12.2 三角形全等的判定 寒假巩固 讲义 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

华师大版（2024）八年级上册 12.2 三角形全等的判定 寒假巩固 【题型1】全等三角形的定义 【典型例题】如图，在四边形中，，点为上的点(不与重合)，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有(　　)对全等三角形． A.15 B.16 C.18 D.21 【举一反三1】如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有          ． 【举一反三3】把绕点旋转，得到．图中的两个三角形全等吗？ 【题型2】全等三角形的对应元素 【典型例题】如图，，和，和是对应边，则的对应角是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是(　　) A.与是对应边 B.与是对应边 C.与是对应边 D.不能确定 的对应边 【举一反三2】如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边:       . 【举一反三3】如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为(　　)；②的对应角为(　　)；③的对应角为(　　)；④的对应边为(　　)；⑤的对应边为(　　)． 【举一反三4】如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    【举一反三5】如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．    【题型3】全等三角形的性质 【典型例题】如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C＝53°，则∠D＝(　　) A.47° B.35° C.37° D.53° 【举一反三1】如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三2】如图，已知△ABE≌△ACD，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，BD＝1.1 cm，CD＝3.3 cm，则DE的长度为(　　) A.2.1 cm B.2.2 cm C.2.3 cm D.3 cm 【举一反三3】如图，△ABC≌△A′B′C，点A与点A'，点B与点B'为对应顶点，A'B'交AC于点D，若∠A'DC＝90°，∠B'CB＝35°，则∠A＝　　°． 【举一反三4】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F． (1)当DE＝9，BC＝5时，线段AE的长为 　　； (2)已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数． 【举一反三5】如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE． (1)你能说明BD、DE、CE之间的数量关系吗？ (2)请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE？ 【题型4】全等三角形判定条件的探索 【典型例题】如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在四边形中，，点为上的点(不与重合)，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有(　　)对全等三角形． A.15 B.16 C.18 D.21 【举一反三2】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有          ． 【举一反三3】如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是小方格的顶点)．若格点△ACP与△ABC全等(不与△ABC重合)，则所有满足条件的点P有      个． 【举一反三4】如图，在中，于点D，．完成下面说明的理由的过程． 解：∵(已知)， ∴___________(垂直的定义)． 当把图形沿AD对折时，射线DB与DC___________． ∵(___________) 点B与点___________重合， 与___________， ___________(全等三角形的定义)， (___________)． 【题型5】用SAS判定三角形全等 【典型例题】如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据“S.A.S.”判定△ABC≌△DEF，还需要的条件是(　　) A.∠A＝∠D B.∠B＝∠DEF C.∠ACB＝∠F D.以上均可以 【举一反三1】如图，已知△ABC六个元素，则下列甲．乙．丙三个三角形中与△ABC全等的三角形是(　　) A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙 【举一反三2】如图，，可得的依据是             ．    【举一反三3】如图，为上一点，，点在上，连接，，，．求证：．    【题型6】SAS与全等三角形的性质的综合 【典型例题】如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为(　　)    A. B.3 C.4 D. 【举一反三1】如图，在和中，，，，，则的长为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三2】如图所示，为的角平分线，且，则的大小是(　　)． A. B. C. D. 【举一反三3】如图，，，，，，则      ． 【举一反三4】如图，在和中，，，，则      ． 【举一反三5】如图，已知在和中，，，．求证：． 【题型7】SAS的实际应用 【典型例题】如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则，两端的距离为(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】要测量A，B间的距离(无法直接测出)，两位同学提供了如下测量方案： 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是(　　) A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ、Ⅱ都不可行 D.Ⅰ、Ⅱ都可行 【举一反三3】如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点正北方. 海岛在观测点所在海岸的同一侧. 如果从观测点看海岛的视角与从观测点看海岛的视角相等，海岛分别到观测点的距离相等，问海岛在观测点的正北方吗? 请说明理由：                             . 【举一反三4】如图，公园有一条“Z”字形道路，其中，在点E，M，F处各有一个小石凳，且米，米，点M为的中点，连接，，石凳M到石凳E的距离米．求石凳M到石凳F的距离． 【举一反三5】如图，阅读下列材料，回答问题．    [任务]如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内． [工具]如图2，一把皮尺(测量长度略小于的两倍)和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；量角器的功能是测量以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用．    小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下： ①[测量过程]如图3，在车祸场地外选点C，测量米，取中点O，测量米，并将皮尺延长至D，使米，测量米． ②[求解过程]由测量知，，， ，，(米)． 答：A、B两点之间的距离为c米． (1)小明求得，用到的几何知识是____________________； (2)小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度(用字母a、b、c…表示)和角度(用字母、表示)，并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程． 【题型8】ASA判定三角形全等 【典型例题】如图，在的两边上截取，点C．D在和上，下列条件中不能判定的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是(　　) A.， B.，与不全等 C.与不全等， D.与全等，与不全等 【举一反三2】如图，，，可得的依据是          .    【举一反三3】如图，在中，，于D，，交于M，过点N作交于F，交于H．与全等的三角形为      ．    【举一反三4】如图，，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【题型9】ASA与全等三角形的性质的综合 【典型例题】如图，AB和CF，E为DF的中点，若AB＝7 cm，CF＝5 cm，则BD是(　　) A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.3.5 cm 【举一反三1】如图，将两块相同的三角板(含30°角)按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是(　　) A.∠EAC＝∠FAB B.∠EAF＝∠EDF C.△ACN≌△ABM D.AM＝AN 【举一反三2】已知，如图，在△ABC中，∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE，CB＝5 cm，BD＝3 cm，则ED的长为 　　 cm． 【举一反三3】已知：如图，，，．求证：． 【题型10】ASA的实际应用 【典型例题】有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是(　　)    A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 【举一反三1】如图，王华站在河边的A处，在河对面(王华的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了25步到达电线杆C处，接着再向前走了25步到达D处，然后转向正南方向直行，当他看到电线塔B、电线杆C与所处位置在一条直线上时，他共计走了100步，若王华步长约为0.4米，则A处与电线塔B的距离约为(　　) A.20米 B.22米 C.25米 D.30米 【举一反三2】小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是       ．    【举一反三3】沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度　　． 【举一反三4】小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事： 在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡． (1)你认为他是怎样做到的？ (2)你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？ ①画出相应的图形． ②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？(结合图形写出) ③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由． 【举一反三5】如图，小明同学站在一条河堤岸的B点处，正对他的A点有一棵树(简称A树)．他想知道A树距离他有多远，计划实施如下方案：首先，他在B点处沿河岸直走到达另一棵树C处，又继续前行到达D处；接着，从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达E处时，A树正好被C树遮挡住，则停止行走(即点A、C、E在同一条直线上)；最后，他测得的长为． 请根据以上信息，回答下面问题： (1)小明同学在B点时与A树的距离为_______m(直接写出结果)； (2)请用学过的数学知识说明小明同学方案的正确性． 【题型11】用AAS判定三角形全等 【典型例题】如图所示，在中，，，，点F在边上，连接，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定与全等的是(　　)    A. B. C. D. 【举一反三1】已知的六个元素，下面甲．乙．丙三个三角形中标出了某些元素，则与全等的三角形是(　　)    A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙 【举一反三2】如图，点在外部，点在的边上，交于点，若，，则(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，点B．F．C．E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是：      ． 【举一反三4】两个全等的直角三角尺和)按如图摆放，，，，在同一条直线上．    (1)求证：； (2)若，请找出图中与此条件相关的一对全等三角形，并给予证明． 【题型12】AAS与全等三角形的性质的综合 【典型例题】如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则          ．    【举一反三1】如图，，，垂足分别为B，D．，则图中和相等的线段是        ． 【举一反三2】如图，，，，，垂足分别为点，点，，，求的长． 【举一反三3】如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到，过点作，交的延长线于点．求证：    (1)； (2)． 【题型13】AAS的实际应用 【典型例题】太阳光线和是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长.这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是        . 【举一反三1】如图，用7块长为8 cm，宽为3 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(，，点A，B，C，D，E在同--平面内)，点B在上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为       .    【举一反三2】如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？ 【举一反三3】如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE＝AD，此时他测得DE＝2米，求DB的长度． 【题型14】用SSS判定三角形全等 【典型例题】如图，，，这样可以证明．其依据是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】图中是全等的三角形是(　　) A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 【举一反三2】如图，，，则，应用的判定方法是        ． 【举一反三3】如图，是上一点，．求证：． 【举一反三4】如图，，求证：． 【题型15】SSS与全等三角形的性质的综合 【典型例题】如图，是的中点，，则下列结论错误的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，点D在线段BC上．若，，，，则(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为       ． 【举一反三4】如图，，，M，N分别是，的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为      ．    【举一反三5】如图，AB＝CD，BC＝DA，求证：ABCD． 【题型16】SSS的实际应用 【典型例题】如图1是一乐谱架，利用立杆可进行离度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是(　　)    A.S. B. C. D. 【举一反三1】将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是(　　) A.S.S.S. B.S.A.S. C.A.S.A. D.A.A.S. 【举一反三2】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是(　　) A.S. B. C. D. 【举一反三3】如图，小明家的衣柜上镶有两块形状和大小完全相同的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈想让小明到玻璃店配一块回来，请把小明该测量△ABC的边或角写下来                 ．(写出一种即可) 【举一反三4】如图1，在中，已知是角平分线，，． (1)求和的度数； (2)若于点，求的度数． (3)如图2，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺，他是这样操作的：①分别在，上取；②在上取；③量出的长为米，的长为米，如果，则说明和是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？ 【题型17】用HL判定直角三角形全等 【典型例题】如图，在中，，于点D，点E，F在上，且，则图中共有全等三角形(　　)    A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【举一反三1】如图，于点C，于点D，要根据“”直接证明与全等，则还需要添加一个条件是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，，要根据“”判定，则需添加的条件是(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，已知，，，要使，且需用“”进行判定，可补充的一个条件是：      ． 【举一反三4】如图，是的高，且，求证：.    【题型18】HL与全等三角形的性质的综合 【典型例题】在数学拓展课上，有两个全等的含角的直角三角板，重叠在一起．李老师将三角板绕点顺时针旋转(保持，延长线段，与线段的延长线交于点(如图所示)，随着的增大，的值(　　)    A.一直变小 B.保持不变 C.先变小，后变大 D.一直变大 【举一反三1】如图，在中，，于点D，，若 cm，则的值为(　　) A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm 【举一反三2】如图所示，，，，则(　　)    A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在中，交于点．    (1)与是否全等？          ；(填“是”或“否”) (2)若，则的度数为          ． 【举一反三4】如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是        ． 【举一反三5】将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F． (1)求证：； (2)若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变(如图2)，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明． 【举一反三6】如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F． (1)求证：△BDE≌△ADC； (2)求证：BE⊥AC； (3)求EF与AE的长． 华师大版（2024）八年级上册 12.2 三角形全等的判定 寒假巩固（参考答案） 【题型1】全等三角形的定义 【典型例题】如图，在四边形中，，点为上的点(不与重合)，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有(　　)对全等三角形． A.15 B.16 C.18 D.21 【答案】D 【解析】根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 【举一反三1】如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由图可知：点与点关于对称， 由轴对称的性质可知： ， 故选：C． 【举一反三2】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有          ． 【答案】①③ 【解析】根据题意得：①③运动方向相反， ∴属于镜面合同三角形的有①③． 故答案为：①③ 【举一反三3】把绕点旋转，得到．图中的两个三角形全等吗？ 【答案】解　全等．理由如下： ∵绕点旋转得到， ∴图形的位置变了，但是形状 ．大小都没有变， ∴． 【题型2】全等三角形的对应元素 【典型例题】如图，，和，和是对应边，则的对应角是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 【举一反三1】已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是(　　) A.与是对应边 B.与是对应边 C.与是对应边 D.不能确定 的对应边 【答案】A 【解析】∵与是对应角，和是对应角， ∴和是对应角， ∴与是对应边， 故选A． 【举一反三2】如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边:       . 【答案】BC和BC,CD和CA,BD和AB 【解析】∵△ABC≌DBC，且∠A和∠D，∠ABC和∠DBC是对应角， ∴对应边是BC和BC，CD和CA，BD和AB， 故答案为：BC和BC，CD和CA，BD和AB. 【举一反三3】如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为(　　)；②的对应角为(　　)；③的对应角为(　　)；④的对应边为(　　)；⑤的对应边为(　　)． 【答案】 【解析】∵， ∴①的对应角为； ②的对应角为； ③的对应角为； ④的对应边为； ⑤的对应边为； 故答案为：，，，，． 【举一反三4】如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    【答案】解　∵， ∴对应边：与，与，与， 对应角：与，与，与． 【举一反三5】如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．    【答案】解　∵，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点， ∴这两个三角形的对应边是：和，和，和； 对应角是：和，和，和． 【题型3】全等三角形的性质 【典型例题】如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C＝53°，则∠D＝(　　) A.47° B.35° C.37° D.53° 【答案】C 【解析】∵AB⊥CD， ∴∠CAB＝90°， ∵∠C＝53°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝37°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠D＝∠B＝37°． 故选：C． 【举一反三1】如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】∵△ABC≌△DCB， ∴BD＝AC＝7， ∵BE＝5， ∴DE＝BD﹣BE＝2， 故选：A． 【举一反三2】如图，已知△ABE≌△ACD，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，BD＝1.1 cm，CD＝3.3 cm，则DE的长度为(　　) A.2.1 cm B.2.2 cm C.2.3 cm D.3 cm 【答案】B 【解析】∵△ABE≌△ACD，CD＝3.3 cm， ∴BE＝CD＝3.3 cm， ∵BD＝1.1 cm， ∴DE＝3.3﹣1.1＝2.2( cm)， 故选：B． 【举一反三3】如图，△ABC≌△A′B′C，点A与点A'，点B与点B'为对应顶点，A'B'交AC于点D，若∠A'DC＝90°，∠B'CB＝35°，则∠A＝　　°． 【答案】55 【解析】∵△ABC≌△A′B′C， ∴∠ACB＝∠A′CB′，∠A＝∠A′， ∴∠B'CB＝∠A′CA＝35°， ∵∠A′DC＝90°， ∴∠A′＝90°﹣∠A′DAC＝55°， ∴∠A＝∠A′＝55°． 故答案为：55． 【举一反三4】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F． (1)当DE＝9，BC＝5时，线段AE的长为 　　； (2)已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数． 【答案】解　(1)∵△ABC≌△DEB，DE＝9，BC＝5， ∴AB＝DE＝9，BC＝BE＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝9﹣5＝4． 故答案为：4． (2)∵△ABC≌△DEB，∠C＝60°，∠D＝35°， ∴∠C＝∠DBE＝60°，∠A＝∠D＝35°， ∵∠D＝35°， ∠AEF＝∠ABD+∠D＝60°+35°＝95°， ∴∠DBC＝∠AEF﹣∠D＝95°﹣35°＝60°． 【举一反三5】如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE． (1)你能说明BD、DE、CE之间的数量关系吗？ (2)请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE？ 【答案】解　(1)BD＝DE+CE， 理由：∵△BAD≌△ACE， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE， 即BD＝DE+CE． (2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE， 理由是：∵△BAD≌△ACE， ∴∠E＝∠ADB＝90°(添加的条件是∠ADB＝90°)， ∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°＝∠E， ∴BD∥CE． 【题型4】全等三角形判定条件的探索 【典型例题】如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由图可知：点与点关于对称， 由轴对称的性质可知： ， 故选：C． 【举一反三1】如图，在四边形中，，点为上的点(不与重合)，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有(　　)对全等三角形． A.15 B.16 C.18 D.21 【答案】D 【解析】根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 【举一反三2】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有          ． 【答案】①③ 【解析】根据题意得：①③运动方向相反， ∴属于镜面合同三角形的有①③． 故答案为：①③ 【举一反三3】如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是小方格的顶点)．若格点△ACP与△ABC全等(不与△ABC重合)，则所有满足条件的点P有      个． 【答案】3 【解析】如图，把沿直线对折可得： 把 沿直线对折可得： ∴ 所以符合条件的点有3个， 故答案为：3. 【举一反三4】如图，在中，于点D，．完成下面说明的理由的过程． 解：∵(已知)， ∴___________(垂直的定义)． 当把图形沿AD对折时，射线DB与DC___________． ∵(___________) 点B与点___________重合， 与___________， ___________(全等三角形的定义)， (___________)． 【答案】解　∵(已知)， (垂直的定义)． 当把图形沿AD对折时，射线DB与DC重合． (已知) 点B与点C重合， 与重合， (全等三角形的定义)， (全等三角形的性质)． 故答案为：；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性质． 【题型5】用SAS判定三角形全等 【典型例题】如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据“S.A.S.”判定△ABC≌△DEF，还需要的条件是(　　) A.∠A＝∠D B.∠B＝∠DEF C.∠ACB＝∠F D.以上均可以 【答案】B 【解析】∵AB＝DE，BC＝EF， ∴根据“S.A.S.”判定△ABC≌△DEF，还需要的条件是∠B＝∠DEF， 故选：B． 【举一反三1】如图，已知△ABC六个元素，则下列甲．乙．丙三个三角形中与△ABC全等的三角形是(　　) A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙 【答案】D 【解析】由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等， 乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等， 丙得出两角及其一角对边，原图中是两角及其夹边，不能判断两三角形全等， 根据全等三角形的判定得，乙正确． 故选：D． 【举一反三2】如图，，可得的依据是             ．    【答案】 【解析】由，可得，证明，然后作答即可． ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 【举一反三3】如图，为上一点，，点在上，连接，，，．求证：．    【答案】证明　， ． 在和中， ， ． 【题型6】SAS与全等三角形的性质的综合 【典型例题】如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为(　　)    A. B.3 C.4 D. 【答案】D 【解析】如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵平分 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 【举一反三1】如图，在和中，，，，，则的长为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】，， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， 故选：C． 【举一反三2】如图所示，为的角平分线，且，则的大小是(　　)． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴， ∵， ∴ ∵为的角平分线， ∴，即 在和， , ∴， ∴， ∴． 故选A． 【举一反三3】如图，，，，，，则      ． 【答案】 【解析】∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ． 故答案为：． 【举一反三4】如图，在和中，，，，则      ． 【答案】45 【解析】和中 ， ， ， ， 故答案为：45． 【举一反三5】如图，已知在和中，，，．求证：． 【答案】证明　， ， ， 在和中， ， ， ． 【题型7】SAS的实际应用 【典型例题】如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知：， ∵在和中， ， ∴， ∴， 故斜拉桥至少有(千米)． 故选：B． 【举一反三1】如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则，两端的距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵ ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∵ ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三2】要测量A，B间的距离(无法直接测出)，两位同学提供了如下测量方案： 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是(　　) A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ、Ⅱ都不可行 D.Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【解析】方案Ⅰ：∵，，， ∴， ∴； 方案Ⅱ： ∵，，， ∴， ∴； 综上分析可知，Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选：D． 【举一反三3】如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点正北方. 海岛在观测点所在海岸的同一侧. 如果从观测点看海岛的视角与从观测点看海岛的视角相等，海岛分别到观测点的距离相等，问海岛在观测点的正北方吗? 请说明理由：                             . 【答案】证明得出，即海岛在观测点的正北方 【解析】由题意得：，， 海岛分别到观测点的距离相等， ， 在和中， ， ， ， 海岛在观测点的正北方， 故答案为：证明得出，即海岛在观测点的正北方． 【举一反三4】如图，公园有一条“Z”字形道路，其中，在点E，M，F处各有一个小石凳，且米，米，点M为的中点，连接，，石凳M到石凳E的距离米．求石凳M到石凳F的距离． 【答案】解　 ， 又点M为中点， 米， 在和中， ， ， 米， 答：石凳M到石凳F的距离为12米． 【举一反三5】如图，阅读下列材料，回答问题．    [任务]如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内． [工具]如图2，一把皮尺(测量长度略小于的两倍)和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；量角器的功能是测量以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用．    小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下： ①[测量过程]如图3，在车祸场地外选点C，测量米，取中点O，测量米，并将皮尺延长至D，使米，测量米． ②[求解过程]由测量知，，， ，，(米)． 答：A、B两点之间的距离为c米． (1)小明求得，用到的几何知识是____________________； (2)小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度(用字母a、b、c…表示)和角度(用字母、表示)，并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程． 【答案】解　(1)根据题意可知：小明求得，用到的几何知识是全等三角形判定与性质． 故答案为：全等三角形判定与性质． (2)如图：测量过程：在场外选择点C，用皮尺从点A起到C再到B拉直摆放． ①测量米， ②测量， 然后将量角器沿翻折，将皮尺绕点C旋转至D， ③使需要测量，由旋转所得，不需要测量) ④最后测量米就是的距离． 求解过程： 在与中， ， ∴中， 米．    【题型8】ASA判定三角形全等 【典型例题】如图，在的两边上截取，点C．D在和上，下列条件中不能判定的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A．根据，，，由可判定，故此选项不符合题意； B．根据，，，不能判定，故此选项符合题意； C．根据，，由可判定，故此选项不符合题意； D．根据可以得出，再根据，，由可判定，故此选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是(　　) A.， B.，与不全等 C.与不全等， D.与全等，与不全等 【答案】B 【解析】在和中， ∵， ∴， 在和中， ，， ∵， ∴， ∴与不全等， 故选：． 【举一反三2】如图，，，可得的依据是          .    【答案】 【解析】，， ，，且， ， 故答案为：. 【举一反三3】如图，在中，，于D，，交于M，过点N作交于F，交于H．与全等的三角形为      ．    【答案】 【解析】与全等的三角形为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】如图，，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明　 ， ， 在和中， ， ． 【题型9】ASA与全等三角形的性质的综合 【典型例题】如图，AB和CF，E为DF的中点，若AB＝7 cm，CF＝5 cm，则BD是(　　) A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.3.5 cm 【答案】A 【解析】∵AB∥FC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∵E是DF的中点， ∴DE＝EF， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE(A.S.A.)， ∴AD＝CF＝5 cm， ∴BD＝AB﹣AD＝7﹣5＝2(cm)． 故选：A． 【举一反三1】如图，将两块相同的三角板(含30°角)按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是(　　) A.∠EAC＝∠FAB B.∠EAF＝∠EDF C.△ACN≌△ABM D.AM＝AN 【答案】B 【解析】∵△ABE≌△AFC， ∴∠EAB＝∠CAF，AC＝AB，∠C＝∠B， ∴∠EAC＝∠FAB，故A正确； 在△ACN与△ABM中， ∴△ACN≌△ABM，故C正确； ∴AM＝AN，故D正确； 故选：B． 【举一反三2】已知，如图，在△ABC中，∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE，CB＝5 cm，BD＝3 cm，则ED的长为 　　 cm． 【答案】2． 【解析】在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED(A.S.A.)， ∴CD＝DE， ∵CB＝5 cm，BD＝3 cm， ∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2(cm)， ∴DE＝CD＝2 cm， 故答案为：2． 【举一反三3】已知：如图，，，．求证：． 【答案】证明　， ， ，， ， ， ， 即， 又， ， ， ． 【题型10】ASA的实际应用 【典型例题】有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是(　　)    A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 【答案】D 【解析】想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是①④或③④， 满足的为①④， 故选D． 【举一反三1】如图，王华站在河边的A处，在河对面(王华的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了25步到达电线杆C处，接着再向前走了25步到达D处，然后转向正南方向直行，当他看到电线塔B、电线杆C与所处位置在一条直线上时，他共计走了100步，若王华步长约为0.4米，则A处与电线塔B的距离约为(　　) A.20米 B.22米 C.25米 D.30米 【答案】A 【解析】如图，设王华走了100步时到达点E处，则E、C、B三点在同一条直线上， 连接BE，则点C在BE上，∠DCE＝∠ACB， 由题意得DC＝AC＝25步，DE+DC+AC＝100步，∠D＝∠A＝90°， ∴DE+25+25＝100， 解得DE＝50， ∵0.4×50＝20(米)， ∴DE＝20米， 在△DEC和△ABC中， ， ∴△DEC≌△ABC(A.S.A.)， ∴DE＝AB， ∴AB＝20米， ∴A处与电线塔B的距离约为20米， 故选：A． 【举一反三2】小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是       ．    【答案】 【解析】小江书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形， 他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 故答案为：． 【举一反三3】沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度　　． 【答案】16米 【解析】∵AB∥CD， ∴∠ABP＝∠CDP， ∵PD⊥CD， ∴∠CDP＝90°， ∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴PD＝PB， 在△ABP与△CDP中， ， ∴△ABP≌△CDP(A.S.A.)， ∴CD＝AB＝16(米)， 故答案为：16米． 【举一反三4】小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事： 在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡． (1)你认为他是怎样做到的？ (2)你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？ ①画出相应的图形． ②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？(结合图形写出) ③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由． 【答案】解　(1)方法是：战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离． (2)①如图， ②已知条件是，． ③战士要测的是． 理由：， ， 在与中， ， ， ． 【举一反三5】如图，小明同学站在一条河堤岸的B点处，正对他的A点有一棵树(简称A树)．他想知道A树距离他有多远，计划实施如下方案：首先，他在B点处沿河岸直走到达另一棵树C处，又继续前行到达D处；接着，从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达E处时，A树正好被C树遮挡住，则停止行走(即点A、C、E在同一条直线上)；最后，他测得的长为． 请根据以上信息，回答下面问题： (1)小明同学在B点时与A树的距离为_______m(直接写出结果)； (2)请用学过的数学知识说明小明同学方案的正确性． 【答案】解　(1)连接，如图所示：    由题意可得，点A、C、E在同一条直线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以小明同学在B点时与A树的距离； (2)由(1)知道， 那么全等三角形的对应边相等，即， 所以用学过的数学知识能说明小明同学方案是正确的． 【题型11】用AAS判定三角形全等 【典型例题】如图所示，在中，，，，点F在边上，连接，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定与全等的是(　　)    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．∵， ∴． ∵， ∴，又 ∴，故本选项不符合题意； B．∵，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴，故本选项不符合题意； C．由证不出，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，故本选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三1】已知的六个元素，下面甲．乙．丙三个三角形中标出了某些元素，则与全等的三角形是(　　)    A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙 【答案】D 【解析】甲的边的夹角和的边的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 甲的与的夹边和的与的夹边对应相等，故可利用证明乙三角形与全等； 丙的角和边与的角和边对应相等，故可利用证明丙三角形与全等， 甲．乙．丙三个三角形中和全等的是乙和丙， 故选：D． 【举一反三2】如图，点在外部，点在的边上，交于点，若，，则(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意得： ， ，， ，， 在和中， ， ， 故选：． 【举一反三3】如图，点B．F．C．E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是：      ． 【答案】 【解析】∵，，， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】两个全等的直角三角尺和)按如图摆放，，，，在同一条直线上．    (1)求证：； (2)若，请找出图中与此条件相关的一对全等三角形，并给予证明． 【答案】(1)证明　由题意得，，， ∴， ∴， ∴． (2)解　∵，， ∴， ∴在和， ， ∴． 【题型12】AAS与全等三角形的性质的综合 【典型例题】如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则          ．    【答案】4 【解析】， ，， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 【举一反三1】如图，，，垂足分别为B，D．，则图中和相等的线段是        ． 【答案】 【解析】 ，， ， 在，中， ， ， ． 故答案为：． 【举一反三2】如图，，，，，垂足分别为点，点，，，求的长． 【答案】解　， ， ， 中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， . 【举一反三3】如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到，过点作，交的延长线于点．求证：    (1)； (2)． 【答案】证明　(1)∵， ∴， ∵将边绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴； (2)∵由(1)得， ∴，， 又∵， ∴． 【题型13】AAS的实际应用 【典型例题】太阳光线和是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长.这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是        . 【答案】 【解析】∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：. 【举一反三1】如图，用7块长为8 cm，宽为3 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(，，点A，B，C，D，E在同--平面内)，点B在上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为       .    【答案】 【解析】，， ， ， ， 在和中， ， 依题意可得：， ， ， 故答案为：. 【举一反三2】如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？ 【答案】解　相等． 理由： ∵∠CAD＝∠CBD，∠COA＝∠DOB(对顶角)， ∴由内角和定理，得∠C＝∠D， 又∵∠CAB＝∠DBA＝90°， 在△CAB和△DBA中， ， ∴△CAB≌△DBA(A.A.S.)， ∴CA＝DB， ∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等． 【举一反三3】如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE＝AD，此时他测得DE＝2米，求DB的长度． 【答案】解　如图，延长CE交AB于F， 则∠A+∠1＝90°，∠C+∠2＝90°， ∵∠1＝∠2(对顶角相等)， ∴∠A＝∠C， 在△ABD和△CDE中， ， ∴△ABD≌△CDE(A.A.S.)， ∴DB＝DE， ∵DE＝2米， ∴DB的长度是2米． 【题型14】用SSS判定三角形全等 【典型例题】如图，，，这样可以证明．其依据是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，，， ∴， 故选：A． 【举一反三1】图中是全等的三角形是(　　) A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 【答案】B 【解析】比较三角形的三边长度，发现乙和丁的长度完全一样，即为全等三角形， 故选：B． 【举一反三2】如图，，，则，应用的判定方法是        ． 【答案】S.S.S. 【解析】在和中， ， ． 故答案为：． 【举一反三3】如图，是上一点，．求证：． 【答案】证明　， ， 即． 在中， ， ． 【举一反三4】如图，，求证：． 【答案】证明　∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【题型15】SSS与全等三角形的性质的综合 【典型例题】如图，是的中点，，则下列结论错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，，，故选项正确，不符合题意， ∵不是对应边， ∴与不一定相等，故D选项错误，符合题意， 故选：D． 【举一反三1】已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 【举一反三2】如图，点D在线段BC上．若，，，，则(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在和中， ， ． ， ． 故选：B. 【举一反三3】如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为       ． 【答案】 【解析】连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】如图，，，M，N分别是，的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为      ．    【答案】3 【解析】如图，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积， ∵的面积为， ∴阴影部分的面积， 故答案为：3． 【举一反三5】如图，AB＝CD，BC＝DA，求证：ABCD． 【答案】证明　在和中， ， ， ， ． 【题型16】SSS的实际应用 【典型例题】如图1是一乐谱架，利用立杆可进行离度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是(　　)    A.S. B. C. D. 【答案】B 【解析】点E，F分别为，中点， ，， ， ， 在和中 ， )， 故答案：B． 【举一反三1】将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是(　　) A.S.S.S. B.S.A.S. C.A.S.A. D.A.A.S. 【答案】A 【解析】三根木条即为三角形的三边长， 即为利用确定三角形， 故选：A． 【举一反三2】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是(　　) A.S. B. C. D. 【答案】D 【解析】在和中， ， ， 故选：D． 【举一反三3】如图，小明家的衣柜上镶有两块形状和大小完全相同的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈想让小明到玻璃店配一块回来，请把小明该测量△ABC的边或角写下来                 ．(写出一种即可) 【答案】a，b，c 【解析】分别测量原来三角形玻璃装饰物的三条边的长度，可以画到一样的三角形玻璃装饰物． 故答案为：a，b，c 【难度】基础题 【举一反三4】如图1，在中，已知是角平分线，，． (1)求和的度数； (2)若于点，求的度数． (3)如图2，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺，他是这样操作的：①分别在，上取；②在上取；③量出的长为米，的长为米，如果，则说明和是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？ 【答案】解　(1)∵， ， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， ∴ ， ； (2)∵ ， ∴； (3)合理．理由： 由已知条件得在和中， ， ∴ ， ∴． 【题型17】用HL判定直角三角形全等 【典型例题】如图，在中，，于点D，点E，F在上，且，则图中共有全等三角形(　　)    A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【答案】C 【解析】∵，，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∴， ∵，， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∴全等三角形共有4对， 故选：C． 【举一反三1】如图，于点C，于点D，要根据“”直接证明与全等，则还需要添加一个条件是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵，， ∴当时，． 当时，． 故选D． 【举一反三2】如图，，要根据“”判定，则需添加的条件是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】添加条件：， 在和中， ， ∴， 故选：B． 【举一反三3】如图，已知，，，要使，且需用“”进行判定，可补充的一个条件是：      ． 【答案】 【解析】补充条件：． 理由：∵，， ∴， 在和中 ， ∴ 故答案为：． 【举一反三4】如图，是的高，且，求证：.    【答案】证明　∵是的高， ∴， 在和中，， ∴． 【题型18】HL与全等三角形的性质的综合 【典型例题】在数学拓展课上，有两个全等的含角的直角三角板，重叠在一起．李老师将三角板绕点顺时针旋转(保持，延长线段，与线段的延长线交于点(如图所示)，随着的增大，的值(　　)    A.一直变小 B.保持不变 C.先变小，后变大 D.一直变大 【答案】B 【解析】如图，在上截取，连接，， 由题意得：，，， 在和中， ， )， ， ， 的值保持不变． 故选：B． 【举一反三1】如图，在中，，于点D，，若 cm，则的值为(　　) A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm 【答案】B 【解析】∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 【举一反三2】如图所示，，，，则(　　)    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∵， ∴， ∴， 则， 故选：A． 【举一反三3】如图，在中，交于点．    (1)与是否全等？          ；(填“是”或“否”) (2)若，则的度数为          ． 【答案】(1)是　　 【解析】(1)∵， ∴， 在和中 ， ∴， (2)∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：是；． 【举一反三4】如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是        ． 【答案】①② 【解析】在和中， ， ， ，①正确， ∴， ， ， ，②正确， 和中，只有一个条件，再没有其余条件可以证明 ，故③④错误； 故答案是：①②． 【举一反三5】将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F． (1)求证：； (2)若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变(如图2)，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明． 【答案】(1)证明　如图，连接BF， ∵ ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． (2)解　线段AF、EF与DE之间的关系为：．理由如下： 如图，连接BF， 由旋转和全等可知：，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【举一反三6】如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F． (1)求证：△BDE≌△ADC； (2)求证：BE⊥AC； (3)求EF与AE的长． 【答案】(1)证明　∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△ADC中， ， ∴． (2)证明　∵， ∴∠EBD＝∠CAD， ∵∠BED＝∠AEF， ∴∠AFE＝∠ADB＝90°， ∴BE⊥AC． (3)解　∵S△ABC＝AD•BC＝14，AD＝4， ∴BC＝7， ∵BD＝4， ∴CD＝3， ∵， ∴ED＝CD＝3， ∴AE＝AD－ED＝4－3＝1， ∵S△ABC＝BF•AC＝14，BE＝AC＝5， ∴BF＝， ∴EF＝BF－BE＝－5＝． 学科网（北京）股份有限公司 $