第七单元 分数乘法讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

该小学数学“分数乘法”单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了分数乘法的意义、计算法则、运算定律等核心内容，以“意义-法则-应用-易错点”为逻辑主线呈现知识脉络，重点突出单位“1”判断、约分技巧等关键难点，构建完整知识网络。 讲义亮点在于“考点分层讲练”设计，如“求一个数的几分之几”结合手机流量、科技作品等生活实例，培养应用意识，通过常见错误警示提升运算能力。变式训练覆盖基础到综合，支持分层教学，助力教师精准突破学生薄弱点。

第七单元 分数乘法 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、分数乘法的意义 2 二、分数乘法的计算法则 2 三、分数乘法的运算定律 2 四、求一个数的几分之几是多少 3 五、分数乘法的应用 3 六、倒数的认识 3 七、计算注意事项 4 八、常见错误警示 4 考点讲练 4 考点一：分数乘整数 5 考点二：求一个数的几分之几的问题 5 考点三：分数乘分数 6 考点四：分数乘小数 7 考点五：分数的连乘运算 8 考点六：连续求一个数的几分之几是多少的问题 9 考点七：因数和积的大小关系（分数乘法） 10 考点八：倒数的认识 11 考点九：与倒数有关的综合计算 11 考点十：自然数与倒数的和或差问题 12 综合训练 12 知识梳理 一、分数乘法的意义 1.分数乘整数的意义 表示求几个相同加数的和的简便运算 例如： 表示求4个相加的和 2.一个数乘分数的意义 表示求这个数的几分之几是多少 例如： 表示求5的是多少 表示求的是多少 二、分数乘法的计算法则 1.分数乘整数 分子与整数相乘的积作分子，分母不变 计算公式：（） 能约分的先约分再计算更简便 2.分数乘分数 分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母 计算公式：（） 计算过程中能约分的要先约分 3.小数乘分数 方法一：把小数化成分数计算 方法二：把分数化成小数计算（分数能化成有限小数时） 方法三：直接约分计算（小数与分母能约分的情况） 三、分数乘法的运算定律 1.乘法交换律： 例如： 2.乘法结合律： 例如： 3.乘法分配律： 例如： 四、求一个数的几分之几是多少 1.基本数量关系 单位"1"的量 × 对应分率 = 分率所对应的量 2.解题步骤 找准单位"1"的量（通常在"是"、"占"、"比"的后面） 确定要求的量对应的分率 根据数量关系列式计算 3.典型例题 已知一个数，求它的几分之几： 已知一个数，求它的几分之几的几分之几： 五、分数乘法的应用 1.连续求一个数的几分之几 关键：确定每一步的单位"1" 公式：单位"1"的量 × 第一个分率 × 第二个分率 = 所求量 2.稍复杂的求一个数的几分之几 求比一个数多（少）几分之几的数是多少 公式1：单位"1"的量 + 单位"1"的量 × 分率 = 所求量 公式2：单位"1"的量 × (1 ± 分率) = 所求量 例如：比20多的数是多少？ 六、倒数的认识 1.倒数的定义 乘积是1的两个数互为倒数 例如：和互为倒数，因为 2.求倒数的方法 分数的倒数：交换分子和分母的位置（带分数先化成假分数） 整数的倒数：整数分之一（1的倒数是1） 小数的倒数：先化成分数，再交换分子和分母的位置 0没有倒数 3.倒数的性质 互为倒数的两个数乘积是1 真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1 七、计算注意事项 1.结果处理 计算结果必须是最简分数 假分数一般要化成带分数或整数 2.约分技巧 计算前能约分的先约分，使计算更简便 约分后的分子和分母必须是互质数 3.单位"1"的判断 在解决实际问题时，准确判断单位"1"是解题关键 同一个分数，单位"1"不同，所表示的具体数量也不同 八、常见错误警示 1.混淆分数乘法的意义：分数乘整数与一个数乘分数的意义不同 2.计算时忘记约分或约分不正确 3.倒数概念理解错误，认为是分子分母相加等于1 4.解决问题时单位"1"判断错误 5.计算结果没有化成最简分数 6.小数与分数相乘时，小数与分子约分（正确应该是与分母约分） 考点讲练 考点一：分数乘整数 【典例精讲】立方米＝( )立方分米 升＝( )毫升 【变式训练】在括号里填上合适的数。 1.36L＝( )mL     m3( )dm3      450cm3＝( )dm3 【变式训练】正方体的棱长是米，它的所有棱长之和是( )米，它所占的空间是( )立方米。 【变式训练】一个正方体工艺蜡台的棱长是分米，如果沿棱镶上金边框条，那么至少需要多少分米的金边框条？ 考点二：求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】爸爸十月份使用的手机流量是7GB，他十一月份使用的手机流量比十月份多，爸爸十一月份使用的手机流量比十月份多 GB。 【变式训练】一桶油重30千克，用去它的，用去（    ）千克。 A．5 B．25 C． 【变式训练】明日小学科技节一共收到1440件科技作品，其中有的作品获奖，一等奖占获奖总数的。获一等奖的作品有多少件？ 【变式训练】2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场举行。阅兵仪式上放飞的和平鸽是从鸽友提供的60万羽中选出的。已知选出的是总数的，此次放飞了( )万羽和平鸽。 考点三：分数乘分数 【典例精讲】先找规律，再填数：，1，，，( )，，( )。 【变式训练】哪幅图表示的积？（    ） A．① B．② C．③ 【变式训练】五星电器营业大厅有两根完全相同的长方体柱子，底面是边长为米的正方形。“双11”即将到来，为了加强宣传效果，商家想在这两根柱子的四周安装高米的电子广告屏，如果每平方米电子广告屏造价万元，那么需要多少钱？ 【变式训练】一个街心花园占地公顷，其中草坪占，花圃占地公顷，其余是人行道。人行道的面积是多少公顷？ 考点四：分数乘小数 【典例精讲】直接写出得数。                           【变式训练】计算 ×11＝      ×27＝      ×8＝      ×8＝        ×3＝ ×2500＝     3×＝       ×6＝      ×5＝        ×7＝           1.25××8＝      ×＝        ×＝      ×＝ 7.9×11－7.9＝          ＋＝         ×1.8＝        　 【变式训练】直接写得数。 ×2＝        ×12＝        ×＝        ×＝ ×＝     ＝         ＝          ＝ ×24＝        1.8×＝       ×＝        ×10＝ 【变式训练】一个圆形花坛的周长是31.4米，其中有的面积是草坪，草坪的面积有多大？ 考点五：分数的连乘运算 【典例精讲】学校组织志愿者参加植树活动，六年级植树80棵，五年级植树的棵树是六年级的，四年级是五年级的，四年级植树多少棵？ 【变式训练】某快餐店九月份用水360吨，十月份的用水量是九月份的，十一月份的用水量是十月份的。十一月份用水多少吨？ 【变式训练】一辆汽车在高速公路上行驶的速度是120千米/时。一列磁悬浮列车行驶的速度是这辆汽车的，这列磁悬浮列车小时可以行驶多少千米？ 【变式训练】两地相距30千米，如果一辆汽车每小时可行全程的，那么这辆汽车小时行多少千米？ 考点六：连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】只长江是我国第一长河，全长约6300千米。黄河长度约是长江的，珠江全长约是黄河的。珠江全长约多少千米？ 【变式训练】六（1）班有42名同学，其中有长大后想当医生，想成为老师的人数是想当医生人数的，这个班有多少名同学想成为老师？ 【变式训练】旗鱼是公认的短距离游泳最快的鱼类，最高时速可达190千米，鲸鱼的最高时速约是旗鱼的，金枪鱼的最高时速约是鲸鱼的，金枪鱼的最高时速约是多少？ 【变式训练】同学们去社区参加志愿活动，四、五年级一共去了48人，五年级去的人数是总人数的，其中是男生，五年级去社区参加志愿活动的男生有多少人？ 考点七：因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲】一根绳子，先剪去它的，再接上米，现在的绳长比原来短，说明原来这根绳子比1米长。( ) 【变式训练】甲数的和乙数的相等（甲数不为0）。那么甲数（    ）乙数。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 【变式训练】下面乘法算式的积比两个乘数都小的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )      ( ) ( )      ( ) 考点八：倒数的认识 【典例精讲】的倒数是 ， 与0.25互为倒数。 【变式训练】( )的倒数是1，( )的倒数比它本身大1.5。 【变式训练】因为1××＝1，所以1、和互为倒数。( ) 【变式训练】与( )互为倒数；( )的倒数是它本身。 考点九：与倒数有关的综合计算 【典例精讲】6×( )＝1.2×( )＝×( )＝×( )＝1。 【变式训练】4×( )＝( )×0.1＝( )×＝＋( )＝1。 【变式训练】已知，且a，b，c都大于0，那么a，b，c中最大的是（    ）。 A．a B．b C．c D．不确定 【变式训练】如果和两个数互为倒数，那么( )，( )。 考点十：自然数与倒数的和或差问题 【典例精讲】一个自然数，加上自己的倒数后，仍得到一个自然数，则原数是( )。 【变式训练】一个非零自然数与它的倒数的和一定大于1。( ) 【变式训练】如果两个自然数的倒数和是，那么这两个自然数是（    ）。 A．4和9 B．3和8 C．2和9 D．1和10 【变式训练】0.6的倒数是( )；一个数与它倒数的差是0，这个数是( )。 综合训练 1．有轨电车开到狮子山站时，车上人数的先下车后，又上来这时车上人数的，上车人数和下车人数比较，（    ）。 A．同样多 B．上车人多 C．下车人多 D．无法确定 2．将如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则xy＝（    ）。 A．4 B． C． D． 3．两根2米长的铁丝，第一根用去了，第二根用去了米，（    ）根用去的铁丝长。 A．第一根 B．第二根 C．同样长 D．无法比较 4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自《庄子·天下篇》，意思是一尺长的木棍每天截取剩下部分的一半，永远也截取不完。按此方法，截取3天后，剩余木棍的长度是原来的（    ）。 A． B． C． D． 5．两堆质量相等的玉米，第一堆运走，第二堆运走。已知第二堆剩下的玉米多，那么原来每堆玉米的质量（    ）。 A．大于1t B．小于1t C．等于1t D．等于3t 6．小虎在计算时，错当成进行计算，这样小虎计算出的结果与正确的结果相差（    ）。 A．5 B．4a C．5a D．6a 7．把0.6升水倒入8个小杯和1个大杯，正好都倒满，小杯容量是大杯的。小杯容量是( )毫升，大杯容量是( )毫升。 8．公顷＝( )平方米    5050立方厘米＝( )升 9．“古稀”“花甲”“不惑”都是古代对年龄的雅称。“古稀”表示的年龄是70岁，“花甲”表示的年龄是“古稀”的，“不惑”表示的年龄是“花甲”的，是( )岁，“不惑”表示( )岁。 10．根据“实际用水量比原计划节约”求节约的用水量，这里把 看作单位“1”，数量关系是： 用水量 的用水量。 11．一本故事书共120页，小明第一天看了全书的，第二天又看了全书的。小明第三天应从( )页看起。 12．江江家原来每天用水吨。开展节水活动后，江江家每天用水量比原来节约了，照这样计算，11月份江江家一共节约了( )吨水。 13．直接写得数。                                                                                14．计算下面各题。                     15．看图列式计算。 16．我国歼－20战斗机机身长约21米，翼展比机身长的少1米，翼展约多少米？ 17．超市购进一批水果，其中苹果有360千克，梨的质量是苹果的，香蕉比梨多，超市购进香蕉多少千克？ 18．水果店运来苹果600千克，运来的梨是苹果的，运来的橘子是梨的，运来的橘子有多少千克？ 19．某社区开展“绿色生活”活动，计划在一块2400平方米的空地上进行建设。第一天完成了总面积的作为绿化区，第二天将总面积的建成了休闲广场，其余区域用于设置垃圾分类站。垃圾分类站的面积是多少平方米？ 20．快递行业飞速发展，物流自动化已是大势所趋。某物流分拣站原来分拣10万件货物需要12小时，实现自动化后，现在分拣10万件货物需要的时间是原来的，现在分拣10万件货物需要多少小时？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 分数乘法 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、分数乘法的意义 2 二、分数乘法的计算法则 2 三、分数乘法的运算定律 2 四、求一个数的几分之几是多少 3 五、分数乘法的应用 3 六、倒数的认识 3 七、计算注意事项 4 八、常见错误警示 4 考点讲练 4 考点一：分数乘整数 4 考点二：求一个数的几分之几的问题 6 考点三：分数乘分数 8 考点四：分数乘小数 11 考点五：分数的连乘运算 14 考点六：连续求一个数的几分之几是多少的问题 17 考点七：因数和积的大小关系（分数乘法） 19 考点八：倒数的认识 22 考点九：与倒数有关的综合计算 24 考点十：自然数与倒数的和或差问题 26 综合训练 28 知识梳理 一、分数乘法的意义 1.分数乘整数的意义 表示求几个相同加数的和的简便运算 例如： 表示求4个相加的和 2.一个数乘分数的意义 表示求这个数的几分之几是多少 例如： 表示求5的是多少 表示求的是多少 二、分数乘法的计算法则 1.分数乘整数 分子与整数相乘的积作分子，分母不变 计算公式：（） 能约分的先约分再计算更简便 2.分数乘分数 分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母 计算公式：（） 计算过程中能约分的要先约分 3.小数乘分数 方法一：把小数化成分数计算 方法二：把分数化成小数计算（分数能化成有限小数时） 方法三：直接约分计算（小数与分母能约分的情况） 三、分数乘法的运算定律 1.乘法交换律： 例如： 2.乘法结合律： 例如： 3.乘法分配律： 例如： 四、求一个数的几分之几是多少 1.基本数量关系 单位"1"的量 × 对应分率 = 分率所对应的量 2.解题步骤 找准单位"1"的量（通常在"是"、"占"、"比"的后面） 确定要求的量对应的分率 根据数量关系列式计算 3.典型例题 已知一个数，求它的几分之几： 已知一个数，求它的几分之几的几分之几： 五、分数乘法的应用 1.连续求一个数的几分之几 关键：确定每一步的单位"1" 公式：单位"1"的量 × 第一个分率 × 第二个分率 = 所求量 2.稍复杂的求一个数的几分之几 求比一个数多（少）几分之几的数是多少 公式1：单位"1"的量 + 单位"1"的量 × 分率 = 所求量 公式2：单位"1"的量 × (1 ± 分率) = 所求量 例如：比20多的数是多少？ 六、倒数的认识 1.倒数的定义 乘积是1的两个数互为倒数 例如：和互为倒数，因为 2.求倒数的方法 分数的倒数：交换分子和分母的位置（带分数先化成假分数） 整数的倒数：整数分之一（1的倒数是1） 小数的倒数：先化成分数，再交换分子和分母的位置 0没有倒数 3.倒数的性质 互为倒数的两个数乘积是1 真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1 七、计算注意事项 1.结果处理 计算结果必须是最简分数 假分数一般要化成带分数或整数 2.约分技巧 计算前能约分的先约分，使计算更简便 约分后的分子和分母必须是互质数 3.单位"1"的判断 在解决实际问题时，准确判断单位"1"是解题关键 同一个分数，单位"1"不同，所表示的具体数量也不同 八、常见错误警示 1.混淆分数乘法的意义：分数乘整数与一个数乘分数的意义不同 2.计算时忘记约分或约分不正确 3.倒数概念理解错误，认为是分子分母相加等于1 4.解决问题时单位"1"判断错误 5.计算结果没有化成最简分数 6.小数与分数相乘时，小数与分子约分（正确应该是与分母约分） 考点讲练 考点一：分数乘整数 【典例精讲】立方米＝( )立方分米 升＝( )毫升 【答案】 600 875 【分析】根据1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，大单位到小单位乘进率，小单位到大单位除以进率，即可填空。 【详解】立方米＝（×1000）立方分米＝600立方分米 升＝（×1000）毫升＝875毫升 【变式训练】在括号里填上合适的数。 1.36L＝( )mL     m3( )dm3      450cm3＝( )dm3 【答案】 1360 625 0.45/ 【分析】①容积单位的换算：根据1L＝1000mL，用大单位“L”换算为小单位“mL”，用进率1.36乘进率1000即可换算； ②体积单位的换算：根据1m3＝1000 dm3， 用大单位“m3”换算为小单位“dm3”，用进率乘进率1000即可换算； ③体积单位的换算：根据1dm3＝1000 cm3， 用小单位“cm3”换算为大单位“dm3”，用进率450除以进率1000即可换算。 【详解】①1.36×1000＝1360（mL），即1.36L＝1360mL； ②×1000＝625（dm3），即m3＝625dm3； ③450÷1000＝0.45（dm3），即450cm3＝0.45dm3。 【变式训练】正方体的棱长是米，它的所有棱长之和是( )米，它所占的空间是( )立方米。 【答案】 3 【分析】正方体有12条长度相等的棱，已知正方体的棱长是米，求所有棱长之和就是求12个是多少，用乘法计算；正方体所占空间的大小就是它的体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，将数值代入公式计算即可。 【详解】×12＝3（米） ××＝（立方米） 所以，正方体的棱长是米，它的所有棱长之和是3米，它所占的空间是立方米。 【变式训练】一个正方体工艺蜡台的棱长是分米，如果沿棱镶上金边框条，那么至少需要多少分米的金边框条？ 【答案】9分米 【分析】根据题意，要求至少需要多少分米的金边框条，即是求这个正方体的棱长总和，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，代入数据即可。 【详解】（分米） 答：至少需要9分米的金边框条。 考点二：求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】爸爸十月份使用的手机流量是7GB，他十一月份使用的手机流量比十月份多，爸爸十一月份使用的手机流量比十月份多 GB。 【答案】2 【分析】已知十月份使用的手机流量是7GB，十一月份使用的手机流量比十月份多，是把十月份使用的手机流量看作单位“1”，则十一月份比十月份多的流量占十月份的，单位“1”已知，用十月份的手机流量乘即可求解。 【详解】7×＝2（GB） 十一月份使用的手机流量比十月份多2GB。 【变式训练】一桶油重30千克，用去它的，用去（    ）千克。 A．5 B．25 C． 【答案】B 【分析】一桶油重30千克，用去它的，是把这桶油看作单位“1”，则用去了（30×）千克，据此解答即可。 【详解】30×＝25（千克） 用去了25千克。 故答案为：B 【变式训练】明日小学科技节一共收到1440件科技作品，其中有的作品获奖，一等奖占获奖总数的。获一等奖的作品有多少件？ 【答案】360件 【分析】求一个数的几分之几用乘法，用可求出获奖作品的件数，再用获奖作品的件数×，即可求出获一等奖的作品有多少件。 【详解】 ＝1080× ＝360（件） 答：获一等奖的作品有360件。 【变式训练】2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场举行。阅兵仪式上放飞的和平鸽是从鸽友提供的60万羽中选出的。已知选出的是总数的，此次放飞了( )万羽和平鸽。 【答案】8 【分析】把和平鸽的总数看作单位“1”，已知选出的是总数的，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”进行计算即可。 【详解】60×＝8（万羽） 即此次放飞了8万羽和平鸽。 考点三：分数乘分数 【典例精讲】先找规律，再填数：，1，，，( )，，( )。 【答案】 【分析】根据题意，，，。由此可知后一个数是前一个数乘得到的，据此规律，通过乘法运算可求出后续的数。 【详解】×＝ ×＝ 即，1，，，，，。 【变式训练】哪幅图表示的积？（    ） A．① B．② C．③ 【答案】B 【分析】要判断哪幅图表示，需结合分数乘法的意义：表示“的是多少”。 思考过程： 1.先把单位“1”（整个图形）平均分成5份，选取其中2份（这一步体现）。 2.再把这2份平均分成4份，选取其中3份（这一步体现“的”）。    【详解】选项中的图形均为5列、4行共20个小格，第一步取：5列中取2列，共个小格；第二步取这8个小格的：个小格。 因此需要找阴影部分为6个小格的图，对应选项②。 故答案为：B 【变式训练】五星电器营业大厅有两根完全相同的长方体柱子，底面是边长为米的正方形。“双11”即将到来，为了加强宣传效果，商家想在这两根柱子的四周安装高米的电子广告屏，如果每平方米电子广告屏造价万元，那么需要多少钱？ 【答案】万元 【分析】由题意知：两根完全相同的长方体柱子的底面是正方形，则根据长方体的特点知：两根长方体柱子的四周，需要安装广告屏的区域一共是8个完全一样的长方形，其中长方形的长为米，长方形的宽为米，根据长方形的面积＝长×宽，计算出安装电子屏的总面积。又知：每平方米电子广告屏造价万元，则用安装电子屏的总面积×万元＝一共需要的钱数，据此列式解答即可。 【详解】4×2＝8（个） （万元） 答：需要万元。 【变式训练】一个街心花园占地公顷，其中草坪占，花圃占地公顷，其余是人行道。人行道的面积是多少公顷？ 【答案】 公顷 【分析】要计算人行道的面积，需用街心花园的总面积，减去草坪的面积（将街心花园的总面积看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用总面积乘草坪所占的分率可得到草坪面积），再减去花圃的面积，进而得到人行道的面积。 【详解】草坪的面积：（公顷） 人行道的面积： （公顷） 答：人行道的面积是公顷。 考点四：分数乘小数 【典例精讲】直接写出得数。                           【答案】；；0.09；； ；0；； 【详解】略 【变式训练】计算 ×11＝      ×27＝      ×8＝      ×8＝        ×3＝ ×2500＝     3×＝       ×6＝      ×5＝        ×7＝           1.25××8＝      ×＝        ×＝      ×＝ 7.9×11－7.9＝          ＋＝         ×1.8＝        　 【答案】2；6；；； 1000；；；； ；8；；； 79；；1 【详解】略 【变式训练】直接写得数。 ×2＝        ×12＝        ×＝        ×＝ ×＝     ＝         ＝          ＝ ×24＝        1.8×＝       ×＝        ×10＝ 【答案】；；； ；；； 20；1.4；； 【详解】略 【变式训练】一个圆形花坛的周长是31.4米，其中有的面积是草坪，草坪的面积有多大？ 【答案】39.25平方米 【分析】根据圆形的周长计算公式：，得出圆形花坛的半径，再计算圆形花坛面积：；其中面积是草坪，则用花坛面积乘，计算可得出答案。 【详解】草坪面积为： （平方米） 答：草坪的面积是39.25平方米。 考点五：分数的连乘运算 【典例精讲】学校组织志愿者参加植树活动，六年级植树80棵，五年级植树的棵树是六年级的，四年级是五年级的，四年级植树多少棵？ 【答案】50棵 【分析】先将六年级的植树棵数80棵看作单位“1”，用80棵乘，求出五年级的植树棵数；再将五年级的植树棵数看作单位“1”，用五年级的植树棵数乘，求出四年级的植树棵数。 【详解】80×× ＝60× ＝50（棵） 答：四年级植树50棵。 【点睛】解答本题还可以先用×，求出四年级植树棵数占六年级的分率，再用80棵乘这个分率。 【变式训练】某快餐店九月份用水360吨，十月份的用水量是九月份的，十一月份的用水量是十月份的。十一月份用水多少吨？ 【答案】280吨 【分析】把九月份的用水量看作单位“1”，求它的是多少，用九月份用水量×，就是十月份的用水量；再把十月底的用水量看作单位“1”，求它的是多少，用十月份的用水量×，求出十一月份的用水量。 【详解】360×× ＝400× ＝280（吨） 答：十一月份用水280吨。 【点睛】本题考查连续求一个数的几分之几是多少的问题。 【变式训练】一辆汽车在高速公路上行驶的速度是120千米/时。一列磁悬浮列车行驶的速度是这辆汽车的，这列磁悬浮列车小时可以行驶多少千米？ 【答案】360千米 【分析】先把汽车的行驶速度看作单位“1”，单位“1”的，就是磁悬浮列车的速度，根据分数乘法的意义，汽车的行驶速度×＝磁悬浮列车的速度，再根据路程＝速度×时间，解答即可。 【详解】120××＝360（千米） 答：这列磁悬浮列车小时可以行驶360千米。 【点睛】此题考查了分数乘法的应用，先求出悬浮列车的速度是解题关键，求一个数的几分之几用乘法。 【变式训练】两地相距30千米，如果一辆汽车每小时可行全程的，那么这辆汽车小时行多少千米？ 【答案】千米 【分析】用每小时可行全程的几分之几×时间，求出小时行全程的几分之几，用全程×小时行的对应分率即可。 【详解】30×（×） ＝30× ＝（千米） 答：这辆汽车小时行千米。 【点睛】关键是求出小时行全程的对应分率。 考点六：连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】只长江是我国第一长河，全长约6300千米。黄河长度约是长江的，珠江全长约是黄河的。珠江全长约多少千米？ 【答案】 【分析】根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”先用6300乘计算出黄河长度；再用黄河长度乘即可。 【详解】 ＝ ＝2320.5（千米） 答：珠江全长约2320.5千米。 【变式训练】六（1）班有42名同学，其中有长大后想当医生，想成为老师的人数是想当医生人数的，这个班有多少名同学想成为老师？ 【答案】9名 【分析】把全班人数看作单位“1”，其中有长大后想当医生，用全班人数×，求出想当医生的人数，再把想当医生的人数看作单位“1”，想成为老师的人数是想当医生人数的，用想当医生的人数×，即可求出想成为老师的人数。 【详解】42×× ＝12× ＝9（名） 答：这个班有9名同学想成为老师。 【变式训练】旗鱼是公认的短距离游泳最快的鱼类，最高时速可达190千米，鲸鱼的最高时速约是旗鱼的，金枪鱼的最高时速约是鲸鱼的，金枪鱼的最高时速约是多少？ 【答案】160千米 【分析】根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，用190乘得出鲸鱼的时速，再用鲸鱼的时速乘得出金枪鱼的时速。据此解答。 【详解】190 ＝60 ＝160（千米） 答：金枪鱼的最高时速约是160千米。 【变式训练】同学们去社区参加志愿活动，四、五年级一共去了48人，五年级去的人数是总人数的，其中是男生，五年级去社区参加志愿活动的男生有多少人？ 【答案】24人 【分析】将四五年级去的总人数看作单位“1”，四五年级去的总人数×五年级去的对应分率＝五年级去的人数，再将五年级去的人数看作单位“1”，五年级去的人数×男生对应分率＝五年级去的男生人数，据此列式解答。 【详解】48×× ＝40× ＝24（人） 答：五年级去社区参加志愿活动的男生有24人。 考点七：因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲】一根绳子，先剪去它的，再接上米，现在的绳长比原来短，说明原来这根绳子比1米长。( ) 【答案】 √ 【分析】把这根绳子看作单位“1”，剪去绳子的，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，则剪去长度为“绳子原长×”，再接上米后，现在的绳长比原来短，这表明接上的米小于剪去的长度，即米＜绳子原长×。一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。据此判断。 【详解】米＜绳子原长×，所以绳子原长大于1米，即原来这根绳子比1米长。原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】从“现在绳长比原来短”这个条件，直接转化为“接上的长度＜剪去的长度”，即米＜绳子原长×，再根据因数和积的大小关系判断这根绳子的原长。 【变式训练】甲数的和乙数的相等（甲数不为0）。那么甲数（    ）乙数。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 【答案】B 【分析】（1）求一个数的几分之几是多少用乘法，根据积一定，一个数乘的数越大，其本身越小，进行分析。 （2）异分母分数比较大小，可以采用通分法。先根据分数的基本性质，把两个异分母分数化为分母相同的分数，再来比较大小。 【详解】由分析可知： 甲数×＝乙数× ＝＝ ＝＝ ＞ 即：＞ 所以，甲数的和乙数的相等（甲数不为0）。那么甲数＜乙数。 故答案为：B 【变式训练】下面乘法算式的积比两个乘数都小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个非0数乘一个小于1的数（0除外），乘积小于这个数本身； 一个非0数乘一个大于1的数，乘积大于这个数本身； 由此即可选择。 【详解】A．，则，乘积大于因数，不符合题意； B．，乘积等于因数，不符合题意； C．，则；，则，乘积比两个因数都小，符合题意； D．，则，，则，乘积大于因数和，不符合题意。 故答案为：C 【变式训练】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )      ( ) ( )      ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＜ 【分析】一个数（0除外），乘小于1（0除外）的数，积比原数小；乘大于1（0除外）的数，积比原数大；乘1等于原数，乘0的结果是0，据此填空。 【详解】＜1，＜      ＞1，＞ ＝      ＜ 考点八：倒数的认识 【典例精讲】的倒数是 ， 与0.25互为倒数。 【答案】 4 【分析】求分数倒数的方法：分子和分母互换位置即可；求小数倒数的方法：先将小数化为分数，再分子和分母互换位置即可。 【详解】的倒数是； 0.25＝，的倒数是4，4与0.25互为倒数。 【变式训练】( )的倒数是1，( )的倒数比它本身大1.5。 【答案】 1 /0.5 【分析】倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 ①整数的倒数是将这个整数作为分母，1作为分子的分数。1的倒数是＝1； ②假设所求的数是（、是非0整数），那么它的倒数是。因为比大1.5，所以是真分数即＞。因为即，所以即。当时，2的因数是1和2，此时，，满足分子，所以。 【详解】根据分析： 因为＝1，所以1的倒数是1。 假设所求的数是（、是非0整数），那么它的倒数是。 ＝ ＝ 因为比大1.5，所以是真分数即＞； 所以＝1.5＝； 所以当时，因为1×2＝2，此时，； 满足分子； 所以。 1的倒数是1，的倒数比它本身大1.5。 【变式训练】因为1××＝1，所以1、和互为倒数。( ) 【答案】× 【分析】根据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数。倒数只是针对两个数，因此“互为倒数”的说法不适用于三个数。 【详解】1××＝1，是三个因数的积等于1，不符合倒数的定义，所以不能说1、和互为倒数。故原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】与( )互为倒数；( )的倒数是它本身。 【答案】 1 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，求分数的倒数可以将原分数的分子与分母互换位置即可；1的倒数是1，据此解答。 【详解】根据分析：与互为倒数；1的倒数是它本身。 考点九：与倒数有关的综合计算 【典例精讲】6×( )＝1.2×( )＝×( )＝×( )＝1。 【答案】 /4.5 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可。或者根据一个因数＝积÷另一个因数解答即可。 【详解】1÷6＝； 1÷1.2＝1÷1÷＝； 的倒数是，即×＝1； ＝，的倒数是，×＝1 即：6×＝1.2×＝×＝×＝1。 【变式训练】4×( )＝( )×0.1＝( )×＝＋( )＝1。 【答案】 /0.25 10 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，前3空可根据求倒数的方法解答。求倒数的方法：①求一个真分数或假分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母调换位置；②也可以根据倒数的定义，用1来除以这些数。 加上一个数等于1，则这个数等于，据此填写最后一个空。 【详解】 的倒数是 所以，。 【变式训练】已知，且a，b，c都大于0，那么a，b，c中最大的是（    ）。 A．a B．b C．c D．不确定 【答案】A 【分析】根据题意，a，b，c都大于0，可以假设＝1，根据乘积是1的两个数互为倒数，一个非0的数，除以它本身，结果等于1，推算出a、b、c分别是多少，再比较它们的大小，选择最大的即可。 【详解】假设＝1， 所以a＝，b＝，c＝ ＝，＝，＝，那么＞＞，所以a，b，c中最大的是a。 故答案为：A 【变式训练】如果和两个数互为倒数，那么( )，( )。 【答案】 6 【分析】根据相乘等于1的两个数，互为倒数，由此可知xy＝1。根据分数乘分数等于两个分数的分子相乘为结果的分子，分母乘分母为结果的分母，将xy＝1，代入计算结果即可。除以一个数，等于乘它的倒数，再根据分数乘分数，计算出结果后，将xy＝1，代入计算结果即可。 【详解】因为和两个数互为倒数，所以xy＝1， 所以，。 考点十：自然数与倒数的和或差问题 【典例精讲】一个自然数，加上自己的倒数后，仍得到一个自然数，则原数是( )。 【答案】1 【分析】1的倒数还是1，1＋1＝2，2还是自然数，据此解答即可。 【详解】根据分析：一个自然数，加上自己的倒数后，仍得到一个自然数，则原数是1。 【点睛】此题主要考查了倒数的含义以及应用，要熟练掌握 【变式训练】一个非零自然数与它的倒数的和一定大于1。( ) 【答案】√ 【分析】一个非零自然数分为两类，大于1、等于1，大于1的数的倒数小于1，等于1倒数是1，据此分析它们的和与1的大小关系。 【详解】大于1的数的倒数小于1，它们的和：大于1的数＋小于1的数＞1； 等于1倒数是1，1＋1＝2＞1； 所以一个非零自然数与它的倒数的和一定大于1，此说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查倒数的意义，解答此题应注意0没有倒数，1的倒数是1。 【变式训练】如果两个自然数的倒数和是，那么这两个自然数是（    ）。 A．4和9 B．3和8 C．2和9 D．1和10 【答案】A 【分析】假设出这两个自然数，表示出它们的倒数之和，找出两个自然数之间的关系，即可求出这两个自然数。 【详解】假设这两个自然数分别为m和n，则m的倒数为，n的倒数为。 ＋＝＝，则m＋n＝13，且mn＝36。 当m＝1，n＝12时，mn＝1×12＝12≠36； 当m＝2，n＝11时，mn＝2×11＝22≠36； 当m＝3，n＝10时，mn＝3×10＝30≠36； 当m＝4，n＝9时，mn＝4×9＝36； 当m＝5，n＝8时，mn＝5×8＝40≠36； 当m＝6，n＝7时，mn＝6×7＝42≠36；所以这两个自然数为4和9。 故答案为：A 【点睛】本题也可以根据选项用排除法快速找出正确答案。 【变式训练】0.6的倒数是( )；一个数与它倒数的差是0，这个数是( )。 【答案】 1 【分析】互为倒数的两个数乘积为1，可用1除以这个数得到它的倒数；一个数与它倒数的差是0，说明这个数等于它的倒数，只有1符合条件。据此可得出答案。 【详解】0.6的倒数是：；一个数与它倒数的差是0，这个数是1。 综合训练 1．有轨电车开到狮子山站时，车上人数的先下车后，又上来这时车上人数的，上车人数和下车人数比较，（    ）。 A．同样多 B．上车人多 C．下车人多 D．无法确定 【答案】C 【分析】把原来车上的总人数看作单位“1”，下车人数是车上人数的，即下车人数占原来车上人数的，此时车上还剩下的人数是原来车上人数的：1－＝；又上来这时车上人数的，也就是上车人数是的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，可得上车人数占原来车上人数的：×＝；最后比较和的大小即可。 【详解】1－＝ ×＝ 因为＝，＞，因此＞，即下车人数多。 故答案为：C 2．将如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则xy＝（    ）。 A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图可知，属于正方体展开图的“2－3－1”结构，折叠成正方体，x面对应0.25面，y面对应 面，1面对应空白面；根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，据此求出x的值和y的值，进而求出xy的值。 【详解】x面与0.25面相对；y面与面相对。 0.25＝ ，的倒数是4；所以x＝4； ＝，的倒数是，所以y＝。 xy＝4×＝ 展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则xy＝。 故答案为：D 3．两根2米长的铁丝，第一根用去了，第二根用去了米，（    ）根用去的铁丝长。 A．第一根 B．第二根 C．同样长 D．无法比较 【答案】C 【分析】解答这道题需明确：求一个数的几分之几是多少，用乘法。题目中两根2米长的铁丝，第一根用去了，就表示第一根用去了2米的，用求出第一根用去的长度，和第二根用去的长度作比较即可。据此解答。 【详解】根据分析： （米） 所以第一根用去了米。 第二根也用去了米，所以两根铁丝用去的同样长。 故答案为：C 4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自《庄子·天下篇》，意思是一尺长的木棍每天截取剩下部分的一半，永远也截取不完。按此方法，截取3天后，剩余木棍的长度是原来的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，每天截取剩余部分的一半，原长为单位“1”，即每天剩余长度是前一天的一半。经过三天，剩余长度是原长的 。 【详解】假设木棍原长为1。 第一天截取后，剩余长度为：。 第二天截取后，剩余长度为：。 第三天截取后，剩余长度为：。 因此，剩余长度是原来的 。 故答案为： C 5．两堆质量相等的玉米，第一堆运走，第二堆运走。已知第二堆剩下的玉米多，那么原来每堆玉米的质量（    ）。 A．大于1t B．小于1t C．等于1t D．等于3t 【答案】B 【分析】第一堆玉米剩下的质量＝原来的质量-，第二堆玉米剩下的质量＝原来的质量×＝×原来的质量，可据此使用假设法做题。 【详解】当原来的质量大于1t时，假设等于3t时，第一堆玉米剩下的质量＝，第二堆玉米剩下的质量＝，，所以第一堆玉米剩下的质量大于第二堆玉米剩下的质量，选项A、D错误； 当原来的质量小于1t时，假设等于，第一堆玉米剩下的质量＝，第二堆玉米剩下的质量＝，，所以第一堆玉米剩下的质量小于第二堆玉米剩下的质量，选项B正确； 当原来的质量等于1t时，两堆玉米剩下的质量相等，选项C错误。 故答案为：B 6．小虎在计算时，错当成进行计算，这样小虎计算出的结果与正确的结果相差（    ）。 A．5 B．4a C．5a D．6a 【答案】B 【分析】利用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将写成，再与作差。 【详解】 ＝ －（） ＝－a－ ＝4a 即：小虎计算出的结果与正确的结果相差4a。 故答案为：B 7．把0.6升水倒入8个小杯和1个大杯，正好都倒满，小杯容量是大杯的。小杯容量是( )毫升，大杯容量是( )毫升。 【答案】 50 200 【分析】先将0.6升换算成600毫升。设一个大杯的容量是毫升，那么小杯的容量是毫升（求一个数的几分之几是多少，用乘法计算）。根据等量关系式“小杯容量×8＋大杯容量×1＝600”列出方程并求解。 【详解】解：设一个大杯的容量是毫升，那么小杯的容量是毫升。 （毫升） 把0.6升水倒入8个小杯和1个大杯，正好都倒满，小杯容量是大杯的。小杯容量是50毫升，大杯容量是200毫升。 8．公顷＝( )平方米    5050立方厘米＝( )升 【答案】 6000 5.05// 【分析】根据进率：1公顷＝10000平方米，1升＝1000立方厘米；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）×10000＝6000（平方米），所以公顷＝6000平方米； （2）5050÷1000＝5.05（升），所以5050立方厘米＝5.05升。 9．“古稀”“花甲”“不惑”都是古代对年龄的雅称。“古稀”表示的年龄是70岁，“花甲”表示的年龄是“古稀”的，“不惑”表示的年龄是“花甲”的，是( )岁，“不惑”表示( )岁。 【答案】 60 40 【分析】已知“古稀”表示70岁，“花甲”表示的年龄是“古稀”的，把“古稀”表示的年龄看作单位“1”，单位“1”已知，用“古稀”表示的年龄乘，求出“花甲”表示的年龄；已知“不惑”表示的年龄是“花甲”的，把“花甲”表示的年龄看作单位“1”，单位“1”已知，用“花甲”表示的年龄乘，求出“不惑”表示的年龄。 【详解】70×＝60（岁） 60×＝40（岁） 所以“花甲”表示60岁，“不惑”表示40岁。 10．根据“实际用水量比原计划节约”求节约的用水量，这里把 看作单位“1”，数量关系是： 用水量 的用水量。 【答案】 原计划用水量 原计划 节约 【分析】“比”后面的量通常是单位“1”，所以这里把原计划用水量看作单位“1”。 实际用水量比原计划节约，则节约的用水量是原计划用水量的，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，所以数量关系是：原计划用水量节约的用水量。 【详解】根据“实际用水量比原计划节约”求节约的用水量，这里把原计划用水量看作单位“1”，数量关系是：原计划用水量节约的用水量。 11．一本故事书共120页，小明第一天看了全书的，第二天又看了全书的。小明第三天应从( )页看起。 【答案】 71 【分析】要求小明第三天应从哪一页看起，需要先计算出前两天一共看了多少页。第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 ，分别用总页数乘分数得到两天看的页数，相加后得到已看页数，第三天应从已看页数的下一页开始，因此加1即可。 【详解】（页） （页） （页） （ 页） 小明第三天应从第71页看起。 12．江江家原来每天用水吨。开展节水活动后，江江家每天用水量比原来节约了，照这样计算，11月份江江家一共节约了( )吨水。 【答案】4 【分析】把原来每天用水的重量看作单位“1”，节水活动后，江江家每天用水量比原来节约了，用原来每天用水的重量×，求出每天节用水的重量；11月份是30天，再用每天节约用水的重量×30，即可解答。 【详解】××30 ＝×30 ＝4（吨） 11月份江江家一共节约了4吨。 13．直接写得数。                                                                                【答案】；0.09；；0；； ；0.001；；；2 【解析】略 14．计算下面各题。                     【答案】；；； 【分析】分数乘整数：通常先约分再计算， 分数乘分数时，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的要先约分再计算。 分数相加减时，异分母应先通分再进行计算即可 。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 15．看图列式计算。 【答案】120××＝40（只） 【分析】由图可知，鸡有120只，鸭的只数是鸡的，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，所以鸭有120×＝100只；鹅的只数是鸭的，用鸭的只数乘即可求出鹅的只数。据此解答。 【详解】120×× ＝100× ＝40（只） 所以鹅有40只。 16．我国歼－20战斗机机身长约21米，翼展比机身长的少1米，翼展约多少米？ 【答案】13米 【分析】根据题意，把机身长看作单位“1”，用机身的长度乘再减去1米，就是翼展约多少米。 【详解】21×＝14（米） 14－1＝13（米） 答：翼展约13米。 17．超市购进一批水果，其中苹果有360千克，梨的质量是苹果的，香蕉比梨多，超市购进香蕉多少千克？ 【答案】400千克 【分析】已知梨的质量是苹果的，是把苹果的质量看作单位“1”，已知苹果的质量是360千克，用360×求出梨的质量；又知香蕉比梨多，是把梨的质量看作单位“1”，香蕉的质量是梨的（1＋），用梨的质量×（1＋）求出香蕉的质量。 【详解】360××（1＋） ＝360×× ＝300× ＝400（千克） 答：超市购进香蕉400千克。 18．水果店运来苹果600千克，运来的梨是苹果的，运来的橘子是梨的，运来的橘子有多少千克？ 【答案】 160千克 【分析】是把苹果的质量看作单位“1”，是把梨的质量看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”先用600乘计算出梨的质量；再用梨的质量乘即可计算橘子的质量。 【详解】 ＝ ＝160（千克） 答：运来的橘子有160千克。 19．某社区开展“绿色生活”活动，计划在一块2400平方米的空地上进行建设。第一天完成了总面积的作为绿化区，第二天将总面积的建成了休闲广场，其余区域用于设置垃圾分类站。垃圾分类站的面积是多少平方米？ 【答案】300平方米 【分析】将这块空地的总面积看作单位“1”，用单位“1”减去绿化区和休闲广场占总面积的分率，得到剩余面积占总面积的分率，即垃圾分类站占总面积的分率；再根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”，用总面积乘垃圾分类站占总面积的分率，得到垃圾分类站的面积。 【详解】1－－ ＝－ ＝ 2400×＝300（平方米） 答：垃圾分类站的面积是300平方米。 20．快递行业飞速发展，物流自动化已是大势所趋。某物流分拣站原来分拣10万件货物需要12小时，实现自动化后，现在分拣10万件货物需要的时间是原来的，现在分拣10万件货物需要多少小时？ 【答案】小时 【分析】解答这道题需明确：求一个数的几分之几是多少，用乘法。题目中已知某物流分拣站原来分拣10万件货物需要12小时，实现自动化后，现在分拣10万件货物需要的时间是原来的，求现在分拣10万件货物需要多少小时就是求12小时的是多少，其中的10万件为无用条件。据此解答。 【详解】（小时） 答：现在分拣10万件货物需要小时。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $