第六单元 平行四边形（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

第六单元 平行四边形（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 平行四边形的定义与特性：在奥数思维中，平行四边形不仅是“两组对边分别平行”的四边形，更是一个动态的图形模型。我们需要掌握其“不稳定性”（易变形）以及对边相等、对角相等的性质。 核心关联概念： ① 底和高：奥数题中常涉及“等底等高”或“同底等高”的面积关系，这是解决复杂面积问题的钥匙。 ② 与长方形的转化：理解平行四边形可以通过切割补全转化为长方形，这是“出入相补”原理的基础。 ③ 图形的拼组：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，这是后续学习三角形面积公式的逻辑起点。 核心性质：奥数训练的核心在于“变中找不变”。例如，将长方形拉成平行四边形，周长不变但面积变小；或者在平行四边形内通过画辅助线寻找隐藏的面积规律。 2. 平行四边形奥数思维的核心意义 本知识点是苏教版四年级几何内容的延伸与拔高。核心是掌握图形的计数规律、周长与面积的变化分析以及图形的剪拼策略。它是培养学生空间观念和逻辑推理能力的关键，也是后续学习组合图形面积（如梯形、不规则图形）的重要基础。通过奥数训练，学生能摆脱直观观察的局限，通过逻辑推导解决复杂的图形问题。 3. 常见场景 ① 图形计数：数出复杂图形中包含多少个平行四边形（如按行列规律计数）。 ② 周长变化问题：长方形框架拉成平行四边形后的周长与面积变化分析。 ③ 面积规律问题：平行四边形对角线分出的四个三角形面积关系，或同底等高三角形的面积关系。 ④ 易错场景：混淆“周长”与“面积”的变化规律（如误认为拉伸后周长变短）；在图形计数中重复或遗漏；画高时未从顶点垂直到底边。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.特征识别：能准确识别平行四边形，区分其与长方形、正方形的关系。 2.周长与面积公式：熟练掌握平行四边形周长 （注意：这是由长方形变形得来，四条边总长），以及面积 。 3.作图能力：能过直线外一点画已知直线的平行线，能画出平行四边形指定底上的高。 4.空间想象：能想象图形平移、旋转后的形状，以及图形分割后的组合方式。 （二）核心应用方法（奥数重点，4类核心场景） 1. 方法一：图形计数法（基础，规律寻找） 核心思路：解决“数平行四边形”个数的问题，不能盲目乱数，要按规律数。通常采用“按行列组合”的方法。 关键：确定横向和纵向的基本图形个数。 步骤： 1.1. 分层/分行：观察图形由几行几列基本平行四边形组成。 1.2. 计算组合：横向有 个基本图形，则横向组合方式为 ；纵向同理。 1.3. 总数相乘：总数 = 横向组合数 × 纵向组合数。 示例：一个由2行3列小平行四边形组成的大图形。 解：横向基本图形3个，横向组合数： （个）； 纵向基本图形2个，纵向组合数： （个）； 总数： （个）。 2. 方法二：周长与面积的变化分析（进阶，概念辨析） 核心思路：利用“四根小棒钉成的长方形框架拉成平行四边形”这一模型。核心是理解边长没变，所以周长不变；但高度变矮了，所以面积变小。 关键：区分“形变”与“量变”。 步骤： 1.1.审题：识别是否为“框架拉伸”问题。 1.2.定周长：直接根据原长方形的长和宽计算周长，拉伸后周长不变。 1.3.析面积：拉伸后的面积一定小于原长方形面积，除非拉伸角度为90度（即仍为长方形）。 示例：用一根长20厘米的铁丝围成一个长8厘米、宽2厘米的长方形。如果把它拉成一个平行四边形，周长是多少？面积会怎样？ 解：周长不变，仍是20厘米。面积会变小（因为高 厘米，所以 平方厘米）。 3. 方法三：等积变形与一半模型（进阶，逻辑推理） 核心思路：在平行四边形中，连接对角线会将平行四边形分成两个完全相同的三角形，每个三角形的面积是平行四边形的一半。或者，在平行四边形内任意一点连接四个顶点，形成的对角三角形面积相等。 关键：寻找“同底等高”的三角形。 步骤： 找底和高：观察三角形和平行四边形是否共用一条底边，且高是否相等。 应用公式：若同底等高，则 。 列式计算。 示例：已知平行四边形 的面积是48平方厘米， 是 边上任意一点。求三角形 的面积。 解：三角形 和平行四边形 同底（ ）等高（平行线间的距离处处相等）。 计算： （平方厘米）。 4. 方法四：图形的剪拼与分割（高阶，动手操作） 核心思路：将平行四边形通过剪切、平移拼成一个长方形，或者将多个平行四边形拼成更大的图形。 关键：剪切线通常是从顶点向对边作高。 步骤： 画辅助线：找到平行四边形的高。 切割：沿高剪开，得到一个直角三角形和一个直角梯形。 平移：将直角三角形平移到梯形的另一侧。 结论：拼成了一个长方形，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。 示例：如何将一个底为6厘米、高为4厘米的平行四边形剪拼成一个长方形？长方形的面积是多少？ 解：沿高剪开拼接。长方形面积 = （平方厘米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.高与底不对应：计算面积时，用了斜边长度而不是垂直高度。 2.变化问题混淆：在“拉伸框架”问题中，误认为面积不变或周长改变。 3.计数遗漏：数平行四边形时，只数了单个的，忘了数由多个小平行四边形组成的大的平行四边形。 4.“一半”模型误用：并不是平行四边形里所有的三角形面积都是一半，必须满足“同底等高”的条件。 5.作图不规范：画高时没有标垂直符号，或者线段画得太长/太短。 三、平行四边形奥数解题步骤 1.观察图形：看清图形的结构，是单纯的平行四边形，还是组合图形。 2.提取特征：找出底、高、斜边等关键数据，判断是否存在隐藏的长方形或三角形。 3.选择策略： 数图形 用规律法； 拉框架 周长不变，面积变； 求面积 找底和高，或利用等积变形。 4.规范计算：代入公式，注意单位统一。 5.检验：检查是否所有符合条件的图形都已数到，或面积计算是否符合逻辑（如拉伸后的面积是否真的变小了）。 四、常见平行四边形奥数题型及解题示例 1. 场景一：周长与面积的变化 例：把一个长10厘米、宽6厘米的长方形木框拉成一个高是5厘米的平行四边形。这个平行四边形的周长是多少？面积是多少？ 解： 周长：框架拉伸，四条边长度不变。 周长 = （厘米）。 面积：拉伸后高为5厘米（注意：此时的底还是10厘米，但高不再是6厘米）。 面积 = （平方厘米）。 注：也可以对比原面积 ，发现面积变小了。 答：周长是32厘米，面积是50平方厘米。 2. 场景二：剪拼与周长变化 例：把一个底是8厘米、高是5厘米的平行四边形剪开，拼成一个长方形。拼成的长方形的周长是多少？ 解： 拼接原理：剪拼后，长方形的长 = 平行四边形的底 = 8厘米；长方形的宽 = 平行四边形的高 = 5厘米。 计算周长： （厘米）。 答：长方形的周长是26厘米。 3. 场景三：判断与说理 例：判断对错并说明理由。 （1）把一个平行四边形拉成一个长方形，周长和面积都不变。 （2）平行四边形的底越长，它的面积就越大。 解： （1）错。理由：拉成长方形后，四条边长度没变，所以周长不变；但是拉成长方形后高度增加了（变成了原来的宽），所以面积变大了。 （2）错。理由：平行四边形的面积由底和高两个因素决定。如果底变长了，但是高变短了（比如斜得很厉害），面积不一定变大。必须是“等高”的情况下，底越长面积越大。 培优练习 一、选择题 1．从平行四边形的一条边上的一点到对边可以画（    ）条高。 A．1 B．2 C．无数 D．无法确定 2．李乐用和长的木条各2根，钉成了一个长方形，然后将它拉成一个平行四边形。这个平行四边形的底是，它的高可能是（    ）。（接口处忽略不计） A．6 B．8 C．9 D．13 3．有一个平行四边形活动框架，如果沿箭头方向一直推动框架，如下图。那么图中指定底边上的高会（    ）。 A．先增大后减小 B．先减小后增大 C．逐渐增大 D．逐渐减小 4．一个长方形长12厘米，宽8厘米，把它拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底是12厘米，它的高可能是（    ）厘米。 A．9 B．8 C．6 D．12 5．亮亮用4根吸管围成一个底是6厘米，高是3厘米的平行四边形，将它拉成一个长方形后，高比原来增加1厘米，则长方形的周长是（    ）厘米。 A．9 B．10 C．18 D．20 6．下面这些实际生活中的场景，没有利用平行四边形容易变形的特点的是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 7．电动伸缩门就是利用了平行四边形的( )性，手电筒、汽车灯和太阳射出来的光线，都可以近似地看成是( )线。 8．乐乐通过拉伸平行四边形的框架，发现平行四边形具有( )性（填“稳定”或“不稳定”），在实际生活中( )也是运用了这一特性。 9．平行四边形的对边( )且( )，对角( )。 10．下图中将一张长7cm，宽3cm的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分是一个( )形，它的高是( )cm。 11．下图中，平行四边形的高是28厘米，它的底是( )厘米。 12．如图，平行四边形ABCD，若底是AB，则高是( )厘米；若高是12厘米，则底是( )或( )。 三、解答题 13．根据要求，在下边的平行四边形完成下列操作： ①画出指定底边上的高。 ②量出∠1和∠2的度数：∠1＝（    ）°，∠2＝（    ）°。 ③再量出这个平行四边形∠3和∠4的度数，想一想：关于平行四边形的四个角之间会有什么样的关系？把你的发现写在下面。 14．动物王国正在进行赛跑，哪只动物最先从图形的一个顶点跑到它的对边，就获得胜利，小兔和小狗已经站到自己图形的顶点上了（如图）。 （1）怎样跑的路线最短？请你帮它们画一画。 （2）这样的比赛公平吗？为什么？ 15．叮叮和咚咚进行比赛，谁先从如图的一个顶点跑到它的对边谁就获胜。这个比赛公平吗？（    ）（填公平或不公平）请画出他们奔跑的最短路线。 16．判断下面虚线是不是平行四边形的高？ 17．小区里有一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度是140厘米和60厘米，现在要在广告牌的四周钉一圈铝条，至少需要多少厘米的铝条？如果每米铝条的成本是65元，这块广告牌围一圈铝条需要多少钱？（不考虑接合处损耗） 18．活动课上，小军将一个平行四边形纸板沿着高剪开之后拼贴成一个长方形（没有重合部分）。在拼好的长方形纸板四周贴上一圈花边需要多少分米（花边没有浪费）？ 19．在下图中找出平行四边形和梯形。每种图形各有几个？请写出来。 20．请你在下面的方格图里描出下列各点，并把这几个点顺次连成一个封闭图形，这是一个（    ）形。 A（2，1）    B（7，1）    C（9，4）    D（4，4） 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 平行四边形（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 平行四边形的定义与特性：在奥数思维中，平行四边形不仅是“两组对边分别平行”的四边形，更是一个动态的图形模型。我们需要掌握其“不稳定性”（易变形）以及对边相等、对角相等的性质。 核心关联概念： ① 底和高：奥数题中常涉及“等底等高”或“同底等高”的面积关系，这是解决复杂面积问题的钥匙。 ② 与长方形的转化：理解平行四边形可以通过切割补全转化为长方形，这是“出入相补”原理的基础。 ③ 图形的拼组：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，这是后续学习三角形面积公式的逻辑起点。 核心性质：奥数训练的核心在于“变中找不变”。例如，将长方形拉成平行四边形，周长不变但面积变小；或者在平行四边形内通过画辅助线寻找隐藏的面积规律。 2. 平行四边形奥数思维的核心意义 本知识点是苏教版四年级几何内容的延伸与拔高。核心是掌握图形的计数规律、周长与面积的变化分析以及图形的剪拼策略。它是培养学生空间观念和逻辑推理能力的关键，也是后续学习组合图形面积（如梯形、不规则图形）的重要基础。通过奥数训练，学生能摆脱直观观察的局限，通过逻辑推导解决复杂的图形问题。 3. 常见场景 ① 图形计数：数出复杂图形中包含多少个平行四边形（如按行列规律计数）。 ② 周长变化问题：长方形框架拉成平行四边形后的周长与面积变化分析。 ③ 面积规律问题：平行四边形对角线分出的四个三角形面积关系，或同底等高三角形的面积关系。 ④ 易错场景：混淆“周长”与“面积”的变化规律（如误认为拉伸后周长变短）；在图形计数中重复或遗漏；画高时未从顶点垂直到底边。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.特征识别：能准确识别平行四边形，区分其与长方形、正方形的关系。 2.周长与面积公式：熟练掌握平行四边形周长 （注意：这是由长方形变形得来，四条边总长），以及面积 。 3.作图能力：能过直线外一点画已知直线的平行线，能画出平行四边形指定底上的高。 4.空间想象：能想象图形平移、旋转后的形状，以及图形分割后的组合方式。 （二）核心应用方法（奥数重点，4类核心场景） 1. 方法一：图形计数法（基础，规律寻找） 核心思路：解决“数平行四边形”个数的问题，不能盲目乱数，要按规律数。通常采用“按行列组合”的方法。 关键：确定横向和纵向的基本图形个数。 步骤： 1.1. 分层/分行：观察图形由几行几列基本平行四边形组成。 1.2. 计算组合：横向有 个基本图形，则横向组合方式为 ；纵向同理。 1.3. 总数相乘：总数 = 横向组合数 × 纵向组合数。 示例：一个由2行3列小平行四边形组成的大图形。 解：横向基本图形3个，横向组合数： （个）； 纵向基本图形2个，纵向组合数： （个）； 总数： （个）。 2. 方法二：周长与面积的变化分析（进阶，概念辨析） 核心思路：利用“四根小棒钉成的长方形框架拉成平行四边形”这一模型。核心是理解边长没变，所以周长不变；但高度变矮了，所以面积变小。 关键：区分“形变”与“量变”。 步骤： 1.1.审题：识别是否为“框架拉伸”问题。 1.2.定周长：直接根据原长方形的长和宽计算周长，拉伸后周长不变。 1.3.析面积：拉伸后的面积一定小于原长方形面积，除非拉伸角度为90度（即仍为长方形）。 示例：用一根长20厘米的铁丝围成一个长8厘米、宽2厘米的长方形。如果把它拉成一个平行四边形，周长是多少？面积会怎样？ 解：周长不变，仍是20厘米。面积会变小（因为高 厘米，所以 平方厘米）。 3. 方法三：等积变形与一半模型（进阶，逻辑推理） 核心思路：在平行四边形中，连接对角线会将平行四边形分成两个完全相同的三角形，每个三角形的面积是平行四边形的一半。或者，在平行四边形内任意一点连接四个顶点，形成的对角三角形面积相等。 关键：寻找“同底等高”的三角形。 步骤： 找底和高：观察三角形和平行四边形是否共用一条底边，且高是否相等。 应用公式：若同底等高，则 。 列式计算。 示例：已知平行四边形 的面积是48平方厘米， 是 边上任意一点。求三角形 的面积。 解：三角形 和平行四边形 同底（ ）等高（平行线间的距离处处相等）。 计算： （平方厘米）。 4. 方法四：图形的剪拼与分割（高阶，动手操作） 核心思路：将平行四边形通过剪切、平移拼成一个长方形，或者将多个平行四边形拼成更大的图形。 关键：剪切线通常是从顶点向对边作高。 步骤： 画辅助线：找到平行四边形的高。 切割：沿高剪开，得到一个直角三角形和一个直角梯形。 平移：将直角三角形平移到梯形的另一侧。 结论：拼成了一个长方形，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。 示例：如何将一个底为6厘米、高为4厘米的平行四边形剪拼成一个长方形？长方形的面积是多少？ 解：沿高剪开拼接。长方形面积 = （平方厘米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.高与底不对应：计算面积时，用了斜边长度而不是垂直高度。 2.变化问题混淆：在“拉伸框架”问题中，误认为面积不变或周长改变。 3.计数遗漏：数平行四边形时，只数了单个的，忘了数由多个小平行四边形组成的大的平行四边形。 4.“一半”模型误用：并不是平行四边形里所有的三角形面积都是一半，必须满足“同底等高”的条件。 5.作图不规范：画高时没有标垂直符号，或者线段画得太长/太短。 三、平行四边形奥数解题步骤 1.观察图形：看清图形的结构，是单纯的平行四边形，还是组合图形。 2.提取特征：找出底、高、斜边等关键数据，判断是否存在隐藏的长方形或三角形。 3.选择策略： 数图形 用规律法； 拉框架 周长不变，面积变； 求面积 找底和高，或利用等积变形。 4.规范计算：代入公式，注意单位统一。 5.检验：检查是否所有符合条件的图形都已数到，或面积计算是否符合逻辑（如拉伸后的面积是否真的变小了）。 四、常见平行四边形奥数题型及解题示例 1. 场景一：周长与面积的变化 例：把一个长10厘米、宽6厘米的长方形木框拉成一个高是5厘米的平行四边形。这个平行四边形的周长是多少？面积是多少？ 解： 周长：框架拉伸，四条边长度不变。 周长 = （厘米）。 面积：拉伸后高为5厘米（注意：此时的底还是10厘米，但高不再是6厘米）。 面积 = （平方厘米）。 注：也可以对比原面积 ，发现面积变小了。 答：周长是32厘米，面积是50平方厘米。 2. 场景二：剪拼与周长变化 例：把一个底是8厘米、高是5厘米的平行四边形剪开，拼成一个长方形。拼成的长方形的周长是多少？ 解： 拼接原理：剪拼后，长方形的长 = 平行四边形的底 = 8厘米；长方形的宽 = 平行四边形的高 = 5厘米。 计算周长： （厘米）。 答：长方形的周长是26厘米。 3. 场景三：判断与说理 例：判断对错并说明理由。 （1）把一个平行四边形拉成一个长方形，周长和面积都不变。 （2）平行四边形的底越长，它的面积就越大。 解： （1）错。理由：拉成长方形后，四条边长度没变，所以周长不变；但是拉成长方形后高度增加了（变成了原来的宽），所以面积变大了。 （2）错。理由：平行四边形的面积由底和高两个因素决定。如果底变长了，但是高变短了（比如斜得很厉害），面积不一定变大。必须是“等高”的情况下，底越长面积越大。 培优练习 一、选择题 1．从平行四边形的一条边上的一点到对边可以画（    ）条高。 A．1 B．2 C．无数 D．无法确定 【答案】A 【分析】平行四边形的高是从任意一边的一点作对边的垂线，从一点作已知直线的垂线，这样的垂线段只有一条，据此解答。 【详解】从平行四边形一条边上的任意一点到对边只能画一条高。 因此，从平行四边形的一条边上的一点到对边可以画1条高。 故答案为：A 2．李乐用和长的木条各2根，钉成了一个长方形，然后将它拉成一个平行四边形。这个平行四边形的底是，它的高可能是（    ）。（接口处忽略不计） A．6 B．8 C．9 D．13 【答案】A 【分析】这道题的核心是理解：长方形拉成平行四边形后，底不变，斜边为原长方形的宽，平行四边形的高会小于斜边的长度，再结合选项找出合理的高。 【详解】根据分析： 李乐用13cm和8cm的木条各2根钉成长方形，因此长方形的长为13cm，宽为8cm；拉成平行四边形后，底取13cm，此时平行四边形的斜边为8cm。 所以，平行四边形的高＜8cm A．6＜8，符合。 B．8＝8，不符合。 C．9＞8，不符合。     D．13＞8，不符合。 故答案为：A 3．有一个平行四边形活动框架，如果沿箭头方向一直推动框架，如下图。那么图中指定底边上的高会（    ）。 A．先增大后减小 B．先减小后增大 C．逐渐增大 D．逐渐减小 【答案】A 【分析】拉动过程中指定底边上的高会先变长，成为一个长方形的宽之后达到最大，再拉动又会变成平行四边形，高就会变短。 【详解】根据分析，图中指定底边上的高会先增大后减小。 故答案为：A 4．一个长方形长12厘米，宽8厘米，把它拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底是12厘米，它的高可能是（    ）厘米。 A．9 B．8 C．6 D．12 【答案】C 【分析】一个长方形长是12厘米，宽是8厘米。把长方形拉成平行四边形后，底的长度不变（这里底是12厘米），但是高会变小，因为平行四边形的高是从一边向对边作的垂线段，拉的过程中倾斜程度变大，高小于原来长方形的宽（8厘米）。 【详解】A．9厘米＞8厘米，不符合高小于8厘米的要求，该选项错误。 B．8厘米＝8厘米，不符合高小于8厘米的要求，该选项错误。 C．6厘米＜8厘米，拉成平行四边形后高小于8厘米，该选项正确。 D．12厘米＞8厘米，不符合高小于8厘米的要求，该选项错误。 所以平行四边形的高可能是6厘米。 故答案为：C 5．亮亮用4根吸管围成一个底是6厘米，高是3厘米的平行四边形，将它拉成一个长方形后，高比原来增加1厘米，则长方形的周长是（    ）厘米。 A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据题意，将它拉成一个长方形后，高比原来增加1厘米，则高是4厘米，底边不变还是6厘米，长方形的底和高分别是两条邻边，则长方形的长是6厘米宽是4厘米，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，据此代入数字计算出周长后选择即可。 【详解】3＋1＝4（厘米） （6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 周长是20厘米。 故答案为：D 6．下面这些实际生活中的场景，没有利用平行四边形容易变形的特点的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行四边形的不稳定性就是指平行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。这些特性在生活中有着广泛的应用。比如伸缩衣架、小区门口的电动门等。 【详解】A．伸缩门利用了平行四边形易变形特性，选项不符合题意； B．楼梯扶手没有利用平行四边形易变形特性，形状是固定的，选项符合题意； C．晾衣架利用了平行四边形易变形特性，选项不符合题意； D．升降机利用了平行四边形易变形特性，选项不符合题意。 故答案为：B 二、填空题 7．电动伸缩门就是利用了平行四边形的( )性，手电筒、汽车灯和太阳射出来的光线，都可以近似地看成是( )线。 【答案】 不稳定性 射 【分析】平行四边形具有不稳定性。直线、射线和线段的特点：直线没有端点，无限长；射线一个端点，无限长；线段两个端点，有限长。 【详解】电动伸缩门可以自动伸缩，利用了平行四边形具有不稳定性的特点；手电筒、汽车灯和太阳射出来的光线是由一个端点无限射出来的，利用了射线的特点。 因此，电动伸缩门就是利用了平行四边形的不稳定性，手电筒、汽车灯和太阳射出来的光线，都可以近似地看成是射线。 8．乐乐通过拉伸平行四边形的框架，发现平行四边形具有( )性（填“稳定”或“不稳定”），在实际生活中( )也是运用了这一特性。 【答案】 不稳定 伸缩门 【分析】平行四边形具有不稳定性，因为当拉伸或压缩时，它的形状会改变，但边长保持不变。在实际生活中，伸缩门利用平行四边形的不稳定性来实现伸缩功能。 【详解】由分析可知， 乐乐通过拉伸平行四边形的框架，发现平行四边形具有不稳定性（填“稳定”或“不稳定”），在实际生活中伸缩门也是运用了这一特性。（第二空答案不唯一） 9．平行四边形的对边( )且( )，对角( )。 【答案】 平行 相等 相等 【分析】这道题考查平行四边形的基本性质，明确平行四边形的两组对边不仅互相平行，而且长度相等，它的两组对角也分别相等，据此就能完成填空。 【详解】平行四边形的对边平行且相等，对角相等。 10．下图中将一张长7cm，宽3cm的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分是一个( )形，它的高是( )cm。 【答案】 梯 3 【分析】根据题意，观察图形可知，长方形和三角形重叠的部分，有四条边，它既具备了长方形对边平行的特点，又具备了四边形的特点，根据梯形的定义，只有一组对边平行的四边形叫做梯形，所以重叠部分是一个梯形；梯形的高就是长方形的宽，即为3cm；据此解答。 【详解】根据分析可知： 下图中将一张长7cm，宽3cm的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分是一个梯形，它的高是3cm。 11．下图中，平行四边形的高是28厘米，它的底是( )厘米。 【答案】25 【分析】从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。据此解答。 【详解】由图可知，平行四边形有两组底和高。一组底为35厘米，高为20厘米。另一组底为25厘米，高为28厘米。 故平行四边形的高是28厘米，它的底是25厘米。 12．如图，平行四边形ABCD，若底是AB，则高是( )厘米；若高是12厘米，则底是( )或( )。 【答案】 10 AD BC 【分析】根据题意，从平行四边形一条边上的一点到它的对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 如图，平行四边形ABCD，若底是AB，则高是10厘米；若高是12厘米，则底是AD或BC。 三、解答题 13．根据要求，在下边的平行四边形完成下列操作： ①画出指定底边上的高。 ②量出∠1和∠2的度数：∠1＝（    ）°，∠2＝（    ）°。 ③再量出这个平行四边形∠3和∠4的度数，想一想：关于平行四边形的四个角之间会有什么样的关系？把你的发现写在下面。 【答案】①见详解 ②60；120 ③∠3＝60°；∠4＝120°；即平行四边形对角相等 【分析】（1）从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。据此画图即可。 （2）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此解答即可。 （3）先量出∠3和∠4的度数，再观察四个角的大小，找到规律，再进行解答即可。 【详解】 ① ②量出∠1和∠2的度数：∠1＝60°，∠2＝120°。 ③∠3＝60°，∠4＝120°，∠1＝∠3，∠2＝∠4，即平行四边形对角相等。 14．动物王国正在进行赛跑，哪只动物最先从图形的一个顶点跑到它的对边，就获得胜利，小兔和小狗已经站到自己图形的顶点上了（如图）。 （1）怎样跑的路线最短？请你帮它们画一画。 （2）这样的比赛公平吗？为什么？ 【答案】（1）见详解 （2）公平；理由见详解 【分析】（1）因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短。结合三角形和平行四边形高的画法，以小兔子和小狗所在的位置向对边画垂线即可。 （2）根据点到直线的距离进行判断，如果小兔和小狗到对边的距离是相等的，则比赛公平，反之则不公平。据此解答即可。 【详解】（1）画图如下： （2）看图可知这样的比赛公平，因为三角形和平行四边形的高相等，都等于3个方格的边长，也就是小兔和小狗到对边的距离是相等的。（答案不唯一） 15．叮叮和咚咚进行比赛，谁先从如图的一个顶点跑到它的对边谁就获胜。这个比赛公平吗？（    ）（填公平或不公平）请画出他们奔跑的最短路线。 【答案】不公平；画图见详解 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离，由此可知，叮叮所跑的最短路线为三角形对应底边的高；咚咚所跑的最短路线为平行四边形对应底边的高。 三角形的高：把三角板的一直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符号即可。 平行四边形的高：在平行四边形底边的对边上任意找一点，过这个点向底边作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应底边上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号。依此即可解答。 【详解】这个比赛不公平，画图如下： 16．判断下面虚线是不是平行四边形的高？ 【答案】见详解 【分析】从平行四边形的一条边上的任意一点向对边引垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高，这条边叫做平行四边形的底。据此进行判断选择即可。 【详解】根据分析可知， 第一幅图中的虚线是这个平行四边形的高；第二幅图中的虚线不是这个平行四边形的高；第三幅图中的虚线是这个平行四边形的高。 【点睛】正确理解平行四边形高的定义和画法，是解答此题的关键。 17．小区里有一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度是140厘米和60厘米，现在要在广告牌的四周钉一圈铝条，至少需要多少厘米的铝条？如果每米铝条的成本是65元，这块广告牌围一圈铝条需要多少钱？（不考虑接合处损耗） 【答案】 400厘米；260元 【分析】根据题意，平行四边形的相邻两边的长度分别为140厘米和60厘米，根据平行四边形的周长等于相邻两边的长度之和乘2，即可求得平行四边形的广告牌的长度，即为铝条长度。先将铝条长度转换为米，再用铝条长度乘每米铝条的成本65元，即可得出总成本。 【详解】（140＋60）×2 ＝200×2 ＝400（厘米） 1米＝100厘米，所以400厘米＝4米； 4×65＝260（元） 答：至少需要400厘米的铝条，这块广告牌围一圈铝条需要260元。 18．活动课上，小军将一个平行四边形纸板沿着高剪开之后拼贴成一个长方形（没有重合部分）。在拼好的长方形纸板四周贴上一圈花边需要多少分米（花边没有浪费）？ 【答案】24分米 【分析】本题涉及图形分割和长方形周长计算。根据题目信息，求花边需要多少分米，就是求长方形的周长是多少。由图可知，平行四边形纸板长为8分米，高为4分米，结合拼图方法，拼好的长方形纸板的长对应为平行四边形的长，即8分米，宽对应平行四边形的高，即4分米，根据长方形周长公式，长方形周长＝（长＋宽）×2，即可求出花边需要多少分米。 【详解】长方形周长为： （分米） 答：在拼好的长方形纸板四周贴上一圈花边需要24分米。 19．在下图中找出平行四边形和梯形。每种图形各有几个？请写出来。 【答案】5个；9个 【分析】长方形的两组对边分别互相平行，两组对边分别相等，四个角都是直角；正方形的两组对边分别互相平行，相邻的两条边相互垂直，四条边都相等，四个角都是直角；长方形和正方形是特殊的平行四边形；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；依此分别数出平行四边形和梯形的个数即可。 【详解】图中平行四边形有：平行四边形ABED、平行四边形BCHG；还有长方形ACGE、正方形ABFE和正方形BCGF；图中的梯形有：梯形ABGD、梯形BCHE、梯形ABFD、梯形BCHF、梯形ACHE、梯形ABEG、梯形BCGE、梯形ACHD、梯形ACDG。 答：平行四边形有5个，梯形有9个。 20．请你在下面的方格图里描出下列各点，并把这几个点顺次连成一个封闭图形，这是一个（    ）形。 A（2，1）    B（7，1）    C（9，4）    D（4，4） 【答案】作图见详解；平行四边 【分析】数对中的第一个数字表示第几列，第二个数字表示第几行。据此可知，点A在第2列第1行，点B在第7列第1行，点C在第9列第4行，点D在第4列第4行，据此描出各点并顺次连成一个封闭图形，从而确定是什么图形。 【详解】 观察图形可知，这是一个平行四边形。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $