力与的夹角）；②常用分解场景：斜面上的重力分解、绳的拉力分解、支持力分解（优先分解为沿运动方向和垂直运动方向）；③合力的范围：（同向时最大，反向时最小）；④解题步骤：确定研究对象→分析受力（画出受力图）→将力转化为向量→进行向量合成/分解→将结果转化为物理结论（合力大小、方向） 常考结论：①两个大小相等的力，夹角为时，合力大小，且合力方向在两个力的角平分线上；②斜面上，重力，斜面倾角为，则沿斜面分力（使物体下滑的力），垂直斜面分力（压力的反作用力）；③三个共点力平衡时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反（） 3.向量在位移与速度合成与分解中的应用 知识点：位移、速度均为矢量，其合成与分解遵循平面向量加减运算规则，核心应用为“相对运动”：①位移的合成：物体从A到B，再从B到C，总位移（三角形定则，首尾相接）；②速度的合成：物体的实际速度（合速度）等于分速度的向量和，如小船渡河时，实际速度（为船在静水中的速度，为水流速度）；③分解：与力的分解一致，根据实际运动场景分解位移或速度（如小船渡河时，将船速分解为沿河岸和垂直河岸方向） 易错辨析：①位移合成时，误将路程当作位移（路程是标量，无方向，不能用向量合成）；②小船渡河问题中，误将船速与水流速度的大小直接相加，当作实际速度大小（需考虑方向，用向量合成公式计算）；③速度分解时，分解方向错误，导致实际速度计算错误（如小船渡河，优先分解为垂直河岸和沿河岸方向，方便求渡河时间）；④相对运动中，混淆“合速度”与“分速度”的实际物理意义（如合速度是物体实际运动的速度） 重点记忆：①核心公式：位移合成，速度合成，模长计算同向量模长公式；②小船渡河高频场景：①最短时间：当船速垂直河岸时，渡河时间（d为河宽）；②最短位移：当时，最短位移为河宽d（船速斜向上游，合速度垂直河岸）；当时，最短位移为；③相对运动核心：“实际速度=分速度向量和”，明确每个分速度的施力物体（如船速由船提供，水流速度由水提供）；④解题步骤：分析物体的分位移/分速度→确定方向→转化为向量→合成/分解→计算合位移/合速度的大小和方向 常考结论：①小船渡河时，渡河时间仅与船速垂直河岸的分量有关，与水流速度无关（）；②若两个分速度垂直，则合速度大小，方向由三角函数确定；③物体做直线运动的充要条件：合速度与合加速度方向共线（向量共线） 4.向量在物理平衡问题中的应用 知识点：物理中，物体处于平衡状态（静止或匀速直线运动）的充要条件是：物体所受合外力为零，对应向量表达式为（所有外力的向量和为零向量）；核心解题方法：①合成法：将多个力逐步合成，最终合力为零；②分解法：将所有力分解到两个互相垂直的方向（建立坐标系），每个方向上的合力均为零（，） 易错辨析：①物体平衡时，误将“某个力为零”当作“合外力为零”（合外力为零，不等于单个力为零，可能是多个力的合力抵消）；②建立坐标系分解力时，误将力的方向标错，导致坐标轴上的分力正负错误；③分解力时，三角函数使用错误（如倾角，力沿x轴的分力误算为，实际应为）；④漏算某个外力（如重力、支持力），导致合外力计算错误，无法得出平衡条件 重点记忆：①平衡条件的向量核心：，即所有外力的向量和为零；②解题优先方法：正交分解法（建立坐标系，将所有力分解到x、y轴，列方程组、，计算简洁，不易出错）；③常用场景：物体在水平面上静止、斜面上静止、悬挂物体平衡等；④解题步骤：确定研究对象→分析所有外力（重力、支持力、拉力、摩擦力等）→建立坐标系→分解所有外力到坐标轴→列平衡方程组→求解未知力（如拉力、支持力） 常考结论：①悬挂物体平衡：若物体由两根绳子悬挂，两根绳子的拉力、，则（为重力），且两根绳子与竖直方向的夹角相等时，（为绳子与竖直方向的夹角）；②斜面上物体平衡：若物体在斜面上静止，无摩擦力，则、；有摩擦力时，（f为静摩擦力）；③三个共点力平衡时，这三个力可构成一个封闭的三角形（向量三角形） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：用向量证明垂直】 （2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．经典例题1例题    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． （24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.经典例题2例题    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. （23-24高一下·山东德州·月考）如图，在中，已知分别为上的点，且.小试牛刀1    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是线段的中点 【分析】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【详解】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. （22-23高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．小试牛刀2    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． （22-23高一下·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.小试牛刀3    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得. （2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得. 【详解】（1） . （2）， ，. 【题型2：用向量解决夹角问题】 （24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． （23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.经典例题2例题    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又 ， ， 所以， 因为， 所以. （23-24高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 小试牛刀1 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. （23-24高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. （23-24高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，小试牛刀3 (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【详解】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以 ， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以 ， 所以. 【题型3：用向量解决长度问题】 （2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ）经典例题1例题 A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A （2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. （24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求：小试牛刀1 (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． （24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ）小试牛刀2 A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. （24-25高三上·天津河北·期中）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据重心和外心性质，通过转化法利用数量积可得，再由三角形法则计算可求出的长为. 【详解】延长交于点，连接，作于点，则分别为的中点，如下图所示： 易知， 同理可得， 由重心性质可知； 所以； 又，即，可得； 所以，可得； 因此，即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于要充分利用重心和外心的性质，将数量积通过转化得出三角形边长之间的关系，再由即可得出结果. 【题型4：向量与几何中的最值】 （25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以 ， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 故选：C （2026·陕西西安·三模）设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】过作，交直线AB于点，根据数量积公式，可得，根据圆的几何性质，可得的最大值，分析即可得答案. 【详解】由题画出图形，则向量的夹角为锐角时适合题意，过作，交直线AB于点， 则， 故当取得最大值时，的值最大. 设圆心为，因为圆的半径为1，故是边长为1的等边三角形， 且当与圆相切时，的值最大， 过O作，交AB于D，连接OC，则四边形ODHC为矩形， 所以，则，即的最大值为 故的最大值为. 故选：B （25-26高三上·北京·月考）在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】设，，表达出其他各边长度，利用计算出数量积为，从而求出最小值. 【详解】设，， 因为为边长为2的等边三角形，， 所以，，，，， 因为，所以为等边三角形，，⊥， 故 ， 故当时，取得最小值. 故答案为： （25-26高三上·福建厦门·期中）已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，建立平面直角坐标系，根据，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换即可求解． 【详解】在中，由，可得， 根据，得，， 以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，则， 设为平面内满足的点， 则有，， 则， 由于P在单位圆上，可设，， 则， 故的取值范围为 故选:A （25-26高三上·新疆·月考）已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为 .小试牛刀3 【答案】 【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，，， 则，， 故 ， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：. 【题型5：力的合成】 （25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ）经典例题1例题 A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： （25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）经典例题2例题    【答案】100 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 （2026高三·全国·专题练习）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据，先求得，再由，即可求解. 【详解】∵三个力平衡， ∴， ∴ . 设与的夹角为，则， 即，解得. 故答案为： （25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：C. 【多选题】（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）小试牛刀3    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 【题型6：速度位移的合成】 （25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，从而得到方程，结合诱导公式求出答案. 【详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短， 则， 又，故，. 故选：C （25-26高三上·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故 . 故选：D. （25-26高三上·广东·月考）某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使船的航行距离最短，只需，合速度垂直于两岸即可，分析这种情况下速度的夹角即得到答案． 【详解】要使船的航行距离最短，只需，合速度垂直于两岸，如图所示， 所以，其中，所以． 故选：C． （24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h．小试牛刀2 【答案】 【分析】画出图形，在直角三角形中求河水的流速即可. 【详解】如图，用表示河水的流速，表示船的速度， 则为船的实际航行速度． 由图知，，，则． 又， 所以． 即河水的流速是 km/h． 故答案为： （2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出船的实际速度，用向量表示水流速度，实际船速与船的静水速度的关系，利用向量的数量积的有关运算法则可求水流速度. 【详解】如图： 船的实际过河速度为： .即. 又，即. 所以， 所以 ， 所以 . 即水流速度为： . 故选：B 【题型7：功的计算】 （24-25高二下·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积可得到共点力对物体做的功. 【详解】由题意得，共点力的合力为， 对物体做的功为. 故选：B. （2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ）经典例题2例题 A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】由力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可. 【详解】因为，所以力对该物体做的功为. 故选：D. （25-26高三上·浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功）小试牛刀1 A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的定义结合辅助角公式化简，即可得出答案. 【详解】由题，可得，又， ，其中， 当且仅当，时，取得最大值5. 故选：D. （24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 .小试牛刀2 【答案】13 【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【详解】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13 （24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为 ．小试牛刀3 【答案】6 【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积的坐标公式进行计算. 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：6. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由处于静止状态可知三个力合成为，由此得出的坐标. 【详解】因为该物体静止，即受力平衡，三个力的合力为，即， 所以. 故选：A. 2．（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B 3．（25-26高三上·天津滨海新·月考）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为4，P是正八边形边上任意一点，则以下结论正确的个数是（   ） ①的最大值为 ②在方向上的投影向量为 ③ ④若函数，则函数的最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设，利用余弦定理可得，对于①，取的中点为可推出，结合图形可知当点与点或点重合时取得最大值，计算可知①正确；对于②，根据投影向量定义计算可判断其错误；对于③，代入点坐标计算可知错误；对于④，将点坐标代入所求函数，整理并根据二次函数性质求得其最小值为，可知④错误. 【详解】易知正八边形的每条边所对的圆心角都是，所以， 以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如下图所示：    设，在中，由余弦定理，, 可得， 且 . 对于①，取的中点为，则,且； 则； 由正八边形的对称性可知当点与点或点重合时，取得最大值， 不妨取，则，则, 所以， 因此，即①正确； 对于②，易知， 所以在方向上的投影向量为，因此②错误； 对于③，易知， 而，因此，即③错误； 对于④，易知 由可得： ， 由二次函数性质可知当时，取得最小值， 所以函数的最小值为，因此④错误. 因此只有①正确. 故选：B 二、多选题 4．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知是边长为的等边三角形，点在内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则点P的轨迹长度为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A选项；由平面向量的线性运算可得出，再利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；分析可知点的轨迹是以半径为，圆心角为的圆弧，结合扇形的弧长公式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，若，则，所以， 故 ，故，B对； 对于C选项，，则点的轨迹是以半径为，圆心角为的圆弧， 故点的轨迹长度为，C对； 对于D选项，如下图所示： 因为，， 所以 ，解得， 因为，故，所以， 所以 ，D对. 故选：BCD. 三、填空题 5．（23-24高二上·山东泰安·开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【分析】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行. 【详解】由可知,进而， 由可得且，所以四边形为矩形， 故答案为：矩形 6．（24-25高一下·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 【答案】16 【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案. 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：16 7．（24-25高一下·重庆万州·月考）如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，再利用数量积的运算律及夹角公式计算得解. 【详解】依题意，，则， 即，解得， 所以. 故答案为： 8．（24-25高三上·天津河西·期末）在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用，表示为 ；的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，根据条件有，设，利用向量相等，即可求解；利用数量积的运算，得，令，从而得，即可求解. 【详解】如图以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为为的中点，所以， 设，则， 又， 设，则， 整理得到，又是圆上的动点，所以， 再代入，可得，所以. 因为，又是以为圆心，为半径的圆上的两个动点， 则，所以， 令，则， 所以，所以，    故答案为：；. 9．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为 ． 【答案】 【分析】由点在线段上，设，再计算出的坐标，由数量积的坐标运算求出的最大值时的的值，即可求出的坐标，再根据向量的夹角公式可求出的值 【详解】点在线段上，设， 则， ， 当时，取得最大值为， 此时， . 故答案为： 10．（24-25高一下·上海·月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系后结合向量性质可表示出，再利用三角函数的有界性计算即可得. 【详解】以A为原点建立直角坐标系，方向为x轴正半轴，方向为y轴正半轴，    则，，，则，， 设（），则圆方程为， 设，则， ， 可得，， 所以，其中， 当，，取得最大值， 当，，取得最小值， 所以的取值范围为． 故答案为：. 11．（2024·广东佛山·一模）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 【答案】 【分析】通过已知条件得到，通过平方关系对进行转化解得即可得到答案. 【详解】如下图所示，设边上的高为，边上的中线为，    在中，，所以， 由，平方得， 代入得，， 化简得，，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过平方将转化为数量关系，结合图形关系得到代入求解即可. 四、解答题 12．（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 13．（23-24高一下·广东深圳·月考）如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.    (1)用，表示，； (2)如果，海里，且，求岛屿到补给站的距离以及岛屿到的距离. 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解； （2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解. 【详解】（1）依题意，得，点为中点，， 又，， 所以， . （2）依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以 ， 而， 所以. 14．（22-23高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】(1)四边形为梯形，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据向量线性运算判断的关系即可； （2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      15．（23-24高一下·陕西西安·月考）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而求解； （2）如图，根据勾股定理和相似三角形的性质可得，结合建立方程，解得，进而求解； （3）由（2），根据计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即， 解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 16．（22-23高一下·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【详解】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 17．（22-23高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证； （2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系. （方法一）由题意可知，设，则， ，，，得，， 所以，故，即. （方法二）由题意可知，，，设， 则，得，得，， 所以，故，即. （2）由题意得，则，设，则，， 由（1）得，， 所以， 由，得，当，即时，. 故的最大值为. 18．（24-25高一下·江苏南通·月考）记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． (1)已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； (2)记，用向量方法证明：． 【答案】(1)①， ；②，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①利用平面向量的线性运算可得出、关于基底的表达式； ②利用平面向量的数量积的运算性质计算的值，即可得出结论； （2）设单位向量，根据结合平面向量数量积的定义和运算性质可证得结论成立. 【详解】（1）①因为，，记，， 则，. ②，证明如下： 因为，，则， 所以，， 且、均为非零向量，则，即； （2）在中，， 设单位向量，则，（*） 又根据数量积的定义得，， ，， 代入（*）式得，， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.1-6.4.2·平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 一、6.4.1平面几何中的向量方法 1.平面几何中向量方法的核心思想 知识点：平面几何中的向量方法，核心是“向量化”，即利用平面向量的概念、运算（加减、数乘、数量积）及性质，将平面几何中的线段、角、平行、垂直等几何关系，转化为向量之间的运算关系，通过向量运算求解或证明几何问题；核心步骤：①建立向量模型（选取基底或建立坐标系，用向量表示几何元素）；②进行向量运算（根据几何问题，套用向量加减、数乘、数量积公式）；③转化为几何结论（将向量运算结果翻译为几何中的平行、垂直、长度、夹角等结论） 易错辨析：①建立向量模型时，误选共线向量作为基底，导致无法表示所有几何向量；②混淆“向量运算结果”与“几何结论”，未将向量运算结果翻译为几何语言（如将直接当作结论，未说明对应线段垂直）；③忽略平面几何中线段的“长度非负”特征，误将向量模长的负值当作几何线段长度；④建立坐标系时，原点或坐标轴选取不当，导致向量坐标复杂，增加运算量 重点记忆：①核心口诀：“几何问题向量化，向量运算几何化”（精准概括向量方法的本质）；②向量模型建立的两种方式（适配不同题型）：一是选取合适的基底（非共线向量），表示几何中的线段、角；二是建立平面直角坐标系，用坐标表示向量（优先用于有垂直关系、对称关系的几何图形）；③核心关联：几何中的“平行”对应向量中的“共线”，“垂直”对应向量中的“数量积为0”，“线段长度”对应向量中的“模长”，“角”对应向量中的“夹角”；④解题核心：转化思想，将抽象的几何关系转化为具体的向量运算 常考结论：①平面几何中，所有与平行、垂直、长度、夹角相关的问题，均可通过向量方法求解；②基底选取技巧：优先选取几何图形中夹角已知、长度已知的线段对应的向量作为基底（如三角形的两条边、矩形的邻边）；③坐标系建立技巧：优先以几何图形的对称中心、直角顶点为原点，以对称轴、直角边为坐标轴，简化向量坐标 2.向量在平面几何中证明平行（高频考点） 知识点：平面几何中，两条不重合的直线平行（或线段平行），等价于这两条直线（或线段）对应的向量共线（非零向量）；核心方法：①基底法：设线段对应的向量为、，若存在实数，使得，且与不共线（不重合），则；②坐标法：若、，且，且与不共线（不重合），则 易错辨析：①忽略“不重合”前提，误将共线且重合的向量对应的线段当作平行线段（重合线段不是平行线段）；②仅证明向量共线，未说明线段不重合，导致证明不严谨；③用坐标法证明时，混淆向量坐标与点坐标，误将点坐标当作向量坐标计算；④基底法中，误选共线基底，导致无法判断向量共线关系 重点记忆：①证明平行的核心：转化为“向量共线+线段不重合”，二者缺一不可；②两种方法的选择：有垂直关系、易建立坐标系的图形，优先用坐标法；无垂直关系、线段长度/夹角已知的图形，优先用基底法；③常用结论：若四边形ABCD中，，则四边形ABCD为平行四边形（既共线又等长，且不重合）；④证明步骤：先表示出对应线段的向量→证明向量共线→说明线段不重合→得出平行结论 常考结论：①若（），且A、B、C、D四点不共线，则，且（平行且成比例）；②三角形中位线定理的向量证明：若E、F分别为△ABC的AB、AC中点，则，故且；③若两条线段对应的向量反向共线（），且不重合，仍为平行线段（平行不区分方向） 3.向量在平面几何中证明垂直（高频考点） 知识点：平面几何中，两条直线（或线段）垂直，等价于这两条直线（或线段）对应的非零向量的数量积为0；核心方法：①基底法：设线段对应的非零向量为、，若，则；②坐标法：若、（非零向量），且，则 易错辨析：①忽略“非零向量”前提，误将零向量与任意向量的数量积为0，当作线段垂直（零向量无法对应几何中的直线/线段）；②用基底法证明时，未正确表示出垂直线段对应的向量，导致数量积计算错误；③坐标法中，向量坐标求解错误（如误算为起点坐标减终点坐标）；④误将“向量垂直”当作“线段垂直”，未说明向量与线段的对应关系（如向量对应线段AB） 重点记忆：①证明垂直的核心：转化为“非零向量数量积为0”，无需考虑向量方向，仅需计算数量积；②两种方法的选择：优先用坐标法（计算简洁，不易出错），尤其适用于矩形、正方形、直角三角形等有垂直关系的图形；基底法适用于无法建立坐标系、但基底向量数量积易计算的图形；③常用场景：证明矩形的邻边垂直、三角形的高线、菱形的对角线垂直等；④证明步骤：先表示出垂直线段对应的非零向量→计算向量数量积→若数量积为0→得出线段垂直结论 常考结论：①菱形的对角线垂直的向量证明：设菱形ABCD，对角线AC、BD交于O，则、，（菱形邻边等长），故；②若，则，可用于证明线段相等（如矩形的对角线相等）；③若三角形的两条边对应的向量数量积为0，则该三角形为直角三角形，且这两条边为直角边 4.向量在平面几何中求线段长度（高频考点） 知识点：平面几何中，线段的长度等于该线段对应的向量的模长；核心方法：①基底法：设线段对应的向量为，则，若（为基底），则；②坐标法：若，则；若A、B，则 易错辨析：①求长度时，忘记对向量数量积开平方，误将当作线段长度；②坐标法中，误将点坐标的横、纵坐标直接平方相加再开平方，忽略向量坐标是“终点减起点”；③基底法中，漏算基底向量的数量积项（仅当基底垂直时，该term为0）；④误将向量的模长的平方当作线段长度的平方，导致后续计算出错 重点记忆：①求长度的核心公式：（通用公式），坐标法公式（优先使用，简洁高效）；②两种方法的选择：有坐标系时，优先用坐标法；无坐标系时，用基底法，且优先选取垂直基底（可省略数量积项，简化计算）；③常用场景：求三角形的边长、平行四边形的边长、对角线长度、圆的半径等；④计算步骤：先表示出线段对应的向量（或求出向量坐标）→计算向量的模长（或模长的平方）→得出线段长度 常考结论：①平行四边形对角线长度公式：设平行四边形ABCD，对角线AC、BD，则，；②三角形中线长度公式（向量版）：设M为△ABC的BC中点，则；③若，则（勾股定理的向量体现） 5.向量在平面几何中的其他应用（拓展考点，适配综合题型） 知识点：除平行、垂直、长度外，向量还可用于求解平面几何中的夹角、证明三点共线、求解中点/等分点等问题：①求夹角：几何中两条线段的夹角（锐角或钝角），等于对应非零向量的夹角（或其补角），套用夹角公式；②证明三点共线：若A、B、C三点，存在实数，使得（或），则三点共线；③求中点/等分点：若M为AB中点，则，n等分点可推广为（k为等分份数） 易错辨析：①求几何夹角时，忽略夹角范围，误将向量的钝角夹角当作几何中的锐角夹角（几何中线段夹角为）；②证明三点共线时，未说明三个点有公共点，仅证明向量共线；③求等分点时，混淆等分点的比例，导致向量表达式错误；④用向量夹角公式时，漏算向量模长，或数量积计算错误 重点记忆：①几何夹角与向量夹角的区别：几何中线段夹角为锐角或直角（），向量夹角为，故需取向量夹角的锐角或直角；②三点共线的核心：向量共线且有公共点（如与共线，且有公共点A）；③中点向量公式（高频）：，可直接套用求中点坐标或中点相关线段；④综合解题思路：灵活选用基底法或坐标法，将多种几何关系转化为向量运算，分步求解 常考结论：①三角形内角平分线定理的向量体现：若AD为△ABC的内角平分线，且，则；②若A、B、C三点共线，则存在实数、，使得，且；③几何中，若两条线段对应的向量夹角为，且模长相等，则对应的三角形为等边三角形 二、6.4.2向量在物理中的应用举例 1.向量在物理中的核心对应关系（基础铺垫） 知识点：物理中，许多矢量（既有大小又有方向的量）均可借助平面向量表示，核心对应关系：①位移、速度、加速度、力、动量等矢量，对应平面向量（大小对应向量模长，方向对应向量方向）；②矢量的合成与分解，对应平面向量的加减运算；③矢量的数乘运算，可表示矢量的缩放（如力的大小加倍，方向不变，对应向量数乘2）；④矢量的数量积，可用于求解功、功率等物理量（如功，为力与位移的夹角） 易错辨析：①混淆“标量”与“矢量”，误将质量、路程、功等标量当作向量处理（标量只有大小，无方向，不能用向量表示）；②矢量合成时，忽略方向的影响，误将矢量的大小直接相加（如两个反向的力，合力大小为两力大小之差，而非之和）；③用向量表示矢量时，误将方向标错（如速度方向与位移方向混淆）；④计算功时，误将力与位移的夹角当作向量的夹角的补角，导致功的正负错误 重点记忆：①核心原则：物理中的矢量运算，完全遵循平面向量的运算规则（加减、数乘、数量积）；②关键对应：大小→模长，方向→向量方向，合成→加法，分解→减法（或加法逆运算）；③常用矢量：力、位移、速度、加速度（重点掌握这四个矢量的向量应用）；④注意事项：矢量的方向具有实际物理意义，运算时必须先确定方向（可建立坐标系，用坐标表示矢量方向） 常考结论：①所有矢量的合成与分解，均遵循平行四边形定则或三角形定则（与向量加减的几何意义一致）；②若两个矢量垂直，则其合矢量的大小为（勾股定理，高频应用）；③功的正负判定：时，（力做正功）；时，（力不做功）；时，（力做负功） 2.向量在力的合成与分解中的应用 知识点：力是矢量，力的合成与分解完全遵循平面向量的加减运算规则：①力的合成：两个力、的合力，对应向量加法，几何意义为平行四边形定则（以两个力为邻边，对角线为合力）或三角形定则（首尾相接，从起点到终点为合力）；②力的分解：一个力分解为两个分力、，对应向量减法，本质是合成的逆运算，需根据实际物理场景确定分力方向（如沿斜面和垂直斜面分解） 易错辨析：①力的合成时，误将两个力的大小直接相加，忽略方向（如两个反向力，合力大小为）；②力的分解时，未根据实际场景确定分力方向，随意分解（如斜面上的重力，应沿斜面和垂直斜面分解，而非水平和竖直方向）；③分解力时，误将分力的大小当作合力的大小，或计算分力时三角函数使用错误（如斜面倾角，重力沿斜面分力应为，垂直斜面为）；④多个力合成时，漏算某个力的方向，导致合力计算错误 重点记忆：①力的合成核心公式（两个力）：若与夹角为，则合力大小，方向由确定（为合力与的夹角）；②常用分解场景：斜面上的重力分解、绳的拉力分解、支持力分解（优先分解为沿运动方向和垂直运动方向）；③合力的范围：（同向时最大，反向时最小）；④解题步骤：确定研究对象→分析受力（画出受力图）→将力转化为向量→进行向量合成/分解→将结果转化为物理结论（合力大小、方向） 常考结论：①两个大小相等的力，夹角为时，合力大小，且合力方向在两个力的角平分线上；②斜面上，重力，斜面倾角为，则沿斜面分力（使物体下滑的力），垂直斜面分力（压力的反作用力）；③三个共点力平衡时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反（） 3.向量在位移与速度合成与分解中的应用 知识点：位移、速度均为矢量，其合成与分解遵循平面向量加减运算规则，核心应用为“相对运动”：①位移的合成：物体从A到B，再从B到C，总位移（三角形定则，首尾相接）；②速度的合成：物体的实际速度（合速度）等于分速度的向量和，如小船渡河时，实际速度（为船在静水中的速度，为水流速度）；③分解：与力的分解一致，根据实际运动场景分解位移或速度（如小船渡河时，将船速分解为沿河岸和垂直河岸方向） 易错辨析：①位移合成时，误将路程当作位移（路程是标量，无方向，不能用向量合成）；②小船渡河问题中，误将船速与水流速度的大小直接相加，当作实际速度大小（需考虑方向，用向量合成公式计算）；③速度分解时，分解方向错误，导致实际速度计算错误（如小船渡河，优先分解为垂直河岸和沿河岸方向，方便求渡河时间）；④相对运动中，混淆“合速度”与“分速度”的实际物理意义（如合速度是物体实际运动的速度） 重点记忆：①核心公式：位移合成，速度合成，模长计算同向量模长公式；②小船渡河高频场景：①最短时间：当船速垂直河岸时，渡河时间（d为河宽）；②最短位移：当时，最短位移为河宽d（船速斜向上游，合速度垂直河岸）；当时，最短位移为；③相对运动核心：“实际速度=分速度向量和”，明确每个分速度的施力物体（如船速由船提供，水流速度由水提供）；④解题步骤：分析物体的分位移/分速度→确定方向→转化为向量→合成/分解→计算合位移/合速度的大小和方向 常考结论：①小船渡河时，渡河时间仅与船速垂直河岸的分量有关，与水流速度无关（）；②若两个分速度垂直，则合速度大小，方向由三角函数确定；③物体做直线运动的充要条件：合速度与合加速度方向共线（向量共线） 4.向量在物理平衡问题中的应用 知识点：物理中，物体处于平衡状态（静止或匀速直线运动）的充要条件是：物体所受合外力为零，对应向量表达式为（所有外力的向量和为零向量）；核心解题方法：①合成法：将多个力逐步合成，最终合力为零；②分解法：将所有力分解到两个互相垂直的方向（建立坐标系），每个方向上的合力均为零（，） 易错辨析：①物体平衡时，误将“某个力为零”当作“合外力为零”（合外力为零，不等于单个力为零，可能是多个力的合力抵消）；②建立坐标系分解力时，误将力的方向标错，导致坐标轴上的分力正负错误；③分解力时，三角函数使用错误（如倾角，力沿x轴的分力误算为，实际应为）；④漏算某个外力（如重力、支持力），导致合外力计算错误，无法得出平衡条件 重点记忆：①平衡条件的向量核心：，即所有外力的向量和为零；②解题优先方法：正交分解法（建立坐标系，将所有力分解到x、y轴，列方程组、，计算简洁，不易出错）；③常用场景：物体在水平面上静止、斜面上静止、悬挂物体平衡等；④解题步骤：确定研究对象→分析所有外力（重力、支持力、拉力、摩擦力等）→建立坐标系→分解所有外力到坐标轴→列平衡方程组→求解未知力（如拉力、支持力） 常考结论：①悬挂物体平衡：若物体由两根绳子悬挂，两根绳子的拉力、，则（为重力），且两根绳子与竖直方向的夹角相等时，（为绳子与竖直方向的夹角）；②斜面上物体平衡：若物体在斜面上静止，无摩擦力，则、；有摩擦力时，（f为静摩擦力）；③三个共点力平衡时，这三个力可构成一个封闭的三角形（向量三角形） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：用向量证明垂直】 （2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．经典例题1例题    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． （24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.经典例题2例题    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. （23-24高一下·山东德州·月考）如图，在中，已知分别为上的点，且.小试牛刀1    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. （22-23高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．小试牛刀2    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． （22-23高一下·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.小试牛刀3    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【题型2：用向量解决夹角问题】 （24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.经典例题2例题    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. （23-24高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 小试牛刀1 （23-24高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 .小试牛刀2 （23-24高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，小试牛刀3 (1)求； (2)求的正弦值. 【题型3：用向量解决长度问题】 （2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ）经典例题1例题 A． B． C．3 D． （2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求：小试牛刀1 (1)AD的长； (2)的大小． （24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ）小试牛刀2 A． B． C．2 D． （24-25高三上·天津河北·期中）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 .小试牛刀3 【题型4：向量与几何中的最值】 （25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·陕西西安·三模）设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A．1 B． C． D．2 （25-26高三上·北京·月考）在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为 ．小试牛刀1 （25-26高三上·福建厦门·期中）已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·新疆·月考）已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为 .小试牛刀3 【题型5：力的合成】 （25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ）经典例题1例题 A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 （25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）经典例题2例题    （2026高三·全国·专题练习）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为 ．小试牛刀1 （25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）小试牛刀3    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【题型6：速度位移的合成】 （25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·广东·月考）某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h．小试牛刀2 （2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：功的计算】 （24-25高二下·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ）经典例题2例题 A．2 B．4 C．6 D．10 （25-26高三上·浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功）小试牛刀1 A． B．3 C．4 D．5 （24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 .小试牛刀2 （24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为 ．小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·天津滨海新·月考）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为4，P是正八边形边上任意一点，则以下结论正确的个数是（   ） ①的最大值为 ②在方向上的投影向量为 ③ ④若函数，则函数的最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多选题 4．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知是边长为的等边三角形，点在内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则点P的轨迹长度为 D．若，则 三、填空题 5．（23-24高二上·山东泰安·开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 6．（24-25高一下·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 7．（24-25高一下·重庆万州·月考）如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则 . 8．（24-25高三上·天津河西·期末）在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用，表示为 ；的最小值为 ． 9．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为 ． 10．（24-25高一下·上海·月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为 ．    11．（2024·广东佛山·一模）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 四、解答题 12．（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 13．（23-24高一下·广东深圳·月考）如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.    (1)用，表示，； (2)如果，海里，且，求岛屿到补给站的距离以及岛屿到的距离. 14．（22-23高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 15．（23-24高一下·陕西西安·月考）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 16．（22-23高一下·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 17．（22-23高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 18．（24-25高一下·江苏南通·月考）记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． (1)已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； (2)记，用向量方法证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $