第四单元 分数的意义和性质讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

该小学数学第四单元“分数的意义和性质”举一反三讲义通过知识梳理模块系统构建知识体系，以框架式结构呈现分数意义、与除法关系、基本性质等七大核心内容，明确重难点分布及内在逻辑联系，帮助学生建立完整知识脉络。 讲义亮点在于考点讲练的分层设计，每个考点含典例精讲与变式训练，如通过涂色表示分数培养几何直观，结合黄豆成分占比问题发展应用意识，综合训练融入生活情境题，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供有力支持。

第四单元 分数的意义和性质 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、分数的意义 2 二、分数与除法的关系 2 三、分数的基本性质 2 四、真分数、假分数和带分数 2 五、约分 3 六、通分 3 七、分数的大小比较 4 考点讲练 4 考点一：分数的意义 4 考点二：单位“1”的认识与确定 6 考点三：分数单位的认识与确定 8 考点四：分数与除法的关系 10 考点五：求一个数占另一个数的几分之几 13 考点六：真分数、假分数、带分数的认识 16 考点七：假分数与带分数或整数的互化 19 考点八：分数化小数 22 考点九：一位或多位小数化分数（约分） 24 考点十、根据真分数、假分数、带分数的特征组数 27 考点十一、分数的基本性质 29 考点十二、分数的基本性质的应用 31 考点十三、最简分数 33 考点十四、约分的认识及应用 35 考点十五、通分的认识及应用 39 考点十六、异分母异分子分数的大小比较 42 综合训练 45 知识梳理 一、分数的意义 1.定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。 单位“1”：可以是一个物体（如一个苹果）、一个计量单位（如1米），也可以是由多个物体组成的整体（如3个苹果组成的一堆）。 2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫作分数单位。 例如：它有3个这样的分数单位 二、分数与除法的关系 1.公式：被除数÷除数 例： 2.应用：求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，结果用分数表示。 例：5是8的几分之几？列式为把3米长的绳子平均分成5段，每段长）。 三、分数的基本性质 1.定义：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 字母表示： 2.应用：化简分数分子分母同时除以2）、通分（后续知识点）等。 四、真分数、假分数和带分数 1.真分数：分子比分母小的分数，特征是值小于1。 例： 2.假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数，特征是值大于或等于1。 例： 3.带分数：由整数（不包括0）和真分数合成的数，读作“几又几分之几”，值大于1。 例： 4.假分数与带分数的互化： 假分数化带分数：分子÷分母，商为整数部分，余数为分子，分母不变。 例： 带分数化假分数：整数×分母+分子作分子，分母不变。 例： 五、约分 1.最大公因数：几个数公有的因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。 求法：列举法（列出所有因数找最大）、分解质因数法（公有质因数的乘积）、短除法（用公有质因数连续除，直到互质，除数的乘积）。 例：求12和18的最大公因数，短除法中用2和3连续除，最大公因数是$2×3 = 6$。 2.约分：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分。 方法：用分子和分母的最大公因数去除分子和分母，直到分子和分母只有公因数1（即最简分数）。 例： 六、通分 1.最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。 求法：列举法（列出倍数找最小）、分解质因数法（公有质因数与独有质因数的乘积）、短除法（用公有质因数和独有质因数连乘）。 例：求4和6的最小公倍数，短除法中用2除，商2和3，最小公倍数是$2×2×3 = 12$。 2.通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。 方法：先求出原来几个分母的最小公倍数作公分母，再根据分数的基本性质，把各分数化成用公分母作分母的分数。 例： 七、分数的大小比较 1.同分母分数：分子大的分数大。 2.同分子分数：分母小的分数大。例 3.异分母分数：先通分，转化为同分母分数再比较。 4.带分数比较：先比较整数部分，整数部分大的分数大；整数部分相同，比较分数部分。 例： 考点讲练 考点一：分数的意义 【典例精讲】下图是一根3米长的彩带。在图中涂色表示米。 【答案】见详解 【分析】根据分数的意义，把3米长的彩带看作单位“1”，平均分成7份，每份表示（3÷7）米，也就是米，即把其中的1份涂色表示米。 【详解】3÷7＝（米） 如图： 【变式训练】涂一涂，在下图中用阴影表示公顷。 【答案】见详解 【分析】这里要明确，公顷既可以表示1公顷的，也可以表示3公顷的。题中所给的总量是3公顷，所以按3公顷的画图。 【详解】3公顷的是把3公顷平均分成7份，涂其中的1份。图中正好把3公顷分成了7个相等的方格，涂其中1个方格即可。 如图： 【点睛】根据原图并结合原图中的总量，确定公顷表示的意义是关键。 【变式训练】把2m长的绳子平均分成3段，每段是全长的（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】求每段是全长的几分之几，把全长看作单位“1”，全长被平均分成了多少份，每段是其中的一份，即为几分之一。 【详解】全长被平均分成了3段，每段就是全长的。 故答案为：B 【变式训练】分别在下面两幅图中，直接画涂色表示出公顷。 【答案】图见详解 【分析】把“1公顷”看作单位“1”。把单位“1”平均分成7份，每份是公顷，公顷要涂4份。 把“2公顷”看作单位“1”。把单位“1”平均分成7份，每份是公顷，公顷要涂2份。 【详解】根据分析，画图如下： 考点二：单位“1”的认识与确定 【典例精讲】将一根绳子剪去米后还剩全长的，剪去的绳子和剩下的绳子相比，（    ）。 A．剪去的绳子长 B．剩下的绳子长 C．无法比较长短 【答案】A 【分析】把一根绳子长看作单位“1”剪去米后还剩全长的，那么剪去部分是全长的1－＝，说明剪去全长的，比较两部分的分率即可。 【详解】1－ 剪去全长的，还剩全长的， 因此，剪去的绳子更长。 故答案为：A 【变式训练】把一根电线截成两段，第一段占全长的，第二段长米，这两段电线长度相比（    ）。 A．同样长 B．第一段长 C．第二段长 【答案】B 【分析】把这根电线的全长看作单位“1”，第一段占全长的，则第二段占全长的（1－），比较两个占比的大小，得出结论。 【详解】第二段占全长的：1－＝ ＞ 这两段电线长度相比，第一段长。 故答案为：B 【变式训练】一节课的时间是小时，表示把 看作单位“1”，平均分成 份，一节课的时间有这样的 份，是 分钟。 【答案】 1小时 3 2 40 【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。在小时中，根据分数的意义，表示把1小时看作单位“1”，分母表示把单位“1”平均分成的份数，所以是平均分成3份；分子表示取其中的份数，所以一节课的时间有这样的2份；因为1小时＝60分钟，用60除以3计算出1份的时间，再乘2计算出2份的时间即为一节课的时间。 【详解】1小时＝60分钟 60÷3×2 ＝20×2 ＝40（分钟） 一节课的时间是小时，表示把1小时看作单位“1”，平均分成3份，一节课的时间有这样的2份，是40分钟。 【变式训练】一个长方形，长的相当于宽这句话中，把( )看作单位“1”。 【答案】长 【分析】根据判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”。根据题意，结合对单位“1”的认识可知，把长看作单位“1”。 【详解】由分析得： 一个长方形，长的相当于宽这句话中，把长看作单位“1”。 考点三：分数单位的认识与确定 【典例精讲】的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位正好是最小的质数。 【答案】 1 【分析】将带分数化成假分数，分母是几分数单位就是几分之一，分子是几就有几个这样的分数单位，最小的质数是2，将2化成分母是3的假分数，求出两个假分数分子的差，就是再添上的分数单位的个数。 【详解】＝、2＝、6－5＝1（个） 的分数单位是，再添上1个这样的分数单位正好是最小的质数。 【变式训练】( )个是，是( )个，2里面有( )个。 【答案】 5 3 10 【分析】一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分数单位。的分数单位是，求几个是就是求里面有几个分数单位；可以看作，求里面有几个就是求里面有几个；2可以看作的分母是5的分数，求2里面有几个，就是求将2换成分母是5的分数时，分子是几。 【详解】的分子是5，所以5个是，因为， 是3个，所以里面有3个，2可以看作，所以2里面有10个。 5个是，是3个，2里面有10个。 【变式训练】的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再加上( )个这样的分数单位就是最小的合数。 【答案】 30 14 【分析】分母是几，分数单位就是几分之一；将带分数化成假分数，假分数的分子是几就有几个这样的分数单位；最小的合数是4，将4化成分母是11的假分数，求出两个假分数分子的差，就是需要再加上的分数单位的个数。 【详解】、4＝、44－30＝14（个） 的分数单位是，它有30个这样的分数单位，再加上14个这样的分数单位就是最小的合数。 【变式训练】涂色部分用带分数表示是( )，它的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位就是最小的合数。 【答案】 5 【分析】观察图形，把每个正方形看作单位“1”，平均分成4份，2个完整的正方形，表示2，还有1个正方形涂了3份，用分数表示为，所以涂色部分用带分数表示为； 分数单位是把单位“1”平均分成若干份取其中的一份的数，将化为假分数是，分母是几，分数单位就是几分之一； 里有11个，最小的合数是4，化为分母是4的假分数是，有16个，16－11＝5，所以再添上5个这样的分数单位就是最小的合数。 【详解】＝＝ 4＝ 16－11＝5 因此，涂色部分用带分数表示是，它的分数单位是，再添上5个这样的分数单位就是最小的合数。 考点四：分数与除法的关系 【典例精讲】小明家住在四楼，他从一楼走到四楼用了2分钟。如果小明爬楼的速度保持不变，那么他从三楼走到八楼要用（    ）分钟。 A． B． C． 【答案】B 【分析】小明从一楼走到四楼用了2分钟，实际走了3个楼层，用时间除以楼层数，得到小明走一层楼需要的时间，再乘从三楼到八楼的楼层数，就是小明需要的时间。 【详解】2÷（4－1）×（8－3） ＝2÷3×5 ＝（分钟） 故答案为：B 【变式训练】在下图中分别涂色，使涂色部分表示公顷。 ①         ② 【答案】见详解 【分析】①把1公顷看作单位“1”，平均分成5份，其中的1份表示公顷，涂其中的3份，即表示公顷。 ②把3公顷看作单位“1”，平均分成5份，其中的1份表示3÷5＝公顷，即涂其中的1份表示公顷。 【详解】如图： ① ② 【变式训练】4÷5＝（    ）÷45＝＝（    ）（填小数）。 【答案】36；25；8；0.8 【分析】（1）商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，据此根据除数乘几，则被除数也要乘几解答即可； （2）分数与除法的关系：分子相当于被除数，分数线相当于除号，分母相当于除数，据此把除法写成分数，再根据分数的基本性质判断分子（或分母）乘几，则分母（或分子）也要乘几； （3）根据商＝被除数÷除数把除法的结果写成小数即可。 【详解】4÷5＝（4×9）÷（5×9）＝36÷45 4÷5＝＝＝ ＝＝＝ 4÷5＝0.8 4÷5＝36÷45＝＝＝0.8（填小数）。 【变式训练】（填小数）。 【答案】16；9；15；0.375 【分析】根据分数与除法的关系，，被除数从3变为6，6÷3＝2，即被除数乘2，那么除数也要乘2，8×2＝16，所以6÷16＝，第一空填16。 ，除数从8变为24，24÷8＝3，即除数乘3，那么被除数也要乘3，3×3＝9，所以9÷24＝，第二空填9。 的分母从8变为40，40÷8＝5，即分母乘5，根据分数的基本性质，那么分子也要乘5，3×5＝15，所以，第三空填15。 将化为小数，用分子除以分母，3÷8＝0.375，所以＝0.375，第四空填0.375。 【详解】由分析可知： 考点五：求一个数占另一个数的几分之几 【典例精讲】五个连续奇数，中间的那个数正好是五个数之和的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】五个连续奇数的和正好是中间这个数的5倍，所以中间的这个数正好是五个数之和的。 【详解】设五个连续奇数中间的数为n（n为奇数），则这五个连续奇数依次为n－4，n－2，n，n＋2，n＋4，这五个数的和为n－4＋n－2＋n＋n＋2＋n＋4＝5n，中间的数为n，总和为5n，则中间的数是和的n÷5n＝，中间的那个数正好是五个数之和的。 故答案为：D 【变式训练】 小明属于“轻度肥胖”吗？请说明理由。 【答案】不属于；理由见详解 【分析】用小明的实际体重与标准体重的差，再除以标准体重，求出超过标准体重的分率，再和比较，如果大于，属于“轻度肥胖”，如果小于，不属于“轻度肥胖”，据此解答。 【详解】（54－50）÷50 ＝4÷50 ＝ ＝；＝ ＜，即＜，不属于“轻度肥胖”。 答：小明不属于“轻度肥胖”。 【变式训练】王老师咽喉痛，医生给他开了一盒清热解毒口服液，王老师按包装上的用法用量喝了2天，他最多喝了这盒口服液的几分之几？ 【答案】 【分析】已知口服液的规格是10毫升×16支/盒，那么总容量为10×16＝160毫升。一次喝10～20毫升，因为要计算最多喝了这盒口服液的几分之几，所以每次喝的量取最大值20毫升，一日喝3次，喝了2天。则最多喝的容量为20×3×2＝120毫升。用最多喝的容量除以总容量即可解答。 【详解】10×16＝160（毫升） 20×3×2＝120（毫升） 120÷160＝ 答：王老师最多喝了这盒口服液的。 【变式训练】有一种黄豆，1千克中含有400克蛋白质、280克糖类和200克脂肪。这三种物质的含量各占黄豆的几分之几？ 【答案】；； 【分析】1千克克，据此统一单位，将黄豆质量看作单位“1”，蛋白质质量÷黄豆质量＝蛋白质占黄豆的几分之几；糖类质量÷黄豆质量＝糖类占黄豆的几分之几；脂肪质量÷黄豆质量＝脂肪占黄豆的几分之几。 【详解】1千克克 蛋白质： 糖类： 脂肪： 答：这三种物质的含量各占黄豆的、、。 考点六：真分数、假分数、带分数的认识 【典例精讲】用分数表示图中的涂色部分是，这是一个（    ）分数（括号内填“真”或“假”），化成带分数是（    ）。 【答案】；假； 【分析】本题可根据左右两个正六边形都平均分成6份，来确定分数单位为，左边正六边形6份涂色，右边六边形1份涂色，即涂色部分为份；真分数指分子小于分母的分数，假分数指分子大于分母的分数；假分数化成带分数的方法：用分数的分子除以分母，商作为带分数的整数部分，余数作为分数部分的分子，分母保持不变。 【详解】由图可知：左右两个正六边形都被平均分成6份，其中左边正六边形的6份涂色，表示为1，即是，右边正六边形的1份涂色，表示为，所以用分数表示涂色部分为；真分数是指分子小于分母的分数，假分数是指分子大于分母的分数，在中，，所以是一个假分数；在中，用分子除以分母：，其中商1作为带分数的整数部分，余数1作为分数部分的分子，分母不变，所以化成带分数是。 因此用分数表示图中的涂色部分是，这是一个假分数，化成带分数是。 【变式训练】没有正确表示下面数学概念之间关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A．含有未知数的等式叫做方程；含有等号的式子叫做等式。 B．一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 C．分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。由整数和真分数合成的数叫做带分数。带分数是假分数的另一种表现形式。 D．先把6和9分解质因数，把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。再判断18是否是6、9的公倍数即可得解。 【详解】A．根据方程和等式的意义可知，方程属于等式的一部分，该选项正确表示了等式和方程的关系。 B．因为一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以b既是b的因数，也是b的倍数，该选项正确表示了b的因数和倍数的关系。 C．分数分为真分数和假分数，带分数是假分数的一种形式。并不是和真分数、假分数并列的分类，所以该选项没有正确表示分数相关概念的关系。 D．6＝2×3，9＝3×3，6和9的最小公倍数是2×3×3＝18，所以既是6的倍数又是9的倍数的数，一定是18的倍数，该选项正确表示了6的倍数、9的倍数和18的倍数之间的关系。 故答案为：C 【变式训练】下面4个真分数中，一定是最简真分数的是（    ）（b＞0）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简真分数的定义：分子小于分母（真分数），且分子和分母互质，即分子、分母的最大公因数是1。然后依次分析每个选项中分子b（b＞0且b＜分母）与分母的关系。 【详解】A．，0＜b＜10，当b＝2时，＝，分子、分母有公因数2，不是最简分数。所以不一定是最简真分数。 B．，0＜b＜13，13是质数，它的因数只有1和13。因为b＜13，所以b和13的最大公因数只能是1，符合分子、分母互质，所以一定是最简真分数。 C．，0＜b＜20，当b＝2时，＝，分子、分母有公因数2，不是最简分数。所以不一定是最简真分数。 D．，0＜b＜100，当b＝2时，＝，分子、分母有公因数2，不是最简分数。所以不一定是最简真分数。 故答案为：B 【变式训练】下面图形表示关系正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】（1）含有未知数的等式叫作方程，方程一定是等式，等式不一定是方程，等式包括方程； （2）分子比分母小的分数叫作真分数，分子比分母大或分子和分母相等的分数叫作假分数，所以假分数不包括真分数； （3）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数； （4）整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8，不是2的倍数的数叫作奇数，奇数的个位数字为1、3、5、7、9，据此解答。 【详解】 分析可知，等式包括方程，所以该图形表示的关系正确； 分析可知，假分数和真分数不存在包含和被包含的关系，所以该图形表示的关系错误； 根据非0自然数因数个数的多少划分，非0自然数分为1、质数、合数，所以该图形表示的关系错误； 根据自然数是不是2的倍数划分，自然数分为奇数、偶数，所以该图形表示的关系正确。 综上所述，表示关系正确的有2个。 故答案为：B 考点七：假分数与带分数或整数的互化 【典例精讲】想一想，填一填。 里有（    ）个1和（    ）个，所以。 【答案】2；1； 【分析】分数的意义：把一个整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，分母是分成的份数，分子是表示其中的几份；据此把一个圆形看作单位“1”，其中2个圆形全部涂色，用整数“2”表示；第3个圆形平均分成4份，涂色部分占1份，用分数表示为“”；据此解答。 【详解】＝＋＝2＋＝ 里有2个1和1个，所以＝。 【变式训练】2                                          【答案】10；12；； 【分析】根据：分子＝分母×分数值；带分数化假分数的方法：整数部分×分母＋原来分子＝新的分子，分母不变；根据分数与除法的关系，被除数相当于分子，除数相当于分母，据此解答。 【详解】因为2×5＝10，所以； 因为3×4＝12，所以； 因为：4×7＋2 ＝28＋2 ＝30 所以； 【变式训练】中国结代表着团结、幸福、平安，深受人们的喜爱。用一根4m长的红绳正好可以编3个同样的中国结，每个中国结用了这根红绳的( )，每个中国结用了( )m长的红绳。（填分数） 【答案】 / 【分析】用一根4m长的红绳正好可以编3个同样的中国结，求每个中国结用了这根红绳的几分之几，是把这根红绳的长度看作单位“1”，平均分的是单位“1”，用1除以平均分成的份数解答；求每个中国结用了多少m长的红绳，平均分的是红绳的长度，用红绳的长度除以可以编同样的中国结的个数解答。 【详解】1÷3＝ 4÷3＝（m） 所以每个中国结用了这根红绳的，每个中国结用了m长的红绳。 【变式训练】当x为( )时，是它的分数单位；当x为( )时，是最小的假分数；当x为( )时，这个分数是；当x为( )时，可以约分为。 【答案】 1 6 17 3 【分析】第一个空，根据分母是几分数单位就是几分之一，进行填空； 第二个空，分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫假分数，据此填空； 第三个空，带分数化假分数，分母不变，用分数部分的分母作分母，用分母和整数相乘的积再加上分数的分子的和作为新分子。将化成假分数即可； 第四个空，根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，将化成分母是6的分数即可。 【详解】当x为1时，是它的分数单位；当x为6时，是最小的假分数；2×6＋5＝12＋5＝17，，当x为17时，这个分数是；，当x为3时，可以约分为。 考点八：分数化小数 【典例精讲】（填小数）。 【答案】6；15；40；0.6 【分析】根据分数与除法的关系（分数的分子相当于除法中的被除数，分数线相当于除法中的除号，分数的分母相当于除法中的除数），把转化为3÷5，再根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。被除数和除数同时乘2，即可知第一空的数；被除数和除数同时乘3，即可知第二空的数；根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。把的分子分母同时乘8，即可知第三空的数；根据分数转化成小数的方法，用分子除以分母，即可得第四空的数。据此解答。 【详解】＝3÷5 3÷5＝（3×2）÷（5×2）＝6÷10 3÷5＝（3×3）÷（5×3）＝9÷15 ＝ ＝3÷5＝0.6 （填小数）。 【变式训练】＝＝（    ）÷10＝（    ）（填小数）。 【答案】25；4；0.4 【分析】根据分数的基本性质将分数的分子与分母同时扩大相同倍数分数的值不变；再根据分数与除法的关系以及分数与小数互化即可解此题。 【详解】根据分析 分子：2×5＝10 分母：5×5＝25 即 分母：5×2＝10 分子：2×2＝4 即 综上可知，。 【变式训练】直线上表示1.25、、的点是同一个点。( ) 【答案】√ 【分析】先将和都化成小数形式：用分数的分子除以分母将分数转化为除法算式，计算出用小数表示的值；用整数乘分母加分子作为假分数的分子，分母不变从而将带分数转化为假分数，再用分子除以分母将假分数转化为小数。 【详解】＝10÷8＝1.25 ＝＝ ＝5÷4＝1.25 可知这三个数1.25、、的值都相等，在直线上表示相等数的点是同一个点，所以该说法正确。 故答案为：√ 【变式训练】把下面的小数改写成分数，分数改写成小数。（除不尽的保留三位小数） 0.05＝( )        ( )      ( ) 【答案】 0.75 0.556 【分析】小数化成分数，原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，再化简成最简分数； 分数化成小数，用分子除以分母即可，除不尽的保留三位小数。 【详解】0.05＝＝，所以0.05＝； ＝3÷4＝0.75，所以＝0.75； ＝5÷9≈0.556，所以≈0.556。 考点九：一位或多位小数化分数（约分） 【典例精讲】打同一份稿件，甲要0.2小时，乙要小时，丙要15分钟，三人打字速度最快的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意，工作总量相同，工作时间越短，工作效率（打字速度）越高。所以需要把三人的工作时间统一单位；例如统一成小时为单位，再进行比较，据此解答。 【详解】甲：0.2小时＝小时＝小时 乙：小时 丙：15分钟＝小时＝小时 比较分数大小：、、，根据分子相同，分母越大，分数越小，3＜4＜5，所以小时＜小时＜小时。 甲用时最少，速度最快。 故答案为：A 【变式训练】乐乐和哥哥同时从公园回家，哥哥用了0.6小时，乐乐用了小时，( )先到家。 【答案】哥哥 【分析】比较两人回家所用的时间，时间短的人先到家。将哥哥用的0.6小时化成分数，再与乐乐用的小时进行比较，得出结论。 小数化成分数，一位小数先化成分母为10的分数，再化简成最简分数。 分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值就越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小。 【详解】0.6＝＝ ＜ 即0.6＜，哥哥用的时间少； 所以，（哥哥）先到家。 【变式训练】一个三角形的边长都是整数，其中两条边的长度分别是6厘米和10厘米，第三条边最长是( )厘米，最短是( )分米。 【答案】 15 0.5/ 【分析】根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答，注意单位名数的换算。 【详解】6＋10＝16（厘米），第三边最大是15厘米； 10－6＝4（厘米），最小是5厘米。 5厘米＝0.5分米＝分米 一个三角形的边长都是整数，其中两条边的长度分别是6厘米和10厘米，第三条边最长是15厘米，最短是0.5分米（或分米）。 【变式训练】三人进行200米赛跑，许嘉用了分钟，张林用了分钟，李轩用了0.8分钟。谁是冠军？为什么？（把名字按成绩写在领奖台上） 【答案】许嘉是冠军；原有见详解；图见详解 【分析】根据小数化分数的方法：先把小数写成分数，原来有几位小数，就在1的后面写几个0作为分母，原来的小数去掉小数点作为分子，能约分要约分；把0.8化成分数，再根据异分母分数比较大小的方法：先通分，化成分母相同的分数，再根据同分母分数比较大小的方法，进行比较，谁小，谁用的时间少，谁跑得快，据此解答。 【详解】＝ ＝ 0.8＝＝ 因为＞＞，即＞0.8＞，许嘉是冠军。 考点十、根据真分数、假分数、带分数的特征组数 【典例精讲】用1、2、3这三个数字组成一个最大真分数是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】真分数：分子比分母小的数叫做真分数。先得出所有的真分数，再比较。异分母分数比较大小先通分转化为同分母分数，再根据同分母分数比较大小方法进行比较。 【详解】所有的真分数有：、、 因此，最大真分数是。 故答案为：A 【变式训练】a是自然数，如果是假分数，是真分数，那么a（    ）。 A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．等于4 【答案】C 【分析】真分数：分子比分母小的分数。假分数：分子和分母相等或分子比分母大的分数。 【详解】是假分数，则a可以是：3、4、5……； 是真分数，则a可以是：1、2、3； 即a等于3。 故答案为：C 【变式训练】用3、5、7三个数字和分数线“—”，按要求组数。（每个分数中三个数字都用上且不重复） （1）你能组成哪些真分数？ （2）你能组成哪些假分数？ 【答案】（1）、、、、、 （2）、、、、、 【分析】（1）真分数是分子比分母小的分数，所以组分数时，可以先确定分子。当分子是3时，真分数有、；当分子是5时，真分数有、；当分子是7时，真分数有、。 （2）假分数是分子比分母大或者分子和分母相等的分数，所以组分数时，可以先确定分母。当分母是3时，假分数有、；当分母是5时，假分数有、；当分母是7时，假分数有、。 【详解】（1）真分数有：、、、、、 （2）假分数有：、、、、、 【变式训练】（x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有( )种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是( )。 【答案】 7/七 8 【分析】根据真分数的意义：分子小于分母的分数叫做真分数；是真分数，x小于8；假分数的意义：分子大于或等于分母的分数叫做假分数，x大于或等于8；据此解答。 【详解】是真分数，x可能是1，2，3，4，5，6，7，一共有七种填法； 是假分数，x最小，分子等于分母，x是8。 （x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有7种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是8。 考点十一、分数的基本性质 【典例精讲】把的分子加上10，要使分数的大小不变，分母应加上（    ）。 A．10 B．35 C．42 【答案】B 【分析】积的变化规律：如果一个乘数乘几（0除外），另一个乘数除以相同的数，那么积不变；先用加法计算出扩大之后的分子，再用除法计算出分子扩大到原来的几倍，将分母扩大相同的倍数，再减去原分母即可解得。 【详解】由题，的分子加上10，即，故分子扩大到原来的倍，因此分母扩大到原来的6倍应变为，即分母应加上。 故答案为：B 【变式训练】大于而小于的最简分数有（    ）个。 A．1 B．5 C．3 D．无数 【答案】D 【分析】最简分数指分子和分母除了1以外，没有另外的公因数的分数，大于而小于的最简分数有，结合分数的基本性质，将分数和的分子分母分别乘2，即得到和，则满足要求的数有，同样的道理，分子分母分别乘3，变为和，满足要求的数有，，，据此即可解答。 【详解】大于而小于的最简分数有； 将和，分子分母分别乘2，即得到和，则满足要求的数有； 将和，分子分母分别乘3，变为和，满足要求的数有，，； 以此类推，故有无数个。 故答案选：D 【变式训练】下面哪些分数可以用直线上的同一个点表示？在直线上表示出来。          【答案】和；图见详解 【分析】先根据分数的基本性质进行约分，分子、分母同时除以它们的最大公因数，结果是分子和分母只有公因数1的最简分数；再从中找出相同的最简分数，即可用直线上的同一个点表示，然后根据分数的意义把这些点在直线上表示出来。 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的份数。 【详解】 ＝18÷9＝2 所以＝ 如下图： 【变式训练】中有( )个，1里面有( )个，里面有( )个。 【答案】 5 3 4 【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫分数。表示其中一份的数叫作分数单位；分子是几就有几个分数单位。 【详解】的分子是5，所以中有6个； 1＝，所以1里面有3个； ＝＝，所以里面有4个。 考点十二、分数的基本性质的应用 【典例精讲】把的分子乘4，要使分数的大小不变，分母应( )。 【答案】乘4 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。根据分数的基本性质解答。 【详解】的分子乘4，要使分数的大小不变，根据分数的基本性质，分母也应该乘4。 把的分子乘4，要使分数的大小不变，分母应乘4。 【变式训练】一个分数比大又比小，这样的分数能写出（    ）个。 A．4 B．7 C．12 D．无数 【答案】D 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 将和的分子和分母同时扩大相同的倍数（如2倍、3倍、4倍……），根据分数的基本性质，和的大小不变，但此时介于它们之间的分数会不断出现。 【详解】将分子、分母同时扩大2倍，，，在和之间的分数有； 将分子、分母同时扩大3倍，，，在和之间的分数有、； 以此类推，随着分子、分母扩大的倍数不断增加，在和之间的分数会有无数个。 所以比大又比小的分数有无数个。 故答案为：D 【变式训练】的分母乘4，要使分数的大小不变，分子应乘( )；的分子加8，要使分数的大小不变，分母应加( )。 【答案】 4 14 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【详解】（1）根据分数的基本性质可知，的分母乘4，要使分数的大小不变，分子应乘（4）； （2）分子加8，相当于乘： （4＋8）÷4 ＝12÷4 ＝3 分母相当于加： 7×3－7 ＝21－7 ＝14 的分子加8，要使分数的大小不变，分母应加（14）。 【变式训练】化简一个分数时，用2约了两次，用3约了一次，得。这个分数化简前是多少？ 【答案】 【分析】进行倒推，的分子和分母同时乘2两次，乘3一次，就等于化简前的分数。 【详解】 答：这个分数化简前是。 考点十三、最简分数 【典例精讲】已知A、B是非0自然数，如果A÷9＝B，那么A和B的最大公因数是( )；如果是最简分数，则A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 B AB 【分析】当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数。如果两个数互质，那么这两个数的最小公倍数是它们的积；分子与分母互质的分数叫做最简分数；据此解答。 【详解】A、B是非0自然数，如果A÷9＝B，则A和B成倍数关系（A是B的9倍），此时A和B的最大公因数是B；如果是最简分数，则A和B互质，此时A和B的最小公倍数是AB。 【变式训练】分母是12的最简真分数有（    ）。 A．无数个 B．8个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】分子和分母只有公因数1，且分子比分母小的分数叫最简真分数，据此写出所有分母是12的最简真分数，数一数即可。 【详解】分母是12的最简真分数有：、、、，共4个。 故答案为：C 【变式训练】一本故事书有96页，小丽已经看了42页。小丽已经看的页数和未看的页数分别占总页数的几分之几？（用最简分数表示） 【答案】； 【分析】把总页数看作单位“1”，根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用已看的页数除以总页数，即可求出已看的页数占的分率，然后用1减去已看的页数占的分率，即可求出未看的页数占的分率。根据分数的基本性质将结果化成最简分数。 最简分数：分子和分母的最大公因数只有1，这时的分数是最简分数。 【详解】42÷96＝ 1－＝ 答：小丽已经看的页数占总页数的，未看的页数占总页数的。 【变式训练】分数单位是的最简真分数有( )个；分数单位是的最大真分数是( )，最小假分数是( )，这个假分数再添上( )个这样的分数单位就是最小的质数。 【答案】 4 8 【分析】把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，表示其中一份的数叫作分数单位，分数的分母是几，分数单位就是几分之一；分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫作最简分数；分子比分母小的分数叫作真分数；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫作假分数；最后根据最小的质数是2，求出需要添加分数单位的个数，据此解答。 【详解】分数单位是的最简真分数有，，，，共4个； 分子比分母小1的真分数最大，所以分数单位是的最大真分数是； 分子等于分母的假分数最小，所以分数单位是的最小假分数是； 最小的质数是2，2＝，16－8＝8，所以这个假分数再添上8个这样的分数单位就是最小的质数。 考点十四、约分的认识及应用 【典例精讲】约分。                      【答案】；；；；； 【分析】根据分数的基本性质进行约分，即分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变，据此解答即可。 【详解】 【变式训练】计算下面各题，把得数约成最简分数。              【答案】；；； 【分析】根据同分母分数加减法的计算方法，同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数大小不变。把分数计算结果按照分数的基本性质进行约分即可。 【详解】 【变式训练】分别说出下面各分数的分子和分母有没有公因数2、5或3。                      【答案】见详解 【分析】两个数可以同时被一个数整除，那么这个数就叫做这两个数的公因数。能被2整除的特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数；能被3整除的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字能被3整除的。能被5整除特征，一个数的个位是0或5，这个数就能被5整除；据此解答即可。 【详解】（1）1＋5＝6 9和15能同时被3整除，所以分子和分母有公因数3。 （2）2＋5＝7 3＋5＝8 25和35能同时被5整除，所以分子和分母有公因数5。 （3）1＋4＝5 4＋2＝6 14和42能同时被2整除，所以分子和分母有公因数2。 （4）3＋0＝3 3＋6＝9 30和36能同时被2、3整除，所以分子和分母有公因数2、3。 （5） 4＋5＝9 1＋5＝6 45和15能同时被3、5整除，所以分子和分母有公因数3、5。 （6）1＋8＝9 5＋1＝6 18和51能同时被3整除，所以分子和分母有公因数3。 【变式训练】清明节时五2班同学准备到革命烈士陵园举行祭奠活动，大家利用课余时间折小白花，晨晨同学12分钟折了8朵，贝贝同学4分钟折了3朵，谁折的快呢？ 【答案】贝贝 【分析】由题意可知，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此分别求出晨晨和贝贝的工作效率，再进行对比即可。 【详解】8÷12＝（朵） 3÷4＝（朵） ＜ 答：贝贝同学折的快。 考点十五、通分的认识及应用 【典例精讲】把下面每组中的两个分数通分。 和    和    和 【答案】和；和；和 【分析】通分的方法：通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数，据此解答。 【详解】和 ＝＝ ＝＝ 和 ＝＝ ＝ 和 ＝＝ ＝＝ 【变式训练】将下面各组分数通分。 （1）和 （2）和 【答案】（1）＝；＝； （2）＝；＝ 【分析】把几个分母不同的分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分，相同的分母叫作这几个分数的公分母，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母，据此解答。 【详解】（1）和 ＝＝ ＝＝ （2）和 ＝＝ ＝＝ 【变式训练】把下面各组分数通分。 和　     　和　    　和 【答案】和；和；和 【分析】通分的方法：通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后根据分数的基本性质，把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。 【详解】和 ＝＝ ＝＝ 和 ＝＝ ＝ 和 ＝＝ ＝＝ 【变式训练】把几个分母不同的分数，分别化成和原来分数相等的( )分数，叫作通分，通分时，一般用各个分母的( )作为公分母。 【答案】 同分母 最小公倍数 【详解】把几个分母不同的分数，分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分，通分时，一般用各个分母的最小公倍数作为公分母。例如，对和通分，分母2和3的最小公倍数是6，那么可将6作为公分母，通分结果为和。 考点十六、异分母异分子分数的大小比较 【典例精讲】加工同样的零件，小王用小时，小李用了小时，小张用了小时，（    ）做的快。 A．小王 B．小李 C．小张 D．无法确定 【答案】A 【分析】要比较三人的加工速度，由于加工零件数量相同，所用时间越短，速度越快，即需要比较分数、、的大小。 【详解】3、4、5是互质数，通分分母为其最小公倍数，通分后：，，，即，最小，故小王用时最短，速度最快。 故答案为：A 【变式训练】马林看一本故事书，已经看了一半多一些，下面适合表示“没看的页数占这本书的几分之几”的分数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，已经看了一半多一些，那么没看的页数应该是一半少一些，把这本书的总页数看作单位“1”，这本书的一半是，没看的页数占这本书的分率应该小于，据此解答。 【详解】A．＝＝，＝＝，因为＞，所以＞； B．表示没看的页数占这本书的一半，不符合题意； C．＝＝，＝＝，因为＞，所以＞； D．＝＝，＝＝，因为＜，所以＜。 综上所述，适合表示“没看的页数占这本书的几分之几”的分数是。 故答案为：D 【变式训练】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2.1( )       ( )        ( )0.3 4( )         1.7( )       1( ) 【答案】 ＜ ＜ ＞ ＜ ＝ ＞ 【分析】分数与小数比较大小，先用分子除以分母，将分数化成小数，再比较两个小数的大小即可。 分数的大小比较，假分数大于真分数，据此比较大小即可。 【详解】≈2.11，2.1＜2.11，所以2.1＜ ＜1，＞1，所以＜ ≈0.33，0.33＞0.3，所以＞0.3 ≈4.33，4＜4.33，所以4＜ 1.7＝ 1＞ 【变式训练】有一种黄豆，每千克中含有千克蛋白质和千克淀粉。蛋白质和淀粉哪种含量高一些？ 【答案】蛋白质 【分析】只要比较1千克黄豆里面蛋白质和淀粉的含量的大小即可；先把化成分母是10的分数，再按照同分母分数比较大小的方法进行比较即可。 【详解】＝ ＞ 答：蛋白质的含量高一些。 综合训练 1．如果是一个最简真分数，那么a有（    ）不同的可能。 A．1 B．2 C．4 D．7 【答案】C 【分析】真分数：是指分子比分母小的分数。 最简分数：是指分子和分母只有公因数1的分数。 要先保证是一个真分数，那么（a－1）一定小于8，且α为整数，找出符合条件的a的值。 再将a的数值代入，保证是最简分数。 【详解】如果是一个真分数，则（a－1）小于8，a的值为2、3、4、5、6、7、8。 将α的值代入；当α分别为2、4、6、8时，分别为、、、。 α有四种不同的可能。 故答案为：C 2．一根绳子，剪去了全长的，还剩米。剪去的和剩下的相比较，（    ）。 A．剪去的长 B．剩下的长 C．同样长 D．无法比较 【答案】B 【分析】把这根绳子的全长看作单位“1”，剪去了全长的，则还剩下全长的（1－），比较用去的和剩下的分别占全长的几分之几，即可得出结论。 【详解】1－＝ 因为＞，所以剩下的部分更长。 故答案为：B 3．将一根长8分米的细绳，连续对折三次，对折之后每一段绳子长（    ）分米。 A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据“每次对折绳子段数翻倍”的规律，对折1次得2段，对折2次得4段，对折3次得8段，依据“每段长度＝绳子总长÷段数”，已知绳子总长8分米，所以每段长度为8÷8＝1分米，据此选择。 【详解】2×2×2＝8（段），8÷8＝1（分米） 对折之后每一段绳子长1分米。 故答案为：C 4．做相同个数的零件，张师傅用了小时，李师傅用了小时，王师傅用了0.67小时，他们三人，（    ）做得最快。 A．张师傅 B．李师傅 C．王师傅 D．一样快 【答案】B 【分析】因为做相同个数的零件，用时越短，做得越快。将分数化为小数，然后再根据小数的大小比较方法：先看整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，以此类推，比较即可。 【详解】小时≈0.667小时 小时＝0.65小时 0.65＜0.667＜0.67 李师傅做得最快。 故答案为：B 5．下面的大长方形的面积是3平方米，涂色部分能表示出平方米的是（    ）。 A． B． C． D．一个都没有 【答案】A 【分析】平方米既可以表示1平方米的，也可以表示3平方米的，据此选择即可。 【详解】把3平方米看作单位“1”，平均分成4份，表示这样的1份，即为3平方米的，就是平方米。 A．涂色部分表示的是3平方米的，即平方米，与题意相符； B．涂色部分表示的是3平方米的，是平方米，与题意不符； C．涂色部分表示的是3平方米的，是平方米，与题意不符； D．与题意相符的有一个选项，与题意不符。 故答案为：A 6．在日常生活中，我们常常用一些成语来形容事件发生的可能性的大小，下面的成语中，表示的可能性最小的是（    ）。 A．百里挑一 B．百战百胜 C．十拿九稳 D．平分秋色 【答案】A 【分析】百里挑一表示在一百个当中挑选一个。百战百胜表示每次战斗都胜利。十拿九稳表示十次去拿，九次能拿到。平分秋色表示双方各得一半。据此分析各选项进而得出正确答案。 【详解】A．百里挑一：可能性为1÷100＝。 B．百战百胜：可能性为。 C．十拿九稳：可能性为9÷10＝。 D．平分秋色：可能性为1÷2＝。 ＜＜＜，所以“百里挑一”表示的可能性最小。 故答案为：A 7．鱼圆是兴化沙沟美食。一份鱼圆净重2千克，如果平均分5次吃完，每次吃这份鱼圆的( )，是( )千克。 【答案】 /0.4 【分析】分析题目，把一份鱼圆净重看作单位“1”，用1除以分成的次数即可得到每次吃几分之几；再用鱼圆净重除以分成的次数即可得到每次吃多少千克。 【详解】1÷5＝ 2÷5＝（千克） 鱼圆是兴化沙沟美食。一份鱼圆净重2千克，如果平均分5次吃完，每次吃这份鱼圆的，是千克。 8．分母是9的最大真分数是( )，分子是10的假分数有( )个。 【答案】 10 【分析】真分数小于1，也就是分子小于分母的分数；假分数等于或大于1，也就是分子等于或大于分母的分数，据此解答。 【详解】分母是9的真分数，那么分子可以是1、2、3、4、5、6、7、8，其中最大的分子是8，所以分母是9的最大真分数是。 分子是10的假分数，分母可以是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，共10个，所以分子是10的假分数有10个。 所以分母是9的最大真分数是，分子是10的假分数有10个。 9．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )3           ( )             0.49( ) 【答案】 ＞ ＞ ＜ 【分析】将分数化为带分数或者将整数3化为分母为4的分数，再比较分子大小。 两个分数分母不同，先通分，化为同分母分数后比较分子大小。 将分数化为小数，再与0.49比较大小。 【详解】，所以，即； 7和6的最小公倍数是7×6＝42。 ，，因为，所以； ＝5÷9≈0.556，因为0.49＜0.556，所以0.49＜。 ＞3          ＞ 0.49＜ 10．暑假期间，小军每2天游泳一次，小明每3天游泳一次，小阳每4天游泳一次。7月20日三人在游泳池相遇，算一算小军和小明下一次相遇是( )月( )日，小明和小阳的下一次相遇是( )月( )日。 【答案】 7 26 8 1 【分析】（1）小军每2天游泳一次，小明每3天游泳一次，下次相遇再过的天数是2和3的最小公倍数，2和3的最小公倍数是6，7月20日再过6天就是再次相遇的日期； （2）小明每3天游泳一次，小阳每4天游泳一次，下次相遇再过的天数是3和4的最小公倍数，3和4的最小公倍数是12，7月20日再过12天就是再次相遇的日期。 【详解】2和3的最小公倍数是6； 20＋6＝26，小军和小明下一次相遇是7月26日； 3和4的最小公倍数是12； 31－20＝11 12－11＝1，小明和小阳的下一次相遇是8月1日。 暑假期间，小军每2天游泳一次，小明每3天游泳一次，小阳每4天游泳一次。7月20日三人在游泳池相遇，算一算小军和小明下一次相遇是7月26日，小明和小阳的下一次相遇是8月1日。 11．的分数单位是( )，添上( )个这样的分数单位是最小的合数；减去( )个这样的分数单位是最小的质数。 【答案】 3 1 【分析】（1）分数的分母是几，则这个分数的分数单位就是几分之一； （2）最小的合数是4，根据整数化分数的方法把4化成分母是2的分数，再用得到的分子减去给出的分数的分子5，即可得到加上几个这样的分数单位是最小的合数； （3）最小的质数是2，根据整数化分数的方法把2化成分母是2的分数，再用给出的分数的分子5减去化成的分数的分子，即可得到减去几个这样的分数单位是最小的质数。 【详解】4＝ 8－5＝3 2＝ 5－4＝1 的分数单位是，添上3个这样的分数单位是最小的合数；减去1个这样的分数单位是最小的质数。 12．把一根6米长的木材锯成相等长度的小段，锯了6次，每小段长( )米，其中的3段占木材总长度的( )。 【答案】 【分析】锯成的段数＝锯的次数＋1，锯了6次，则木材有7段。求每段长度，用木材长度除以段数，根据分数与除法的关系表示出结果。 求3段占木材总长度的几分之几，也就是求3占7的几分之几，根据求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算。 【详解】6＋1＝7（段） 6÷7＝（米） 3÷7＝ 每小段长米，其中的3段占木材总长度的。 13．先圈出下面分数中的最简分数，再把不是最简分数的约成最简分数。                              【答案】圈出和； ；；；；； 【分析】最简分数是分子、分母只有公因数1的分数。判断时，看分子分母是否互质；化简分数依据分数的基本性质：分子分母同时除以它们的最大公因数。 【详解】：9和15的最大公因数为3，约分得； ：12和16的最大公因数为4，约分得； ：6和11互质，无公因数，圈出； ：11和33的最大公因数为11，约分得； ：36和4的最大公因数为4，约分得； ：21和47互质，无公因数，圈出； ：28和32的最大公因数为4，约分得； ：14和49的最大公因数为7，约分得。 14．将下面每组的分数通分。 和    、和    和    、和 【答案】；； ；； ；； ；； 【分析】根据通分的意义，把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分；先找出两个分母的最小公倍数当公分母，再根据分数的基本性质即可解答。 【详解】和 、和 和 、和 15．俗话说“货比三家”，李明在批发市场买圆珠笔，连跑三家店。甲店10元买8支，乙店6元买5支，丙店14元买8支再送2支。请你帮李明算一算，选哪家店划算？ 【答案】乙店 【分析】由题意可知，丙店相当于花14元可买（支），根据，代入数据分别求出三家店的单价，再根据分数比较大小的方法，单价小的那家店划算。 【详解】（元）＝（元） （元）＝（元） （元） ＝（元） 答：选乙店划算。 16．学校图书馆买来5箱图书，一共300本，平均分给12个班，每班分到多少本？每班分到几分之几箱？每班分得这些图书的几分之几？ 【答案】25本；箱； 【分析】根据平均分用除法计算，第一问用总本数除以班数，第二问用总箱数除以班数，第三问把图书总数看作单位“1”，根据分数的意义，把1平均分成12份，每份是。 【详解】（本） （箱） 答：每班分到25本，每班分到箱，每班分得这些图书的。 17．把一张长3分米、宽2分米的长方形卡纸平均分成8份，每份的面积是多少平方分米？每份占这张卡纸的几分之几？ 【答案】平方分米； 【分析】根据长方形面积公式：S＝ab，求出长方形卡纸的总面积，再用总面积除以份数得到每份的面积。对于每份占这张卡纸的几分之几，根据分数的意义，把这张卡纸看作单位“1”平均分的是单位“1”，用1除以平均分成的份数解答。 【详解】3×2÷8 ＝6÷8 ＝（平方分米） 答：每份的面积是平方分米，每份占这张卡纸的。 18．录人一份稿件，小李用了13分钟，比小王少用4分钟。小李用的时间是小王的几分之几？小王用的时间是小李的几分之几？ 【答案】； 【分析】已知小李用了13分钟，比小王少用4分钟，即小王比小李多用4分钟，用小李用的时间加上4，即是小王用的时间； 求小李用的时间是小王的几分之几，用小李用的时间除以小王用的时间即可； 求小王用的时间是小李的几分之几，用小王用的时间除以小李用的时间即可。 【详解】13＋4＝17（分钟） 13÷17＝ 17÷13＝ 答：小李用的时间是小王的，小王用的时间是小李的。 19．同一种毛巾，甲超市的售价是29元3条，乙超市的售价是39元4条，丙超市的售价是48元5条。在哪家超市买这种毛巾最划算？ 【答案】丙超市 【分析】已知同一种毛巾在三家超市的售价和数量，先根据“总价÷数量＝单价”，分别求出这种毛巾在三家超市的单价；再根据分数大小比较的方法进行比较，在价格最低的超市买这种毛巾最划算。 分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值就越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小；分子、分母都不相同时，利用分数的基本性质化成同分母或同分子的分数进行比较。 【详解】甲：29÷3＝（元） 乙：39÷4＝（元） 丙：48÷5＝（元） 带分数、、的整数部分都是9，比较、、的大小即可； ＝，＝，＝ ＜＜，所以＜＜； 丙超市的单价＜甲超市的单价＜乙超市的单价 答：丙超市买这种毛巾最划算。 20．一个榨油厂用100千克的一种花生仁榨了42千克油，平均榨1千克油要用多少千克这种花生仁？平均每千克这种花生仁能榨油多少千克？ 【答案】千克；千克 【分析】花生仁质量÷榨油质量＝1千克油需要的花生仁质量；榨油质量÷花生仁质量＝每千克花生仁榨油质量，据此列式，根据分数与除法的关系，即分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，表示出结果，能约分的约分即可。 【详解】100÷42＝＝（千克） 42÷100＝＝（千克） 答：平均榨1千克油要用千克这种花生仁，平均每千克这种花生仁能榨油千克。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 分数的意义和性质 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、分数的意义 2 二、分数与除法的关系 2 三、分数的基本性质 2 四、真分数、假分数和带分数 2 五、约分 3 六、通分 3 七、分数的大小比较 4 考点讲练 4 考点一：分数的意义 4 考点二：单位“1”的认识与确定 6 考点三：分数单位的认识与确定 8 考点四：分数与除法的关系 10 考点五：求一个数占另一个数的几分之几 13 考点六：真分数、假分数、带分数的认识 16 考点七：假分数与带分数或整数的互化 19 考点八：分数化小数 22 考点九：一位或多位小数化分数（约分） 24 考点十、根据真分数、假分数、带分数的特征组数 27 考点十一、分数的基本性质 29 考点十二、分数的基本性质的应用 31 考点十三、最简分数 33 考点十四、约分的认识及应用 35 考点十五、通分的认识及应用 39 考点十六、异分母异分子分数的大小比较 42 综合训练 45 知识梳理 一、分数的意义 1.定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。 单位“1”：可以是一个物体（如一个苹果）、一个计量单位（如1米），也可以是由多个物体组成的整体（如3个苹果组成的一堆）。 2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫作分数单位。 例如：它有3个这样的分数单位 二、分数与除法的关系 1.公式：被除数÷除数 例： 2.应用：求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，结果用分数表示。 例：5是8的几分之几？列式为把3米长的绳子平均分成5段，每段长）。 三、分数的基本性质 1.定义：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 字母表示： 2.应用：化简分数分子分母同时除以2）、通分（后续知识点）等。 四、真分数、假分数和带分数 1.真分数：分子比分母小的分数，特征是值小于1。 例： 2.假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数，特征是值大于或等于1。 例： 3.带分数：由整数（不包括0）和真分数合成的数，读作“几又几分之几”，值大于1。 例： 4.假分数与带分数的互化： 假分数化带分数：分子÷分母，商为整数部分，余数为分子，分母不变。 例： 带分数化假分数：整数×分母+分子作分子，分母不变。 例： 五、约分 1.最大公因数：几个数公有的因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。 求法：列举法（列出所有因数找最大）、分解质因数法（公有质因数的乘积）、短除法（用公有质因数连续除，直到互质，除数的乘积）。 例：求12和18的最大公因数，短除法中用2和3连续除，最大公因数是$2×3 = 6$。 2.约分：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分。 方法：用分子和分母的最大公因数去除分子和分母，直到分子和分母只有公因数1（即最简分数）。 例： 六、通分 1.最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。 求法：列举法（列出倍数找最小）、分解质因数法（公有质因数与独有质因数的乘积）、短除法（用公有质因数和独有质因数连乘）。 例：求4和6的最小公倍数，短除法中用2除，商2和3，最小公倍数是$2×2×3 = 12$。 2.通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。 方法：先求出原来几个分母的最小公倍数作公分母，再根据分数的基本性质，把各分数化成用公分母作分母的分数。 例： 七、分数的大小比较 1.同分母分数：分子大的分数大。 2.同分子分数：分母小的分数大。例 3.异分母分数：先通分，转化为同分母分数再比较。 4.带分数比较：先比较整数部分，整数部分大的分数大；整数部分相同，比较分数部分。 例： 考点讲练 考点一：分数的意义 【典例精讲】下图是一根3米长的彩带。在图中涂色表示米。 【变式训练】涂一涂，在下图中用阴影表示公顷。 【变式训练】把2m长的绳子平均分成3段，每段是全长的（    ）。 A． B． C． 【变式训练】分别在下面两幅图中，直接画涂色表示出公顷。 考点二：单位“1”的认识与确定 【典例精讲】将一根绳子剪去米后还剩全长的，剪去的绳子和剩下的绳子相比，（    ）。 A．剪去的绳子长 B．剩下的绳子长 C．无法比较长短 【变式训练】把一根电线截成两段，第一段占全长的，第二段长米，这两段电线长度相比（    ）。 A．同样长 B．第一段长 C．第二段长 【变式训练】一节课的时间是小时，表示把 看作单位“1”，平均分成 份，一节课的时间有这样的 份，是 分钟。 【变式训练】一个长方形，长的相当于宽这句话中，把( )看作单位“1”。 考点三：分数单位的认识与确定 【典例精讲】的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位正好是最小的质数。 【变式训练】( )个是，是( )个，2里面有( )个。 【变式训练】的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再加上( )个这样的分数单位就是最小的合数。 【变式训练】涂色部分用带分数表示是( )，它的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位就是最小的合数。 考点四：分数与除法的关系 【典例精讲】小明家住在四楼，他从一楼走到四楼用了2分钟。如果小明爬楼的速度保持不变，那么他从三楼走到八楼要用（    ）分钟。 A． B． C． 【变式训练】在下图中分别涂色，使涂色部分表示公顷。 ①         ② 【变式训练】4÷5＝（    ）÷45＝＝（    ）（填小数）。 【变式训练】（填小数）。 考点五：求一个数占另一个数的几分之几 【典例精讲】五个连续奇数，中间的那个数正好是五个数之和的（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】 小明属于“轻度肥胖”吗？请说明理由。 【变式训练】王老师咽喉痛，医生给他开了一盒清热解毒口服液，王老师按包装上的用法用量喝了2天，他最多喝了这盒口服液的几分之几？ 【变式训练】有一种黄豆，1千克中含有400克蛋白质、280克糖类和200克脂肪。这三种物质的含量各占黄豆的几分之几？ 考点六：真分数、假分数、带分数的认识 【典例精讲】用分数表示图中的涂色部分是，这是一个（    ）分数（括号内填“真”或“假”），化成带分数是（    ）。 【变式训练】没有正确表示下面数学概念之间关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】下面4个真分数中，一定是最简真分数的是（    ）（b＞0）。 A． B． C． D． 【变式训练】下面图形表示关系正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 考点七：假分数与带分数或整数的互化 【典例精讲】想一想，填一填。 里有（    ）个1和（    ）个，所以。 【变式训练】2                                          【变式训练】中国结代表着团结、幸福、平安，深受人们的喜爱。用一根4m长的红绳正好可以编3个同样的中国结，每个中国结用了这根红绳的( )，每个中国结用了( )m长的红绳。（填分数） 【变式训练】当x为( )时，是它的分数单位；当x为( )时，是最小的假分数；当x为( )时，这个分数是；当x为( )时，可以约分为。 考点八：分数化小数 【典例精讲】（填小数）。 【变式训练】＝＝（    ）÷10＝（    ）（填小数）。 【变式训练】直线上表示1.25、、的点是同一个点。( ) 【变式训练】把下面的小数改写成分数，分数改写成小数。（除不尽的保留三位小数） 0.05＝( )        ( )      ( ) 考点九：一位或多位小数化分数（约分） 【典例精讲】打同一份稿件，甲要0.2小时，乙要小时，丙要15分钟，三人打字速度最快的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【变式训练】乐乐和哥哥同时从公园回家，哥哥用了0.6小时，乐乐用了小时，( )先到家。 【变式训练】一个三角形的边长都是整数，其中两条边的长度分别是6厘米和10厘米，第三条边最长是( )厘米，最短是( )分米。 【变式训练】三人进行200米赛跑，许嘉用了分钟，张林用了分钟，李轩用了0.8分钟。谁是冠军？为什么？（把名字按成绩写在领奖台上） 考点十、根据真分数、假分数、带分数的特征组数 【典例精讲】用1、2、3这三个数字组成一个最大真分数是（    ）。 A． B． C． 【变式训练】a是自然数，如果是假分数，是真分数，那么a（    ）。 A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．等于4 【变式训练】用3、5、7三个数字和分数线“—”，按要求组数。（每个分数中三个数字都用上且不重复） （1）你能组成哪些真分数？ （2）你能组成哪些假分数？ 【变式训练】（x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有( )种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是( )。 考点十一、分数的基本性质 【典例精讲】把的分子加上10，要使分数的大小不变，分母应加上（    ）。 A．10 B．35 C．42 【变式训练】大于而小于的最简分数有（    ）个。 A．1 B．5 C．3 D．无数 【变式训练】下面哪些分数可以用直线上的同一个点表示？在直线上表示出来。          【变式训练】中有( )个，1里面有( )个，里面有( )个。 考点十二、分数的基本性质的应用 【典例精讲】把的分子乘4，要使分数的大小不变，分母应( )。 【变式训练】一个分数比大又比小，这样的分数能写出（    ）个。 A．4 B．7 C．12 D．无数 【变式训练】的分母乘4，要使分数的大小不变，分子应乘( )；的分子加8，要使分数的大小不变，分母应加( )。 【变式训练】化简一个分数时，用2约了两次，用3约了一次，得。这个分数化简前是多少？ 考点十三、最简分数 【典例精讲】已知A、B是非0自然数，如果A÷9＝B，那么A和B的最大公因数是( )；如果是最简分数，则A和B的最小公倍数是( )。 【变式训练】分母是12的最简真分数有（    ）。 A．无数个 B．8个 C．4个 D．5个 【变式训练】一本故事书有96页，小丽已经看了42页。小丽已经看的页数和未看的页数分别占总页数的几分之几？（用最简分数表示） 【变式训练】分数单位是的最简真分数有( )个；分数单位是的最大真分数是( )，最小假分数是( )，这个假分数再添上( )个这样的分数单位就是最小的质数。 考点十四、约分的认识及应用 【典例精讲】约分。                      【变式训练】计算下面各题，把得数约成最简分数。              【变式训练】分别说出下面各分数的分子和分母有没有公因数2、5或3。                      【变式训练】清明节时五2班同学准备到革命烈士陵园举行祭奠活动，大家利用课余时间折小白花，晨晨同学12分钟折了8朵，贝贝同学4分钟折了3朵，谁折的快呢？ 考点十五、通分的认识及应用 【典例精讲】把下面每组中的两个分数通分。 和    和    和 【变式训练】将下面各组分数通分。 （1）和 （2）和 【变式训练】把下面各组分数通分。 和　     　和　    　和 【变式训练】把几个分母不同的分数，分别化成和原来分数相等的( )分数，叫作通分，通分时，一般用各个分母的( )作为公分母。 考点十六、异分母异分子分数的大小比较 【典例精讲】加工同样的零件，小王用小时，小李用了小时，小张用了小时，（    ）做的快。 A．小王 B．小李 C．小张 D．无法确定 【变式训练】马林看一本故事书，已经看了一半多一些，下面适合表示“没看的页数占这本书的几分之几”的分数是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2.1( )       ( )        ( )0.3 4( )         1.7( )       1( ) 【变式训练】有一种黄豆，每千克中含有千克蛋白质和千克淀粉。蛋白质和淀粉哪种含量高一些？ 综合训练 1．如果是一个最简真分数，那么a有（    ）不同的可能。 A．1 B．2 C．4 D．7 2．一根绳子，剪去了全长的，还剩米。剪去的和剩下的相比较，（    ）。 A．剪去的长 B．剩下的长 C．同样长 D．无法比较 3．将一根长8分米的细绳，连续对折三次，对折之后每一段绳子长（    ）分米。 A． B． C．1 D． 4．做相同个数的零件，张师傅用了小时，李师傅用了小时，王师傅用了0.67小时，他们三人，（    ）做得最快。 A．张师傅 B．李师傅 C．王师傅 D．一样快 5．下面的大长方形的面积是3平方米，涂色部分能表示出平方米的是（    ）。 A． B． C． D．一个都没有 6．在日常生活中，我们常常用一些成语来形容事件发生的可能性的大小，下面的成语中，表示的可能性最小的是（    ）。 A．百里挑一 B．百战百胜 C．十拿九稳 D．平分秋色 7．鱼圆是兴化沙沟美食。一份鱼圆净重2千克，如果平均分5次吃完，每次吃这份鱼圆的( )，是( )千克。 8．分母是9的最大真分数是( )，分子是10的假分数有( )个。 9．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )3           ( )             0.49( ) 10．暑假期间，小军每2天游泳一次，小明每3天游泳一次，小阳每4天游泳一次。7月20日三人在游泳池相遇，算一算小军和小明下一次相遇是( )月( )日，小明和小阳的下一次相遇是( )月( )日。 11．的分数单位是( )，添上( )个这样的分数单位是最小的合数；减去( )个这样的分数单位是最小的质数。 12．把一根6米长的木材锯成相等长度的小段，锯了6次，每小段长( )米，其中的3段占木材总长度的( )。 13．先圈出下面分数中的最简分数，再把不是最简分数的约成最简分数。                              14．将下面每组的分数通分。 和    、和    和    、和 15．俗话说“货比三家”，李明在批发市场买圆珠笔，连跑三家店。甲店10元买8支，乙店6元买5支，丙店14元买8支再送2支。请你帮李明算一算，选哪家店划算？ 16．学校图书馆买来5箱图书，一共300本，平均分给12个班，每班分到多少本？每班分到几分之几箱？每班分得这些图书的几分之几？ 17．把一张长3分米、宽2分米的长方形卡纸平均分成8份，每份的面积是多少平方分米？每份占这张卡纸的几分之几？ 18．录人一份稿件，小李用了13分钟，比小王少用4分钟。小李用的时间是小王的几分之几？小王用的时间是小李的几分之几？ 19．同一种毛巾，甲超市的售价是29元3条，乙超市的售价是39元4条，丙超市的售价是48元5条。在哪家超市买这种毛巾最划算？ 20．一个榨油厂用100千克的一种花生仁榨了42千克油，平均榨1千克油要用多少千克这种花生仁？平均每千克这种花生仁能榨油多少千克？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $