第六单元 三角形、平行四边形和梯形讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

该小学数学“三角形、平行四边形和梯形”单元复习讲义通过知识梳理模块系统构建知识体系，以框架图形式呈现三角形（定义、分类、三边关系等）、平行四边形和梯形的核心概念及特性，用包含关系图明确图形间逻辑联系，突出三角形稳定性、内角和等重难点。 讲义亮点在于“考点讲练+变式训练”设计，如考点四通过等腰三角形边长问题培养推理意识，综合训练结合篱笆围梯形等生活情境发展应用意识。典例与变式适配不同层次学生，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习提升空间观念。

第六单元 三角形、平行四边形和梯形 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、三角形的认识与特性 2 二、三角形的分类 2 三、三角形的三边关系与内角和 2 四、三角形的高 3 五、平行四边形的认识与特性及高 3 六、梯形的认识与特性及高 3 七、图形之间的关系 4 考点讲练 4 考点一：三角形的概念及表示方式 4 考点二：三角形的高及画法 5 考点三：三角形的稳定性及应用 5 考点四：三角形的三边关系 6 考点五：三角形的内角和 7 考点六：三角形的分类 8 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 9 考点八：画三角形 10 考点九：平行四边形的概念及特点 11 考点十：平行四边形的不稳定性及应用 12 考点十一：平行四边形的高及画法 12 考点十二：画平行四边形 13 考点十三：梯形的概念及特点 15 考点十四：梯形的高及画法 16 考点十五：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 17 考点十六：画梯形 18 综合训练 20 知识梳理 一、三角形的认识与特性 1.定义：由3条线段首尾相连围成的封闭图形叫做三角形。 2.各部分名称：三角形有3个顶点、3条边、3个角。顶点用大写字母表示（如顶点A、B、C），边用顶点字母组合表示（如边AB、BC、AC），角用“∠”加顶点字母表示（如∠A、∠B、∠C）。 3.特性：三角形具有稳定性（如自行车车架、屋顶桁架利用此特性）。 二、三角形的分类 （一）按角分类 1.锐角三角形：3个角都是锐角（每个角都小于90°）的三角形。 示例：三个角分别为50°、60°、70°的三角形。 2.直角三角形：有1个角是直角（等于90°），另外2个角是锐角的三角形。 特性：直角所对的边叫做斜边，斜边是直角三角形中最长的边；另外两条边叫做直角边。 示例：三个角分别为90°、30°、60°的三角形。 3.钝角三角形：有1个角是钝角（大于90°且小于180°），另外2个角是锐角的三角形。 示例：三个角分别为100°、30°、50°的三角形。 （二）按边分类 1.不等边三角形（普通三角形）：3条边都不相等的三角形。 2.等腰三角形：有2条边相等的三角形。 特性：相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底；两腰所对的角叫做底角，底所对的角叫做顶角；两底角相等（如腰长5cm，底长3cm的等腰三角形，底角相等）。 3.等边三角形（正三角形）：3条边都相等的三角形。 特性：3个角都相等，且每个角都是60°；是特殊的等腰三角形（腰和底相等）。 三、三角形的三边关系与内角和 1.三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。 应用：判断三条线段能否围成三角形（如线段长度3cm、4cm、5cm，3+4>5，3+5>4，4+5>3，能围成三角形；若线段2cm、3cm、6cm，2+3=5<6，不能围成）。 2.内角和：三角形的内角和是180°。 验证方法：将三角形的三个角剪下来，拼成一个平角（180°）。 应用：已知两个角求第三个角（如直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角为180°-90°-35°=55°）。 四、三角形的高 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 2.特点：一个三角形有3条高（每个顶点对应一条高）。 锐角三角形：3条高都在三角形内部。 直角三角形：两条直角边互为底和高，第三条高在三角形内部。 钝角三角形：一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部（需延长对边）。 五、平行四边形的认识与特性及高 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.各部分名称：相对的边叫做对边，相对的角叫做对角；相邻的边叫做邻边，相邻的角叫做邻角。 3.特性： 对边平行且相等（如平行四边形ABCD中，AB平行且等于CD，AD平行且等于BC）。 对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D）。 易变形（不稳定性，如伸缩门、升降机利用此特性）。 4.高：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 特点：平行四边形有无数条高（同一底上有无数条高，长度相等）。 六、梯形的认识与特性及高 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2.各部分名称：平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常较短的边为上底，较长的为下底），不平行的一组对边叫做梯形的腰。 3.特殊梯形： 等腰梯形：两腰相等的梯形。特性：同一底上的两个角相等（如上底两端的角相等，下底两端的角相等）。 直角梯形：有一个角是直角的梯形。特性：有两个直角（与直角相邻的一条腰垂直于上底和下底，这条腰也是梯形的高）。 4.高：从上底的一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 特点：梯形有无数条高（所有高的长度相等）。 七、图形之间的关系 1.四边形的关系：三角形、平行四边形、梯形都属于多边形，其中平行四边形和梯形是特殊的四边形（四边形内角和为360°，可通过分成两个三角形验证：180°×2=360°）。 2.特殊平行四边形： 长方形：有4个直角的平行四边形（对边平行且相等，4个角都是90°）。 正方形：有4个直角且4条边都相等的平行四边形（是特殊的长方形，也是特殊的菱形）。 3.包含关系：正方形⊂长方形⊂平行四边形⊂四边形；等边三角形⊂等腰三角形⊂三角形。 考点讲练 考点一：三角形的概念及表示方式 【典例精讲】数一数，填一填。 共有( )个三角形     共有( )个三角形     共有( )个三角形 【变式训练】三条线段首尾( )围成的图形叫作三角形。三角形有( )个角，( )条边，( )个顶点。 【变式训练】下边的两条平行线上分别有2个点和3个点，以这些点为顶点，一共可以组成（    ）个三角形。 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练】用硬纸条和图钉做一个三角形，至少要用( )根硬纸条和( )枚图钉。 考点二：三角形的高及画法 【典例精讲】画出下面三角形指定底边上的高。 【变式训练】画出每个三角形指定底边上的高。 【变式训练】画出下面三角形底边上的高。 【变式训练】一个三角形最多可以画（    ）高。 A．一条 B．两条 C．三条 D．无数条 考点三：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】下面这张桌子，要想使它长期使用腿不摇晃，你能想出加固方法吗？在图中画出加固方法。 【变式训练】古时候房屋的建造中，一般都有“人字梁”，可能的原因是（    ）。 A．三角形内角和180° B．利用三角形的稳定性（不易变形）使房屋更牢固 C．三角形两边之和大于第三条边 【变式训练】三角形的稳定性是指（    ）。 A．它的三条边确定后，只是它的大小不会变化 B．它的三条边确定后，只是它的形状不会变化 C．它的三条边确定后，它的大小和形状都不会变化 D．三角形的周长不变 【变式训练】下面事物中没有利用三角形稳定性设计的是（    ）。 A． B． C． 考点四：三角形的三边关系 【典例精讲】一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和11厘米，它的周长是( )厘米。 【变式训练】现有3cm，4cm长的小棒各1根，请你再选1根长度是整厘米的小棒，围成的三角形的周长最长是( )cm，最短是( )cm。 【变式训练】有两根长20分米和两根50分米的木条，用其中的三根围成一个等腰三角形，所得等腰三角形的周长是多少分米？ 【变式训练】一个等腰三角形两条边的长度分别是5厘米和11厘米，王丽说“它的第三条边可能是5厘米，也可能是11厘米。”她的说法是( )的。（填“正确”或“错误”）理由是( )。 考点五：三角形的内角和 【典例精讲】如图，等腰三角形的一个底角是70度，它的顶角是多少度？ 【变式训练】下列说法中不正确的是（    ）。 A．钝角三角形中只有一个钝角 B．直角三角形中可能有两个直角 C．锐角三角形有三个锐角 【变式训练】如图，一块三角形玻璃破了一部分，那破了的那个角是( )°，这块三角形玻璃是( )三角形。 【变式训练】小华画了一个直角三角形，然后又把一条边延长了一段（如下图），经过测量，小华知道了∠1＝54°。请你算一算，∠3的度数是多少？ 考点六：三角形的分类 【典例精讲】已知一个等腰三角形，其中一个角是40°，关于这个等腰三角形，下面说法正确的是（    ）。 A．它的底角一定是40° B．若将它对折剪开得到两个三角形，这两个三角形可能是等边三角形 C．这个等腰三角形的三个角可能是40°、40°、100° 【变式训练】一个三角形中∠1＝30°，∠2＝50°，那么∠3＝( )°，这是一个( )三角形。 【变式训练】在下面的点子图上画出一个锐角三角形。 【变式训练】有编号①、②、③的三个三角形都被一张纸遮住了一部分，露出的一个角都是70°（如下图）。还知道这三个三角形另外有一个角分别为30°、40°、55°，是等腰三角形的那么编号为( )。 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】下图中( )和( )可以拼成一个等腰三角形；( )和( )可以拼成一个等边三角形。 【变式训练】一个等腰三角形的周长是30厘米，其中一条边长是6厘米，这个等腰三角形的腰和底各是多少厘米？ 【变式训练】一根铁丝正好可以围成一个边长为6厘米的等边三角形。如果改围成一个腰长是5厘米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的底边长是多少厘米？ 【变式训练】小明家有一块等腰三角形形状的菜地，菜地两条边的长度分别是15米和30米。小明想用篱笆把菜地圈起来，篱笆长多少米？ 考点八：画三角形 【典例精讲】按要求在下面的方格中画三角形，并画出它们所有的对称轴。 （1）既是等腰三角形，又是锐角三角形。 （2）既是等腰三角形，又是直角三角形。 （3）既是等腰三角形，又是钝角三角形。 【变式训练】如图每个小方格表示1cm2，利用上面的发现（只要两个三角形底 相等 ，高相等 ，它们的面积就相等。）画出两个与已知三角形面积相等形状不同的三角形。 【变式训练】画一个锐角三角形。 【变式训练】以下面方格纸上的线段AB作为三角形的底，画一个高为4cm的三角形，并标出高。（每个格子边长是1cm）。 考点九：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长6厘米，就成了一个平行四边形，那么这个梯形的上底是（    ）厘米。 A．2 B．3 C．4 D．无法判断 【变式训练】用下面两个完全一样的三角形，可以拼成( )种不同的平行四边形。 【变式训练】如图，两个完全相同的直角三角形拼成一个( )形，则所拼图形的底是( )厘米，高是( )厘米。 【变式训练】能围成一个平行四边形的4根小棒是（    ）。 A． B． C． 考点十：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】以下物体没有用到三角形稳定性知识的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】王大爷要给一块菜地围上篱笆，下面篱笆中稳定性最好的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】平旺公园的电动伸缩门采用平行四边形结构，这是因为平行四边形（    ），房顶的人字梁做成三角形结构是因为三角形（    ）。 A．具有稳定性；美观大方 B．美观大方；节省材料 C．节省材料；具有稳定性 D．容易变形；具有稳定性 【变式训练】学校门口的伸缩门是利用平行四边形的稳定性原理制作的。( ) 考点十一：平行四边形的高及画法 【典例精讲】如图，图中每个小正方形的边长表示1厘米，如果把图中阴影部分的三角形向右平移( )厘米，就可以把平行四边形转化成一个长方形。那么，长方形的长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【变式训练】一个平行四边形相邻两条边的长度分别是8厘米和11厘米，已知它的一条高是9厘米，那么这条高所对应的底是( )厘米。     【变式训练】平行四边形相邻两条边的长度分别是8厘米和5厘米，一条高是6厘米，这条高所对应的底边长度是（    ）。 A．5厘米 B．8厘米 C．5厘米和8厘米都有可能 【变式训练】如图，将两张长是10厘米，宽是2厘米的长方形纸交叉摆放，重叠部分的高是( )厘米。 考点十二：画平行四边形 【典例精讲】按要求画图。 【变式训练】在方格纸上画一个底4厘米、高3厘米的三角形，一个底3厘米、高4厘米的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） 【变式训练】在下面的方格纸上画一个底和高都是4厘米的平行四边形。（每个小正方形的边长均是1厘米） 【变式训练】在方格纸上画出面积是8平方厘米的平行四边形、三角形各1个。 考点十三：梯形的概念及特点 【典例精讲】下列能正确表示它们之间关系的是（    ）。 A．①② B．②③④ C．①③ D．①②③④ 【变式训练】下面表述正确的是（    ）。 A．平行四边形是轴对称图形； B．有一组对边平行的四边形是梯形。 C．从平行四边形和梯形的一个顶点出发都可以画两条高 D．把平行四边形剪拼成长方形，面积不变，周长变短。 一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形；只有一组对边平行的四边形是梯形；平行四边形和梯形的高，可以从一组平行线一个顶点出发向另一平行边画垂线即为高，所以从平行四边形和梯形的一个顶点出发只可以画1条高；把平行四边形剪拼成长方形，，此时面积不变，原来平行四边形的长是由两组对边之和，长方形的两条长跟平行四边形的一组对边平行，长方形的宽小于平行四边形的另一组对边，所以长方形周长＜平行四边形周长，据此解题。 【变式训练】拼一拼、画一画。用下面的梯形（图1）利三角形（图2）拼成一个四边形，并将拼成的四边形画在下面右边的方格纸上。 【变式训练】同学们借助点子图研究一个问题：在梯形中画一条线段，将梯形分成两个图形，画出的这条线段能将梯形分成两个什么图形？下面的想法错误的是（    ）。 A．能将这个梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 B．能将这个梯形分成两个平行四边形。 C．能将这个梯形分成两个三角形。 考点十四：梯形的高及画法 【典例精讲】分别画出三角形、平行四边形和梯形指定底边上的高。 【变式训练】画出下面各个图形底边上的高。 【变式训练】画出下面图形底边上的高。 【变式训练】画出并量出下面每个图形指定底的高。 考点十五：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】如图，用四根小棒围成一个直角梯形，这个梯形的高是( )厘米，从这四根中拿走( )厘米的小棒，剩下的3根不能围成三角形。 【变式训练】用三个完全一样的等腰三角形可以拼成一个等腰梯形（如图）。已知每个等腰三角形的周长是16厘米，等腰梯形的周长是24厘米。那么，这个等腰梯形的上底是( )厘米，一条腰长是( )厘米。 【变式训练】李叔叔有一块等腰梯形菜地，梯形的一条腰比上底长3米，给这块菜地围上篱笆，菜地一周的篱笆长多少米？ 【变式训练】有一块田地呈等腰梯形，它的下底是4厘米，一条腰是3厘米。若将这个等腰梯形的上底增加2厘米，等腰梯形就变成了一个平行四边形，这个等腰梯形的周长是( )厘米。 考点十六：画梯形 【典例精讲】在下面的方格纸上画一个上底是4厘米、下底是7厘米、高是3厘米的梯形。（每个小正方形的边长均是1厘米） 【变式训练】如图，假设每个小方格的边长都是1厘米，请根据要求画图形。 （1）画一个底是5厘米，高是4厘米的等腰三角形。 （2）画一个底是5厘米，高是4厘米的平行四边形。 （3）画一个上底是3厘米、下底是5厘米、高是4厘米的直角梯形。 【变式训练】在下面的方格纸上画三个图形：①上底是4厘米、下底是7厘米、高是5厘米的直角梯形；②高是3厘米的等腰梯形；③底和高都是5厘米的平行四边形。（每个小方格的边长表示1厘米） 【变式训练】下面方格图中每个小方格的边长是1厘米，请根据要求画出指定的图形。 以线段a为一条边，画出一个高2厘米、底3厘米的三角形； 以线段b为一条边，画出一个高和底都是3厘米的平行四边形； 以线段c为一条边，画出一个高2厘米、下底是上底长度2倍的梯形。 综合训练 1．一个三角形，其中两条边的长度分别是5厘米和19厘米，第三条边的长度可能是（    ）。 A．10厘米 B．14厘米 C．20厘米 D．24厘米 2．认识了图形，老师和同学们玩一个“听指令做记号”的数学游戏，指令对就在图形上做一个记号，图形（    ）做记号的次数最多。 指令 ①四边形  ②两组对边分别平行 ③有钝角  ④邻边一定相等 A．长方形 B．平行四边形 C．三角形 D．梯形 3．某建筑工人要做一个三角形的钢架，已经找到两根钢材，第一根长5米，第二根长9米，第三根钢材可能长（    ）米。 A．3 B．4 C．13 D．15 4．丁丁的凳子腿摇晃了，要想办法加固一下，下列加固方法中效果比较好的是（    ）。 A． B． C． D． 5．一辆汽车从A地出发，先向B地行驶，再向C地行驶，最后回到A地（如图），AC的距离可能是（    ）千米。 A．53 B．26 C．21 D．18 6．把一根10厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形。第一剪不符合要求的是（    ）。 A． B． C． D． 7．把一根长度为21厘米的小棒，先截成三段整厘米数的小棒，再围成一个三角形。那么这三根小棒中最长的一根最多是 厘米。 8．用细木条钉成一个长方形框，长16厘米，宽9厘米，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长是( )厘米。 9．用一张长42厘米，宽16厘米的红纸，最多能做( )面直角边是4厘米的等腰三角形小旗。 10．一个等腰三角形，一条边长10厘米，另一条边长5厘米，要围成这样一个三角形至少要( )厘米铁丝。 11．一个等腰三角形的顶角是120°（如图），按角分类，这是一个 三角形；沿底边上的高把它对折后，得到两个直角三角形，每个直角三角形中两个锐角分别是 °和 °。 12．下图是由两个不同的正方形组成的，其中涂色部分组成的图形( )平行四边形。（填“是”或“不是”） 13．有一个等腰三角形的花圃，一条边长60米，另一条边长120米。乐乐每分钟走60米，她沿着花圃走一圈要多长时间？ 14．在一个三角形中，最大的角的度数是另外两个较小角的度数和的3倍。这个三角形中最大的角是多少度？ 15．如图，在一个三角形纸板中，∠C＝90°，小宇将这个纸板沿线段DE剪去一个角后变成四边形ABED，那么图中∠1＋∠2是多少度？ 16．从小强家到体育馆有几条路线？哪条路线最近？ 17．某小学有一块草坪，由三个大小不同的等边三角形组成（如图）。从甲点到乙点，怎样走最近？哪两条路一样长？为什么？ 18．两只蚂蚁从平行四边形（如图）中的点A出发，大蚂蚁从点A经过点D爬向点C，小蚂蚁从点A经过点B爬向点C。大蚂蚁的速度是30厘米/分，爬了5分钟到达点C。小蚂蚁爬了6分钟到达点C，速度是多少厘米/分？ 19．李伯伯用篱笆靠墙围了一块梯形种植园，种植园的上底长6米，下底长14米，两腰各长7米，但李伯伯只用了20米长的篱笆，你知道李伯伯是怎么围的吗？（要求：根据你的理解先画出篱笆的示意图，再列式解答） 20．用一根185厘米的铁丝正好围成了一个等腰梯形，梯形的上底是21厘米，下底是54厘米，它的一条腰长多少厘米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 三角形、平行四边形和梯形 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、三角形的认识与特性 2 二、三角形的分类 2 三、三角形的三边关系与内角和 2 四、三角形的高 3 五、平行四边形的认识与特性及高 3 六、梯形的认识与特性及高 3 七、图形之间的关系 4 考点讲练 4 考点一：三角形的概念及表示方式 4 考点二：三角形的高及画法 6 考点三：三角形的稳定性及应用 8 考点四：三角形的三边关系 10 考点五：三角形的内角和 13 考点六：三角形的分类 15 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 17 考点八：画三角形 20 考点九：平行四边形的概念及特点 23 考点十：平行四边形的不稳定性及应用 24 考点十一：平行四边形的高及画法 26 考点十二：画平行四边形 28 考点十三：梯形的概念及特点 31 考点十四：梯形的高及画法 34 考点十五：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 36 考点十六：画梯形 39 综合训练 43 知识梳理 一、三角形的认识与特性 1.定义：由3条线段首尾相连围成的封闭图形叫做三角形。 2.各部分名称：三角形有3个顶点、3条边、3个角。顶点用大写字母表示（如顶点A、B、C），边用顶点字母组合表示（如边AB、BC、AC），角用“∠”加顶点字母表示（如∠A、∠B、∠C）。 3.特性：三角形具有稳定性（如自行车车架、屋顶桁架利用此特性）。 二、三角形的分类 （一）按角分类 1.锐角三角形：3个角都是锐角（每个角都小于90°）的三角形。 示例：三个角分别为50°、60°、70°的三角形。 2.直角三角形：有1个角是直角（等于90°），另外2个角是锐角的三角形。 特性：直角所对的边叫做斜边，斜边是直角三角形中最长的边；另外两条边叫做直角边。 示例：三个角分别为90°、30°、60°的三角形。 3.钝角三角形：有1个角是钝角（大于90°且小于180°），另外2个角是锐角的三角形。 示例：三个角分别为100°、30°、50°的三角形。 （二）按边分类 1.不等边三角形（普通三角形）：3条边都不相等的三角形。 2.等腰三角形：有2条边相等的三角形。 特性：相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底；两腰所对的角叫做底角，底所对的角叫做顶角；两底角相等（如腰长5cm，底长3cm的等腰三角形，底角相等）。 3.等边三角形（正三角形）：3条边都相等的三角形。 特性：3个角都相等，且每个角都是60°；是特殊的等腰三角形（腰和底相等）。 三、三角形的三边关系与内角和 1.三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。 应用：判断三条线段能否围成三角形（如线段长度3cm、4cm、5cm，3+4>5，3+5>4，4+5>3，能围成三角形；若线段2cm、3cm、6cm，2+3=5<6，不能围成）。 2.内角和：三角形的内角和是180°。 验证方法：将三角形的三个角剪下来，拼成一个平角（180°）。 应用：已知两个角求第三个角（如直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角为180°-90°-35°=55°）。 四、三角形的高 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 2.特点：一个三角形有3条高（每个顶点对应一条高）。 锐角三角形：3条高都在三角形内部。 直角三角形：两条直角边互为底和高，第三条高在三角形内部。 钝角三角形：一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部（需延长对边）。 五、平行四边形的认识与特性及高 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.各部分名称：相对的边叫做对边，相对的角叫做对角；相邻的边叫做邻边，相邻的角叫做邻角。 3.特性： 对边平行且相等（如平行四边形ABCD中，AB平行且等于CD，AD平行且等于BC）。 对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D）。 易变形（不稳定性，如伸缩门、升降机利用此特性）。 4.高：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 特点：平行四边形有无数条高（同一底上有无数条高，长度相等）。 六、梯形的认识与特性及高 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2.各部分名称：平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常较短的边为上底，较长的为下底），不平行的一组对边叫做梯形的腰。 3.特殊梯形： 等腰梯形：两腰相等的梯形。特性：同一底上的两个角相等（如上底两端的角相等，下底两端的角相等）。 直角梯形：有一个角是直角的梯形。特性：有两个直角（与直角相邻的一条腰垂直于上底和下底，这条腰也是梯形的高）。 4.高：从上底的一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 特点：梯形有无数条高（所有高的长度相等）。 七、图形之间的关系 1.四边形的关系：三角形、平行四边形、梯形都属于多边形，其中平行四边形和梯形是特殊的四边形（四边形内角和为360°，可通过分成两个三角形验证：180°×2=360°）。 2.特殊平行四边形： 长方形：有4个直角的平行四边形（对边平行且相等，4个角都是90°）。 正方形：有4个直角且4条边都相等的平行四边形（是特殊的长方形，也是特殊的菱形）。 3.包含关系：正方形⊂长方形⊂平行四边形⊂四边形；等边三角形⊂等腰三角形⊂三角形。 考点讲练 考点一：三角形的概念及表示方式 【典例精讲】数一数，填一填。 共有( )个三角形     共有( )个三角形     共有( )个三角形 【答案】 6 11 6 【分析】第1个图，单独的1个△有3个，由2个△组成的大△有2个，由3个△组成的大△有1个，把1与2以及3相加，即为△的总个数。 第2个图，单独的1个△有6个，由2个△组成的大△有2个，由3个△组成的大△有2个，由6个△组成的大△有1个，再把所有△的个数相加即可。 第3个图，单独的1个△有4个，由2个△组成的大△有2个，再把4与2相加即可。 【详解】1＋2＋3 ＝3＋3 ＝6（个） 1＋2＋2＋6 ＝3＋2＋6 ＝5＋6 ＝11（个） 4＋2＝6（个） 【变式训练】三条线段首尾( )围成的图形叫作三角形。三角形有( )个角，( )条边，( )个顶点。 【答案】 相接 三/3 三/3 三/3 【详解】三角形是一个封闭的图形，它是由三条线段首尾相接围成的。 角的形成：三条线段两两相交，会形成三个夹角，这就是三角形的三个角。 边的构成：三角形是由三条线段组成的封闭图形，这三条线段就是三角形的三条边。 顶点的确定：每两条线段的交点就是三角形的一个顶点，由于有三条线段，两两相交，所以有三个顶点。 三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有三个角，三条边，三个顶点。 【变式训练】下边的两条平行线上分别有2个点和3个点，以这些点为顶点，一共可以组成（    ）个三角形。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】三个不在同一条直线上的点，依次连接成封闭图形，得到一个三角形。据此，将所有的三角形列举出来，再统计个数即可。 【详解】以这些点为顶点，可以组成的三角形有：三角形ACD，三角形ADE，三角形BCD，三角形BDE，三角形ACE，三角形BCE，三角形ABC，三角形ABD，三角形ABE。所以，一共可以组成9个三角形。 故答案为：D 【变式训练】用硬纸条和图钉做一个三角形，至少要用( )根硬纸条和( )枚图钉。 【答案】 3 3 【分析】根据三角形有3条边，3个顶点解答即可。 【详解】三角形的3条边需要3根硬纸条；然后，将3根硬纸条依次连接起来（纸条末端有重叠部分）；最后用3枚图钉钉在重叠部分。如图： 所以用硬纸条和图钉做一个三角形，至少要用3根硬纸条和3枚图钉。 考点二：三角形的高及画法 【典例精讲】画出下面三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底；据此画图即可。 【详解】作图如下： 【变式训练】画出每个三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。据此画图即可。 【详解】如图： 【变式训练】画出下面三角形底边上的高。 【答案】见详解 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，据此画图即可。 【详解】 【变式训练】一个三角形最多可以画（    ）高。 A．一条 B．两条 C．三条 D．无数条 【答案】C 【分析】根据三角形高的含义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高；因为三角形有3个顶点，所以有3条高；解答即可。 【详解】一个三角形最多可以画三条高； 故答案为：C 考点三：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】下面这张桌子，要想使它长期使用腿不摇晃，你能想出加固方法吗？在图中画出加固方法。 【答案】见详解 【分析】三角形具有稳定性，要想这张桌子长期使用腿不摇晃，可以增加几根木板，在底部构建三角形，据此解题。 【详解】 （答案不唯一） 【变式训练】古时候房屋的建造中，一般都有“人字梁”，可能的原因是（    ）。 A．三角形内角和180° B．利用三角形的稳定性（不易变形）使房屋更牢固 C．三角形两边之和大于第三条边 【答案】B 【分析】三角形具有稳定性：当三角形的三条边长度确定后，其形状和大小就唯一确定了，不会因为外力的作用而轻易改变形状，据此解答即可。 【详解】A．三角形内角和180°，这个性质主要应用在与角度计算相关的数学问题中，在房屋建造使用“人字梁”这件事上，这个性质并不能直接使得房屋更牢固或者对房屋建造起到特殊作用，所以选项A不符合； B．三角形具有稳定性，也就是不易变形的特点。在房屋建造中，“人字梁”的形状构成了三角形结构。利用三角形的稳定性，能够让房屋在承受各种外力作用时，保持结构的相对稳定，不易因外力而变形、损坏，从而使房屋更加牢固，所以选项B符合。 C．三角形两边之和大于第三边，此性质主要用于判断三条线段能否构成三角形，或者在已知三角形部分边长的情况下，确定其他边长的取值范围等方面。在房屋建造使用“人字梁”的情境中，这个性质与房屋结构变得更牢固并没有直接关联，所以选项C不符合。 所以，使用人字梁可能的原因是因为三角形具有稳定性，使房屋更牢固。 故答案为：B 【变式训练】三角形的稳定性是指（    ）。 A．它的三条边确定后，只是它的大小不会变化 B．它的三条边确定后，只是它的形状不会变化 C．它的三条边确定后，它的大小和形状都不会变化 D．三角形的周长不变 【答案】C 【分析】稳定性指物体在受力时形状和大小都不会改变的特性。例如，用三根木条钉成三角形框架后，无论怎样拉扯，框架的形状和大小始终不变，据此即可解题。 【详解】由分析可知： A．它的三条边确定后，只是它的大小不会变化是错误的，因形状改变必然导致大小变化，如拉伸三角形会同时改变形状和面积； B．它的三条边确定后，只是它的形状不会变化是错误的，因形状固定时大小必然固定； C．它的三条边确定后，它的大小和形状都不会变化，该选项正确； D．三角形的周长不变是错误的，周长不变仅说明边长总和不变，但无法保证形状和大小不变。 故答案为：C 【变式训练】下面事物中没有利用三角形稳定性设计的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据物体是否利用三角形的稳定性来进行判断即可解答。 【详解】A．构成了三角形支撑，椅子能稳定立在地上，运用了三角形的稳定性； B．应用了平行四边形的易变形的特征，没有运用三角形的稳定性； C．构成了三角形支撑，能稳固大桥，运用了三角形的稳定性。 故答案为：B 【点睛】考查三角形稳定性在生活中的灵活运用，注意联系生活实际解答。 考点四：三角形的三边关系 【典例精讲】一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和11厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】27 【分析】根据等腰三角形有两条边相等，已知两条边分别为5厘米和11厘米，则等腰三角形的三条边长度是5厘米、5厘米、11厘米或5厘米、11厘米、11厘米。三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边。5＋5＝10（厘米），10＜11，则长度是5厘米、5厘米、11厘米的三条边不能构成三角形；11＋11＝22（厘米），22＞5，11＋5＝16（厘米），16＞11，则长度是5厘米、11厘米、11厘米的三条边可以构成三角形。因此三边为11厘米、11厘米和5厘米，周长为三边之和。 【详解】如果等腰三角形三条边分别是5厘米、5厘米、11厘米，5厘米＋5厘米＝10厘米，10厘米＜11厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，因此不能构成三角形。 如果等腰三角形三条边分别是5厘米、11厘米、11厘米，11厘米 ＋ 11厘米＝22厘米 ，22厘米＞5厘米，11厘米＋5厘米＝16厘米，16厘米 ＞ 11厘米，满足三角形三边关系。因此，三角形的三边分别为11厘米、11厘米和5厘米。 11＋11＋5 ＝22＋5 ＝27（厘米） 则等腰三角形的周长是27厘米。 【变式训练】现有3cm，4cm长的小棒各1根，请你再选1根长度是整厘米的小棒，围成的三角形的周长最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】 13 9 【分析】根据三角形的三条边的关系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，求出第三条边的长度，进而求出周长。据此解答。 【详解】（cm） （cm） 所以第三条边的长度大于1cm小于7cm，又因为长度是整厘米数所以第三条边最长是6cm，最短是2cm。 第三条边最长时，围成的三角形的周长也最长是（cm）； 第三条边最短时，围成的三角形的周长也最短是（cm）。 【变式训练】有两根长20分米和两根50分米的木条，用其中的三根围成一个等腰三角形，所得等腰三角形的周长是多少分米？ 【答案】120分米 【分析】三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。要围成等腰三角形，那么三角形的两条腰长相等。 据此从两根长20分米和两根50分米的木条中选出三根木条（其中有两条要一样长），如果符合三角形的三边关系，即可围成一个等腰三角形，再把三条边的长度相加，求出这个等腰三角形的周长。 【详解】①三根木条分别长20分米、20分米、50分米； 20＋20＝40（分米），40＜50，不符合三角形的三边关系； 所以，20分米、20分米、50分米的三根木条不能围成一个等腰三角形。 ②三根木条分别长20分米、50分米、50分米； 50＋20＝70（分米），70＞50，符合三角形的三边关系； 所以，20分米、50分米、50分米的三根木条能围成一个等腰三角形。 周长：20＋50＋50＝120（分米） 答：所得等腰三角形的周长是120分米。 【变式训练】一个等腰三角形两条边的长度分别是5厘米和11厘米，王丽说“它的第三条边可能是5厘米，也可能是11厘米。”她的说法是( )的。（填“正确”或“错误”）理由是( )。 【答案】 错误 当第三条边是5厘米时，5＋5＜11，无法构成三角形（说法不唯一） 【分析】要判断第三条边能不能是5厘米或11厘米，得记“三角形两边之和大于第三边”的规则。先看若第三条边是5厘米：两条短边5＋5＝10厘米，10比11小，不满足规则；再看若第三条边是11厘米：5＋11＝16厘米（大于11），11＋11＝22厘米（大于5），满足规则。所以第三条边只能是11厘米，王丽说法错。 【详解】假设第三条边是5厘米：检查三角形三边关系，两条较短边之和为5＋5＝10（厘米），10厘米＜11厘米，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，所以第三条边不能是5厘米。 假设第三条边是11厘米：检查三边关系：5＋11＝16（厘米），16厘米＞11厘米；11＋11＝22（厘米），22厘米＞5厘米，满足“三角形任意两边之和大于第三边”，所以第三条边只能是11厘米。 综上，王丽的说法是错误的。理由是：当第三条边是5厘米时，5＋5＜11，无法构成三角形，所以第三条边只能是11厘米，不能是5厘米。 考点五：三角形的内角和 【典例精讲】如图，等腰三角形的一个底角是70度，它的顶角是多少度？ 【答案】40度 【分析】根据题意，等腰三角形特征：两底角相等，依据三角形内角和是180°，用180°减2个底角度数后，求出顶角的度数。列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 答：它的顶角是40度。 【变式训练】下列说法中不正确的是（    ）。 A．钝角三角形中只有一个钝角 B．直角三角形中可能有两个直角 C．锐角三角形有三个锐角 【答案】B 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180度；有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形；有一个角是直角的三角形就是直角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。以此逐项判断选择即可。 【详解】根据分析可知： A．钝角三角形中只有一个钝角，正确。 B．直角三角形中可能有两个直角，不正确，因为三角形的内角和是180度，一个三角形中只有一个直角。 C．三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，正确。 故答案为：B 【变式训练】如图，一块三角形玻璃破了一部分，那破了的那个角是( )°，这块三角形玻璃是( )三角形。 【答案】 68 锐角 【分析】根据三角形内角和是180°，已知另两个角分别是47°和65°，用180°减去47°，再减去65°，就是破损的角的度数；按角分类： 三角形按角分为锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（一个角为90°）和钝角三角形（一个角大于90°）。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 180°－47°－65° ＝133°－65° ＝68° 47°、65°、68°都小于90°，所以这是一个锐角三角形。 如图，一块三角形玻璃破了一部分，那破了的那个角是68°，这块三角形玻璃是锐角三角形。 【变式训练】小华画了一个直角三角形，然后又把一条边延长了一段（如下图），经过测量，小华知道了∠1＝54°。请你算一算，∠3的度数是多少？ 【答案】144° 【分析】三角形内角和为180°，已知三角形是直角三角形，那么∠1＋∠2＋90°＝180°，所以∠1＋∠2＝90°，已知∠1＝54°那么用90°减去∠1的度数即可得知∠2的度数，∠2和∠3组成了一个平角，平角＝180°，所以∠2＋∠3＝180°，用180°减去∠2的度数，即可得知∠3的度数。 【详解】∠1＋∠2＝90° ∠1＝54° ∠2＝90°－∠1＝90°－54°＝36° ∠3＝180°－∠2＝180°－36°＝144° 答：∠3的度数是144° 考点六：三角形的分类 【典例精讲】已知一个等腰三角形，其中一个角是40°，关于这个等腰三角形，下面说法正确的是（    ）。 A．它的底角一定是40° B．若将它对折剪开得到两个三角形，这两个三角形可能是等边三角形 C．这个等腰三角形的三个角可能是40°、40°、100° 【答案】C 【分析】根据题意，等腰三角形有两个相等的角，已知一个角为40°，需分情况讨论该角是顶角还是底角。若40°为顶角，则底角为（180°－40°）÷2＝140°÷2＝70°。若两个底角为40°，则顶角为180°－40°×2＝180°－80°＝100°。以此选择即可。 【详解】根据分析可知： A．它的底角不一定是40°。故此选项错误。 B．若将它对折剪开得到两个三角形，这两个三角形不可能是等边三角形。故此选项错误。 C．这个等腰三角形的三个角可能是40°、40°、100°。故此选项正确。 故答案为：C 【变式训练】一个三角形中∠1＝30°，∠2＝50°，那么∠3＝( )°，这是一个( )三角形。 【答案】 100 钝角 【分析】根据三角形内角和定理，三个内角的和为180°，已知其中两个角的度数，可求出第三个角的度数。再根据最大角的度数判断三角形的类型。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： ∠3＝180°－30°－50° ＝150°－50° ＝100° 100°＞90° 一个三角形中∠1＝30°，∠2＝50°，那么∠3＝100°，这是一个钝角三角形。 【变式训练】在下面的点子图上画出一个锐角三角形。 【答案】图见详解 【分析】已知三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形。据此画图。 【详解】根据分析作图如下： （答案不唯一） 【变式训练】有编号①、②、③的三个三角形都被一张纸遮住了一部分，露出的一个角都是70°（如下图）。还知道这三个三角形另外有一个角分别为30°、40°、55°，是等腰三角形的那么编号为( )。 【答案】②③/③② 【分析】根据题意，三角形的内角和是180°，用180°减去70°，算出的结果再分别减去另一个角的度数，算出三个三角形第三个角的度数。再根据等腰三角形的两个底角相等，判断编号几为等腰三角形。 【详解】180°－70°－30° ＝110°－30° ＝80° 三个角是70°、30°、80°，所以编号①不是等腰三角形。 180°－70°－40° ＝110°－40° ＝70° 三个角是70°、70°、40°，所以编号②是等腰三角形。 180°－70°－55° ＝110°－55° ＝55° 三个角是70°、55°、55°，所以编号③是等腰三角形。 所以，是等腰三角形的那么编号为②③。 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】下图中( )和( )可以拼成一个等腰三角形；( )和( )可以拼成一个等边三角形。 【答案】 ① ③ ② ④ 【分析】有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，三条边都相等的三角形叫作等边三角形。由题意得，要拼成一个等腰三角形，那么需要三角形的两条边的长度相等。由图可知，当把三角形①和三角形③的两个直角拼在一起时，大三角形的两条边就是原来两个三角形的斜边，所以大三角形是一个等腰三角形；要拼成一个等边三角形，那么需要三条边都相等。当把三角形①和三角形③的两个直角拼在一起时，两个三角形的两条较短的直角边拼在一起刚好等于原来两个三角形的斜边，此时三条边都相等，所以拼成的大三角形是一个等边三角形。 【详解】图中①和③可以拼成一个等腰三角形；②和④可以拼成一个等边三角形。 【变式训练】一个等腰三角形的周长是30厘米，其中一条边长是6厘米，这个等腰三角形的腰和底各是多少厘米？ 【答案】腰是12厘米；底是6厘米 【分析】若6厘米这条边是腰，则另一条腰也是6厘米，底为30－12＝18（厘米），但是三角形两边之和必须大于第三边，6＋6＝12（厘米），12＜18，无法构成三角形； 若6厘米这条边是底，30－6＝24（厘米），24除以2等于12，即腰长为12，此时满足两边之和大于第三边。 【详解】若腰＝6厘米，6＋6＝12（厘米）30－12＝18（厘米），但是6＋6＝12（厘米），12＜18，无法构成三角形； 若底＝6厘米，30－6＝24（厘米），24÷2＝12（厘米），6＋12＝18（厘米）18＞12，可以构成三角形。 所以这个等腰三角形的腰是12厘米，底是6厘米。 【变式训练】一根铁丝正好可以围成一个边长为6厘米的等边三角形。如果改围成一个腰长是5厘米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的底边长是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，三条边都相等的三角形叫作等边三角形。由题意得，一根铁丝正好可以围成一个边长为6厘米的等边三角形，那么等边三角形的周长就等于铁丝的长度。等边三角形的周长＝边长×3，直接用6厘米乘3即可算出铁丝的总长度。如果改围成一个腰长是5厘米的等腰三角形，等腰三角形的两条腰长度相等，那么直接用铁丝的总长度减去等腰三角形两条腰的长度即可算出等腰三角形的底边长。 【详解】6×3＝18（厘米） 18－5－5 ＝13－5 ＝8（厘米） 答：等腰三角形的底边长是8厘米。 【变式训练】小明家有一块等腰三角形形状的菜地，菜地两条边的长度分别是15米和30米。小明想用篱笆把菜地圈起来，篱笆长多少米？ 【答案】75米 【分析】根据题意，明确三角形的三边关系，两边之和大于第三边，已知菜地是等腰三角形，两腰相等，又知两条边的长度15米和30米，先判断菜地的第三条边；再把三条边相加，列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 15＋15＝30（米） 三角形的腰不能是15米。 30＋30＝60（米）＞15（米） 可以判断三角形的第三条边是30米。 30＋30＋15 ＝60＋15 ＝75（米） 答：篱笆长75米。 考点八：画三角形 【典例精讲】按要求在下面的方格中画三角形，并画出它们所有的对称轴。 （1）既是等腰三角形，又是锐角三角形。 （2）既是等腰三角形，又是直角三角形。 （3）既是等腰三角形，又是钝角三角形。 【答案】见详解 【分析】等腰三角形：等腰三角形是指有两条边长度相等的三角形。 锐角三角形：锐角三角形是指三个角都是锐角的三角形。 直角三角形：直角三角形是指有一个角是直角的三角形。 钝角三角形：钝角三角形是指有一个角是钝角的三角形。 对称轴：对称轴是指一条直线，使得图形沿这条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合。等腰三角形底边上的高就在它的对称轴上，由此即可快速画出等腰三角形的对称轴。 【详解】如图： （答案不唯一） 【变式训练】如图每个小方格表示1cm2，利用上面的发现（只要两个三角形底 相等 ，高相等 ，它们的面积就相等。）画出两个与已知三角形面积相等形状不同的三角形。 【答案】图见详解 【分析】根据上题的发现可知：只要两个三角形底 相等，高相等，它们的面积就相等。已知给出的三角形底为5厘米，高为5厘米，只要满足底为5厘米，高为5厘米的三角形，不论是什么形状三角形，它们的面积都相等。据此作图即可。 【详解】 据以上分析作图：（答案不唯一） 【变式训练】画一个锐角三角形。 【答案】见详解 【分析】根据锐角三角形的意义：三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形；要使三角形的三个角都小于90°，只需保证所选的三个点连成的三条边互相夹角没有直角或钝角即可。以此画图即可。（答案不唯一） 【详解】根据分析画图如下： 【变式训练】以下面方格纸上的线段AB作为三角形的底，画一个高为4cm的三角形，并标出高。（每个格子边长是1cm）。 【答案】见详解 【分析】从三角形的一个顶点向它的对边画垂直线段，顶点和垂足之间的距离就是三角形的高，这条对边就是三角形的底。所以只要画线段AB的垂线，以垂足为一个端点，然后在垂线上截取4cm，找到另一个端点，把这个点和点A、B连接起来，就是所画三角形。 【详解】三角形以及高的具体画法如下所示：（画法不唯一） 考点九：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长6厘米，就成了一个平行四边形，那么这个梯形的上底是（    ）厘米。 A．2 B．3 C．4 D．无法判断 【答案】B 【分析】平行四边形的对边平行且相等。由题意得，一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长6厘米，就成了一个平行四边形，说明梯形的下底比上底长6厘米，据此作图如下： 由图可知，6厘米对应上底的2倍，直接用6除以2即可算出上底的长度。 【详解】3－1＝2 6÷2＝3（厘米），即这个梯形的上底是3厘米。 故答案为：B 【变式训练】用下面两个完全一样的三角形，可以拼成( )种不同的平行四边形。 【答案】3/三 【分析】这两个三角形完全一样，但边长都不相等，只要相同的边拼在一起，就可拼成一个平行四边形，3条边就可以拼成3个不同的平行四边形，由此求解。 【详解】 如上图：可以拼成3种不同的平行四边形。 【变式训练】如图，两个完全相同的直角三角形拼成一个( )形，则所拼图形的底是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 平行四边 3 4 【分析】平行四边形对边平行且相等，两个完全相同的直角三角形拼在一起，两组对边互相平行，且对边是两个一样的三角形对应的边长，长度也一定相等，这是一个平行四边形；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，直角三角形其中一条直角边是底角，另一条直角边是高，据此填空即可。 【详解】如图，两个完全相同的直角三角形拼成一个平行四边形，则所拼图形的底是3厘米，高是4厘米。 【变式训练】能围成一个平行四边形的4根小棒是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的特征可知，平行四边形的两组对边分别平行且相等，因此如果要围成一个平行四边形，则必须是两组长度分别相等的4根小棒。 【详解】A．有两组长度分别相等的4根小棒，可以围成一个平行四边形； B．只有2根小棒的长度相等，不可以围成一个平行四边形； C．小棒的长度都不相等，不可以围成一个平行四边形。 故答案为：A 考点十：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】以下物体没有用到三角形稳定性知识的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的稳定性是指三角形的三边呈稳定结构，有着稳固、坚定、耐压等特点，平行四边形具有容易变形的特性。据此解答。 【详解】 A．利用了三角形的稳定性； B．利用了三角形的稳定性； C．利用了三角形的稳定性； D．应用了平行四边形容易变形的特性，没有应用到三角形的稳定性。 故答案为：D 【变式训练】王大爷要给一块菜地围上篱笆，下面篱笆中稳定性最好的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形三边稳定；平行四边形，长方形容易变形。根据这些特点进行判断。 【详解】A．图中篱笆是长方形的，容易变形； B．图中篱笆是平行四边形的，容易变形； C．图中篱笆是平行四边形的，容易变形； D．图中篱笆组成了三角形，根据三角形的稳定原理，是稳定性最好的。 故答案为：D 【变式训练】平旺公园的电动伸缩门采用平行四边形结构，这是因为平行四边形（    ），房顶的人字梁做成三角形结构是因为三角形（    ）。 A．具有稳定性；美观大方 B．美观大方；节省材料 C．节省材料；具有稳定性 D．容易变形；具有稳定性 【答案】D 【分析】平行四边形容易变形，电动伸缩门工作时，伸缩门中的平行四边形会变形，所以伸缩门的设计就是运用了它的这种特性；而三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，房顶的人字梁做成三角形结构就是运用了三角形的这种特性。据此解答。 【详解】平旺公园的电动伸缩门采用平行四边形结构，这是因为平行四边形容易变形，房顶的人字梁做成三角形结构是因为三角形具有稳定性。 故答案为：D 【变式训练】学校门口的伸缩门是利用平行四边形的稳定性原理制作的。( ) 【答案】× 【分析】根据平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，容易变形；据此解答。 【详解】学校门口的伸缩门在开关时会变形，所以利用的是平行四边形的不稳定性，故此说法不正确。 【点睛】三角形才具有稳定性，平行四边形是具有不稳定性。 考点十一：平行四边形的高及画法 【典例精讲】如图，图中每个小正方形的边长表示1厘米，如果把图中阴影部分的三角形向右平移( )厘米，就可以把平行四边形转化成一个长方形。那么，长方形的长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 7 7 28 【分析】每个小正方形边长为1厘米。对于阴影部分的三角形和平行四边形，我们需要通过平移操作将它们组合成一个长方形。然后，根据图形的边长关系来确定长方形的长、宽和面积。利用平移法，把这个三角形向右边平移，使得这个三角形的斜边与平行四边形右侧的边相重合即可。 阴影部分三角形的短的底边长为2厘米，可以根据三角形图形上某一个对应点来判断平移，在此选择短的底边左侧端点，也就是平行四边形左侧上方顶点，看其向右边平移多少格与平行四边形右侧上方顶点重合。 平移后长方形的长，是由平行四边形的上底边长和三角形的底边长组成的，实际上就是平行四边形的较长的底边长度，长方形的宽就是平行四边形的高，根据长方形的面积＝长×宽进行计算即可。 【详解】结合分析和图示信息可知，阴影部分是一个直角三角形，把其的短的直角边长为2厘米，长的直角边，也就是平行四边形的高，为4厘米。把图中阴影部分的三角形向右平移7格，也就是7厘米，就可以把平行四边形转化成一个长方形。 此时长方形的长为平行四边形的底边长，为7厘米，宽是平行四边形的高，为4厘米，则其面积＝7×4＝28（平方厘米） 【变式训练】一个平行四边形相邻两条边的长度分别是8厘米和11厘米，已知它的一条高是9厘米，那么这条高所对应的底是( )厘米。 【答案】8 【分析】根据“点到直线的距离中，垂线段最短”。     由图可知，11厘米长的边当底，它对应的高一定是小于8厘米；8厘米长的边当底，它对应的高一定是小于11厘米；已知它的一条高是9厘米，小于11厘米，这条高所对应的底是8厘米。 【详解】一个平行四边形相邻两条边的长度分别是8厘米和11厘米，已知它的一条高是9厘米，那么这条高所对应的底是（8）厘米。 【变式训练】平行四边形相邻两条边的长度分别是8厘米和5厘米，一条高是6厘米，这条高所对应的底边长度是（    ）。 A．5厘米 B．8厘米 C．5厘米和8厘米都有可能 【答案】A 【分析】因为高是6厘米，这条高和平行四边形的一条边所在的直角三角形中，斜边大于直角边，平行四边形的一条边8厘米大于高6厘米，8厘米＞6厘米，故这条高对应的底边长度是5厘米，据此解答即可。 【详解】由分析可知，平行四边形相邻两条边的长度分别是8厘米和5厘米，一条高是6厘米，这条高所对应的底边长度是5厘米。 故答案为：A 【变式训练】如图，将两张长是10厘米，宽是2厘米的长方形纸交叉摆放，重叠部分的高是( )厘米。 【答案】2 【分析】重叠部分是由两个长方形的对边围成的，长方形对边平行，重叠部分有两组对边互相平行，两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形。重叠部分的平行四边形的高是长方形的宽。 【详解】将两张长是10厘米，宽是2厘米的长方形纸交叉摆放。重叠部分是一个平行四边形，平行四边形的高也就是长方形的宽，重叠部分高是2厘米。 考点十二：画平行四边形 【典例精讲】按要求画图。 【答案】见详解 【分析】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 【详解】 【变式训练】在方格纸上画一个底4厘米、高3厘米的三角形，一个底3厘米、高4厘米的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） 【答案】见详解 【分析】方格的面积为1平方厘米，所以方格的边长为1厘米；三角形的底4个格子长，高3个格子长，平行四边形的底3个格子长，高4个格子长，据此画图。 【详解】 （图形不唯一） 【变式训练】在下面的方格纸上画一个底和高都是4厘米的平行四边形。（每个小正方形的边长均是1厘米） 【答案】见详解 【分析】在方格纸上任选一条水平方向的线段，利用方格边长为1厘米的条件，从一个点开始，向右连续数4个小正方形的边长，画出一条长度为4厘米的线段作为平行四边形的底。从底边的一个端点开始，垂直于底边向上数4个小正方形的边长，确定一个点。因为平行四边形的高是垂直于底边的线段，这里每个小正方形边长1厘米，数4个边长就是4厘米高。过确定的高的端点，作一条与底边平行且长度为4厘米的线段，再连接两条4厘米线段的另外两个端点，这样就画出了一个底和高都是4厘米的平行四边形。 【详解】作图如下： （答案不唯一） 【变式训练】在方格纸上画出面积是8平方厘米的平行四边形、三角形各1个。 【答案】见详解。 【分析】平行四边形、三角形的面积都是8平方厘米，于是即可分别利用平行四边形的面积公式确定出平行四边形的底和高的值，于是就能在方格图中画出这两个图形。 【详解】因为平行四边形面积是8平方厘米 平行四边形的底和高可以为4厘米和2厘米 三角形的底和高可以为8厘米和2厘米 于是所画图形如下图所示： 【点睛】解答此题的关键是：先确定出计算面积所需要的主要线段的长度，进而完成画图。 考点十三：梯形的概念及特点 【典例精讲】下列能正确表示它们之间关系的是（    ）。 A．①② B．②③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的一种特殊情况；梯形是只有一组对边平行的四边形，直角梯形是有一个角是直角的梯形，等腰梯形是两腰相等的梯形；平行四边形是两组对边分别平行的四边形，长方形是四个角都是直角的平行四边形，正方形是四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形，也就是特殊的长方形；三角形按照边的长短可分为等边三角形，等腰三角形和不等边三角形。据此求解。 【详解】图示①：垂直是相交的一种特殊情况，相交和平行是两种不同的情况，所以图示①正确； 图示②：等腰梯形和直角梯形是不同类型的梯形，它们之间不存在包含关系，而图示②把直角梯形画在等腰梯形里面，所以图示②不能正确表示它们之间的关系； 图示③：正方形属于长方形，长方形属于平行四边形，图示③正确； 图示④：等边三角形是特殊的等腰三角形，应该是等腰三角形包含等边三角形，而图示④将等腰三角形、等边三角形和不等边三角形并列，所以图示④不能正确表示它们之间的关系。 能正确表示它们之间关系的是①③ 故答案为：C 【变式训练】下面表述正确的是（    ）。 A．平行四边形是轴对称图形； B．有一组对边平行的四边形是梯形。 C．从平行四边形和梯形的一个顶点出发都可以画两条高 D．把平行四边形剪拼成长方形，面积不变，周长变短。 【答案】D 【分析】 一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形；只有一组对边平行的四边形是梯形；平行四边形和梯形的高，可以从一组平行线一个顶点出发向另一平行边画垂线即为高，所以从平行四边形和梯形的一个顶点出发只可以画1条高；把平行四边形剪拼成长方形，，此时面积不变，原来平行四边形的长是由两组对边之和，长方形的两条长跟平行四边形的一组对边平行，长方形的宽小于平行四边形的另一组对边，所以长方形周长＜平行四边形周长，据此解题。 【详解】A．平行四边形是轴对称图形；说法错误，平行四边形不是轴对称图形； B．有一组对边平行的四边形是梯形，说法错误，只有一组对边平行的四边形是梯形； C．从平行四边形和梯形的一个顶点出发都可以画两条高，说法错误，可以画一条； D．把平行四边形剪拼成长方形，面积不变，周长变短。说法正确。 下面表述正确的是把平行四边形剪拼成长方形，面积不变，周长变短。 故答案为：D 【变式训练】拼一拼、画一画。用下面的梯形（图1）利三角形（图2）拼成一个四边形，并将拼成的四边形画在下面右边的方格纸上。 【答案】图见详解 【分析】平移：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形。即把右边三角形的各顶点分别向左平移5格，依次连接即可得到平移后的图形，使三角形的一条直角边与梯形的腰重合，据此画出拼成的四边形即可。 【详解】如图： 【变式训练】同学们借助点子图研究一个问题：在梯形中画一条线段，将梯形分成两个图形，画出的这条线段能将梯形分成两个什么图形？下面的想法错误的是（    ）。 A．能将这个梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 B．能将这个梯形分成两个平行四边形。 C．能将这个梯形分成两个三角形。 【答案】B 【分析】梯形的上底和下底互相平行，只需要画出与其中一条腰平行的线后即可变成平行四边形。三条边组成的封闭图形是三角形，据此解答即可。 【详解】 A．，这个梯形分成一个平行四边形和一个三角形，不符合题意。 B．由分析可知，该梯形最多只能分成1个平行四边形，符合题意。 C． ，这个梯形分成两个三角形，不符合题意。 故答案为：B 考点十四：梯形的高及画法 【典例精讲】分别画出三角形、平行四边形和梯形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形底边所对的顶点向底边或者底边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，然后再画上垂足符号。 从平行四边形指定底边所对的对边上的任意一点都可以向底边作垂直线段，即是平行四边形的高，然后再画上垂足符号。 从梯形指定底边所对的对边上的任意一点都可以向底边作垂直线段，即梯形的高，然后再画上垂足符号。 【详解】根据分析可得：作图如下 （后两条高答案不唯一） 【变式训练】画出下面各个图形底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从平行四边形一边上的一点向对边引垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高；梯形的高是上底与下底之间的垂直线段；从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，据此可以作图。 【详解】如图所示： 【变式训练】画出下面图形底边上的高。 【答案】见详解 【分析】三角形的高：把三角板的一直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符号即可。 平行四边形的高：在平行四边形底边的对边上任意找一点，过这个点向底边作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应底边上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号； 梯形的高：在梯形的上底上任意找一点，过这个点向下底作垂线，这个点到垂足之间的线段就是梯形的高，高用虚线表示，并画上垂直符号；依此画图即可。 【详解】如图： （平行四边形和梯形高的画法不唯一） 【变式训练】画出并量出下面每个图形指定底的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。然后利用直尺或者三角板测量出高的长度。 【详解】 考点十五：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】如图，用四根小棒围成一个直角梯形，这个梯形的高是( )厘米，从这四根中拿走( )厘米的小棒，剩下的3根不能围成三角形。 【答案】 11 16 【分析】在梯形中，从一底的任一点作另一底的垂线，这点与垂足间的距离叫做梯形的高。从图中可知：11厘米的线段垂直于22厘米的线段和10厘米的线段，11厘米的线段就是梯形的高；根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，不满足三边关系，就不能构成三角形，据此解答即可。 【详解】若拿走10厘米长的小棒。11＋16＞22，可以围成一个三角形； 若拿走11厘米长的小棒。10＋16＞22，可以围成一个三角形； 若拿走16厘米长的小棒。10＋11＜22，不可以围成一个三角形； 若拿走22厘米长的小棒。10＋11＞16，可以围成一个三角形。 用四根小棒围成一个直角梯形，这个梯形的高是11厘米，从这四根中拿走16厘米的小棒，剩下的3根不能围成三角形。 【变式训练】用三个完全一样的等腰三角形可以拼成一个等腰梯形（如图）。已知每个等腰三角形的周长是16厘米，等腰梯形的周长是24厘米。那么，这个等腰梯形的上底是( )厘米，一条腰长是( )厘米。 【答案】 4 6 【分析】根据题意，明确等腰三角形两腰相等，等腰梯形的两腰相等，已知每个等腰三角形的周长是16厘米，等腰梯形的周长是24厘米。由图可知，3个等腰三角形的周长，比等腰梯形的周长要多出4条腰的长度，用16乘3，求出等腰三角形的周长，再减去24，就是4条腰的长度，最后除以4，就是一条腰的长度；这个等腰梯形的上底就是等腰三角形的底边长，用16减去两条腰的长度，就是这个等腰梯形的上底的长度，列式计算即可。 【详解】根据分析可知： （16×3－24）÷4 ＝（48－24）÷4 ＝24÷4 ＝6（厘米） 16－6×2 ＝16－12 ＝4（厘米） 用三个完全一样的等腰三角形可以拼成一个等腰梯形（如图）。已知每个等腰三角形的周长是16厘米，等腰梯形的周长是24厘米。那么，这个等腰梯形的上底是4厘米，一条腰长是6厘米。 【变式训练】李叔叔有一块等腰梯形菜地，梯形的一条腰比上底长3米，给这块菜地围上篱笆，菜地一周的篱笆长多少米？ 【答案】28米 【分析】根据题意可知，上底的长度＋3米＝腰长，等腰梯形的两腰相等，据此求出等腰梯形的2个腰长，然后根据周长是指围绕一个物体或平面图形一周的长度，把梯形四条边的长度相加，即可求出菜地一周的篱笆长多少米。 【详解】4＋3＝7（米） 7＋7＋4＋10 ＝14＋4＋10 ＝18＋10 ＝28（米） 答：菜地一周的篱笆长28米。 【变式训练】有一块田地呈等腰梯形，它的下底是4厘米，一条腰是3厘米。若将这个等腰梯形的上底增加2厘米，等腰梯形就变成了一个平行四边形，这个等腰梯形的周长是( )厘米。 【答案】12 【分析】平行四边形的对边相等。由题意得，等腰梯形的上底增加2厘米，等腰梯形就变成了一个平行四边形，说明等腰梯形的下底比上底长2厘米。等腰梯形的下底是4厘米，直接用4厘米减去2厘米即可算出上底的长度。等腰梯形的周长等于上底加下底再加上两条腰的长度，直接将数据代入即可解答。 【详解】4－2＝2（厘米） 2＋4＋3×2 ＝2＋4＋6 ＝6＋6 ＝12（厘米） 故这个等腰梯形的周长是12厘米。 考点十六：画梯形 【典例精讲】在下面的方格纸上画一个上底是4厘米、下底是7厘米、高是3厘米的梯形。（每个小正方形的边长均是1厘米） 【答案】见详解 【分析】在方格纸上任选一个位置开始，水平方向数4个小正方形的边长，确定上底的两个端点，这两个端点之间的距离就是4厘米，即梯形的上底。从上底的其中一个端点开始，垂直向下数3个小正方形的边长，确定下底的一个端点。然后从这个端点开始，水平方向数7个小正方形的边长，确定下底的另一个端点。这样下底的长度就是7厘米，且下底与上底平行，高为3厘米。将上底的两个端点分别与下底对应的两个端点连接起来，就画出了一个上底是4厘米、下底是7厘米、高是3厘米的梯形。 【详解】作图如下： （画法不唯一） 【变式训练】如图，假设每个小方格的边长都是1厘米，请根据要求画图形。 （1）画一个底是5厘米，高是4厘米的等腰三角形。 （2）画一个底是5厘米，高是4厘米的平行四边形。 （3）画一个上底是3厘米、下底是5厘米、高是4厘米的直角梯形。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 【分析】（1）等腰三角形腰长相等，从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底，据此画出该等腰三角形即可。 （2）根据平行四边形的特征：平行四边形的对边平行且相等，从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，据此画出该平行四边形即可。 （3）根据梯形的含义：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，直角梯形有两个角是直角，据此画出该梯形即可。 【详解】 （1）（2）（3）如图：（画法不唯一） 【变式训练】在下面的方格纸上画三个图形：①上底是4厘米、下底是7厘米、高是5厘米的直角梯形；②高是3厘米的等腰梯形；③底和高都是5厘米的平行四边形。（每个小方格的边长表示1厘米） 【答案】见详解 【分析】①直角梯形的特征：梯形两腰既不相等也不平行，两底平行，但不相等，一个腰上的两角都是直角。 先在方格纸上画一条长7厘米的线段，然后把三角尺的直角的顶点与线段的一个端点重合，一条直角边与线段重合，沿着另一条直角边画垂线（垂线长度为5厘米），接着再以同样的方法，三角尺的一条直角边与5厘米长的垂线重合，三角尺直角顶点与垂线另一个端点重合，沿着三角尺的另一条直角边画一条长4厘米的线段（梯形的上底），然后连接上底和下底的另一端，即可画出直角梯形。 ②等腰梯形的特征：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 根据等腰梯形的特征，等腰梯形为一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形，首先画一条下底为4厘米长的线段，在线段的上方高3厘米的位置，居中画一条上底为2厘米的线段，再用两条线段分别连接上下两个线段的端点，画出等腰梯形即可。 ③平行四边形的特征：平行四边形的两组对边平行且相等。 先在方格纸上画一条长5厘米的线段，从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。据此画出高为5厘米的平行四边形即可。 【详解】作图如下： （画法不唯一） 【变式训练】下面方格图中每个小方格的边长是1厘米，请根据要求画出指定的图形。 以线段a为一条边，画出一个高2厘米、底3厘米的三角形； 以线段b为一条边，画出一个高和底都是3厘米的平行四边形； 以线段c为一条边，画出一个高2厘米、下底是上底长度2倍的梯形。 【答案】见详解 【分析】（1）以a为高，以a下端为顶点，向右边画一条3厘米的线段，并与a垂直，再把a的上端与这条线段的右端点相连，据此画出三角形； （2）根据平行四边形的特征，在上方离b线段3格的位置画一条与b平行的3厘米线段，再把每条线段的端点首尾相连，据此画出平行四边形； （3）根据梯形的特征，2×3＝6（厘米），在右边离c线段2格的位置画一条与c平行的6厘米的线段，再把每条线段的端点首尾相连，据此画出梯形。 【详解】画图如下： 【点睛】熟练掌握三角形、平行四边形和梯形的特征是解答此题的关键。 综合训练 1．一个三角形，其中两条边的长度分别是5厘米和19厘米，第三条边的长度可能是（    ）。 A．10厘米 B．14厘米 C．20厘米 D．24厘米 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系可知，三角形的第三边要大于其他两边之差，小于其他两边之和；据此解答。 【详解】19－5＝14（厘米） 19＋5＝24（厘米） 所以14厘米＜第三边的长度＜24厘米 10＜14＜20＜24 20厘米在范围内，所以第三条边的长度可能是20厘米。 故答案为：C 2．认识了图形，老师和同学们玩一个“听指令做记号”的数学游戏，指令对就在图形上做一个记号，图形（    ）做记号的次数最多。 指令 ①四边形  ②两组对边分别平行 ③有钝角  ④邻边一定相等 A．长方形 B．平行四边形 C．三角形 D．梯形 【答案】B 【分析】根据题意 由图可知：长方形、平行四边形和梯形都是四边形；长方形和平行四边形都有两组对边分别平行；平行四边形梯形都有钝角；四个图形的邻边都不相等。结合选项逐一分析解答即可。 【详解】根据分析可知： A．长方形符合①②。 B．平行四边形符合①②③。 C．三角形都不符合。 D．梯形符合①。 认识了图形，老师和同学们玩一个“听指令做记号”的数学游戏，指令对就在图形上做一个记号，图形平行四边形做的记号最多。 故答案为：B 3．某建筑工人要做一个三角形的钢架，已经找到两根钢材，第一根长5米，第二根长9米，第三根钢材可能长（    ）米。 A．3 B．4 C．13 D．15 【答案】C 【分析】三角形三条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此解答即可。 【详解】9＋5＝14（米） 9－5＝4（米） 第三根钢材的长度要大于4米，小于14米，则最长是13米，最短是5米。 A．3米＜5米，不可能； B．4米＜5米，不可能； C．13米，可能； D．15米＞13米，不可能。 故答案为：C 4．丁丁的凳子腿摇晃了，要想办法加固一下，下列加固方法中效果比较好的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形具有稳定性，因此凳子腿松了，按三角形加固比较好，据此选择。 【详解】丁丁的凳子腿摇晃了，要想办法加固一下，加固方法中效果比较好的是。 故答案为：C 5．一辆汽车从A地出发，先向B地行驶，再向C地行驶，最后回到A地（如图），AC的距离可能是（    ）千米。 A．53 B．26 C．21 D．18 【答案】B 【分析】观察图片，A地，B地，C地正好围成一个三角形，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AC大于BC和AB之差，小于BC和AB之和，据此解题。 【详解】16＋37＝53（千米） 37－16＝21（千米） 21千米＜AC＜53千米，只有26千米在此区间。AC的距离可能是26千米。 故答案为：B 6．把一根10厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形。第一剪不符合要求的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答。 【详解】根据分析： A．左边部分为3厘米，右边部分为7厘米，7＞3，那么右边部分如果分成2段，肯定大于左边部分，符合三角形三边关系，能连成三角形； B．左边部分为5厘米，右边部分为5厘米，5＝5，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能连成三角形； C．左边部分为2厘米，右边部分为8厘米，8＞2，那么右边部分如果分成2段，肯定大于左边部分，符合三角形三边关系，能连成三角形； D．左边部分为4厘米，右边部分为6厘米，6＞4，那么右边部分如果分成2段，肯定大于左边部分，符合三角形三边关系，能连成三角形。 所以第一剪不符合要求的是。 故答案为：B 7．把一根长度为21厘米的小棒，先截成三段整厘米数的小棒，再围成一个三角形。那么这三根小棒中最长的一根最多是 厘米。 【答案】10 【分析】由三角形的三边关系可知，三角形的任意两边之和大于第三条边，任意两边之差小于第三条边，据此求解即可。 【详解】21÷2＝10.5（厘米） 因为截成的三段小棒是整厘米数，所以两个短边的和大于或等于11厘米。 21－11＝10（厘米） 所以这三根小棒中最长的一根最多是10厘米。 8．用细木条钉成一个长方形框，长16厘米，宽9厘米，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长是( )厘米。 【答案】50 【分析】细木条从长方形拉成平行四边形，周长不变。所以根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据计算出长方形的周长，即可得到拉成平行四边形后的周长。 【详解】（16＋9）×2 ＝25×2 ＝50（厘米） 用细木条钉成一个长方形框，长16厘米，宽9厘米，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长是50厘米。 9．用一张长42厘米，宽16厘米的红纸，最多能做( )面直角边是4厘米的等腰三角形小旗。 【答案】80 【分析】直角边为4厘米的等腰直角三角形，将两个三角形的斜边重合即可拼成1个边长为4厘米的正方形。因此，先求红纸能剪出多少个边长4厘米的正方形，再乘2就能得到小旗数量。红纸的长为42厘米，正方形边长为4厘米：42÷4＝10（个）……2（厘米），即长能剪10个，剩余2厘米无法再用。红纸的宽为16厘米，正方形边长为4厘米：16÷4＝4（个），即宽能剪4个，无剩余。正方形总数＝长能剪的个数×宽能剪的个数，即10×4＝40（个）。小旗总数＝正方形总数×2，即40×2＝80（面）。 【详解】将两个三角形的斜边重合即可拼成1个边长为4厘米的正方形。 42÷4＝10（个）……2（厘米） 16÷4＝4（个） 10×4×2＝80（面） 最多能做80面等腰三角形小旗。 10．一个等腰三角形，一条边长10厘米，另一条边长5厘米，要围成这样一个三角形至少要( )厘米铁丝。 【答案】 25 【分析】根据等腰三角形的定义，两条边相等。题目给出两条边分别为10厘米和5厘米，需确定哪条边为腰。若10厘米为腰，则三边为10、10、5厘米，此时周长为25厘米；若5厘米为腰，则三边为5、5、10厘米，但5＋5＝10，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。因此最小周长为25厘米。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 当10厘米为腰时，三边分别为10厘米、10厘米、5厘米。 验证三角形三边关系： 10＋10＝20＞5（成立） 10＋5＝15＞10（成立） 10＋5＝15＞10（成立） 10＋10＋5 ＝20＋5 ＝25（厘米） 当5厘米为腰时，三边分别为5厘米、5厘米、10厘米。 验证三角形三边关系：5＋5＝10（不成立） 因此无法构成三角形。   一个等腰三角形，一条边长10厘米，另一条边长5厘米，要围成这样一个三角形至少要25厘米铁丝。 11．一个等腰三角形的顶角是120°（如图），按角分类，这是一个 三角形；沿底边上的高把它对折后，得到两个直角三角形，每个直角三角形中两个锐角分别是 °和 °。 【答案】 钝角 60 30 【分析】有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形；因为三角形内角和为180°，且等腰三角形的两个底角相等，已知原等腰三角形的顶角是120°，所以用三角形内角和减去顶角的度数，再除以2，就可以得到底角的度数；沿底边上的高把它对折后，得到两个直角三角形，已知其中一个锐角是30°，求另一个锐角用90°减去30°。 【详解】（180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° 所以，一个等腰三角形的顶角是120°，按角分类，这是一个钝角三角形；每个直角三角形中的两个锐角分别是60°和30°。 12．下图是由两个不同的正方形组成的，其中涂色部分组成的图形( )平行四边形。（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】根据平行四边形的特征，平行四边形对边平行且相等。据此判断是否为平行四边形。 【详解】观察图形可知，涂色部分组成是由两个不同的正方形组成的，所以图形上下两条边不相等，所以涂色部分组成的图形不是平行四边形。 13．有一个等腰三角形的花圃，一条边长60米，另一条边长120米。乐乐每分钟走60米，她沿着花圃走一圈要多长时间？ 【答案】5分钟 【分析】根据题目已知等腰三角形的一条边长60米，另一条边长120米；根据三角形三边的关系可知，三角形任意两边长度的和大于第三边，若60米的边为腰，则60＋60＝120（米），不符合三边关系，所以60米的边为底，120米的边即为腰，由于等腰三角形的两腰相等，所以另外一条腰长是120米；根据三角形的周长是三边之和，所以我们需要将两腰和底边相加求出周长，再除以乐乐每分钟走的距离，据此即可求出乐乐沿着花圃走一圈所花时间。 【详解】因为60＋60＝120（米），所以60米的边为底，120米的边为腰，这个三角形的另一条边长为120米，其周长为： 120×2＋60 ＝240＋60 ＝300（米）   300÷60＝5（分钟） 答：她沿着花圃走一圈要5分钟。 14．在一个三角形中，最大的角的度数是另外两个较小角的度数和的3倍。这个三角形中最大的角是多少度？ 【答案】135度 【分析】把三角形两个较小角的度数和看作1份，最大的角的度数就是这样的3份，即三角形内角和是1＋3＝4份，也是180度，用180÷4由此可求得两个较小角的度数和，这个度数和的3倍就是最大的角的度数。 【详解】180÷（3＋1）×3 ＝180÷4×3 ＝45×3 ＝135（度） 答：这个三角形中最大的角是135度。 15．如图，在一个三角形纸板中，∠C＝90°，小宇将这个纸板沿线段DE剪去一个角后变成四边形ABED，那么图中∠1＋∠2是多少度？ 【答案】270° 【分析】根据三角形内角和为180°，在三角形ABC中，由于∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝180°－90°＝90°；在四边形ABDE中，根据四边形内角和为360°，∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°，将∠A＋∠B＝90°代入到∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°中，得到∠1＋∠2＝360°－90°＝270°；据此解答即可。 【详解】因为三角形内角和为180°，∠C＝90°， 所以∠A＋∠B＝180°－90°＝90°， 因为∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°， 所以∠1＋∠2＝360°－90°＝270°。 答：图中∠1＋∠2是270°。 16．从小强家到体育馆有几条路线？哪条路线最近？ 【答案】5条；见详解 【分析】通过对相关路线的梳理，得出从小强家到体育馆的路线有：①小强家→书城→体育馆；②小强家→图书馆→体育馆；③小强家→少年宫→图书馆→体育馆；④小强家→少年宫→图书馆→学校→体育馆；⑤小强家→图书馆→学校→体育馆，共 5 条 ； 根据 “两点之间线段最短” 的原理，在这些路线中，第②条路线 “小强家→图书馆→体育馆” 是直接连接小强家与体育馆的路线，没有多余的转折，相较于其他路线，所经过的路程更短，所以它是最近的路线。 【详解】答：从小强家到体育馆有5条路线，从家经过图书馆再到体育馆这条路线最近。 17．某小学有一块草坪，由三个大小不同的等边三角形组成（如图）。从甲点到乙点，怎样走最近？哪两条路一样长？为什么？ 【答案】从甲点到乙点直行最近；理由见详解 【分析】 根据两点之间线段最短，从甲点到乙点直行最近；等边三角形三边相等，大等边三角形的边长等于两个小等边三角形的边长和，所以从甲经A到B到C到乙和从甲经D到乙，这两条路一样长，据此解答即可。 【详解】两点之间线段最短，从甲点到乙点直行最近， 假设最小的等边三角形的边长为1，中间等边三角形的边长为2，最大等边三角形的边长为3， 甲A＋AB＋BC＋C乙 ＝2＋2＋1＋1 ＝4＋1＋1 ＝5＋1 ＝6 甲D＋D乙 ＝3＋3 ＝6 大等边三角形的边长等于两个小等边三角形的边长和，所以从甲经A到B到C到乙和从甲经D到乙，这两条路一样长。 18．两只蚂蚁从平行四边形（如图）中的点A出发，大蚂蚁从点A经过点D爬向点C，小蚂蚁从点A经过点B爬向点C。大蚂蚁的速度是30厘米/分，爬了5分钟到达点C。小蚂蚁爬了6分钟到达点C，速度是多少厘米/分？ 【答案】25厘米/分 【分析】平行四边形对边平行且相等，首先根据图示，可得AB＝CD，AD＝BC，所以AB＋BC＝AD＋CD，即两只蚂蚁到达点C时爬行的路程相等；然后根据速度×时间＝路程，用大蚂蚁的速度乘到达点C用的时间，求出大蚂蚁爬行的路程是多少，再用它除以小蚂蚁到达点C用的时间，求出小蚂蚁的速度即可解答。 【详解】30×5÷6 ＝150÷6 ＝25（厘米/分） 答：速度是25厘米/分。 19．李伯伯用篱笆靠墙围了一块梯形种植园，种植园的上底长6米，下底长14米，两腰各长7米，但李伯伯只用了20米长的篱笆，你知道李伯伯是怎么围的吗？（要求：根据你的理解先画出篱笆的示意图，再列式解答） 【答案】图见详解；李伯伯是把梯形的下底靠墙围成的 【分析】用种植园的周长减去篱笆长，求出种植园的周长比篱笆长多少，看和梯形的哪一条边相等，就把哪一条边靠在墙边，这样所需的篱笆最短，据此画出篱笆的示意图，再列式解答即可。 【详解】6＋14＋7×2－20 ＝6＋14＋14－20 ＝20＋14－20 ＝34－20 ＝14（米） 所以，梯形的下底靠墙，所需的篱笆最短，如图： 梯形的下底靠墙，14米不需要篱笆，总共需要： 7＋7＋6 ＝14＋6 ＝20（米）。 答：李伯伯是把梯形的下底靠墙围成的。 20．用一根185厘米的铁丝正好围成了一个等腰梯形，梯形的上底是21厘米，下底是54厘米，它的一条腰长多少厘米？ 【答案】55厘米 【分析】等腰梯形的两腰相等，用铁丝的总长度连续减去上底和下底的长度，再除以2，即可求出它的一条腰长多少厘米。 【详解】（185－21－54）÷2 ＝（164－54）÷2 ＝110÷2 ＝55（厘米） 答：它的一条腰长55厘米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $