6.3 二项式定理 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3 二项式定理 目录 知识点一：二项式定理 2 题型1：求二项展开式中的特定项 2 题型2： 求多项式展开式中的特定项 4  几个多项式和的展开式的特定项问题 4  几个多项式积的展开式的特定项问题 4  三项展开式中的特定项问题 5 知识点二：杨辉三角与二项式系数的性质 5 题型3：求展开式的系数和 7 题型4：求展开式系数最大值 8 题型5：二项式定理的应用 9  进行近似运算 9  证明某些整除性问题或求余数 10  证明有关不等式 11  证明有关恒等式 11 题型6： 杨辉三角的探究问题 12 知识点一：二项式定理 1. 二项式定理： （1）二项展开式： 叫做的二项展开式，展开式中一共有项. （2）二项系数：各项的系数，叫做二项式系数. （3）通项：，表示展开式的第项. 2. 二项式定理的证明： 由于是个相乘，每个相乘时有两种选择，选或，而且每个中的或选定后，才能得到展开式的一项.因此，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，每一项都是的形式，它是由个中选了，个中选了得到.由于选定之后，的选法也随之确定，因此出现的次数相当于从个中选了个的组合数.这样,的展开式中，共有个，将它们合并同类项即可得到二项式定理. 题型1：求二项展开式中的特定项 方法提炼 二项展开式中特定项是指展开式中的某一项，如第项(表示展开式中的第项） 、常数项（字母的指数为0）、有理项（字母的指数为整数）、字母指数为某些值等特殊的项. 【例1.1.】 的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 【例1.2.】 在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 若二项式展开式中存在常数项，则正整数n可以是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【例1.4.】 在的展开式中，常数项为 ． 【例1.5.】 已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（    ） A．60 B． C．448 D． 【例1.6.】 若，则（    ） A．180 B． C． D．90 题型2： 求多项式展开式中的特定项 · 几个多项式和的展开式的特定项问题 【例2.1.】 在的展开式中，含的项的系数为 （用数字表示）． 【例2.2.】 已知是正整数，的展开式中的系数为17.当展开式中的系数最小时，的系数为 . 【例2.3.】 已知多项式，则 ， . · 几个多项式积的展开式的特定项问题 方法提炼 求两个（或多个）二项式乘积的展开式常用方法： 方法一：先对每一个二项式分别展开,将问题转化为求多项式与多项式乘积的展开式，并利用多项式乘法法则将其展开.其具体步骤为： 第1步：根据二项式定理将每一个二项式分别展开，并写出其通项公式; 第2步：根据特定项的次数，分析特定项可由展开式中哪些项相乘得到； 第3步：把相乘后的项相加即可得到特定项. 方法二：先利用运算性质对其进行化简，再利用二项式定理进行展开. 【例2.4.】 展开式中的系数为（    ） A． B．5 C．15 D．35 【例2.5.】 的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【例2.6.】 的展开式中常数项为 ．（用数字作答） 【例2.7.】 的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【例2.8.】 的展开式中的系数是，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【例2.9.】 已知，则的值为（    ） A． B．1 C．4 D． · 三项展开式中的特定项问题 方法提炼 求三项展开式常用方法： 方法一：反复利用二项式定理，即先把三项中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后利用二项式定理求解. 方法二：先利用运算性质对其进行化简，化三项为两项，再利用二项式定理进行展开. 【例2.10.】 的展开式中的系数为（    ） A．6 B．8 C．27 D．33 【例2.11.】 的展开式中，的系数为 A．10 B．20 C．30 D．60 【例2.12.】 已知的展开式中常数项为20，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2.13.】 的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 知识点二：杨辉三角与二项式系数的性质 1. 杨辉三角 ，的展开式的二项式系数可以表示成如下形式： 我们称上面的形式为杨辉三角. 观察杨辉三角，可以发现： (1) 每个数都是组合数，第行的第个数是. (2) 杨辉三角具有对称性，在同一行中，与两端等距离的数相等，即. (3) 每行的两端都是数字1，而其余的数都等于它“肩上”两个数字之和，也就是. (4) 第行的个数之和：. (5) 杨辉三角第斜列相应各数构成新的数列，这个数列为阶等差数列，且每一斜列的数满足. (6) 杨辉三角的第行，即第（正整数）行的各个数字均为奇数. 2. 二项式系数的性质 (1) 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由得到. (2) 增减性与最大值 因为，即，所以当，即 时，随着的增大而增大；当时，即时，随着的增大而减小，因此二项式系数在中间取得最大值.当是偶数时，中间的一项的二次项系数取得最大值；当是奇数时，中间的两项与的二次项系数与相等，且同时取得最大值. (3) 各二项式系数的和 1　 已知，令，得.这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于. 2　 在二项式定理中，令，得，即.也就是说，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于. 3　 . 题型3：求展开式的系数和 方法提炼 (1) 赋值法：我们可以通过令字母的因式的值为特殊值，一般取1，0，或-1，从而求得展开式的所有项的系数和或某几项的系数和. (2) 已知，令，则，即展开式中的所有项的系数和为. 1　 当为偶数，奇数项系数和为；偶数项系数和为. 2　 当为奇数，奇数项系数和为；偶数项系数和为. 【例3.1.】 （多选）若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 设，则 ； ． 【例3.4.】 若，则 . 【例3.5.】 在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（    ） A． B．64 C． D．32 【例3.6.】 设，，已知 (1)求实数的值； (2)求的值； (3)求的值. 【例3.7.】 已知. （1）求的值 （2）求的值. 题型4：求展开式系数最大值 方法提炼 (1) 要注意区分“展开式系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”. (2) 在保证系数均为正的前提下，要求展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，不妨设第项系数最大，则，从而解出来． 【例4.1.】 的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【例4.2.】 已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ． 【例4.4.】 已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【例4.5.】 在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合. (3)系数的绝对值最大的项是第几项； 题型5：二项式定理的应用 · 进行近似运算 方法提炼 近似计算的处理方法： 当的绝对值远小于1且不大时， 1　 ;. 2　 当精度要求较高时，. 要求选取展开式保留的项，最后一位小数位符合精度要求即可. 【例5.1.】 最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【例5.2.】 的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 【例5.3.】 （精确到0.01） · 证明某些整除性问题或求余数 方法提炼 (1) 用二项式定理处理整除性问题，通常把被除数除数（或与除数密切关联的数）与某数的和与差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或前面）一、二项即可. (2) 要注意余数的范围（为除数，为余数，），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换. 【例5.4.】 证明：能被整除； 【例5.5.】 已知能被9整除，则整数的值可以是（    ） A． B． C．9 D．13 【例5.6.】 若正整数a，b满足等式，且，则（   ） A．1 B．2 C．2022 D．2023 【例5.7.】 若，则的值被4除的余数为 ． 【例5.8.】 已知，则被10除所得的余数为（    ） A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是 【例5.9.】 若，则被8整除的余数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例5.10.】 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2. (1)求n的值； (2)求展开式中含的项的系数； (3)设，则当时，求a除以15所得余数. · 证明有关不等式 方法提炼 (1) 应用时应注意巧妙地构造二项式. (2) 用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用与逆用，再结合不等式证明方法进行论证. (3) 证明不等式时，应注意运用放缩法.即对结论不构成影响的若干选项可以去掉或增加. 【例5.11.】 请利用二项式定理证明：. 【例5.12.】 证明：； 【例5.13.】 （1）当，时，证明：． （2）当，时，证明：． 【例5.14.】 求证：． · 证明有关恒等式 【例5.15.】 求证：（1）． （2）； （3）.； （4）； （5）； （6）； 题型6： 杨辉三角的探究问题 方法提炼 解决与“杨辉三角”有关问题的一般步骤：观察——分析——实验——猜想结论——证明. 观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察. 猜想结论：归纳思想，即由前面几行所得的结果猜想出一般结论. 证明：利用二项式系数的性质，证明所猜想的结论是正确的. 【例6.1.】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律. 当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2或4 B．2或 C．2 D． 【例6.2.】 “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为 . 【例6.3.】 “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 【例6.4.】 “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（    ）    A．252 B．426 C．462 D．924 【例6.5.】 “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 二项式定理 目录 知识点一：二项式定理 2 题型1：求二项展开式中的特定项 2 题型2： 求多项式展开式中的特定项 5  几个多项式和的展开式的特定项问题 5  几个多项式积的展开式的特定项问题 6  三项展开式中的特定项问题 9 知识点二：杨辉三角与二项式系数的性质 11 题型3：求展开式的系数和 13 题型4：求展开式系数最大值 16 题型5：二项式定理的应用 19  进行近似运算 19  证明某些整除性问题或求余数 21  证明有关不等式 24  证明有关恒等式 26 题型6： 杨辉三角的探究问题 28 知识点一：二项式定理 1. 二项式定理： （1）二项展开式： 叫做的二项展开式，展开式中一共有项. （2）二项系数：各项的系数，叫做二项式系数. （3）通项：，表示展开式的第项. 2. 二项式定理的证明： 由于是个相乘，每个相乘时有两种选择，选或，而且每个中的或选定后，才能得到展开式的一项.因此，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，每一项都是的形式，它是由个中选了，个中选了得到.由于选定之后，的选法也随之确定，因此出现的次数相当于从个中选了个的组合数.这样,的展开式中，共有个，将它们合并同类项即可得到二项式定理. 题型1：求二项展开式中的特定项 方法提炼 二项展开式中特定项是指展开式中的某一项，如第项(表示展开式中的第项） 、常数项（字母的指数为0）、有理项（字母的指数为整数）、字母指数为某些值等特殊的项. 【例1.1.】 的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【详解】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得 令,则 所以 故选C. 【例1.2.】 在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第项的二项式系数为， 故选：A. 【例1.3.】 若二项式展开式中存在常数项，则正整数n可以是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】二项式展开式的通项为， 令，解得：，又因为且为整数，所以为的倍数， 所以， 故选：. 【例1.4.】 在的展开式中，常数项为 ． 【答案】20 【详解】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以常数项为. 故答案为：20. 【例1.5.】 已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（    ） A．60 B． C．448 D． 【答案】A 【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则， 则展开式通项公式是， 令，得，∴的系数为， 故选：A. 【例1.6.】 若，则（    ） A．180 B． C． D．90 【答案】A 【详解】因，其二项展开式的通项为： ， 而是的系数，故只需取，得， 即. 故选：A. 题型2： 求多项式展开式中的特定项 · 几个多项式和的展开式的特定项问题 【例2.1.】 在的展开式中，含的项的系数为 （用数字表示）． 【答案】1330 【详解】当时， 展开式的通项为， 当时，展开式含的项， 所以，在的展开式中，含的项的系数为 . 故答案为：1330. 【例2.2.】 已知是正整数，的展开式中的系数为17.当展开式中的系数最小时，的系数为 . 【答案】140 【详解】根据二项式定理知，的展开式通项为， 根据题意得，即，所以， 所以展开式中的的系数为 ， 故当或时，的系数的最小值为64， 此时，的系数为. 【例2.3.】 已知多项式，则 ， . 【答案】 ; . 【详解】， ， 所以， ， 所以. 故答案为：. · 几个多项式积的展开式的特定项问题 方法提炼 求两个（或多个）二项式乘积的展开式常用方法： 方法一：先对每一个二项式分别展开,将问题转化为求多项式与多项式乘积的展开式，并利用多项式乘法法则将其展开.其具体步骤为： 第1步：根据二项式定理将每一个二项式分别展开，并写出其通项公式; 第2步：根据特定项的次数，分析特定项可由展开式中哪些项相乘得到； 第3步：把相乘后的项相加即可得到特定项. 方法二：先利用运算性质对其进行化简，再利用二项式定理进行展开. 【例2.4.】 展开式中的系数为（    ） A． B．5 C．15 D．35 【答案】A 【详解】若要产生这一项，则 当在中取1时，再在中取2个、取4个1， 当在中取时，再在中取3个、取3个1， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 【例2.5.】 的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为. 的二项展开式的通项公式为. 而， 所以的系数为为. 故选：C. 【例2.6.】 的展开式中常数项为 ．（用数字作答） 【答案】 【详解】解：因为， 其中展开式的通项为， 令得的常数项为， 令，即得展开式中的系数为. 所以的常数项为. 故答案为： 【例2.7.】 的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】-28 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 【例2.8.】 的展开式中的系数是，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对，有， 故的展开式中的系数为： ，即. 故选：D. 【例2.9.】 已知，则的值为（    ） A． B．1 C．4 D． 【答案】C 【详解】在中， 而， 由二项式定理知展开式的通项为， 令，解得，令，， 故， 同理令，解得，令，解得， 故，故. 故选：C · 三项展开式中的特定项问题 方法提炼 求三项展开式常用方法： 方法一：反复利用二项式定理，即先把三项中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后利用二项式定理求解. 方法二：先利用运算性质对其进行化简，化三项为两项，再利用二项式定理进行展开. 【例2.10.】 的展开式中的系数为（    ） A．6 B．8 C．27 D．33 【答案】D 【详解】解法一： 因为，即原展开式可以看作两个二项式展开式各项的乘积. 展开式的通项为， 则，展开式中含的项为，含的项为，含的项为； 展开式的通项为， 则，展开式中含的项为，含的项为，含的项为. 综上所述，的展开式中的项为，系数为. 解法二： 因为，展开式的通项为. 要使展开式中含，则可取或. 当时，，展开式的通项为， 显然时，展开式含，该项为； 当时，，展开式的通项为， 显然时，展开式含，该项为. 综上所述，的展开式中的项为，系数为. 故选：D． 【例2.11.】 的展开式中，的系数为 A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 【例2.12.】 已知的展开式中常数项为20，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】， 其通项公式为：， 当时，，解得：. 故选：A. 【例2.13.】 的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 【答案】 【详解】方法一  不妨设，则可化为，其展开式的通项为，令，得，故所求常数项为. 方法二  原式=，所以求的展开式中的常数项，可转化为求的展开式中含项的系数，即.故所求的常数项为. 方法三  的展开式的第项为，的展开式的第项为.令，则，可得，或，或，.当，时，；当，时，；当，时，.综上，的展开式中的常数项为. 故答案为： 知识点二：杨辉三角与二项式系数的性质 1. 杨辉三角 ，的展开式的二项式系数可以表示成如下形式： 我们称上面的形式为杨辉三角. 观察杨辉三角，可以发现： (1) 每个数都是组合数，第行的第个数是. (2) 杨辉三角具有对称性，在同一行中，与两端等距离的数相等，即. (3) 每行的两端都是数字1，而其余的数都等于它“肩上”两个数字之和，也就是. (4) 第行的个数之和：. (5) 杨辉三角第斜列相应各数构成新的数列，这个数列为阶等差数列，且每一斜列的数满足. (6) 杨辉三角的第行，即第（正整数）行的各个数字均为奇数. 2. 二项式系数的性质 (1) 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由得到. (2) 增减性与最大值 因为，即，所以当，即 时，随着的增大而增大；当时，即时，随着的增大而减小，因此二项式系数在中间取得最大值.当是偶数时，中间的一项的二次项系数取得最大值；当是奇数时，中间的两项与的二次项系数与相等，且同时取得最大值. (3) 各二项式系数的和 1　 已知，令，得.这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于. 2　 在二项式定理中，令，得，即.也就是说，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于. 3　 . 题型3：求展开式的系数和 方法提炼 (1) 赋值法：我们可以通过令字母的因式的值为特殊值，一般取1，0，或-1，从而求得展开式的所有项的系数和或某几项的系数和. (2) 已知，令，则，即展开式中的所有项的系数和为. 1　 当为偶数，奇数项系数和为；偶数项系数和为. 2　 当为奇数，奇数项系数和为；偶数项系数和为. 【例3.1.】 （多选）若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D错误. 故选：BC. 【例3.2.】 已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，且第项与第项的二项式系数相等， 所以，解得，取，所以所有项的系数之和为：. 故选：C 【例3.3.】 设，则 ； ． 【答案】 【详解】的通项为， 令，则，故； . 故答案为：；. 【例3.4.】 若，则 . 【答案】 【详解】因为， 取得， 取得， 两式子相加得，即. 故答案为：． 【例3.5.】 在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（    ） A． B．64 C． D．32 【答案】A 【分析】设，利用赋值法计算可得. 【详解】设， 令可得， 令可得， 所以， 即在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为. 故选：A 【例3.6.】 设，，已知 (1)求实数的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)-2； (2)-2； (3)128. 【详解】（1）根据二项式定理可得， ，解得； （2）由（1）知，，令得 再令得 所以； （3）在式子中， 令可得 【例3.7.】 已知. （1）求的值 （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）， 所以； （2）依题意，， 因为 所以 ， 所以的值为. 题型4：求展开式系数最大值 方法提炼 (1) 要注意区分“展开式系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”. (2) 在保证系数均为正的前提下，要求展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，不妨设第项系数最大，则，从而解出来． 【例4.1.】 的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】5 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 【例4.2.】 已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的展开式的通项为， 由题可知，解得． 故选：A 【例4.3.】 在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ． 【答案】 【详解】由的展开式中，仅第项的二项式系数最大，得展开式共项，则， 所以的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即 解得，而，所以，， 所以展开式中系数最大的项是, 故答案为：. 【例4.4.】 已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的二项式系数之和为4096． 所以，解得， 所以二项式展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为. 【例4.5.】 在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合. (3)系数的绝对值最大的项是第几项； 【答案】(1) (2) (3)第项和第项 【详解】（1），， 二项式系数最大的项为中间项，即第项， 所以； （2），， 当为整数时为有理项，即， 则的取值集合为； （3）设第项的系数的绝对值最大， 则，所以，解得， 故系数的绝对值最大的项为第项和第项. 题型5：二项式定理的应用 · 进行近似运算 方法提炼 近似计算的处理方法： 当的绝对值远小于1且不大时， 1　 ;. 2　 当精度要求较高时，. 要求选取展开式保留的项，最后一位小数位符合精度要求即可. 【例5.1.】 最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 【例5.2.】 的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故分别为. 故选：A. 【例5.3.】 （精确到0.01） 【答案】30.84 【详解】原式 故答案为：30.84． · 证明某些整除性问题或求余数 方法提炼 (1) 用二项式定理处理整除性问题，通常把被除数除数（或与除数密切关联的数）与某数的和与差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或前面）一、二项即可. (2) 要注意余数的范围（为除数，为余数，），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换. 【例5.4.】 证明：能被整除； 【详解】证明：因为 所以能被整除； 【例5.5.】 已知能被9整除，则整数的值可以是（    ） A． B． C．9 D．13 【答案】B 【详解】因为 ， 又能被整除， 所以能被整除， 由选项知当时符合，当，或时均不符合. 故选：B． 【例5.6.】 若正整数a，b满足等式，且，则（   ） A．1 B．2 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】由，再根据二项式定理展开后可求的值. 【详解】∵ ， ∴. 故选：D. 【例5.7.】 若，则的值被4除的余数为 ． 【答案】3 【详解】令，得， 因为， 所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即， 当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即， 所以， 又， 故被4除余3． 故答案为：. 【例5.8.】 已知，则被10除所得的余数为（    ） A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是 【答案】C 【详解】， 由， 故被10除所得的余数为. 故选：C. 【例5.9.】 若，则被8整除的余数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】在已知等式中，取得， 取得， 两式相减得， 即， 因为 因为能被8整除， 所以被8整除的余数为5， 即被8整除的余数为5， 故选：B. 【例5.10.】 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2. (1)求n的值； (2)求展开式中含的项的系数； (3)设，则当时，求a除以15所得余数. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）根据题意，，即，又，故. （2）， 其展开式的通项公式，， 令，解得，则， 故展开式中含的项的系数为：. （3）当时，， ， 而能够被整除， 故a除以15所得余数为. · 证明有关不等式 方法提炼 (1) 应用时应注意巧妙地构造二项式. (2) 用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用与逆用，再结合不等式证明方法进行论证. (3) 证明不等式时，应注意运用放缩法.即对结论不构成影响的若干选项可以去掉或增加. 【例5.11.】 请利用二项式定理证明：. 【分析】由于，利用二项式定理将展开，然后利用放缩法可证得结果. 【详解】证：当，时， , 所以结论成立. 【例5.12.】 证明：； 【分析】根据二项式定理可得，即可利用放缩法求解， 【详解】当时，符合； 当时，由二项式定理， ， 由，知； 另一方面，，， 则 ， 综上，. 【例5.13.】 （1）当，时，证明：． （2）当，时，证明：． 【详解】（1）由二项式定理可得， 若，则有 ， 所以成立． （2）由二项式定理得， 若，则有， 则， 所以成立． 【例5.14.】 求证：． 【分析】当时显然成立，当时，利用二项式定理展开后倒序相加法证明即可． 【详解】当时，不等式显然成立； 当时，有： 设， 则 所以 即 · 证明有关恒等式 【例5.15.】 求证：（1）． （2）； （3）.； （4）； （5）； （6）； 【详解】（1）由二项式定理：， 令得： ， 化简得：. （2）证明：令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. （3）证明：， 当时，展开式中的系数为， 又， 当时，展开式中的系数为， ， . （4）因为， 所以，所以 （5）考虑恒等式：， 有 ． 左边展开式中的系数为： ， 而右边展开式中项的系数为零． 所以. 即得所证等式． （6）令，则 ， 因为， 所以， 所以. 题型6： 杨辉三角的探究问题 方法提炼 解决与“杨辉三角”有关问题的一般步骤：观察——分析——实验——猜想结论——证明. 观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察. 猜想结论：归纳思想，即由前面几行所得的结果猜想出一般结论. 证明：利用二项式系数的性质，证明所猜想的结论是正确的. 【例6.1.】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律. 当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2或4 B．2或 C．2 D． 【答案】A 【详解】由规律可得：， 令，，∴， ∵，∴，∴，∴或， 故选：A 【例6.2.】 “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为 . 【答案】 【详解】因为从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…， 所以可以判断从第三个数开始，每个数是它前两个数的和， 所以可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…， 因此第10条斜线上，各数之和为， 故答案为： 【例6.3.】 “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 【答案】C 【详解】由可得 ，故A错误； 第2022行中第1011个数为，故B错误； ，故C正确； 第34行中第15个数与第16个数之比为 ，故D错误. 故选：C. 【例6.4.】 “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（    ）    A．252 B．426 C．462 D．924 【答案】C 【详解】由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数，构成的数列的第项， 根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的项，偶数项为每行的第项， 则即第11行的第项， 结合二项展开式的二项式系数的性质，可得. 故选：C. 【例6.5.】 “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是 ． 【答案】171 【详解】由杨辉三角可得，第2行的第三个数为1； 第3行的第三个数为 ； 第4行的第三个数为 ； 第5行的第三个数为 ； …… 因此第行的第三个数为 ； 而该数列的第35项是第19行的第三个数，所以第35项是 故答案为：171 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $