第一单元 简易方程讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

该小学数学简易方程单元复习讲义通过知识梳理系统构建知识体系，涵盖用字母表示数、方程意义、等式性质、解方程及实际应用，以清晰框架呈现核心概念与内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于考点讲练梯度设计，从基础辨识到复杂应用，如列方程解行程问题培养模型意识，解方程训练强化运算能力。综合训练覆盖多样题型，助力分层提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

第一单元 简易方程 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、用字母表示数 1 二、方程的意义 2 三、等式的性质 2 四、解方程 2 五、列方程解决实际问题 3 考点讲练 4 考点一：等式的认识及列等量关系式 4 考点二：方程的认识 6 考点三：等式的性质1 8 考点四：应用等式的性质1解方程 10 考点五：等式的性质2 15 考点六：应用等式的性质2解方程 17 考点七：应用等式的性质1和2解方程 20 考点八：解含括号的方程 24 考点九：方程的检验 29 考点十：列简易方程 35 考点十一：列方程解含一个未知数的问题 37 考点十二：列方程解含两个未知数的问题 39 考点十三：列方程解稍复杂的实际问题 42 综合训练 45 知识梳理 一、用字母表示数 1.表示数量关系 用字母表示常见的数量关系，如路程（s）、速度（v）、时间（t）的关系：s=vt；总价（c）、单价（a）、数量（x）的关系：c=ax。 示例：每支铅笔a元，买5支铅笔应付5a元；小明今年b岁，妈妈比他大25岁，妈妈今年（b+25）岁。 2.表示计算公式 几何图形公式：如正方形周长C=4a（a为边长），面积S=a²；长方形周长C=2（a+b）（a、b为长和宽），面积S=ab。 注意：数字与字母相乘时，数字写在字母前面，乘号可省略（如4a）；字母与字母相乘时，乘号可省略或写作“·”（如ab或a·b）；带单位时，若式子是加减关系，需加括号（如（a+25）岁）。 3.表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）；乘法交换律：ab=ba；乘法结合律：（ab）c=a（bc）；乘法分配律：a（b+c）=ab+ac。 二、方程的意义 1.定义：含有未知数的等式叫做方程。 关键词：必须同时满足“含有未知数”和“是等式”两个条件。 示例：3x+5=20（是方程，含未知数x且为等式）；5+8=13（不是方程，不含未知数）；3x-2（不是方程，不是等式）。 2.方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。 等式包含方程，方程是特殊的等式（含有未知数）。 三、等式的性质 1.性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 字母表达式：如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c。 示例：若x+3=7，两边同时减3，得x=4。 2.性质2：等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。 字母表达式：如果a=b，那么ac=bc，a÷c=b÷c（c≠0）。 注意：除数不能为0，因为0做除数无意义。 示例：若2x=10，两边同时除以2，得x=5；若x÷4=5，两边同时乘4，得x=20。 四、解方程 1.定义：求方程中未知数的值的过程叫做解方程，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 2.解方程的依据：等式的性质1和性质2。 3.书写格式： 解方程时，等号要上下对齐； 每一步需注明依据（可省略，但需理解原理）。 4.常见方程类型及解法： 类型1：x+a=b（a、b为已知数） 解法：根据等式性质1，两边同时减a，得x=b-a。 示例：x+5=12 → x=12-5 → x=7。 类型2：x-a=b 解法：根据等式性质1，两边同时加a，得x=b+a。 示例：x-3=8 → x=8+3 → x=11。 类型3：ax=b（a≠0） 解法：根据等式性质2，两边同时除以a，得x=b÷a。 示例：3x=18 → x=18÷3 → x=6。 类型4：x÷a=b（a≠0） 解法：根据等式性质2，两边同时乘a，得x=b×a。 示例：x÷4=5 → x=5×4 → x=20。 类型5：ax±b=c（a≠0） 解法：先根据等式性质1，两边同时±b，再根据性质2两边同时÷a。 示例：2x+3=11 → 2x=11-3 → 2x=8 → x=4。 五、列方程解决实际问题 1.步骤： ①审题：找出关键信息，明确已知量和未知量； ②设未知数：一般设所求问题为x（直接设元），有时需间接设元； ③找等量关系：根据题意列出表示数量关系的等式（核心步骤）； ④列方程：根据等量关系列出方程； ⑤解方程：求出未知数的值； ⑥检验：将结果代入原方程或实际情境中，验证是否符合题意； ⑦写答：完整回答问题。 2.常见等量关系类型： 和差关系：如“甲比乙多5”→甲=乙+5；“甲和乙共20”→甲+乙=20。 示例：小明和小红共有36本书，小明比小红多4本，小红有多少本？ 解：设小红有x本，则小明有（x+4）本，列方程x+（x+4）=36 → 2x+4=36 → 2x=32 → x=16。 倍数关系：如“甲是乙的3倍”→甲=3×乙。 示例：果园里桃树是梨树的2倍，桃树和梨树共120棵，梨树有多少棵？ 解：设梨树有x棵，则桃树有2x棵，列方程x+2x=120 → 3x=120 → x=40。 行程问题：路程=速度×时间；相遇问题：甲路程+乙路程=总路程。 示例：甲乙两车从相距300千米的两地同时出发，相向而行，甲车速度50千米/时，乙车速度40千米/时，几小时后相遇？ 解：设x小时后相遇，列方程50x+40x=300 → 90x=300 → x=10/3（约3.33小时）。 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（常把工作总量看作“1”）。 价格问题：总价=单价×数量；找回的钱=付出的钱-花掉的钱。 考点讲练 考点一：等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】认真思考方程和等式的联系与区别，下面（    ）选项能够准确表达它们之间的关系。 A． B． C． 【答案】A 【分析】等式是表示两个数或者表达式之间相等关系的式子；方程是含有未知数的等式。所以方程一定是等式，但等式不一定是方程，即方程是等式的一种特殊情况。据此解答。 【详解】A．方程的圈在等式的圈里面，准确地表示了方程是等式的一部分这种关系； B．等式的圈在方程的圈里面，不符合实际的关系； C．等式和方程并不是并列关系，不能正确表示两者关系。 所以，A选项能够准确表达它们之间的关系。 故答案为：A 【变式训练】在①28－y＝28，②x－y，③1.3×3＝3.9，④a＋13b＜11，⑤3.5m＝70中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 【答案】 ①③⑤ ①⑤ 【分析】含有等号的式子，叫做等式；含有未知数的等式，叫做方程，据此逐个判断即可。 【详解】①28－y＝28、⑤3.5m＝70，既含有未知数，又是等式，①和⑤是等式也是方程； ②x－y，含有未知数，但不是等式，所以②既不是等式，也不是方程； ③1.3×3＝3.9，不含有未知数，但是等式，所以③是等式，但不是方程； ④a＋13b＜11，含有未知数，但不是等式，所以④既不是等式，也不是方程。 所以，在①28－y＝28，②x－y，③1.3×3＝3.9，④a＋13b＜11，⑤3.5m＝70中，等式有（①③⑤），方程有（①⑤）。（填序号） 【变式训练】根据题意写出合适的数量关系式。 (1)篮球社团的人数比机器人社团少24人。 ( )的人数－( )的人数＝24 (2)公园里菊花的盆数比月季花的2倍多13盆。 ( )的盆数×2＋13＝( )的盆数。 【答案】(1) 机器人社团 篮球社团 (2) 月季花 菊花 【分析】（1）根据题意篮球社团的人数比机器人社团少24人，所以机器人社团的人数减去篮球社团的人数应该等于24。 （2）根据题意公园里菊花的盆数比月季花的2倍多13盆，所以月季花的盆数乘2再加上13应该等于菊花的盆数。 【详解】（1）机器人社团的人数减去篮球社团的人数应该等于24。 数量关系式为：机器人社团的人数－篮球社团的人数＝24。 （2）月季花的盆数乘2再加上13应该等于菊花的盆数。 数量关系式为：月季花的盆数×2＋13＝菊花的盆数。 【变式训练】根据题意填写合适的数量关系。 为了加大力度拉动消费，某市今年计划投放9000万元的消费券，是去年的1.5倍，去年投放消费券多少万元？ ( )的消费券额×1.5 ＝( )的消费券额 【答案】 去年 今年 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，去年的消费券额×1.5＝今年的消费券额，据此得出等量关系。 【详解】根据分析：去年的消费券额×1.5＝今年的消费券额。 考点二：方程的认识 【典例精讲】下面的式子中，（    ）是方程。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的意义：含有未知数的等式叫做方程。据此逐项判断即可。 【详解】A．，含有未知数，不是等式，不是方程； B．，含有未知数，是等式，是方程； C．，不含有未知数，是等式，不是方程； D．，不含有未知数，不是等式，不是方程。 故答案为：B 【变式训练】下列的式子中，（    ）是方程。 A．35－7＝28 B．x＋10 C．y÷6＝9 D．1.2x＜8 【答案】C 【分析】含有未知数的等式叫方程，方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】A．35－7＝28，是等式，没有未知数，所以不是方程； B．x＋10，不是等式，所以不是方程； C．y÷6＝9，是等式，有未知数，所以是方程； D．1.2x＜8，不是等式，所以不是方程。 y÷6＝9是方程。 故答案为：C 【变式训练】把下面左边方框中的式子分为右边的两类，分类的标准是（    ）。 A．是不是方程 B．是不是等式 C．有没有未知数 D．是不是有字母 【答案】B 【分析】通过观察式子中的特点，方程是指既是等式又含有未知量的式子，等式是指式子中含有等号（＝）的式子，通过这样的判定标准就能进行分类。 【详解】A．按照是否为方程进行分类则分为： 方程类：；； 非方程类：；；，；不符合题意； B．按照是否为等式进行分类则分为： 等式：；；； 不是等式：；；；符合题意； C．按照是否含有未知量进行分类则分为： 含有未知量：；；；； 不含有未知量：；；不符合题意； D．按照是否含有字母进行分类则分为： 含有字母：；；； 不含有字母：；；；不符合题意。 故答案为：B 【变式训练】在①7×5＝35；②14－2x＝8；③x÷0.9＝1.8；④100a；⑤15y＝6＋x；⑥79＞83x中，等式有( )，方程有( )（填序号）。 【答案】 ①②③⑤ ②③⑤ 【分析】等式是指用等号连接的式子；方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。所有的方程都是等式，但等式不一定是方程；据此解答。 【详解】7×5＝35，是等式； 14－2x＝8，x÷0.9＝1.8，15y＝6＋x，即含有未知数又是等式，它们是方程； 100a，79＞83x，含有未知数，但不是等式，也不是方程； 在①7×5＝35；②14－2x＝8；③x÷0.9＝1.8；④100a；⑤15y＝6＋x；⑥79＞83x中，等式有①②③⑤，方程有②③⑤。 考点三：等式的性质1 【典例精讲】等式两边加上或减去同一个数，左右两边( )。 【答案】仍然相等 【详解】由等式的性质可知，等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等，如：2.3＋4.6＝6.9，2.3＋4.6＋1＝7.9，6.9＋1＝7.9，则2.3＋4.6＋1＝6.9＋1；2.3＋4.6－1＝5.9，6.9－1＝5.9，则2.3＋4.6－1＝6.9－1。 【变式训练】观察下图，下列等式成立的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】天平平衡，说明天平两边相等，得到两个等式①2a＝3b，②2b＝3c，根据等式的性质判断各选项是否成立。 【详解】A．②两边交换得到3c＝2b，①加②得到2a＋3c＝5b，即5b＝2a＋3c，该选项成立； B．①两边同时除以2得a＝b，②两边同时除以2得b＝c，把b代入①得到a＝c，即a＝c，该选项不成立； C．②两边同时乘2得4b＝6c，①两边同时除以3得a＝b，把b代入①得到6c＝a，即6c＝a，该选项不成立； D．①两边同时除以2再乘3得2a÷2×3＝3b÷2×3，即3a＝b，该选项不成立。 故答案为：A 【变式训练】（，为非0自然数），根据等式的性质，下面的等式不成立的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；（2）等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。据此根据等式的性质逐项分析即可。 【详解】 A．根据等式的性质2，两边同时×100可得：； B．根据等式的性质1，两边同时＋可得：； C．根据等式的性质2，两边同时×2可得：；两边同时×3可得：，得不出； D．根据等式的性质2，两边同时×4可得：，左右交换位置可得：。 等式不成立的是。 故答案为：C 【变式训练】认真看图，细心填空。 x＝50    x＋( )＝50＋( )    x＋40－( )＝50＋( )－( ) 我发现：等式两边同时加上或减去( )，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 【答案】 40 40 20 40 20 同一个数 【分析】 根据天平的平衡原则，左边加上多少，右边也加上多少，所以天平两边分别加一枚10g的砝码，等式的两边同时加上10；再根据等式的性质1，等式两边同时加上或减去一个相同的数，等式不变；据此解答。 【详解】由分析可得： x＝50 x＋40＝50＋40 x＋40－20＝50＋40－20 我发现：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 考点四：应用等式的性质1解方程 【典例精讲】解方程。 x＋4.13＝7.3                   x－25＝15.6                      x÷6.8＝15 【答案】x＝3.17；x＝40.6；x＝102 【分析】x＋4.13＝7.3，根据等式的性质1，两边同时减4.13解答即可。 x－25＝15.6，根据等式的性质1，两边同时加25解答即可。 x÷6.8＝15，根据等式的性质2，两边同时乘6.8解答即可。 【详解】x＋4.13＝7.3 解：x＝7.3－4.13 x＝3.17 x－25＝15.6 解：x＝15.6＋25 x＝40.6 x÷6.8＝15 解：x＝15×6.8 x＝102 【变式训练】解方程。 x＋15＝40                       x÷0.8＝1.5                    x＋5x＝63 2x－5.6÷0.7＝2.6               1.8x＋2.7x＝13.5                x－0.6x＝2.2 【答案】x＝25；x＝1.2；x＝10.5； x＝5.3；x＝3；x＝5.5 【分析】根据等式的性质1，方程的两边同时减去15即可。 根据等式的性质2，方程的两边同时乘0.8即可。 先算x＋5x，将方程化为：6x＝63，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以6即可。 先算5.6÷0.7，将方程化为：2x－8＝2.6，再根据等式的性质1，方程的两边同时加上8，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以2即可。 先算1.8x＋2.7x，将方程化为：4.5x＝13.5，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以4.5即可。 先算x－0.6x，将方程化为：0.4x＝2.2，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以0.4即可。 【详解】x＋15＝40 解：x＋15－15＝40－15 x＝25 x÷0.8＝1.5 解：x÷0.8×0.8＝1.5×0.8 x＝1.2 x＋5x＝63 解：6x＝63 6x÷6＝63÷6 x＝10.5 2x－5.6÷0.7＝2.6 解：2x－8＝2.6 2x－8＋8＝2.6＋8 2x＝10.6 2x÷2＝10.6÷2 x＝5.3 1.8x＋2.7x＝13.5 解：4.5x＝13.5 4.5x÷4.5＝13.5÷4.5 x＝3 x－0.6x＝2.2 解：0.4x＝2.2 0.4x÷0.4＝2.2÷0.4 x＝5.5 【变式训练】解方程。 7x＝21.7              x÷24＝15         3x＋19＝70 0.4x－6.3＝1.7        50x÷5＝60           4x＋3＝15 【答案】x＝3.1；x＝360；x＝17； x＝20；x＝6；x＝3 【分析】（1）根据等式的基本性质2给方程的两边同时除以7即可； （2）根据等式的基本性质2给方程的两边同时乘24即可； （3）先根据等式的基本性质1给方程的两边同时减去19，再根据等式的基本性质2给方程的两边同时除以3即可； （4）先根据等式的基本性质1给方程的两边同时加上6.3，再根据等式的基本性质2给方程的两边同时除以0.4即可； （5）先根据等式的基本性质2给方程的两边同时乘5，再根据等式的基本性质2给方程的两边同时除以50即可； （6）先根据等式的基本性质1给方程的两边同时减去3，再根据等式的基本性质2给方程的两边同时除以4即可。 【详解】7x＝21.7   解：7x÷7＝21.7÷7 x＝3.1            x÷24＝15     解：x÷24×24＝15×24 x＝360        3x＋19＝70 解：3x＋19－19＝70－19 3x＝51 3x÷3＝51÷3 x＝17 0.4x－6.3＝1.7 解：0.4x－6.3＋6.3＝1.7＋6.3 0.4x＝8 0.4x÷0.4＝8÷0.4 x＝20   50x÷5＝60    解：50x÷5×5＝60×5 50x＝300 50x÷50＝300÷50 x＝6 4x＋3＝15 解：4x＋3－3＝15－3 4x＝12 4x÷4＝12÷4 x＝3 【变式训练】解方程。 x＋22＝28      x－3.7＝4.9      5x＝150      x÷2.1＝4 【答案】x＝6；x＝8.6；x＝30；x＝8.4 【分析】x＋22＝28，根据等式的性质1，方程两边同时减去22即可。 x－3.7＝4.9，根据等式的性质1，方程两边同时加上3.7即可。 5x＝150，根据等式的性质2，方程两边同时除以5即可。 x÷2.1＝4，根据等式的性质2，方程两边同时乘2.1即可。 【详解】x＋22＝28 解：x＋22＝28－22 x＝6 x－3.7＝4.9 解：x－3.7＋3.7＝4.9＋3.7 x＝8.6 5x＝150 解：5x÷5＝150÷5 x＝30 x÷2.1＝4 解：x÷2.1×2.1＝4×2.1 x＝8.4 考点五：等式的性质2 【典例精讲】已知3a＝5b（a、b均不为0），根据等式的基本性质，下面的等式不成立的是（    ）。 A．30a＝50b B．3a÷7＝5b÷7 C．2a＝4b 【答案】C 【分析】等式的性质一：等式的两边同时加或减同一个数，等式仍然成立； 等式的性质二：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立；据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．30a＝50b 3a＝5b，两边同时乘10； 3a×10＝5b×10 30a＝50b，等式成立，不符合题意。 B．3a÷7＝5b÷7 3a＝5b，两边同时除以7； 3a÷7＝5b÷7，等式成立，不符合题意。 C．2a＝4b 3a＝5b，两边同时减去a； 3a－a＝5b－a 即2a＝5b－a，因此2a＝4b不成立，符合题意。 已知3a＝5b（a、b均不为0），根据等式的基本性质，等式不成立的是2a＝4b。 故答案为：C 【变式训练】小刚买了2支同样的钢笔和3支同样的铅笔，小明买了同样的9支铅笔，他们付的钱数一样多，1支钢笔的价格等于（    ）支铅笔的价格。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，2支钢笔的价格＋3支铅笔的价格＝9支铅笔的价格，根据等式的性质1，等式两边同时减去3支铅笔的价格，再根据等式的性质2，等式两边同时除以2，即可解答。 【详解】2支钢笔的价格＋3支铅笔的价格＝9支铅笔的价格 2支钢笔的价格＋3支铅笔的价格－3支铅笔的价格＝9支铅笔的价格－3支铅笔的价格 2支钢笔的价格＝6支铅笔的价格 2支钢笔的价格÷2＝6支铅笔的价格÷2 1支钢笔的价格＝3支铅笔的价格 小刚买了2支同样的钢笔和3支同样的铅笔，小明买了同样的9支铅笔，他们付的钱数一样多，1支钢笔的价格等于3支铅笔的价格。 故答案为：B 【变式训练】认真看图，细心填空。     x＝20              2x＝20×( )         2x÷2＝40÷( ) 我发现：等式两边同时乘或除以( )，所得结果仍然是等式。这也是等式的性质。 【答案】 2 2 同一个不是0的数 【分析】 观察天平，x＝20，左边×2，右边也乘2，左边除以2，右边也除以2，两边依然相等，即等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式，这就是等式的性质2。 【详解】x＝20              2x＝20×2         2x÷2＝40÷2 等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。这也是等式的性质。 【变式训练】已知（为非零自然数），根据等式的性质，下面等式（    ）不成立。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去相同的数，等式不变；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个数（0除外）等式不变，据此逐项分析即可。 【详解】A．2a×10＝3b×10，则20a＝30b，等式成立； B．2a－5＝3b－5，等式两边同时减去5，等式成立； C．2a＋2＝3b＋3，等式左边加2，右边也应该加2，但是右边加3，等式不成立； D．2a÷2＝3b÷2，等式两边同时除以2，等式成立。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键。 考点六：应用等式的性质2解方程 【典例精讲】解方程。      【答案】x＝5；x＝3 【分析】先计算出4.1x＋0.7x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以4.8求解出x； 先计算出1.6×5，然后根据等式的性质，方程两边同时减去8，再同时除以8求解出x。 【详解】4.1x＋0.7x＝24 解：4.8x＝24 4.8x÷4.8＝24÷4.8 x＝5 8x＋1.6×5＝32 解：8x＋8＝32 8x＋8－8＝32－8 8x＝24 8x÷8＝24÷8 x＝3 【变式训练】解方程。 x÷15＝12     18×（x＋2.9）＝108     16x÷（40－10）＝4 【答案】x＝180；x＝3.1；x＝7.5 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时乘15，求出方程的解； （2）方程两边先同时除以18，再同时减去2.9，求出方程的解； （3）先把方程化简成16x÷30＝4，然后方程两边先同时乘30，再同时除以16，求出方程的解。 【详解】（1）x÷15＝12 解：x÷15×15＝12×15 x＝180 （2）18×（x＋2.9）＝108 解：18×（x＋2.9）÷18＝108÷18 x＋2.9＝6 x＋2.9－2.9＝6－2.9 x＝3.1 （3）16x÷（40－10）＝4 解：16x÷30＝4 16x÷30×30＝4×30 16x＝120 16x÷16＝120÷16 x＝7.5 【变式训练】解方程。 7.6x－3.4x＝126        x÷15＝180        8（x－3.5）＝20 【答案】x＝30；x＝2700；x＝6 【分析】（1）先把方程左边化简为4.2x，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4.2即可解答； （2）根据等式的性质2，方程两边同时乘15即可解答； （3）根据等式的性质2，方程两边同时除以8，再根据等式的性质1，方程两边同时加上3.5即可解答。 【详解】7.6x－3.4x＝126    解：4.2x＝126 4.2x÷4.2＝126÷4.2 x＝30      x÷15＝180 解：x÷15×15＝180×15 x＝2700        8（x－3.5）＝20 解：8（x－3.5）÷8＝20÷8 x－3.5＝2.5 x－3.5＋3.5＝2.5＋3.5 x＝6 【变式训练】解方程。 10x＋8x＝270                    3.2x－3×0.6＝2.2 【答案】x＝15；x＝12.5 【分析】（1）先把方程化简为18x＝270，再根据等式的性质2，方程两边同时除以18即可解答； （2）先计算3×0.6＝1.8，方程变成3.2x－1.8＝2.2，根据等式的性质1，方程两边同时加上1.8，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3.2即可解答。 【详解】（1）10x＋8x＝270 解：18x＝270 18x÷18＝270÷18 x＝15 （2）3.2x－3×0.6＝2.2 解：3.2x－1.8＝2.2 3.2x－1.8＋1.8＝2.2＋1.8 3.2x＝4 3.2x÷3.2＝4÷3.2 x＝12.5 考点七：应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】解方程。 32x＋23x＝220        5.6x÷8＝2.24        1.8x－3×1.5＝40.5 【答案】x＝4；x＝3.2；x＝25 【分析】32x＋23x＝220，先计算方程左边，32x＋23x＝55x，方程变为55x＝220，根据等式的性质2，在两边同时除以55即可解答。 5.6x÷8＝2.24，根据“被除数＝商×除数”，5.6x是被除数，则原方程变为5.6x＝2.24×8，计算后根据等式的性质2，在两边同时除以5.6即可解答。 1.8x－3×1.5＝40.5，先计算方程左边，3×1.5＝4.5，原方程变为1.8x－4.5＝40.5。根据等式的性质1，在两边同时减4.5，计算后再根据等式的性质2，在两边同时除以1.8即可解答。 【详解】32x＋23x＝220 解：55x＝220 55x÷55＝220÷55 x＝4 5.6x÷8＝2.24 解：5.6x＝2.24×8 5.6x＝17.92 5.6x÷5.6＝17.92÷5.6 x＝3.2 1.8x－3×1.5＝40.5 解：1.8x－4.5＝40.5 1.8x－4.5＋4.5＝40.5＋4.5 1.8x＝45 1.8x÷1.8＝45÷1.8 x＝25 【变式训练】解方程。 3x＋6＝21      8x－3.2x＝24        x÷4＋3.6＝8.1 【答案】x＝5；x＝5；x＝18 【分析】3x＋6＝21，根据等式的性质1和2，两边同时－6，再同时÷3即可； 8x－3.2x＝24，先将左边合并成4.8x，根据等式的性质2，两边同时÷4.8即可； x÷4＋3.6＝8.1，根据等式的性质1和2，两边同时－3.6，再同时×4即可。 【详解】3x＋6＝21 解：3x＋6－6＝21－6 3x＝15 3x÷3＝15÷3 x＝5 8x－3.2x＝24 解：4.8x＝24 4.8x÷4.8＝24÷4.8 x＝5 x÷4＋3.6＝8.1 解：x÷4＋3.6－3.6＝8.1－3.6 x÷4＝4.5 x÷4×4＝4.5×4 x＝18 【变式训练】解方程。          【答案】；； 【分析】，根据等式的性质1，在两边同时减去4.4，，即，然后再根据等式的性质2，在两边同时除以3即可解答。 ，先计算方程左边，，原方程变为，根据等式的性质2，在两边同时除以18即可解答。 ，先计算方程左边4×0.8＝3.2，方程变为，根据等式的性质1，在两边同时加3.2，，即，然后再根据等式的性质2，在两边同时除以2即可解答。 【详解】 解： 解： 解： 【变式训练】解方程。 25x－16x＝270    1.8x÷3＝2.4    3×0.9＋4x＝22.7 【答案】x＝30；x＝4；x＝5 【分析】25x－16x＝270，先将左边合并成9x，根据等式的性质2，两边同时÷9即可； 1.8x÷3＝2.4，根据等式的性质2，两边同时×3，再同时÷1.8即可； 3×0.9＋4x＝22.7，根据等式的性质1和2，两边同时－3×0.9的积，再同时÷4即可。 【详解】25x－16x＝270 解：9x＝270 9x÷9＝270÷9 x＝30 1.8x÷3＝2.4 解：1.8x÷3×3＝2.4×3 1.8x＝7.2 1.8x÷1.8＝7.2÷1.8 x＝4 3×0.9＋4x＝22.7 解：2.7＋4x＝22.7 2.7＋4x－2.7＝22.7－2.7 4x＝20 4x÷4＝20÷4 x＝5 考点八：解含括号的方程 【典例精讲】解方程。                                   【答案】； ； 【分析】，根据等式的性质1和2，两边同时＋的积，再同时÷7即可； ，根据等式的性质1和2，两边同时－3，再同时×3即可； ，根据等式的性质1和2，两边同时×5，再同时＋25，最后同时÷10即可； ，先将左边合并成，根据等式的性质2，两边同时÷3.7即可。 【详解】 解： 解： 解： 解： 【变式训练】解方程。 5.5－5x＝0.25                24x＋38x＝310 1.7x＋2.3×2＝8            （x－140）÷70＝4 【答案】x＝1.05；x＝5 x＝2；x＝420 【分析】（1）根据等式的性质1，方程两边先同时加上5x，再同时减去0.25，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以5，即可求解。 （2）先将原式化简为62x＝310，再根据等式的性质2，方程两边同时除以62，即可求解。 （3）先将原式化简为1.7x＋4.6＝8，再根据等式的性质1，方程两边同时减去4.6，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以1.7，即可求解。 （4）根据等式的性质2，方程两边同时乘70，再根据等式的性质1，方程两边同时加上140，即可求解。 【详解】（1）5.5－5x＝0.25 解：5.5－5x＋5x＝0.25＋5x 0.25＋5x＝5.5 0.25＋5x－0.25＝5.5－0.25 5x＝5.25 5x÷5＝5.25÷5 x＝1.05 （2）24x＋38x＝310 解：62x＝310 62x÷62＝310÷62 x＝5 （3）1.7x＋2.3×2＝8   解：1.7x＋4.6＝8   1.7x＋4.6－4.6＝8－4.6 1.7x＝3.4 1.7x÷1.7＝3.4÷1.7 x＝2 （4）（x－140）÷70＝4 解：（x－140）÷70×70＝4×70 x－140＝280 x－140＋140＝280＋140 x＝420 【变式训练】解方程。 1.6×3＋3x＝6        0.2x－1.2×3＝6.6       x＋0.8x＝5.4 4x÷0.1＝10          0.8x－1.2＝0.4          18×（x＋2.9）＝108 【答案】x＝0.4；x＝51；x＝3 x＝0.25；x＝2；x＝3.1 【分析】（1）将原式化简为4.8＋3x＝6，再根据等式的性质1，方程两边同时减去4.8，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以3，即可求解。 （2）将原式化简为0.2x－3.6＝6.6，再根据等式的性质1，方程两边同时加上3.6，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以0.2，即可求解。 （3）将原式化简为1.8x＝5.4，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.8，即可求解。 （4）根据等式的性质2，方程两边先同时乘0.1，再同时除以4，即可求解。 （5）根据等式的性质1，方程两边同时加上1.2，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.8，即可求解。 （6）根据等式的性质2，方程两边同时除以18，再根据等式的性质1，方程两边同时减去2.9，即可求解。 【详解】1.6×3＋3x＝6   解：4.8＋3x＝6   4.8＋3x－4.8＝6－4.8 3x＝1.2 3x÷3＝1.2÷3 x＝0.4 0.2x－1.2×3＝6.6 解：0.2x－3.6＝6.6 0.2x－3.6＋3.6＝6.6＋3.6 0.2x＝10.2 0.2x÷0.2＝10.2÷0.2 x＝51 x＋0.8x＝5.4 解 ：1.8x＝5.4 1.8x÷1.8＝5.4÷1.8 x＝3 4x÷0.1＝10 解：4x÷0.1×0.1＝10×0.1 4x＝1 4x÷4＝1÷4 x＝0.25 0.8x－1.2＝0.4 解：0.8x－1.2＋1.2＝0.4＋1.2 0.8x＝1.6 0.8x÷0.8＝1.6÷0.8 x＝2 18×（x＋2.9）＝108 解：18×（x＋2.9）÷18＝108÷18 x＋2.9＝6 x＋2.9－2.9＝6－2.9 x＝3.1 【变式训练】解方程。 15＋x＝42    1.2x＋0.6x＝90    3x－2.4＝13.5    8（x－3.7）＝32 【答案】x＝27；x＝50；x＝5.3；x＝7.7 【分析】根据等式的性质，方程两边同时减去15求解出x； 先计算出1.2x＋0.6x，再根据等式的性质，方程两边同时除以1.8求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时加上2.4，再同时除以3求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时除以8，再同时加上3.7求解出x。 【详解】15＋x＝42 解：15＋x－15＝42－15 x＝27 1.2x＋0.6x＝90 解：1.8x＝90 1.8x÷1.8＝90÷1.8 x＝50 3x－2.4＝13.5 解：3x－2.4＋2.4＝13.5＋2.4 3x＝15.9 3x÷3＝15.9÷3 x＝5.3 8（x－3.7）＝32 解：8（x－3.7）÷8＝32÷8 x－3.7＝4 x－3.7＋3.7＝4＋3.7 x＝7.7 考点九：方程的检验 【典例精讲】解方程。（带※的要验算） 64＋x＝82                   x÷0.2＝4                     ※x＋3.2＝18 0.7x－0.2x＝15                3.9x－14×2＝11                3x＋4＝5.5 【答案】x＝18；x＝0.8；x＝14.8 x＝30；x＝10；x＝0.5 【分析】64＋x＝82，根据等式的性质1解答，方程两边同时减去64。 x÷0.2＝4，根据等式的性质2解答，方程两边同时乘0.2。 x＋3.2＝18，根据等式的性质1解答，方程两边同时减去3.2，解出x的值后代入原式验算。 0.7x－0.2x＝15，先计算方程左边，然后根据等式的性质2解答，方程两边同时除以0.5。 3.9x－14×2＝11，先计算方程左边，然后根据等式的性质1和等式的性质2解答，方程两边同时加上28，再同时除以3.9。 3x＋4＝5.5，根据等式的性质1和等式的性质2解答，方程两边同时减去4，再同时除以3。 【详解】64＋x＝82 解：64＋x－64＝82－64 x＝18 x÷0.2＝4 解：x÷0.2×0.2＝4×0.2 x＝0.8 x＋3.2＝18 解：x＋3.2－3.2＝18－3.2 x＝14.8 验算：左边：14.8＋3.2＝18 右边：18 左边＝右边，x＝14.8是原方程的解。 0.7x－0.2x＝15 解：0.5x＝15 0.5x÷0.5＝15÷0.5 x＝30 3.9x－14×2＝11 解：3.9x－28＝11 3.9x－28＋28＝11＋28 3.9x＝39 3.9x÷3.9＝39÷3.9 x＝10 3x＋4＝5.5 解：3x＋4－4＝5.5－4 3x＝1.5 3x÷3＝1.5÷3 x＝0.5 【变式训练】解方程：（带*号的写出验算过程） 2x－3.8＋4.2＝10                         *8×1.2＋4x＝36 【答案】x＝4.8；x＝6.6 【分析】2x－3.8＋4.2＝10，根据等式的性质1，方程两边同时加上3.8，再减去4.2，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2即可。 8×1.2＋4x＝36，先计算出8×1.2的积，根据等式的性质1，方程两边同时减去8×1.2的积，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4即可。再把x的值代入方程，即可检验。 【详解】2x－3.8＋4.2＝10 解：2x－3.8＋4.2＋3.8－4.2＝10＋3.8－4.2 2x＝13.8－4.2 2x＝9.6 2x÷2＝9.6÷2 x＝4.8 8×1.2＋4x＝36 解：9.6＋4x＝36 9.6＋4x－9.6＝36－9.6 4x＝26.4 4x÷4＝26.4÷4 x＝6.6 检验： x＝6.6 左边＝8×1.2＋4×6.6 ＝9.6＋26.4 ＝36 右边＝36 左边＝右边，x＝36是方程的解。 【变式训练】解方程。（带☆题要求写出检验过程） ☆0.6＋x＝2.9              x÷4＝180               x＋4.5－8.2＝26 16×8＋4x＝178            3.2x÷2＝9.6                ☆x－0.3x＝1.05 【答案】x＝2.3；x＝720；x＝29.7 x＝12.5；x＝6；x＝1.5 【分析】（1）根据等式的性质1，方程两端同时减去0.6，算出方程的解； （2）根据等式的性质2，方程两端同时乘4，算出方程的解； （3）根据等式的性质1，方程两端同时减去4.5，再同时加上8.2，算出方程的解； （4）根据等式的性质1，方程两端同时减去16×8的积，再根据等式的性质2，方程两端同时除以4，算出方程的解； （5）根据等式的性质2，方程两端同时乘2，再同时除以3.2，算出方程的解； （6）先计算方程左边的减法得到0.7x，再根据等式的性质2，方程两端同时除以0.7，算出方程的解。 方程的检验：未知数的值代入原方程，分别计算等号左、右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解。 【详解】☆0.6＋x＝2.9 解：0.6＋x－0.6＝2.9－0.6 x＝2.3 检验：把x＝2.3代入方程 方程的左边＝0.6＋2.3＝2.9 左边＝右边 所以x＝2.3是方程的解。 x÷4＝180 解：x÷4×4＝180×4 x＝720 x＋4.5－8.2＝26 解：x＋4.5－8.2－4.5＝26－4.5 x－8.2＝21.5 x－8.2＋8.2＝21.5＋8.2 x＝29.7 16×8＋4x＝178 解：128＋4x＝178 128＋4x－128＝178－128 4x＝50 4x÷4＝50÷4 x＝12.5 3.2x÷2＝9.6 解：3.2x÷2×2＝9.6×2 3.2x＝19.2 3.2x÷3.2＝19.2÷3.2 x＝6 ☆x－0.3x＝1.05 解：0.7x＝1.05 0.7x÷0.7＝1.05÷0.7 x＝1.5 检验：把x＝1.5代入原方程 方程左边 ＝1.5－1.5×0.3 ＝1.5－0.45 ＝1.05 左边＝右边 所以x＝1.5是方程的解。 【变式训练】解方程。（带*的要检验） 1.5x＝6    58＋x＝124    *x÷2.4＝3.5 【答案】x＝4；x＝66；x＝8.4 【分析】（1）根据等式的性质2，方程两边同时除以1.5即可； （2）根据等式的性质1，方程两边同时减去58即可； （3）根据等式的性质2，方程两边同时乘2.4即可； 方程的检验：把x的值代入原方程，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等,则不是原方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 检验：将代入原方程 左边＝ 右边＝3.5 左边＝右边 所以是原方程的解。 考点十：列简易方程 【典例精讲】港珠澳大桥全长55km，比香港青马大桥长度的25倍还多1km。香港青马大桥全长多少千米？设香港青马大桥全长xkm，正确的方程是（    ）。 A．25x－1＝55 B．55x－25＝1 C．25x＋1＝55 D．55x＝25－1 【答案】C 【分析】根据：香港青马大桥长度×25＋1＝港珠澳大桥全长，关系式列方程。 【详解】解：设香港青马大桥全长x千米。 故答案为：C 【变式训练】根据数量关系只列方程不计算。 一幢大楼高51米，一楼门面层高4.5米，其余15层每层都是x米。 【答案】4.5＋15x＝51 【分析】根据题意，大楼的高度由一楼门面层高度和其余15层的高度组成，其余15层每层高x米，所以15层的总高度是15x米，再加上一楼门面层的4.5米，就等于大楼的总高度51米，据此可列出方程，据此解答。 【详解】根据上述分析，列方程为：4.5＋15x＝51 【变式训练】甲筐有苹果32千克，乙筐有苹果x千克。从甲筐拿4千克苹果放入乙筐，两筐苹果就一样多了。下面列的方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由“从甲筐拿4千克苹果放入乙筐，两筐苹果就一样多了”可知，甲筐原有苹果质量比乙筐原有苹果质量多2个4千克，据此可得出等量关系：甲筐原有苹果的质量－4＝乙筐原有苹果的质量＋4；或等量关系：乙筐原有苹果的质量＋4×2=甲筐原有苹果的质量，据此列出方程。 【详解】根据题意可列方程：x＋4＝32－4或x＋4×2＝32。 故答案为：D 【变式训练】一个上下两层的书架，上层有85本书。如果从上层拿8本书放到下层，那么两层的书就同样多。下层有多少本书？ 等量关系：( )的本数＋8本＝( )的本数－8本 解：设 ，列方程： 。 【答案】 下层 上层 下层有本书 ＋8＝85－8 【分析】根据题意，如果从上层拿8本书放到下层，那么两层的书就同样多，也就是说，上层原有的图书本数减去8本等于下层原有图书的本数加上8本，据此得出等量关系，根据等量关系列出方程。 【详解】等量关系：（下层）的本数＋8本＝（上层）的本数－8本 解：设下层有本书，列方程：＋8＝85－8。 ＋8＝85－8 ＋8＝77 ＋8－8＝77－8 ＝69 下层有69本书。 考点十一：列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】无锡举办青少年非遗文化传承活动，参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，参加惠山泥人制作学习的学生有多少人？（列方程解答） 【答案】11人 【分析】参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，即：参加惠山泥人制作学习的学生人数×3－8＝参加锡剧表演学习的学生人数，设参加惠山泥人制作学习的学生人数为x人，根据等量关系可列出方程3x－8＝25，解方程，即可求出参加惠山泥人制作学习的学生有多少人。 【详解】解：设参加惠山泥人制作学习的学生有x人。 3x－8＝25 3x＝25＋8 3x＝33 x＝33÷3 x＝11 答：参加惠山泥人制作学习的学生有11人。 【变式训练】李军看一本450页的科技书，看了5天后，还剩40页。平均每天看了多少页？（列方程解决问题） 【答案】82页 【分析】科技书有450页，看了5天，设平均每天看了x页，则5天看的页数为5x页，还剩40页。根据看的页数＋还剩的页数＝总页数，列出方程解答即可。 【详解】解：设平均每天看了x页。 5x＋40＝450 5x＋40－40＝450－40 5x＝410 5x÷5＝410÷5 x＝82 答：平均每天看了82页。 【变式训练】李梅和小伟一起逛书店，两人看中了同一本书，但手里的现金都不够买这本书。李梅差23元，小伟差37.2元，两人现金凑在一起合买这本书还差10.25元，这本书多少元？ 【答案】49.95元 【分析】设这本书x元，则李梅有（x－23）元，小伟有（x－37.2）元，根据李梅的钱数＋小伟的钱数＝这本书的钱数－10.25元，列出方程解答即可。 【详解】解：设这本书x元。 x－23＋x－37.2＝x－10.25 2x－60.2＝x－10.25 2x－60.2－x＋60.2＝x－10.25－x＋60.2 x＝49.95 答：这本书49.95元。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【变式训练】星期天，彤彤和同学相约一起去参加线下读书分享会。分享会地点离彤彤家有2250米，早上7点半彤彤步行出发，开始每分钟走70米，走了15分钟后，她怕迟到，加快了速度，早上8点准时到达。彤彤加快速度后每分钟走多少米？（列方程解答） 【答案】80米 【分析】先算出彤彤以原速度走15分钟的路程（路程＝速度×时间），再设加速后速度为x米/分钟，算出加速后走的时间和路程，根据总路程为2250米列方程。总路程＝原速度走的路程＋加速后走的路程。 【详解】解：设加速后每分钟走x米 70×15＋15x＝2250 1050＋15x－1050＝2250－1050 15x＝1200 15x÷15＝1200÷15 x＝80 答：彤彤加快速度后每分钟走80米。 考点十二：列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】星光小学植树节在沙河沿岸种树，香樟树的棵数是银杏树棵数的1.5倍，银杏树比香樟树少15棵。两种树各种了多少棵？（用方程解答） 【答案】银杏树30棵；香樟树45棵 【分析】根据“香樟树的棵数是银杏树棵数的1.5倍”可以设银杏树有棵，则香樟树有1.5棵； 根据“银杏树比香樟树少15棵”可得出等量关系：香樟树的棵数－银杏树的棵数＝银杏树比香樟树少的棵数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设银杏树有棵，则香樟树有1.5棵。 1.5－＝15 0.5＝15 0.5÷0.5＝15÷0.5 ＝30 30×1.5＝45（棵） 答：银杏树有30棵，香樟树有45棵。 【变式训练】李老师买了一些故事书分给阅读小组的同学们，一开始平均每人分8本，还剩14本。李老师又重新调整分配方案，给每人分9本，最后一人只能分得6本，那么阅读组有多少人？李老师共买来多少本书？ 【答案】17人；150本 【分析】由于买来的书的本数不变，设阅读组有x人；平均每人份8本，x人分8x本，还剩14本，用8x＋14＝买来书的本数；给每人分9本，最后一人只能分得6本；（x－1）人分9本书，1人分6本书，（x－1）人分9×（x－1）本，（x－1）人分的本数＋1人分的6本书＝买来书的本数，列方程：8x＋14＝9×（x－1）＋6，解方程，求出阅读组的人数，进而求出买书的本数，据此解答。 【详解】解：设阅读组有x人。 8x＋14＝9×（x－1）＋6 8x＋14＝9x－9＋6 8x＋14－8x＋9－6＝9x－9＋6＋9－6－8x x＝14＋9－6 x＝17 17×8＋14 ＝136＋14 ＝150（本） 答：阅读组有17人，李老师共买来150本书。 【变式训练】某停车场一共有260个车位，分为普通车位和充电桩车位，其中普通车位的数量是充电桩车位的5.5倍，该停车场普通车位和充电桩车位各有多少个？（方程解答） 【答案】普通车位有220个；充电桩车位有40个 【分析】设该停车场充电桩车位有x个，则普通车位的数量是5.5x个，根据等量关系：“普通车位的数量＋充电桩车位的数量＝260个”列方程解答求出充电桩车位的个数，再乘5.5求出普通车位的个数。 【详解】解：设该停车场充电桩车位有x个。 x＋5.5x＝260 6.5x＝260 6.5x÷6.5＝260÷6.5 x＝40 40×5.5＝220（个） 答：该停车场普通车位有220个，充电桩车位有40个。 【变式训练】黄老师买了一本故事书和一支钢笔正好用去45.2元。其中一本故事书的价钱是一支钢笔的3倍。这本故事书和这支钢笔的价格各是多少元？（用方程解答） 【答案】故事书33.9元；钢笔11.3元 【分析】根据“一本故事书的价钱是一支钢笔的3倍”，可以设一支钢笔的价格是元，一本故事书的价格是3元； 根据“一本故事书和一支钢笔正好用去45.2元”，得出等量的关系：一支钢笔的价格＋一本故事书的价格＝一本故事书和一支钢笔的总价钱，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设一支钢笔的价格是元，一本故事书的价格是3元。 ＋3＝45.2 4＝45.2 4÷4＝45.2÷4 ＝11.3 11.3×3＝33.9（元） 答：这本故事书的价格是33.9元，这支钢笔的价格是11.3元。 考点十三：列方程解稍复杂的实际问题 【典例精讲】某工程队修一条长1675m的路，修了625m后，为了加快进程，剩下的路只用7天就修完了。后来工程队平均每天修多少米？ 【答案】150米 【分析】根据：剩下平均每天修路长度×天数＋已修路程长度＝一条路总长度，列方程解答。 【详解】解：设后来工程队平均每天修x米。 答：后来工程队平均每天修150米。 【变式训练】甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【答案】 10分钟 【分析】甲第一次追上乙属于追及问题，甲需比乙多跑一圈（400米）；已知甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，设经过x分钟甲第一次追上乙，则甲行驶了290x千米，乙行驶了250x千米，据此可列出方程290x－250x＝400，先计算出290x－250x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以40求解出x，即甲第一次追上乙所需要的时间。 【详解】解：设经过x分钟甲第一次追上乙。 290x－250x＝400 40x＝400 40x÷40＝400÷40 x＝10 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 【变式训练】小明、小勇和小刚一共收集360枚邮票，小明收集的邮票枚数是小勇的3倍，小勇收集的邮票枚数是小刚的2倍，三人各收集了多少枚邮票？ 【答案】小明收集了240枚邮票，小勇收集了80枚邮票，小刚收集了40枚邮票。 【分析】设小刚收集的邮票数为枚，小勇是小刚的2倍就是枚，小明是小勇的3倍，，就是枚，由题意可知，小明的邮票枚数＋小勇邮标枚数＋小刚的邮票枚数＝360，据此列方程求解，可得小刚的邮票数，再用小刚的邮票数乘2得小勇的邮票数，最后用小勇的邮票数乘3得小明的邮票数。 【详解】解：设小刚收集的邮票数为枚。 （枚） （枚） 答：小明收集了240枚邮票，小勇收集了80枚邮票，小刚收集了40枚邮票。 【变式训练】扬州，它不仅是一座历史文化名城，也是世界美食之都哦！一位游客在旅游景点购买了4袋三丁包子和5袋汤包，一共用去95.5元，其中三丁包每袋12.5元，汤包每袋多少元？（列方程解答） 【答案】9.1元 【分析】根据总价＝单价×数量；设汤包每袋x元；5袋汤包是5x元；三丁包每袋12.5元，4袋是（12.5×4）元，一共用去95.5元，即5袋汤包的钱数＋4袋三丁包的钱数＝95.5元。列方程：5x＋12.5×4＝95.5，解方程，即可解答。 【详解】解：设汤包每袋x元。 5x＋12.5×4＝95.5 5x＋50＝95.5 5x＋50－50＝95.5－50 5x＝45.5 5x÷5＝45.5÷5 x＝9.1 答：汤包每袋9.1元。 综合训练 1．下列式子中，方程的是（    ）。 A．3＋x＜6 B．23＋2.5＝25.5 C．5÷x＝2.5 D．x＋3.5＞y－2.3 【答案】C 【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】A．3＋x＜6，不是等式，所以不是方程； B．23＋2.5＝25.5，没有未知数，所以不是方程； C．5÷x＝2.5，是等式，有未知数，是方程； D．x＋3.5＞y－2.3，不是等式，所以不是方程。 方程的是5÷x＝2.5。 故答案为：C 2．甲有a张邮票，乙有b张邮票，如果甲给乙10张后，两人的邮票张数相等。下面哪一个等量关系是正确的？（    ） A．a－10＝b B．a＝b＋10 C．a＝b＋20 D．a－20＝b＋20 【答案】C 【分析】分析题目，根据“如果甲给乙10张后，两人的邮票张数相等”可知：甲的张数比乙的张数多（10＋10），据此可以得出等量关系：甲的张数＝乙的张数＋（10＋10），最后根据等量关系式列出方程并选择即可。 【详解】根据分析可知：a＝b＋（10＋10），即a＝b＋20； 甲有a张邮票，乙有b张邮票，如果甲给乙10张后，两人的邮票张数相等。可以得出等量关系：a＝b＋20。 故答案为：C 3．姐姐和弟弟花了同样的钱买文具。姐姐买了1支钢笔和6本同样的笔记本，弟弟买了9本和姐姐同样的笔记本。（    ）本笔记本的价钱与1支钢笔相同。 A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】分析题目，根据“姐姐和弟弟花了同样的钱”可以得到等量关系式：1支钢笔的价钱＋6本笔记本的价钱＝9本笔记本的价钱，进而可知：1支钢笔的价钱＝（9－6）本笔记本的价钱，据此解答。 【详解】9－6＝3（本），即3本笔记本的价钱与1支钢笔相同。 姐姐和弟弟花了同样的钱买文具。姐姐买了1支钢笔和6本同样的笔记本，弟弟买了9本和姐姐同样的笔记本。3本笔记本的价钱与1支钢笔相同。 故答案为：B 4．我国的古代《九章算术》记载了用一组方程解决实际问题的方法。14世纪初，我国数学家（    ）又创立了“四元术”（“四元”指天、地、人、物，相当于4个未知数），这是我国古代数学的一次飞跃。 A．李冶 B．朱世杰 C．祖冲之 D．刘徽 【答案】B 【分析】14世纪初，我国数学家朱世杰创立了“四元术”，蕴含方程思想，这是我国古代数学的一次飞跃。 【详解】据分析可知，我国的古代《九章算术》记载了用一组方程解决实际问题的方法。14世纪初，我国数学家朱世杰又创立了“四元术”（“四元”指天、地、人、物，相当于4个未知数），这是我国古代数学的一次飞跃。 故答案为：B 5．一根电线长48m，把它剪成两段，其中第一段的长是第二段的2倍。第二段长（    ）m。 A．36 B．24 C．18 D．16 【答案】D 【分析】根据“第一段的长是第二段的2倍”，可以设第二段长m，则第一段长2m； 根据“一根电线长48m”可得出等量关系：第一段的长度＋第二段的长度＝这根电线的全长，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设第二段长m，则第一段长2m。 2＋＝48 3＝48 3÷3＝48÷3 ＝16 第二段长16m。 故答案为：D 6．如图中前两架天平保持平衡。根据图中的等量关系，你觉得第三架天平的右边放（    ）个才能使天平保持平衡。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】从左往右，第一架天平表示1个圆柱的质量＋2个正方体的质量＝1个长方体的质量，第二架天平表示2个圆柱的质量＝1个正方体＋1个长方体的质量，由此可知，1个圆柱的质量＝3个正方体的质量；据此解答。 【详解】1个圆柱的质量＝3个正方体的质量 2个圆柱的质量＝6个正方体的质量 所以，第三架天平的右边放6个才能使天平保持平衡。 故答案为：A 7．李叔叔买了3袋面粉，每袋a元，付出100元，应找回( )元。当a＝24时，应找回( )元；如果找回19元，那么a＝( )。 【答案】 100－3a 28 27 【分析】①用面粉的袋数3袋乘每袋的单价a元即可求出总花费，用100元减去总花费即可求出应找回的钱数； ②将a＝24代入即可求出应找回的钱数； ③当100－3a＝19，在方程两边同时减去19再加上3a，再在方程两侧同时除以3即可求出a的值。 【详解】①总花费为3a，即付出100元，应找回（100－3a）元； ②100－3a ＝100－3×24 ＝100－72 ＝28（元） 即当a＝24时，应找回28元； ③100－3a＝19 解：100－3a＋3a＝19＋3a 100－19＝19－19＋3a 81÷3＝3a÷3 a＝27 即如果找回19元，那么a＝27。 8．如果4＋18的值是42，那么15－18的值是( )。如果26－4a＝18，那么4a＋4＝( )。 【答案】 72 12 【分析】①根据题意，先解方程（先根据等式的性质1，等式两边同时减去18；再根据等式的性质2，等式两边同时除以4即可）求出，再将代入即可； ②根据题意，先解方程26－4a＝18（先根据等式的性质1，等式两边同时加上4a，再同时减去18；再根据等式的性质2，等式两边同时除以4即可）求出a＝2，再将a＝2代入4a＋4即可。 【详解】 解： ＝15×6－18 ＝90－18 ＝72 如果的值是42，那么的值是72。 26－4a＝18 解：26－4a＋4a＝18＋4a 26＝18＋4a 18＋4a＝26 18＋4a－18＝26－18 4a＝8 4a÷4＝8÷4 a＝2 4a＋4 ＝4×2＋4 ＝8＋4 ＝12 如果26－4a＝18，那么4a＋4＝12。 如果4＋18的值是42，那么15－18的值是72。如果26－4a＝18，那么4a＋4＝12。 9．马小虎在写一个两位数时，不小心将它的个位和十位上的数字对调了，结果这个新两位数比原来大36，马小虎原来要写的两位数有( )种可能。 【答案】 5 【分析】解答这道题首先要明白两位数的组成：一个两位数，十位上的数字代表几个十，个位上的数字代表几个一。题目中已知“个位和十位上的数字对调后，新两位数比原来大36”，我们需要先把“原数”和“新数”用含有字母的式子表示出来，再找出它们的差值关系。可以设原来这个两位数的十位数字为，个位数字为。则原数可以表示为：，新数可以表示为。 还要注意两位数的数字有取值限制：十位上的数字不能是0，则a为1~9之间的整数；个位上的数字也就是b为0~9之间的整数，这一点在后面找可能的数字时很重要。据此解答。 【详解】根据分析： 设原来这个两位数的十位数字为，个位数字为。 原数为： 新数为： 根据写出符合条件的数的组合： 当时，，即15和51； 当时，，即26和62； 当时，，即37和73； 当时，，即48和84； 当时，，即59和95。 以上共5种情况。 所以马小虎原来要写的两位数有5种可能。 【点睛】这道题的关键是“十位数字×10 ＋ 个位数字”这个表示两位数的方法；确定数字时，每个数位上的数字都只能是0~9的整数，但十位是首位，不能为0。 10．公园里有2个月季园和5个梅园，一共占地面积2400平方米，其中每个月季园的面积比每个梅园多150平方米，每个梅园的占地面积是( )平方米。 【答案】300 【分析】设每个月季园的占地面积是x平方米；每个月季园的面积比每个梅园多150平方米，则每个梅园占地面积是（x－150）平方米；2个月季园的面积是2x平方米；5个梅园面积是（x－150）×5平方米；一共占地面积2400平方米，列方程：2x＋（x－150）×5＝2400，解方程，即可解答。 【详解】解：设每个月季园的占地面积是x平方米，则每个梅园占地面积是（x－150）平方米。 2x＋（x－150）×5＝2400 2x＋5x－150×5＝2400 7x－750＝2400 7x－750＋750＝2400＋750 7x＝3150 7x÷7＝3150÷7 x＝450 450－150＝300（平方米） 每个梅园的占地面积是300平方米。 11．星期天小明去爬山，从山脚到山顶用32分钟，然后原路返回用24分钟，已知下山比上山每分钟多走20米。小明下山每分钟走( )米，爬山走了( )米。 【答案】 80 3840 【分析】根据题目，下山速度比上山速度多20米/分钟，路程相同，因为是原路返回，所以上山路程＝下山路程。设小明上山速度为米/分钟，因为下山比上山每分钟多走20米，所以下山速度为米/分钟。 从山脚到山顶和从山顶返回山脚的路程是相等的，根据路程＝速度×时间，可列方程：，求出上山的速度，进而求出上山走的路程，再乘2即等于爬山的路程，据此即可解答。 【详解】解：设小明上山速度为米/分钟，则下山速度为米/分钟。   （米） （米） 因此，小明下山每分钟走80米，爬山走了3840米。 12．近年来，随着电子商务的迅速发展，我国的快递行业呈现出突飞猛进的发展趋势，也提供了大量的就业岗位。快递员付叔叔每日基本工资是160元，每送一件快递另加1.2元。如果付叔叔每天送a件快递，那么他的日工资是( )元；6月18日这一天，付叔叔拿到工资340元，他送了( )件快递。 【答案】 1.2a＋160 150 【分析】因为付叔叔的日工资由基本工资和送快递的额外收入组成，用1.2×a，求出送a件快递的额外收入，再加上每日基本工资，即可求出付叔叔的日工资。先用340元减去每日基本工资160元，得到送快递的额外收入，再用送快递的额外收入除以1.2，即可求出6月18日这一天，付叔叔送了多少件快递，据此解答。 【详解】1.2×a＋160＝（1.2a＋160）元 （340－160）÷1.2 ＝180÷1.2 ＝150（件） 即如果付叔叔每天送a件快递，那么他的日工资是（1.2a＋160）元；6月18日这一天，付叔叔拿到工资340元，他送了150件快递。 13．解方程。（加※的要检验） 18.9＋x＝20          x－0.3x＝14.7            3x＋5＝9.5 x－8.4＝26          4.5x－1.5×6＝90          ※20.9－x＝8 【答案】x＝1.1；x＝21；x＝1.5； x＝34.4；x＝22；x＝12.9 【分析】依据“等式的基本性质（等式两边同时加、减、乘、除同一个数，等式仍成立）”来解这六道方程。 解18.9＋x＝20 时，两边同时减18.9，得x＝20−18.9＝1.1； 解 x−0.3x＝14.7 时，先减法得0.7x＝14.7，再两边同时除以0.7，得x＝14.7÷0.7＝21； 解3x＋5＝9.5 时，先两边同时减5得3x＝4.5，再两边同时除以3，得x＝4.5÷3＝1.5； 解x−8.4＝26 时，两边同时加8.4，得x＝26＋8.4＝34.4； 解4.5x−1.5×6＝90 时，先算乘法得4.5x−9＝90，再两边同时加9得4.5x＝99，最后两边同时除以4.5，得x＝99÷4.5＝22； 解20.9−x＝8 时，先两边同时加x得20.9＝8＋x，再两边同时减8得x＝12.9，检验时把x＝12.9代入原方程，左边20.9−12.9＝8等于右边，说明x＝12.9是方程的解。 【详解】18.9＋x＝20 解：18.9＋x−18.9＝20−18.9 x＝1.1 x－0.3x＝14.7 解：0.7x÷0.7＝14.7÷0.7 x＝21 3x＋5＝9.5 解：3x＋5−5＝9.5−5 3x＝4.5 3x÷3＝4.5÷3 x＝1.5 x－8.4＝26 解：x−8.4＋8.4＝26＋8.4 x＝34.4 4.5x－1.5×6＝90 解：4.5x−9＝90 4.5x−9＋9＝90＋9 4.5x＝99 4.5x÷4.5＝99÷4.5 x＝22 ※20.9－x＝8 解：20.9－x＋x＝8＋x 8＋x＝20.9 8＋x−8＝20.9−8 x＝20.9−8 x＝12.9 检验：将x＝12.9代入原方程 左边：20.9−12.9＝8，右边：8 左边 ＝ 右边，所以x＝12.9是方程的解。 14．解方程。 5x－4＝56            2x＋4×1.5＝22             2.4x－1.2x＝24 【答案】x＝12；x＝8；x＝20 【分析】（1）先根据等式的基本性质1给方程两边同时加上4，再根据等式的基本性质2给方程两边同时除以5即可； （2）先计算出4×1.5把算式写成2x＋6＝22，再根据等式的基本性质1给方程两边同时减去6，最后根据等式的基本性质2给方程两边同时除以2即可； （3）先把方程的左边化简为1.2x，再根据等式的基本性质2给方程两边同时除以1.2即可。 【详解】5x－4＝56     解：5x－4＋4＝56＋4 5x＝60 5x÷5＝60÷5 x＝12      2x＋4×1.5＝22     解：2x＋6＝22   2x＋6－6＝22－6 2x＝16 2x÷2＝16÷2 x＝8        2.4x－1.2x＝24 解：1.2x＝24 1.2x÷1.2＝24÷1.2 x＝20 15．解方程。 38x－24x＝280    3.5x÷2＝0.7    4.2x＋0.5×8＝25 【答案】x＝20；x＝0.4；x＝5 【分析】等式的性质：1．在等式两边同时加或减去一个相同的数，等式仍然成立。2．在等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立。据此进行解方程即可。 （1）根据等式的性质，先将含有x项的减法计算出来，再等式两边同时除以14； （2）被除数＝除数×商，根据除法和乘法的关系，将原式转化为3.5x＝0.7×2，等式两边再同时除以3.5即可； （3）先计算乘法，等式两边同时减去乘法的积，再等式两边同时除以4.2即可。 【详解】38x－24x＝280 解：14x＝280 14x÷14＝280÷14 x＝20 3.5x÷2＝0.7 解：3.5x÷2×2＝0.7×2 3.5x＝1.4 3.5x÷3.5＝1.4÷3.5 x＝0.4 4.2x＋0.5×8＝25 解：4.2x＋4＝25 4.2x＋4－4＝25－4 4.2x＝21 4.2x÷4.2＝21÷4.2 x＝5 16．解方程。 35＋x＝74        8x＋19＝67        3x＋8×0.25＝35 2.4x＋3.8x＝62        4＋7.2－2x＝6.2        5x－6.5×5＝21.5 【答案】x＝39；x＝6；x＝11； x＝10；x＝2.5；x＝10.8 【分析】（1）根据方程性质1，等式两边同时减去一个相同的数，等式仍然成立。为求出x，两边同时减35。 （2）先根据方程性质1，两边同时减19，再根据方程性质2，两边同时除以8求解。 （3）先算乘法8×0.25，方程两边同时减去2，再同时除以3。 （4）先计算2.4x＋3.8x，方程两边同时除以6.2。 （5）先计算4＋7.2，方程两边同时减去6.2，再同时除以2。 （6）先算6.5×5，方程两边同时加上32.5，再同时除以5。 【详解】35＋x＝74 解：35＋x－35＝74－35 x＝74－35 x＝39 8x＋19＝67 解：8x＋19－19＝67－19 8x＝48 8x÷8＝48÷8 x＝6 3x＋8×0.25＝35 解：3x＋2＝35 3x＋2－2＝35－2 3x＝33 3x÷3＝33÷3 x＝11 2.4x＋3.8x＝6.2 解：（2.4＋3.8）x＝62 6.2x＝62 6.2x÷6.2＝62÷6.2 x＝10 4＋7.2－2x＝6.2 解：11.2－2x＝6.2 11.2－6.2＝2x 5＝2x 2x＝5 2x÷2＝5÷2 x＝2.5 5x－6.5×5＝21.5 解：5x－32.5＝21.5 5x－32.5＋32.5＝21.5＋32.5 5x＝54 5x÷5＝54÷5 x＝10.8 17．近年来，中国新能源汽车产能与销量均呈现快速增长态势。某新能源工厂的2条超级生产线和3条普通生产线同时运作，一天能生产新能源汽车1800台。超级生产线的工作效率是普通生产线的3倍，该新能源工厂一条超级生产线一天可生产多少台汽车？ 【答案】600台 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法。设一条普通生产线一天可生产x台汽车，则一条超级生产线一天可生产3x台汽车，根据一条超级生产线一天可生产台数×超级生产线数量＋一条普通生产线一天可生产台数×普通生产线数量＝一天生产的总台数，列出方程求出x的值是一条普通生产线一天可生产台数，一条普通生产线一天可生产台数×3＝一条超级生产线一天可生产台数。 【详解】解：设一条普通生产线一天可生产x台汽车。 3x×2＋3x＝1800 6x＋3x＝1800 9x＝1800 9x÷9＝1800÷9 x＝200 200×3＝600（台） 答：该新能源工厂一条超级生产线一天可生产600台汽车。 18．黄河某段长5464千米，长江某段长6300千米。黄河该段长度比汾河长度的7倍多473千米，长江该段长度比赤水河长度的14倍多84千米。汾河、赤水河的长度分别是多少千米？ 【答案】汾河713千米；赤水河444千米 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数多几就加几。设汾河的长度是x千米， 设赤水河的长度是y千米，根据汾河的长度×7＋473千米＝黄河该段的长度，赤水河的长度×14＋84千米＝长江该段的长度，分别列出方程解答即可。 【详解】解：设汾河的长度是x千米。 7x＋473＝5464 7x＋473－473＝5464－473 7x＝4991 7x÷7＝4991÷7 x＝713 设赤水河的长度是y千米。 14y＋84＝6300 14y＋84－84＝6300－84 14y＝6216 14y÷14＝6216÷14 y＝444 答：汾河的长度是713千米，赤水河的长度是444千米。 19．锡师附小六年级学生参加公益活动，其中参加环保宣传的有150人，比参加消防宣传人数的1.2倍还多12人。参加消防宣传的有多少人？（用方程解答） 【答案】115人 【分析】设参加消防宣传的有x人。根据题意可知，参加环保宣传的人数，比参加消防宣传人数的1.2倍还多12人。即参加消防宣传的人数×1.2＋12人＝参加环保宣传的人数，列方程：1.2x＋12＝150，解方程，即可解答。 【详解】解：设参加消防宣传的有x人。 1.2x＋12＝150 1.2x＋12－12＝150－12 1.2x＝138 1.2x÷1.2＝138÷1.2 x＝115 答：参加消防宣传的有115人。 20．运动手环能记录运动前后的脉搏变化，帮助我们监测心率。轩轩在1分钟跳绳前、后分别用手环测了一次脉搏。跳绳后每分钟脉搏跳动的次数比跳绳前多了96下，正好是跳绳前的2.2倍。他跳绳前和跳绳后每分钟脉搏跳动的次数各是多少下？（列方程解答） 【答案】80下；176下 【分析】由题可得等量关系式：跳绳后每分钟脉搏跳动的次数－跳绳前每分钟脉搏跳动的次数＝96下，跳绳后每分钟脉搏跳动的次数＝跳绳前每分钟脉搏跳动的次数×2.2。设跳绳前每分钟脉搏跳动的次数为a下，则跳绳后每分钟脉搏跳动的次数为2.2a下，根据等量关系式可得：2.2a－a＝96，解得方程，求出跳绳前每分钟脉搏跳动的次数，再乘2.2，求出跳绳后每分钟脉搏跳动的次数，据此解答。 【详解】解：设跳绳前每分钟脉搏跳动的次数为a下。 2.2a－a＝96 1.2a＝96 1.2a÷1.2＝96÷1.2 a＝80 80×2.2＝176（下） 答：跳绳前每分钟脉搏跳动80下，跳绳后每分钟脉搏跳动176下。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 简易方程 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、用字母表示数 2 二、方程的意义 2 三、等式的性质 2 四、解方程 3 五、列方程解决实际问题 3 考点讲练 4 考点一：等式的认识及列等量关系式 4 考点二：方程的认识 5 考点三：等式的性质1 5 考点四：应用等式的性质1解方程 6 考点五：等式的性质2 7 考点六：应用等式的性质2解方程 8 考点七：应用等式的性质1和2解方程 9 考点八：解含括号的方程 10 考点九：方程的检验 11 考点十：列简易方程 12 考点十一：列方程解含一个未知数的问题 13 考点十二：列方程解含两个未知数的问题 14 考点十三：列方程解稍复杂的实际问题 15 综合训练 16 知识梳理 一、用字母表示数 1.表示数量关系 用字母表示常见的数量关系，如路程（s）、速度（v）、时间（t）的关系：s=vt；总价（c）、单价（a）、数量（x）的关系：c=ax。 示例：每支铅笔a元，买5支铅笔应付5a元；小明今年b岁，妈妈比他大25岁，妈妈今年（b+25）岁。 2.表示计算公式 几何图形公式：如正方形周长C=4a（a为边长），面积S=a²；长方形周长C=2（a+b）（a、b为长和宽），面积S=ab。 注意：数字与字母相乘时，数字写在字母前面，乘号可省略（如4a）；字母与字母相乘时，乘号可省略或写作“·”（如ab或a·b）；带单位时，若式子是加减关系，需加括号（如（a+25）岁）。 3.表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）；乘法交换律：ab=ba；乘法结合律：（ab）c=a（bc）；乘法分配律：a（b+c）=ab+ac。 二、方程的意义 1.定义：含有未知数的等式叫做方程。 关键词：必须同时满足“含有未知数”和“是等式”两个条件。 示例：3x+5=20（是方程，含未知数x且为等式）；5+8=13（不是方程，不含未知数）；3x-2（不是方程，不是等式）。 2.方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。 等式包含方程，方程是特殊的等式（含有未知数）。 三、等式的性质 1.性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 字母表达式：如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c。 示例：若x+3=7，两边同时减3，得x=4。 2.性质2：等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。 字母表达式：如果a=b，那么ac=bc，a÷c=b÷c（c≠0）。 注意：除数不能为0，因为0做除数无意义。 示例：若2x=10，两边同时除以2，得x=5；若x÷4=5，两边同时乘4，得x=20。 四、解方程 1.定义：求方程中未知数的值的过程叫做解方程，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 2.解方程的依据：等式的性质1和性质2。 3.书写格式： 解方程时，等号要上下对齐； 每一步需注明依据（可省略，但需理解原理）。 4.常见方程类型及解法： 类型1：x+a=b（a、b为已知数） 解法：根据等式性质1，两边同时减a，得x=b-a。 示例：x+5=12 → x=12-5 → x=7。 类型2：x-a=b 解法：根据等式性质1，两边同时加a，得x=b+a。 示例：x-3=8 → x=8+3 → x=11。 类型3：ax=b（a≠0） 解法：根据等式性质2，两边同时除以a，得x=b÷a。 示例：3x=18 → x=18÷3 → x=6。 类型4：x÷a=b（a≠0） 解法：根据等式性质2，两边同时乘a，得x=b×a。 示例：x÷4=5 → x=5×4 → x=20。 类型5：ax±b=c（a≠0） 解法：先根据等式性质1，两边同时±b，再根据性质2两边同时÷a。 示例：2x+3=11 → 2x=11-3 → 2x=8 → x=4。 五、列方程解决实际问题 1.步骤： ①审题：找出关键信息，明确已知量和未知量； ②设未知数：一般设所求问题为x（直接设元），有时需间接设元； ③找等量关系：根据题意列出表示数量关系的等式（核心步骤）； ④列方程：根据等量关系列出方程； ⑤解方程：求出未知数的值； ⑥检验：将结果代入原方程或实际情境中，验证是否符合题意； ⑦写答：完整回答问题。 2.常见等量关系类型： 和差关系：如“甲比乙多5”→甲=乙+5；“甲和乙共20”→甲+乙=20。 示例：小明和小红共有36本书，小明比小红多4本，小红有多少本？ 解：设小红有x本，则小明有（x+4）本，列方程x+（x+4）=36 → 2x+4=36 → 2x=32 → x=16。 倍数关系：如“甲是乙的3倍”→甲=3×乙。 示例：果园里桃树是梨树的2倍，桃树和梨树共120棵，梨树有多少棵？ 解：设梨树有x棵，则桃树有2x棵，列方程x+2x=120 → 3x=120 → x=40。 行程问题：路程=速度×时间；相遇问题：甲路程+乙路程=总路程。 示例：甲乙两车从相距300千米的两地同时出发，相向而行，甲车速度50千米/时，乙车速度40千米/时，几小时后相遇？ 解：设x小时后相遇，列方程50x+40x=300 → 90x=300 → x=10/3（约3.33小时）。 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（常把工作总量看作“1”）。 价格问题：总价=单价×数量；找回的钱=付出的钱-花掉的钱。 考点讲练 考点一：等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】认真思考方程和等式的联系与区别，下面（    ）选项能够准确表达它们之间的关系。 A． B． C． 【变式训练】在①28－y＝28，②x－y，③1.3×3＝3.9，④a＋13b＜11，⑤3.5m＝70中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 【变式训练】根据题意写出合适的数量关系式。 (1)篮球社团的人数比机器人社团少24人。 ( )的人数－( )的人数＝24 (2)公园里菊花的盆数比月季花的2倍多13盆。 ( )的盆数×2＋13＝( )的盆数。 【变式训练】根据题意填写合适的数量关系。 为了加大力度拉动消费，某市今年计划投放9000万元的消费券，是去年的1.5倍，去年投放消费券多少万元？ ( )的消费券额×1.5 ＝( )的消费券额 考点二：方程的认识 【典例精讲】下面的式子中，（    ）是方程。 A． B． C． D． 【变式训练】下列的式子中，（    ）是方程。 A．35－7＝28 B．x＋10 C．y÷6＝9 D．1.2x＜8 【变式训练】把下面左边方框中的式子分为右边的两类，分类的标准是（    ）。 A．是不是方程 B．是不是等式 C．有没有未知数 D．是不是有字母 【变式训练】在①7×5＝35；②14－2x＝8；③x÷0.9＝1.8；④100a；⑤15y＝6＋x；⑥79＞83x中，等式有( )，方程有( )（填序号）。 考点三：等式的性质1 【典例精讲】等式两边加上或减去同一个数，左右两边( )。 【变式训练】观察下图，下列等式成立的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（，为非0自然数），根据等式的性质，下面的等式不成立的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】认真看图，细心填空。 x＝50    x＋( )＝50＋( )    x＋40－( )＝50＋( )－( ) 我发现：等式两边同时加上或减去( )，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 考点四：应用等式的性质1解方程 【典例精讲】解方程。 x＋4.13＝7.3                   x－25＝15.6                      x÷6.8＝15 【变式训练】解方程。 x＋15＝40                       x÷0.8＝1.5                    x＋5x＝63 2x－5.6÷0.7＝2.6               1.8x＋2.7x＝13.5                x－0.6x＝2.2 【变式训练】解方程。 7x＝21.7              x÷24＝15         3x＋19＝70 0.4x－6.3＝1.7        50x÷5＝60           4x＋3＝15 【变式训练】解方程。 x＋22＝28      x－3.7＝4.9      5x＝150      x÷2.1＝4 考点五：等式的性质2 【典例精讲】已知3a＝5b（a、b均不为0），根据等式的基本性质，下面的等式不成立的是（    ）。 A．30a＝50b B．3a÷7＝5b÷7 C．2a＝4b 【变式训练】小刚买了2支同样的钢笔和3支同样的铅笔，小明买了同样的9支铅笔，他们付的钱数一样多，1支钢笔的价格等于（    ）支铅笔的价格。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】认真看图，细心填空。     x＝20              2x＝20×( )         2x÷2＝40÷( ) 我发现：等式两边同时乘或除以( )，所得结果仍然是等式。这也是等式的性质。 【变式训练】已知（为非零自然数），根据等式的性质，下面等式（    ）不成立。 A． B． C． D． 考点六：应用等式的性质2解方程 【典例精讲】解方程。      【变式训练】解方程。 x÷15＝12     18×（x＋2.9）＝108     16x÷（40－10）＝4 【变式训练】解方程。 7.6x－3.4x＝126        x÷15＝180        8（x－3.5）＝20 【变式训练】解方程。 10x＋8x＝270                    3.2x－3×0.6＝2.2 考点七：应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】解方程。 32x＋23x＝220        5.6x÷8＝2.24        1.8x－3×1.5＝40.5 【变式训练】解方程。 3x＋6＝21      8x－3.2x＝24        x÷4＋3.6＝8.1 【变式训练】解方程。          【变式训练】解方程。 25x－16x＝270    1.8x÷3＝2.4    3×0.9＋4x＝22.7 考点八：解含括号的方程 【典例精讲】解方程。                                   【变式训练】解方程。 5.5－5x＝0.25                24x＋38x＝310 1.7x＋2.3×2＝8            （x－140）÷70＝4 【变式训练】解方程。 1.6×3＋3x＝6        0.2x－1.2×3＝6.6       x＋0.8x＝5.4 4x÷0.1＝10          0.8x－1.2＝0.4          18×（x＋2.9）＝108 【变式训练】解方程。 15＋x＝42    1.2x＋0.6x＝90    3x－2.4＝13.5    8（x－3.7）＝32 考点九：方程的检验 【典例精讲】解方程。（带※的要验算） 64＋x＝82                   x÷0.2＝4                     ※x＋3.2＝18 0.7x－0.2x＝15                3.9x－14×2＝11                3x＋4＝5.5 【变式训练】解方程：（带*号的写出验算过程） 2x－3.8＋4.2＝10                         *8×1.2＋4x＝36 【变式训练】解方程。（带☆题要求写出检验过程） ☆0.6＋x＝2.9              x÷4＝180               x＋4.5－8.2＝26 16×8＋4x＝178            3.2x÷2＝9.6                ☆x－0.3x＝1.05 【变式训练】解方程。（带*的要检验） 1.5x＝6    58＋x＝124    *x÷2.4＝3.5 考点十：列简易方程 【典例精讲】港珠澳大桥全长55km，比香港青马大桥长度的25倍还多1km。香港青马大桥全长多少千米？设香港青马大桥全长xkm，正确的方程是（    ）。 A．25x－1＝55 B．55x－25＝1 C．25x＋1＝55 D．55x＝25－1 【变式训练】根据数量关系只列方程不计算。 一幢大楼高51米，一楼门面层高4.5米，其余15层每层都是x米。 【变式训练】甲筐有苹果32千克，乙筐有苹果x千克。从甲筐拿4千克苹果放入乙筐，两筐苹果就一样多了。下面列的方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】一个上下两层的书架，上层有85本书。如果从上层拿8本书放到下层，那么两层的书就同样多。下层有多少本书？ 等量关系：( )的本数＋8本＝( )的本数－8本 解：设 ，列方程： 。 考点十一：列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】无锡举办青少年非遗文化传承活动，参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，参加惠山泥人制作学习的学生有多少人？（列方程解答） 【变式训练】李军看一本450页的科技书，看了5天后，还剩40页。平均每天看了多少页？（列方程解决问题） 【变式训练】李梅和小伟一起逛书店，两人看中了同一本书，但手里的现金都不够买这本书。李梅差23元，小伟差37.2元，两人现金凑在一起合买这本书还差10.25元，这本书多少元？ 【变式训练】星期天，彤彤和同学相约一起去参加线下读书分享会。分享会地点离彤彤家有2250米，早上7点半彤彤步行出发，开始每分钟走70米，走了15分钟后，她怕迟到，加快了速度，早上8点准时到达。彤彤加快速度后每分钟走多少米？（列方程解答） 考点十二：列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】星光小学植树节在沙河沿岸种树，香樟树的棵数是银杏树棵数的1.5倍，银杏树比香樟树少15棵。两种树各种了多少棵？（用方程解答） 【变式训练】李老师买了一些故事书分给阅读小组的同学们，一开始平均每人分8本，还剩14本。李老师又重新调整分配方案，给每人分9本，最后一人只能分得6本，那么阅读组有多少人？李老师共买来多少本书？ 【变式训练】某停车场一共有260个车位，分为普通车位和充电桩车位，其中普通车位的数量是充电桩车位的5.5倍，该停车场普通车位和充电桩车位各有多少个？（方程解答） 【变式训练】黄老师买了一本故事书和一支钢笔正好用去45.2元。其中一本故事书的价钱是一支钢笔的3倍。这本故事书和这支钢笔的价格各是多少元？（用方程解答） 考点十三：列方程解稍复杂的实际问题 【典例精讲】某工程队修一条长1675m的路，修了625m后，为了加快进程，剩下的路只用7天就修完了。后来工程队平均每天修多少米？ 【变式训练】甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【变式训练】小明、小勇和小刚一共收集360枚邮票，小明收集的邮票枚数是小勇的3倍，小勇收集的邮票枚数是小刚的2倍，三人各收集了多少枚邮票？ 【变式训练】扬州，它不仅是一座历史文化名城，也是世界美食之都哦！一位游客在旅游景点购买了4袋三丁包子和5袋汤包，一共用去95.5元，其中三丁包每袋12.5元，汤包每袋多少元？（列方程解答） 综合训练 1．下列式子中，方程的是（    ）。 A．3＋x＜6 B．23＋2.5＝25.5 C．5÷x＝2.5 D．x＋3.5＞y－2.3 2．甲有a张邮票，乙有b张邮票，如果甲给乙10张后，两人的邮票张数相等。下面哪一个等量关系是正确的？（    ） A．a－10＝b B．a＝b＋10 C．a＝b＋20 D．a－20＝b＋20 3．姐姐和弟弟花了同样的钱买文具。姐姐买了1支钢笔和6本同样的笔记本，弟弟买了9本和姐姐同样的笔记本。（    ）本笔记本的价钱与1支钢笔相同。 A．2 B．3 C．6 D．9 4．我国的古代《九章算术》记载了用一组方程解决实际问题的方法。14世纪初，我国数学家（    ）又创立了“四元术”（“四元”指天、地、人、物，相当于4个未知数），这是我国古代数学的一次飞跃。 A．李冶 B．朱世杰 C．祖冲之 D．刘徽 5．一根电线长48m，把它剪成两段，其中第一段的长是第二段的2倍。第二段长（    ）m。 A．36 B．24 C．18 D．16 6．如图中前两架天平保持平衡。根据图中的等量关系，你觉得第三架天平的右边放（    ）个才能使天平保持平衡。 A．6 B．5 C．4 D．3 7．李叔叔买了3袋面粉，每袋a元，付出100元，应找回( )元。当a＝24时，应找回( )元；如果找回19元，那么a＝( )。 8．如果4＋18的值是42，那么15－18的值是( )。如果26－4a＝18，那么4a＋4＝( )。 9．马小虎在写一个两位数时，不小心将它的个位和十位上的数字对调了，结果这个新两位数比原来大36，马小虎原来要写的两位数有( )种可能。 10．公园里有2个月季园和5个梅园，一共占地面积2400平方米，其中每个月季园的面积比每个梅园多150平方米，每个梅园的占地面积是( )平方米。 11．星期天小明去爬山，从山脚到山顶用32分钟，然后原路返回用24分钟，已知下山比上山每分钟多走20米。小明下山每分钟走( )米，爬山走了( )米。 12．近年来，随着电子商务的迅速发展，我国的快递行业呈现出突飞猛进的发展趋势，也提供了大量的就业岗位。快递员付叔叔每日基本工资是160元，每送一件快递另加1.2元。如果付叔叔每天送a件快递，那么他的日工资是( )元；6月18日这一天，付叔叔拿到工资340元，他送了( )件快递。 13．解方程。（加※的要检验） 18.9＋x＝20          x－0.3x＝14.7            3x＋5＝9.5 x－8.4＝26          4.5x－1.5×6＝90          ※20.9－x＝8 14．解方程。 5x－4＝56            2x＋4×1.5＝22             2.4x－1.2x＝24 15．解方程。 38x－24x＝280    3.5x÷2＝0.7    4.2x＋0.5×8＝25 16．解方程。 35＋x＝74        8x＋19＝67        3x＋8×0.25＝35 2.4x＋3.8x＝62        4＋7.2－2x＝6.2        5x－6.5×5＝21.5 17．近年来，中国新能源汽车产能与销量均呈现快速增长态势。某新能源工厂的2条超级生产线和3条普通生产线同时运作，一天能生产新能源汽车1800台。超级生产线的工作效率是普通生产线的3倍，该新能源工厂一条超级生产线一天可生产多少台汽车？ 18．黄河某段长5464千米，长江某段长6300千米。黄河该段长度比汾河长度的7倍多473千米，长江该段长度比赤水河长度的14倍多84千米。汾河、赤水河的长度分别是多少千米？ 19．锡师附小六年级学生参加公益活动，其中参加环保宣传的有150人，比参加消防宣传人数的1.2倍还多12人。参加消防宣传的有多少人？（用方程解答） 20．运动手环能记录运动前后的脉搏变化，帮助我们监测心率。轩轩在1分钟跳绳前、后分别用手环测了一次脉搏。跳绳后每分钟脉搏跳动的次数比跳绳前多了96下，正好是跳绳前的2.2倍。他跳绳前和跳绳后每分钟脉搏跳动的次数各是多少下？（列方程解答） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $