24.4 数据的分组 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

24.4 数据的分组 人教版 数学 八年级 下册 超市商品从“牛奶、面包、牙膏、洗发水”变成“食品区、日用品区、生鲜区”，能快速找到你要的东西. 问：校医需分析七年级某班20名学生的身高分布： 155，155，156，157，158，159，160，161，162，162，163，165，165，166，167，167，168，169，172，178. 若想分为3组制作频数分布表，等距分组法（如150-160，160-170，170-180）可能存在什么问题? 导入新知 有的组人数过多（如160-170集中12人），有的组过少（170-180仅2人），无法清晰反映分布特征. 是否存在更科学的分组方法，使得每组内部数据尽可能相似？如何衡量“组内差异度”？ 导入新知 1. 理解组内离差平方和与计算. 2.经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法. 学习目标 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 你认为哪一部分应聘者应当进入面试？ 探究新知 知识点 数据的合理分组原则——组内离差平方和最小 选择笔试成绩好的进入面试，那么怎样才算好呢？标准是什么呢？ 例如，前三名或85分及以上为好成绩，其余为不太好的成绩. 探究新知 但是83分和85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于不太好的成绩. 这么看，有些标准没有考虑数据自身的特点.从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法. 因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组. 要使分组后的组内差异最小，将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩挨在一起，然后进行分组，可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成了9个间隔，如下. 每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法. 探究新知 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组 7 七彩城就梦想 一般地，设有一般地，设有n个数据x1，x2，…，xn，假设这些数据都不相等，其平均数记为x，则离差平方和为=（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2. 如果把这组数据分为两组，前m（m＜n）个数据为一组（称为第一组），后（n-m）个数据为一组（称为第二组），那么这n个数据的离差平方和可以分解为两类离差平方和：一类反映两个组内数据的离散程度，另一类反映两组数据之间的差异程度. 它们的平均数分别记为x1和x2，离差平方和分别为 =（x1-x1）2+（x2-x1）2+…+（xm-x1）2， =（xm+1-x2）2+（xm+2-x2）2+…+（xn-x2）2. 探究新知 8 七彩城就梦想 =（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2 =（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xm-x）2+（xm+1-x）2+ （xm+2-x）2+…+（xn-x）2 =（x1-x1+ x1 - x ）2+（x2-x1 + x1 - x ）2+…+ （xm-x1 + x1 - x ）2+（xm+1-x2 + x2 - x ）2+（xm+2-x2 + x2 - x ）2+…+（xn-x2 + x2 - x ）2 =（x1-x1）2+（x2-x1）2+…+（xm-x1）2+（xm+1-x2）2+ （xm+2-x2）2+…+（xn-x2）2 = + + m（x1-x）2+（n-m）（x2-x）2. 探究新知 9 七彩城就梦想 其中 + 称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；记=m（x1-x）2+（n-m）（x2-x）2，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异. 一个合理的分组原则是使组内离差平方和达到最小，组间离差平方和达到最大.由于总体离差平方和 d2不变，只需考虑使组内离差平方和达到最小即可. 探究新知 10 七彩城就梦想 根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组，计算这9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）. 分析：第一组1个、第二组9个数据，计算组内离差平方和； 第一组2个、第二组8个数据，计算组内离差平方和； …… 如下表所示. 探究新知 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 11 七彩城就梦想 探究新知 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 第6个间隔 第7个间隔 第8个间隔 第9个间隔 0 18 50.7 152.8 228.8 411.3 587.4 819.5 1026.2 799.6 503.5 271.4 170.8 54.8 26 4.7 2 0 799.6 521.5 322.1 323.6 283.6 437.3 592.1 821.5 1 026.2 可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小. 因此，分法为{58，64，68，75，76}和{83，85，89，90，92}. 12 七彩城就梦想 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组. 探究新知 考点 利用组内离差平方和最小原则对数据分组 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 例 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如下表所示. 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 -11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22 将它们分成两组共有9种情况，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示. 探究新知 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 第6个间隔 第7个间隔 第8个间隔 第9个间隔 0 32 98.7 132 228.8 308.8 397.4 562 789.6 584.2 380.9 285.7 158.8 113.2 62 14 0.5 0 584.2 412.9 384.4 290.8 342 370.8 411.4 562.5 789.6 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小. 探究新知 因此，按组内离差平方和最小的分法为{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}. 结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗？ 合理.这样分组大致沿秦岭淮河一线分为南北方. 下表记录了我国10个省份2020年人均地区生产总值(人均GDP)的数据.数据表明，这10个省份的人均GDP是有区别的.如果要把这10个省份依据人均GDP的多少分为两个组，你认为应当如何划分?请说出划分的道理. 巩固练习 省份序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人均GDP/万元 15.68 6.24 10.11 7.18 16.42 12.13 7.37 10.07 8.85 7.16 解：将表中10个数据按从小到大排列，得到6.24，7.16，7.18，7.37，8.85，10.07，10.11，12.13，15.68，16.42. 将它们分成两组共有9种情况，分别计算组内离差平方和，如下表. 16 七彩城就梦想 巩固练习 分组 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 第6个间隔 第7个间隔 第8个间隔 第9个间隔 99.546 87.023 70.706 50.822 40.050 36.286 24.713 28.399 72.195 观察组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的分法为{省份2，省份3，省份4，省份7，省份8，省份9，省份10}和{省份1，省份5，省份6}. 17 七彩城就梦想 现有一批螺丝帽，质检组从中抽取6个测得它们的直径尺寸（单位：cm）依次是3.5，3.8，3.6，3.2，3.7，3.6.现要将这6个螺丝帽按直径小分成两组，你认为应该如何分？ 基础巩固题 课堂检测 解：将数据按从小到大排列，得到3.2，3.5，3.6，3.6，3.7，3.8. 将它们分成两组共有5种情况，分别计算组内离差平方和. 经过计算发现，当按第1个间隔分组时，组内离差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的分法为{3.2}和{3.5，3.6，3.6，3.7，3.8}. 课堂小结 数据的分组 离差平方和： = + + m（x1-x）2+（n-m）（x2-x）2 组内离差平方和最小原则： 组内数据越集中，组间差异越清楚，分组才有意义 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 $