专题1.4 整式的除法（寒假预习讲义）（2大知识点预习+ 9大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年北师大版七年级数学下学期

专题1.4 整式的除法 知识点1：单项式除以单项式 1.运算法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2.运算步骤（配合示例说明）： 步骤 操作说明 示例（计算） 1 系数相除（连同符号） 2 同底数幂相除（底数不变，指数相减） 3 处理单独字母（只在被除式中出现的字母保留） 本题无单独字母，无需额外操作 4 合并结果 商为系数与同底数幂的乘积： 知识点2：多项式除以单项式 1.运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加（本质是转化为单项式除以单项式的和）。 2.运算步骤： 第一步：将多项式的每一项分别与除式（单项式）建立除法关系； 第二步：对每一项执行单项式除以单项式的运算； 第三步：将所有项的商相加（注意保留各项的符号）； 3.注意事项： 多项式的每一项都包括它前面的符号，除法中要注意符号的运算； 商的项数与原多项式的项数相同，不可漏除常数项或单独字母项； 结果可通过“商×除式”反向验证是否正确。 【基础必考题型】 【题型1】单项式除以单项式（基本计算） 1.核心知识点 单项式除以单项式的运算法则； 同底数幂的除法法则（，，为正整数且）。 2.解题方法技巧 遵循“系数→同底数幂→单独字母”三步法，先确定系数的商（含符号），再计算同底数幂的商，最后保留单独字母； 系数相除时，注意符号运算（同号得正，异号得负），结果化为最简分数。 【例题1】.（2026·陕西·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的法则是解题的关键． 使用单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式题1-2】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式．先运算积的乘方，再运算单项式除以单项式，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据单项式除以单项式法则计算即可得； （2）先计算括号内的单项式除以单项式，再计算单项式除以单项式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型2】多项式除以单项式（基本计算） 1.核心知识点 多项式除以单项式的运算法则； 单项式除以单项式的运算法则。 2.解题方法技巧 按“逐项除+求和”的思路，将多项式的每一项分别除以单项式； 每一项除法都遵循单项式除法法则，特别注意符号（除式为负时，每一项商的符号要反转）； 最后合并同类项（若有），避免漏项（尤其是常数项或仅含单独字母的项）。 【例题2】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，解决本题的关键是熟练掌握运算法则并正确计算． 将多项式中的每一项分别除以单项式，并利用指数法则简化即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·北京密云·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式除以单项式的运算法则，用多项式的每一项除以单项式． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运算，解决本题的关键是认真计算． （1）用多项式的每一项分别除以单项式，再进行加法运算即可； （2）用多项式的每一项分别除以单项式，再进行减法运算即可； （3）用多项式的每一项分别除以单项式，再进行加减法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型3】逆向求解：已知积与一个因式，求另一个因式 1.核心知识点 整式除法与乘法的互逆关系（若，则）； 单项式、多项式除以单项式的运算法则。 2.解题方法技巧 明确“积为被除式，已知因式为除式”，转化为整式除法运算； 若积为单项式，直接用单项式除法；若积为多项式，用多项式除法逐项计算； 结果可通过“商×已知因式”验证是否等于原积。 【例题3】.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若一个多项式M与单项式的积是，则这个多项式M是 【答案】 【分析】已知与单项式的积是，求，用除法，即，根据多项式除以单项式法则，将多项式的每一项分别除以单项式即可得到答案． 此题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是关键． 【详解】解： 所以 故答案为： ． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·山东滨州·期中）与单项式的积是的多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法，掌握除法法则是解题的关键．根据题意求即可得出答案． 【详解】依题意： ． 故答案为： 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·期中）若长方体的体积是，底面积是，则这个长方体的高是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的应用，熟练掌握单项式除以多项式法则是解题的关键． 利用多项式除以单项式法则计算，即可求解． 【详解】解： ∴这个长方体的高是． 故答案为：． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·广东梅州·月考）已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据乘法与除法的互逆关系，可得整式的除法，根据整式的除法，可得答案． 【详解】解：由与一个多项式之积是，得 ， 即这个多项式是． 故选：C． 【培优高频题型】 【题型4】整式混合运算（含乘方、乘除、加减） 1.核心知识点 整式混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）； 单项式、多项式除以单项式的运算法则。 2.解题方法技巧 第一步：先计算所有乘方运算（注意符号和指数的正确性，如）； 第二步：按从左到右的顺序计算乘除运算； 第三步：最后计算加减运算（合并同类项）； 关键：每一步运算都单独验证符号，避免连环错误。 【例题4】.（2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）运用单项式乘以多项式和多项式除以单项式的法则进行计算，即可作答； （2）运用完全平方公式和平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）使用多项式除以单项式的法则，将每一项分别除以单项式； （2）运用完全平方公式和平方差公式进行展开，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·天津和平·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算，包括完全平方公式、平方差公式、幂的运算和整式的乘除．解题时需熟练掌握相关运算法则，逐步计算． （1）先根据完全平方公式计算，再去括号即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘法和除法，然后合并同类项即可； （3）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项； （4）先算括号里，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·广东珠海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法和除法．熟悉多项式除以单项式的运算：将多项式的每一项分别除以单项式，再把结果相加，平方差公式的应用，整式的混合运算法则，是解题的关键． 按照“先乘除、后加减”的顺序，结合平方差公式的应用，去括号、合并同类项，依次进行计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【题型5】化简求值（直接代入+整体代入） 1.核心知识点 多项式除以单项式的化简； 整体代入思想（已知字母的数量关系，无需单独求字母值）。 2.解题方法技巧 先将代数式化简为最简形式（通常是单项式或一次二项式），再代入求值； 若已知条件为字母的整体关系（如），化简结果尽量向该整体靠拢，直接整体代入； 代入负数或分数时，注意添加括号，避免符号错误。 【例题5】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据整式的混合运算法则，进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 将，代入上式， 得． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，45 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算多项式乘以多项式，平方差公式，然后合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当 时， 原式 ． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；0 【分析】本题考查了整式的化简求值、平方差公式、完全平方公式和单项式乘以多项式，正确计算是解题的关键． 先根据平方差公式、完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并同类项，最后算除法运算，并代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山东济宁·周测）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式中括号中利用完全平方公式及多项式的乘法化简，合并后再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 【题型6】几何图形中的整式除法应用（面积/周长） 1.核心知识点 长方形、三角形等基本图形的面积公式； 多项式除以单项式的运算法则。 2.解题方法技巧 根据图形面积公式建立等式（如长方形面积=长×宽，則长=面积÷宽）； 将图形的边长用整式表示，转化为整式除法运算； 结果需结合几何意义（边长为正数），验证符号和合理性。 【例题6】.（25-26七年级下·全国·周测）若长方形的面积为，它的一边长为，则它的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运算以及长方形的周长计算，解题关键是先通过面积求出另一边的长度，再代入周长公式进行计算． 先利用长方形面积公式求出另一边的长度，再根据长方形周长公式计算周长，最后对比选项得出答案． 【详解】解:∵ 面积 = ，一边长为 ， ∴ 另一边长 = ． ∴ 周长 = ． 故选：D． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）数学实践活动课上，小宇制作了两个面积相等的纸片，各部分的面积数据如图所示，则图2中长方形的宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式除法的应用，完全平方公式．用长方形的面积除以长可得． 【详解】根据题意得， ∴图2中长方形的宽为． 故选：A． 【变式题6-2】.（24-25八年级上·河北衡水·期末）某居民小区响应党的号召，开展全民健身活动．该小区准备修建一座健身馆，其设计方案如图所示，区为成年人活动场所，区为未成年人活动场所，其余地方均种花草． (1)活动场所和花草的面积各是多少； (2)整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 【答案】(1)活动场所面积是，花草的面积 (2)倍 【分析】本题考查整式的混合运算，列代数式， （1）根据题意表示出活动场所和花草的面积即可； （2）根据题意列出关系式，利用多项式除以单项式法则计算即可； 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：活动场所面积：， 花草的面积： ， ， ∴活动场所面积是，花草的面积是； （2） ， ∴整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的倍． 【变式题6-3】.（23-24七年级下·河南郑州·月考）如图，某新建高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉四周留有宽度均为b米的人行通道． (1)请用代数式表示高铁站广场的面积并化简； (2)请用代数式表示喷泉的面积并化简； (3)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地砖的面积是平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地砖多少块． 【答案】(1) (2) (3)需要这样的地砖块． 【分析】本题考查列代数式，多项式乘多项式及多项式除以单项式的应用，熟练列式是解本题的关键； （1）直接利用长方形的面积公式计算即可； （2）先表示喷泉的长与宽，再结合长方形的面积公式，可以用代数式表示出喷泉的面积； （3）根据（1）（2）中的结果，计算道路的面积再除以每一块地砖的面积，可以解答本题； 【详解】（1）解：高铁站广场的面积为： ； （2）由图可得，喷泉面积为： ； （3） （块）， 答：需要这样的地砖块． 【压轴素养题型】 【题型7】跨学科应用：科学记数法与实际问题 1.核心知识点 科学记数法的除法运算（）； 多项式除以单项式的实际建模。 2.解题方法技巧 将实际问题中的大数用科学记数法表示，转化为整式除法运算； 若涉及多项式形式的总量（如总面积、总路程），根据“单一量=总量÷数量”列除法算式； 结果需结合实际意义（如年数、数量为正整数），保留合适的精度。 【例题7】.（24-25七年级下·山西运城·月考）某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算，求出长方体的体积，再除以速度，即可得出结果． 【详解】解：长方体废水池中废水的体积为， ∵净化速度为， 净化废水所需时间为． 答：这池废水需要能净化完． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）科学研究发现，一个水分子的质量大约是，水中大约有多少个水分子？已知一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为，一个氢原子的质量约为多少千克？ 【答案】个， 【分析】此题考查了本题考查了负指数幂的相关运算与用科学记数法表示数，根据题意列出算式，再把结果用科学记数法表示即可，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴水中大约有个水分子， ∵一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为， ∴一个氢原子的质量约为． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·江苏南京·月考）某种液体每升含有个细菌，有一种杀菌剂1滴可以杀死个此种有害细菌．现准备将该种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若每滴这种杀菌剂为，则要用多少升杀虫剂（用科学记数法表示）？ 【答案】要用这种杀菌剂升 【分析】本题考查了同底数幂乘除法的实际应用及科学记数法，解题的关键是：理解题意正确列式．先求出3升含有细菌的个数，再求出杀死这些细菌需要的滴数，再用滴数除以每滴这种杀菌剂的升数，即可求解， 【详解】解：根据题意知，要用这种杀菌剂（滴）， 要用（升）， 答：要用这种杀菌剂升． 【变式题7-3】.（2024八年级上·全国·专题练习）一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 【答案】(1)立方米 (2)块 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，科学记数法，积的乘方的应用，同底数幂的除法的应用，准确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式列式计算即可； （2）先算出小正方体的体积，用大正方体的体积除以小正方体的体积即可． 【详解】（1）解：（立方米）， 答：这块正方体铁块的体积是立方米； （2）解：（立方米）， （个）， 答：需要1000块这样的小正方体铁块． 【题型8】情境化逆向应用：密码破解与数值转换机 1.核心知识点 单项式、多项式除以单项式的逆向运算； 代数式的求值。 2.解题方法技巧 提取情境中的数量关系（如“密码=某整式÷已知整式”），建立除法模型； 先化简除法算式，再代入已知数值计算； 注意情境中的限制条件（如字母为正整数、结果为整数等）。 【例题8】.（25-26七年级上·全国·期中）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ 【答案】 【分析】此题考查幂的乘方，单项式除以单项式，根据给定的密码规则，密码由表达式中变量的指数按顺序拼接而成，先化简第三个表达式，利用幂的乘方和同底数幂的乘除法法则计算各变量的指数，最后连接指数得到密码． 【详解】化简表达式： 指数分别为20、2、5，拼接后得2025， 故答案为2025． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·湖北黄石·期末）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 账号： 密码 【答案】2026 【分析】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方运算，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键． 由题意可先进行单项式除以单项式的运算，然后问题可求解． 【详解】解：， ∴他输入的密码是2026； 故答案为：2026． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·贵州毕节·期中）如图是一个整式运算程序： (1)输入整式，，此时整式是_______； (2)已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式和多项式除以单项式，整式的运算的无关型问题，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）理由同底数幂的乘法法则求解即可； （2）①根据完全平方公式和多项式除以单项式法则求解即可； ②根据题意列出算式化简，然后根据输出的结果中不含的一次项得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）①∵ ∴ ∴； ②∵，， ∴ ∵输出的结果中不含的一次项， ∴ ∴． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·北京顺义·期中）学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当余式的次数低于除式的次数 (2) (3)3 (4)能，另一边长为 【分析】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． （1）结合列竖式计算整数的除法即可得到结论； （2）列竖式进行计算即可得到答案； （3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到18张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）解：余式的次数满足：当余式的次数低于除式的次数， 故答案为：当余式的次数低于除式的次数； （2）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （3）解：列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：； （4）解：能，理由如下： 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，9张卡片，8张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 【题型9】多项式整除问题（探究式） 1.核心知识点 多项式除以单项式的延伸（多项式除以多项式的整除性）； 恒等式的性质（对应项系数相等）。 2.解题方法技巧 设商式（根据被除式和除式的次数确定商式的次数，如三次多项式÷二次多项式，商式为一次二项式）； 将“被除式=除式×商式”展开，根据对应项系数相等列方程，求解未知系数； 验证：用除式×商式，看是否等于原被除式。 【例题9】.（24-25八年级下·山东菏泽·月考）阅读下列材料： 因为，所以这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为． 回答下列问题： (1)根据上面的材料，猜想：多项式的值为，多项式的因式、多项式能被整除，这三者之间存在着一种什么样的联系？ (2)探求规律：一般地，如果关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式之间有何种关系？ (3)应用： ①已知能整除，求的值； ②已知能整除二次三项式，的二次项系数为，并且当时，多项式的值等于，求二次三项式． 【答案】(1)此多项式能被整除；若，则此多项式的值为； (2)能被整除； (3)①；②． 【分析】（1）根据题意可知若，所以能被整除，且当时，多项式的值为，从而求解； （2）由（1）得出的关系，可得到多项式能被整除，至此可求； （3）可根据第（1）问得到的规律列出关于的方程，从而确定的值； 因为能整除二次三项式，说明多项式有一个因式为，因为当时，，说明多项式有一个因式为，据此得到． 此题考查了整式的除法，是一道推理题，要掌握好整式的除法法则是解题的关键． 【详解】（1）由多项式有因式， 所以此多项式能被整除； 若，则此多项式的值为； （2）由（1）可知，满足三个条件中的一个，那么它必定具备另外两个条件， 即当时，多项式的值为，能被整除； （3）因为能整除， 所以当时，， 即当时，， 解得； 因为能整除二次三项式， 所以多项式有一个因式为． 又因为当时，多项式的值等于， 所以多项式有一个因式为， 所以． 【变式题9-1】.（2025·安徽合肥·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）______； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； （2）兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为______，所以______，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 【答案】（1）（ⅰ）48（ⅱ）能被8整除，证明见解析（2）或； 【分析】本题考查了数字类规律探索，因式分解的应用，掌握相关运算法则是解题关键． （1）（ⅰ）根据表中规律作答即可；（ⅱ）根据表中规律即可得出能被整除；根据平方差公式化简，即可得解； （2）根据题中方法利用平方差公式化简即可求解． 【详解】解：（1）（ⅰ）， 故答案为：； （ⅱ）能被整除； 证明：， 是正整数， 能被8整除，结论成立； （2）， ． 故答案为：（或），． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． 【答案】(1)能，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题是阅读材料题，考查了，多项式的乘法运算，多项式除以多项式，关键是读懂材料提供的方法，并能灵活运用方法解决问题． （1）按照材料中的竖式方法进行即可； （2）按照材料中的竖式方法进行，根据题意余式要为0，则余式的各项系数均为0，从而可以求得a与b的值，最后求得结果． （3）由长方形B的周长是A周长的2倍可得，再分别求解长方形，的面积，结合多项式除以多项式可得答案． 【详解】（1）解：能，理由如下： 列竖式如下： （2）解：列竖式如下： 由题意得： ∴且 ∴，， ∴． （3）解：∵长方形的周长为：， 长方形的周长为：， 而长方形B的周长是A周长的2倍， ∴， ∴， ∴长方形的面积为： ； ∵长方形B的面积比C的面积大76， 长方形的面积为：， ∴， ∴长方形C已知边长的邻边长为：． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2)能被整除，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）解：能被整除，理由如下： （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 易错点 1.符号错误：单项式除法中系数符号判断错误；多项式除法中每一项的符号与除式符号冲突（如除式为负时，未反转每一项的符号）。 2.漏项错误：多项式除法中漏除常数项或仅含单独字母的项（如漏除，导致结果缺少）。 3.同底数幂运算法则混淆：将“同底数幂相除（指数相减）”误记为“指数相加”或“指数相乘”（如误算为或）。 4.混合运算顺序错误：先算加减后算乘除，或未先算乘方直接进行乘除运算（如误算为，正确应为）。 5.逆向思维薄弱：已知积和一个因式求另一个因式时，未正确转化为除法运算，或符号处理错误。 重点 1.掌握单项式除以单项式的运算法则（系数、同底数幂、单独字母的三步处理），能准确进行计算。 2.掌握多项式除以单项式的运算法则（逐项除+求和），避免漏项和符号错误。 3.能进行整式混合运算（含乘方、乘除、加减），遵循正确的运算顺序。 4.能运用整式除法解决简单的逆向问题、几何图形问题和实际应用问题。 难点 1.整式混合运算中符号的连环处理（尤其是含多重括号和负号的乘方运算）。 2.多项式除法的漏项问题（常数项、单独字母项的除运算）及结果验证。 3.逆向思维的应用（已知积和一个因式求另一个因式，多项式整除问题）。 4.实际问题与跨学科问题的建模（将文字描述转化为整式除法算式）。 5.整体代入思想在化简求值中的灵活应用（已知字母整体关系，无需单独求字母值）。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式除法法则，系数相除，同底数幂相减；对于积的乘方，先计算乘方再除法，逐项计算判断． 本题考查了单项式除法的运算，积的乘方，熟练运用除法法则以及积的乘方是解题的关键． 【详解】A、， 故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选：B． 2．已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，通过多项式除以单项式计算即可. 【详解】解：长方形的面积为，一边长为， 另一边长为． 故选： D． 3．已知恰好能写成一个二项式的平方，则的值是（    ） A． B． C．48 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式的结构特征以及单项式除以单项式的运算，解题关键是根据完全平方式的系数关系求出的值，再代入代数式计算． 先根据完全平方式的结构特征求出的值，再代入代数式进行计算，最后判断选项． 【详解】解：∵ 能写成一个二项式的平方， ∴ ， ∴ ． 又 ∵ ， 代入 ，得 ． ∴ 值为 ． 故选：A． 4．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先简化代数式，发现它等于，然后代入已知条件即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 5．对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【详解】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 二、填空题 6．填空： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用积的乘方，单项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． （3） 故答案为：． 7．任意给一个非零数a，按下列程序进行计算，则输出结果是 ． 【答案】4 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方，单项式除以单项式，弄清题中的计算程序是解本题的关键． 根据程序，用含的代数式表示输出结果并化简即可． 【详解】解：任意给一个非零数，按下列程序进行计算， 则输出结果是 ． 故答案为：． 8．某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络，他输入的密码是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式定义及相关运算，熟记单项式定义及乘除运算法则是解决问题的关键． 由前面、找出密码规律求解即可得到答案． 【详解】解：由中的指数为即，得到密码是单项式各项字母的次数； 由中的指数为即，得到密码是单项式各项字母的次数； ， 则的指数为即，得到密码是， 则他输入的密码是． 故答案为：． 9．若，则括号内应填的代数式是 ． 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则求解即可； 本题考查了整式的除法运算，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键. 【详解】解：根据题意，括号内的代数式为 ， 计算得 ， 则括号内应填 ； 故答案为：. 10．如图是一个圆柱形容器与一个长方体容器，现把圆柱形容器中盛满了水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满，则长方体容器的宽为 ．（每个容器的厚度均忽略不计） 【答案】 【分析】本题考查圆柱体和长方体的体积，整式运算的实际应用，根据圆柱体和长方体的体积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，长方体容器的宽为． 故答案为： 三、解答题 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，根据积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式法则进行求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 12．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，关键是先利用完全平方公式和平方差公式进行括号内的运算，再合并同类项，最后代入数值计算． 【详解】解：原式 ； 将，代入，得原式． 13．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1)广场的面积为 (2)需要3×105块大理石地砖 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，科学记数法，正确计算是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式列式求解即可； （2）先求出一块大理石的面积，再用广场面积除以一块大理石的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： 答：广场的面积为； （2）解：单块大理石的面积是 ． 答：需要块大理石地砖 14．可依照计算如图： 因此． 阅读上述材料后仿照计算． 【答案】 【分析】本题考查除法运算，理解题干中提供的运算方法是解题关键 按照题干所提供的方法进行计算即可． 【详解】解：如图， 故． 15．如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． (1)求出拼成的长方形纸片的长和宽； (2)把这个拼成的长方形纸片的面积加上后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为，求它的宽． 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算． （1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽，熟练运用整式的加减法运算即可得到结果； （2）根据题意列出关系式，熟练运用整式的除法运算即可得到结果． 【详解】（1）解：长方形的长为：， 长方形的宽为：； （2）解：另一个长方形的宽： ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 整式的除法 知识点1：单项式除以单项式 1.运算法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2.运算步骤（配合示例说明）： 步骤 操作说明 示例（计算） 1 系数相除（连同符号） 2 同底数幂相除（底数不变，指数相减） 3 处理单独字母（只在被除式中出现的字母保留） 本题无单独字母，无需额外操作 4 合并结果 商为系数与同底数幂的乘积： 知识点2：多项式除以单项式 1.运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加（本质是转化为单项式除以单项式的和）。 2.运算步骤： 第一步：将多项式的每一项分别与除式（单项式）建立除法关系； 第二步：对每一项执行单项式除以单项式的运算； 第三步：将所有项的商相加（注意保留各项的符号）； 3.注意事项： 多项式的每一项都包括它前面的符号，除法中要注意符号的运算； 商的项数与原多项式的项数相同，不可漏除常数项或单独字母项； 结果可通过“商×除式”反向验证是否正确。 【基础必考题型】 【题型1】单项式除以单项式（基本计算） 1.核心知识点 单项式除以单项式的运算法则； 同底数幂的除法法则（，，为正整数且）。 2.解题方法技巧 遵循“系数→同底数幂→单独字母”三步法，先确定系数的商（含符号），再计算同底数幂的商，最后保留单独字母； 系数相除时，注意符号运算（同号得正，异号得负），结果化为最简分数。 【例题1】.（2026·陕西·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算： ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型2】多项式除以单项式（基本计算） 1.核心知识点 多项式除以单项式的运算法则； 单项式除以单项式的运算法则。 2.解题方法技巧 按“逐项除+求和”的思路，将多项式的每一项分别除以单项式； 每一项除法都遵循单项式除法法则，特别注意符号（除式为负时，每一项商的符号要反转）； 最后合并同类项（若有），避免漏项（尤其是常数项或仅含单独字母的项）。 【例题2】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·北京密云·期末）计算： ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型3】逆向求解：已知积与一个因式，求另一个因式 1.核心知识点 整式除法与乘法的互逆关系（若，则）； 单项式、多项式除以单项式的运算法则。 2.解题方法技巧 明确“积为被除式，已知因式为除式”，转化为整式除法运算； 若积为单项式，直接用单项式除法；若积为多项式，用多项式除法逐项计算； 结果可通过“商×已知因式”验证是否等于原积。 【例题3】.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若一个多项式M与单项式的积是，则这个多项式M是 【变式题3-1】.（24-25八年级上·山东滨州·期中）与单项式的积是的多项式是 ． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·期中）若长方体的体积是，底面积是，则这个长方体的高是 ． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·广东梅州·月考）已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型4】整式混合运算（含乘方、乘除、加减） 1.核心知识点 整式混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）； 单项式、多项式除以单项式的运算法则。 2.解题方法技巧 第一步：先计算所有乘方运算（注意符号和指数的正确性，如）； 第二步：按从左到右的顺序计算乘除运算； 第三步：最后计算加减运算（合并同类项）； 关键：每一步运算都单独验证符号，避免连环错误。 【例题4】.（2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）计算： (1)； (2)． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1) (2) 【变式题4-2】.（25-26八年级上·天津和平·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·广东珠海·期末）计算： 【题型5】化简求值（直接代入+整体代入） 1.核心知识点 多项式除以单项式的化简； 整体代入思想（已知字母的数量关系，无需单独求字母值）。 2.解题方法技巧 先将代数式化简为最简形式（通常是单项式或一次二项式），再代入求值； 若已知条件为字母的整体关系（如），化简结果尽量向该整体靠拢，直接整体代入； 代入负数或分数时，注意添加括号，避免符号错误。 【例题5】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山东济宁·周测）化简求值：，其中． 【题型6】几何图形中的整式除法应用（面积/周长） 1.核心知识点 长方形、三角形等基本图形的面积公式； 多项式除以单项式的运算法则。 2.解题方法技巧 根据图形面积公式建立等式（如长方形面积=长×宽，則长=面积÷宽）； 将图形的边长用整式表示，转化为整式除法运算； 结果需结合几何意义（边长为正数），验证符号和合理性。 【例题6】.（25-26七年级下·全国·周测）若长方形的面积为，它的一边长为，则它的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）数学实践活动课上，小宇制作了两个面积相等的纸片，各部分的面积数据如图所示，则图2中长方形的宽为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（24-25八年级上·河北衡水·期末）某居民小区响应党的号召，开展全民健身活动．该小区准备修建一座健身馆，其设计方案如图所示，区为成年人活动场所，区为未成年人活动场所，其余地方均种花草． (1)活动场所和花草的面积各是多少； (2)整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 【变式题6-3】.（23-24七年级下·河南郑州·月考）如图，某新建高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉四周留有宽度均为b米的人行通道． (1)请用代数式表示高铁站广场的面积并化简； (2)请用代数式表示喷泉的面积并化简； (3)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地砖的面积是平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地砖多少块． 【压轴素养题型】 【题型7】跨学科应用：科学记数法与实际问题 1.核心知识点 科学记数法的除法运算（）； 多项式除以单项式的实际建模。 2.解题方法技巧 将实际问题中的大数用科学记数法表示，转化为整式除法运算； 若涉及多项式形式的总量（如总面积、总路程），根据“单一量=总量÷数量”列除法算式； 结果需结合实际意义（如年数、数量为正整数），保留合适的精度。 【例题7】.（24-25七年级下·山西运城·月考）某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）科学研究发现，一个水分子的质量大约是，水中大约有多少个水分子？已知一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为，一个氢原子的质量约为多少千克？ 【变式题7-2】.（24-25七年级下·江苏南京·月考）某种液体每升含有个细菌，有一种杀菌剂1滴可以杀死个此种有害细菌．现准备将该种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若每滴这种杀菌剂为，则要用多少升杀虫剂（用科学记数法表示）？ 【变式题7-3】.（2024八年级上·全国·专题练习）一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 【题型8】情境化逆向应用：密码破解与数值转换机 1.核心知识点 单项式、多项式除以单项式的逆向运算； 代数式的求值。 2.解题方法技巧 提取情境中的数量关系（如“密码=某整式÷已知整式”），建立除法模型； 先化简除法算式，再代入已知数值计算； 注意情境中的限制条件（如字母为正整数、结果为整数等）。 【例题8】.（25-26七年级上·全国·期中）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ 【变式题8-1】.（25-26八年级上·湖北黄石·期末）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 账号： 密码 【变式题8-2】.（25-26九年级上·贵州毕节·期中）如图是一个整式运算程序： (1)输入整式，，此时整式是_______； (2)已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·北京顺义·期中）学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【题型9】多项式整除问题（探究式） 1.核心知识点 多项式除以单项式的延伸（多项式除以多项式的整除性）； 恒等式的性质（对应项系数相等）。 2.解题方法技巧 设商式（根据被除式和除式的次数确定商式的次数，如三次多项式÷二次多项式，商式为一次二项式）； 将“被除式=除式×商式”展开，根据对应项系数相等列方程，求解未知系数； 验证：用除式×商式，看是否等于原被除式。 【例题9】.（24-25八年级下·山东菏泽·月考）阅读下列材料： 因为，所以这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为． 回答下列问题： (1)根据上面的材料，猜想：多项式的值为，多项式的因式、多项式能被整除，这三者之间存在着一种什么样的联系？ (2)探求规律：一般地，如果关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式之间有何种关系？ (3)应用： ①已知能整除，求的值； ②已知能整除二次三项式，的二次项系数为，并且当时，多项式的值等于，求二次三项式． 【变式题9-1】.（2025·安徽合肥·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）______； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； （2）兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为______，所以______，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 易错点 1.符号错误：单项式除法中系数符号判断错误；多项式除法中每一项的符号与除式符号冲突（如除式为负时，未反转每一项的符号）。 2.漏项错误：多项式除法中漏除常数项或仅含单独字母的项（如漏除，导致结果缺少）。 3.同底数幂运算法则混淆：将“同底数幂相除（指数相减）”误记为“指数相加”或“指数相乘”（如误算为或）。 4.混合运算顺序错误：先算加减后算乘除，或未先算乘方直接进行乘除运算（如误算为，正确应为）。 5.逆向思维薄弱：已知积和一个因式求另一个因式时，未正确转化为除法运算，或符号处理错误。 重点 1.掌握单项式除以单项式的运算法则（系数、同底数幂、单独字母的三步处理），能准确进行计算。 2.掌握多项式除以单项式的运算法则（逐项除+求和），避免漏项和符号错误。 3.能进行整式混合运算（含乘方、乘除、加减），遵循正确的运算顺序。 4.能运用整式除法解决简单的逆向问题、几何图形问题和实际应用问题。 难点 1.整式混合运算中符号的连环处理（尤其是含多重括号和负号的乘方运算）。 2.多项式除法的漏项问题（常数项、单独字母项的除运算）及结果验证。 3.逆向思维的应用（已知积和一个因式求另一个因式，多项式整除问题）。 4.实际问题与跨学科问题的建模（将文字描述转化为整式除法算式）。 5.整体代入思想在化简求值中的灵活应用（已知字母整体关系，无需单独求字母值）。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 3．已知恰好能写成一个二项式的平方，则的值是（    ） A． B． C．48 D．24 4．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 5．对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 二、填空题 6．填空： （1） ． （2） ． （3） ． 7．任意给一个非零数a，按下列程序进行计算，则输出结果是 ． 8．某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络，他输入的密码是 ． 9．若，则括号内应填的代数式是 ． 10．如图是一个圆柱形容器与一个长方体容器，现把圆柱形容器中盛满了水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满，则长方体容器的宽为 ．（每个容器的厚度均忽略不计） 三、解答题 11．计算：． 12．先化简，再求值：，其中，． 13．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 14．可依照计算如图： 因此． 阅读上述材料后仿照计算． 15．如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． (1)求出拼成的长方形纸片的长和宽； (2)把这个拼成的长方形纸片的面积加上后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为，求它的宽． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $