6.3 二项式定理巩固训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3 二项式定理 1. 已知今天是星期三，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 2. 在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 3. 化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 4. 习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 5. （多选）在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（   ） A． B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C．常数项为 D．展开式中系数最大项为第3项和第4项 6. （多选）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．被8整除的余数为1 D．精确到的近似数为 7. （多选）已知，则下列描述不正确的是（    ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 8. 在的展开式中，的系数为 ． 9. 若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为 . 10. 在的展开式中，若的系数为，则 ；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是 ． 11. 若，则 ． 12. 已知展开式的二项式系数和为512，且 (1)求的值； (2)求的值； (3)求除以6的余数. 13. （1）求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*) 能被31整除； （2） 求S＝除以9的余数； 14. 已知函数，其中． (1)若，，求的最大值； (2)若，求证：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 二项式定理 1. 已知今天是星期三，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【答案】A 【详解】 ． 即除以7的余数为5，所以天后是星期一. 故选：A. 2. 在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【详解】先求展开式中含，的项， 易知，显然其不含， 含的项分别为：，， 所以在的展开式中， 的系数为. 故选：B. 3. 化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故该多项式为的展开式， 化简． 故选：D. 4. 习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【详解】根据题意，由数表可得：第行的第个数为， 由此分析选项： 对于A，，A错误； 对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，B错误； 对于C，记第行的第个数为，则，则，C错误； 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为，D正确． 故选：D． 5. （多选）在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（   ） A． B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C．常数项为 D．展开式中系数最大项为第3项和第4项 【答案】ABD 【详解】展开式的通项为， 则前3项的系数分别为， 对于A，由题意可得， 即，解得或（舍去）， 所以，故A正确； 对于B，展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确； 对于C，展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中常数项为，故C错误； 对于D，设展开式中第项的系数最大项， 则有，解得或， 所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确. 故选：ABD. 6. （多选）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．被8整除的余数为1 D．精确到的近似数为 【答案】ABD 【详解】对于A项，由二项式定理可知，故A项正确； 对于B项，令得①，令得②， 所以①②可得，故B项正确； 对于C项，， 由此可得被8整除的余数为，故C项错误； 对于D项， ， 所以精确到的近似数为，故D项正确. 故选：ABD. 7. （多选）已知，则下列描述不正确的是（    ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 【答案】ACD 【详解】， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 把函数两边同时对求导数，可得， 再令，可得，，可得， 故,故D错误． 故选：ACD． 8. 在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 9. 若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为 . 【答案】 【详解】因为的展开式中各项系数之和为, 令,得,所以6. 因为展开式的通顶公式为, 令,得;令,得, 所以展开式中的系数为. 故答案为： 10. 在的展开式中，若的系数为，则 ；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是 ． 【答案】 －1 【详解】由题意知在的展开式中，的系数为， 即， 若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意， 当时，所以项的系数均为正数，则需满足， 即得； 当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数， 则此时需满足，解得， 综合可得的取值范围是， 故答案为：-1； 11. 若，则 ． 【答案】14 【详解】因为， 化简可得，又， 所以 当时， ， 所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：14. 12. 已知展开式的二项式系数和为512，且 (1)求的值； (2)求的值； (3)求除以6的余数. 【答案】(1)144 (2)19682 (3)1 【详解】（1）解：由展开式的二项式系数和为512，可得，解得， 又由，可得. （2）解：令，即，可得， 令，即，可得， 所以. （3）解：由，可得， 因为能被整除， 所以除以的余数为. 13. （1）求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*) 能被31整除； （2）求S＝除以9的余数； 【详解】（1）证明：∵ 显然为整数， ∴原式能被31整除． （2） ∵是正整数， ∴S被9除的余数为7. 14. 已知函数，其中． (1)若，，求的最大值； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）：，， ∴，∴． 不妨设为中的最大值，则∴ ∴∴或6． 中最大值为． （2）证明：若，， ． 因为， 所以 ． 故得证． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $