6.2.3 组合+6.2.4 组合数 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3 组合 6.2.4 组合数 目录 知识点一：组合的定义 2 题型1：组合意义的理解 2 知识点二：组合数与组合数公式 4 知识点三：组合数的两个性质 5 题型2： 含组合数的计算、证明或解方程、不等式问题 5 题型3： 无限制条件的组合应用题 7 题型4：有限制条件的组合应用题 9  元素（位置）有限制型 9  “至多”与“至少”型 12 题型5：几何图形中组合应用题 14 题型6：分组与分配问题 16 题型7：用隔板法解组合问题 20  相同元素的组合问题 20  不定方程的整数解 22 题型8：排列与组合综合应用题 25 知识点一：组合的定义 1. 一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 2. 排列与组合之间的联系与区别： （1）共同点：都是从个不同元素中取出个元素，元素无重复. （2）不同点：①排列与顺序有关；组合与顺序无关.②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同；两个组合相等，当且仅当这两个组合的元素完全相同. 题型1：组合意义的理解 【例1.1.】 下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【详解】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 【例1.2.】 下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 【例1.3.】 （多选）给出下列问题，属于组合问题的有（    ） A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法 B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法 C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种 D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积 【答案】BCD 【详解】对于A，从3名同学中选出2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题； 对于B，从7人中选出4人观看不涉及顺序问题，是组合问题； 对于C，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题； 对于D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题. 故选：BCD 【例1.4.】 （多选）下列问题是组合问题的有（　　） A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价 C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法 【答案】ABD 【详解】A选项，取出的元素与顺序无关，故是组合问题. B选项，甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. C选项，从5种不同的工作中选出3种，并按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题. D选项，因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需要考虑它们的顺序，故是组合问题. 故选：ABD 知识点二：组合数与组合数公式 1. 组合数 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． 2. 组合数公式 （1） 组合数公式与排列数公式的关系 求“从个不同元素中取出个元素的排列数，可以看作由以下两个步骤得到： 第1步：从个不同元素中取出个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步：将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法. 由分步乘法计数原理得：. （2） 组合数公式 1　 . 2　 因为，所以. 另外，我们规定. 知识点三：组合数的两个性质 性质一： 该性质反映了组合数的对称性，其组合意义是：从个不同的元素中取出个元素后，必然剩下个元素，因此从个不同的元素中取出个元素的组合，与剩下的个元素的组合一一对应.这样，从个不同的元素中取出个元素的组合数，等于从个不同的元素中取出个元素的组合数. 性质二： 其实际意义为：从这个不同的元素中取出个元素的组合数是，可以分为以下两类： 第1类：含有的组合是从这个元素中取出个元素与组成的，共有个; 第2类：不含的组合是从这个元素中取出个元素组成的，共有个. 由分类加法计数原理可得：. 题型2： 含组合数的计算、证明或解方程、不等式问题 【例2.1.】 已知． (1)证明：； (2)证明：． 【详解】（1）因为， ， 所以； （3）因为 ， 所以. 【例2.2.】 证明下列各等式． （1）＝； （2）； 【详解】（1）由，知右边 所以，左边右边，故原式成立． （2）由组合数的性质，知左边 所以，左边右边，故原式成立． 【例2.3.】 若，则的值为（    ） A．45 B．55 C．120 D．165 【答案】D 【详解】因为，则，解得， 故 . 故选：D. 【例2.4.】 已知，则的值为 （用数字作答）. 【答案】462 【详解】由可得， 即， 化简得，整理得， 解得或， 因为，所以， 所以 . 故答案为：462. 【例2.5.】 化简： . 【答案】 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 【例2.6.】 不等式的解为 ． 【答案】 【详解】依题意，所以且， 由得， ， 所以不等式的解为. 故答案为： 题型3： 无限制条件的组合应用题 【例3.1.】 某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（    ） A．2025种 B．4050种 C．8100种 D．16200种 【答案】B 【详解】先考虑两对混双的组合有种不同的方法， 余下名男选手和名女选手各有种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合， 故共有． 故选：B 【例3.2.】 口袋里有红黄蓝绿的小球各四个，这些球除了颜色之外完全相同，现在从口袋里任意取出四个小球，则不同的方法有（    ）种. A．48 B．77 C．35 D．39 【答案】C 【详解】根据条件，取出的四个球可以分为一种，两种，三种，四种颜色， 当取出的球只有一种颜色时：有种； 当取出的球只有二种颜色时：有种； 当取出的球只有三种颜色时：有种； 当取出的球只有四种颜色时：有种； 共有：种.故C项正确. 故选：C. 【例3.3.】 如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位，记为第次跳跃后对应数轴上的数字（，），则满足，的跳跃方法有多少种（    ）      A．336 B．448 C．315 D．420 【答案】B 【分析】先分两类：①，，②，，然后每类分两步，根据组合数公式列式求出结果再相加可得结果. 【详解】因为，所以或. 当，时，前次向左跳跃次，向右跳跃次，后次向右跳跃次， 所以有种； 当，时，前次向右跳跃次，向左跳跃次，后次向左跳跃次，向右跳跃次， 所以有种. 综上所述：满足，的跳跃方法有种. 故选：B 题型4：有限制条件的组合应用题 · 元素（位置）有限制型 【例4.1.】 将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有（   ） A．720种 B．120种 C．32种 D．30种 【答案】D 【详解】六个连续的整数随机排成先递增再递减的单峰序列，封顶必须是最大整数.封顶位置可在第2、3、4、5位， 对于每个，左边需选个数并按升序排列，右边选个数并按降序排列. 当时，左边选1个数，方式有种； 当时，左边选2个数，方式有种； 当时，左边选3个数，方式有种； 当时，左边选4个数，方式有种； 所以. 故选：D. 【例4.2.】 小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（    ） A．28种 B．32种 C．34种 D．40种 【答案】C 【详解】方法一：①8步走完楼梯，走8步走一个台阶，有1种； ②7步走完楼梯，走1步两个台阶6步一个台阶，有种； ③6步走完楼梯，走2步两个台阶4步一个台阶，有种； ④5步走完楼梯，走3步两个台阶2步一个台阶，有种； ⑤4步走完楼梯，走4步两个台阶，有1种， 共计34种． 故选：C． 方法二：设小王上个台阶有种方法，考虑最后一步： 若最后一步小王上个台阶，则前个台阶有种方法且； 若最后一步小王上个台阶，则前个台阶有种方法且. 由加法原理得，易知， 可得， 所以小王上8个台阶的方法共有34种. 故选：C. 【例4.3.】 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（    ） A．66种 B．93种 C．195种 D．273种 【答案】B 【详解】①每个检测点均为一男一女通过，共有种不同的结果； ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有种. 故选：B. 【例4.4.】 武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（    ） A．19840种 B．16000种 C．31360种 D．9920种 【答案】D 【详解】先从5天中选3天排太极拳，有种， 然后再从所选的3天中选一节排太极拳有种， 所以太极拳有种排法， 若五天中有天既有太极拳又有形意拳， 则哪一天重复有种， 再从另外不重复的2天中每天选1天排形意拳，有种， 再从剩下的4节课中选2节排长拳，有种，则另外2节排兵器， 所以有种， 若五天中有天既有太极拳又有形意拳， 则哪两天重复有种， 再从另外不重复的2天中排形意拳，有种， 再从剩下的4节课中抽2节课排长拳，有种，则另外2节排兵器， 但排在同一天不合适，所以有种， 所以共有种， 若五天中有天既有太极拳又有形意拳， 则剩下的4节课中选2节排长拳，有种，再去掉排同一天的种， 所以有种， 综上所述：共有 种. 故选：D. · “至多”与“至少”型 方法提炼 “至多”“至少”问题，常用的解题方法： 1　 直接分类法，以其中的某个条件为主去进行分类（对于较复杂的分类问题，可以借助集合的图示法来确定分类标准），分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类不重复; 2　 间接法（排除法），要找准对立面，确保不重不漏，注意容斥原理“”的运用. 【例4.5.】 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案） 【答案】 【详解】［方法一］：反面考虑 没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法， 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种． 故答案为：. ［方法二］：正面考虑 若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种； 若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种． 故答案为：. 【例4.6.】 将8块完全相同的巧克力分配给A，B，C，D四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）. 【答案】19 【详解】满足条件的分配方案可分为3类，第一类每人2块，第二类有两人3块，两人1块，第三类，一人3块，一人一块，2人2块， 属于第一类的分配方案有1个， 属于第二类的分配方案有个，即6个， 属于第三类的分配方案有个，即12个， 故满足条件的分配方案的总数为19个， 故答案为：19. 【例4.7.】 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 【例4.8.】 某市举行数学“”节竞赛活动，某学校有7名数学成绩优秀的学生，其中4名男生3名女生，该学校需从中选派3人组成代表队参赛，其中男生甲和女生乙至少有一人入选，不同的选派方法共有 种（数字作答）． 【答案】25 【详解】由题意，男生甲和女生乙至少有一人入选包含三种情况： ①仅选甲不选乙，从剩余5人中选2人，种， ②仅选乙不选甲，同理，种， ③同时选甲和乙，从剩余5人中选1人，种， 所以不同的选派方法共有种. 故答案为：25. 【例4.9.】 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为 （ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】由题意及=15知仅需少交换2次即可 ①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人， ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人． 题型5：几何图形中组合应用题 方法提炼 （1）解决几何图形中的组合问题，首先运用常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出几何问题，寻找一个组合的模型加以处理. （2）图形的个数问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算. （3）在处理几何图形中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决. 【例5.1.】 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 【答案】. 【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率． 故答案为：． 【例5.2.】 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（    ） A．220 B．200 C．190 D．170 【答案】C 【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 故选：C. 【例5.3.】 在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有（    ） A．141种 B．144种 C．147种 D．149种 【答案】A 【详解】如下图，共有10个点任选4个有种， 每个侧面的6个点都共面，任选4个有种，共4个面，则有60种共面情况， 如分别构成一个平面，有3种， 如分别构成一个平面，有6种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取4个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：A 【例5.4.】 如图，已知图形，内部连有线段．图中矩形总计有（    ）个． A．75 B．111 C．102 D．120 【答案】C 【详解】由题意，要组成矩形应从竖线中选两条、横线中选两条，可分两种情况： 当矩形的边不在上时，共有个， 当矩形的边在上时，共有个， 所以图中矩形总计有个. 故选：C. 【例5.5.】 从正方体的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到 个不同的四面体. 【答案】58. 【详解】从8个顶点中任取4个有种方法，从中去掉6个表面和6个对角面， 所以共有. 题型6：分组与分配问题 方法提炼 (1) 将个不同的元素分成组，且都不考虑各组间的顺序， 1　 若每组元素数目均不相等，则分法种数为。 2　 假定其中k组元素个数相等，其分法种数为，如果再有r组均匀分组应再除以。 (2) 将个不同的元素分成组，且考虑各组间的顺序， 1　 若每组元素数目均不相等，则分法种数为 。 2　 假定其中k组元素个数相等，其分法种数为 。 (3) 将个元素按一定要求分给个人，称为分配问题. (4) 分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，就是不可区分的；而后者即使元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的。对于这类问题必须遵循“先分组后排列”的原则. 【例6.1.】 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（    ） A．48 B．54 C．60 D．72 【答案】C 【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况. 【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人， 共有 种方法； 由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选， 所以由 种方法； 按照分步乘法原理，共有 种方法； 故选：C. 【例6.2.】 将分别标有数字的五个小球放入三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字和的小球放入同一个盒子，则不同放法的总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若标有数字和的小球所放入盒子中无其他小球，则剩余三个小球需放入两个不同的盒子中， 将剩余三个小球分为的两组，则共有种分法； 将分组后的小球放入三个盒子中，共有种放法，则共有种方法； 若标有数字和的小球所放入盒子中共有个小球，则需选择一个小球与标有数字和的小球放在一起，有种选法； 将剩余两个小球平均分为两组，有种分法； 将分组后的小球放入三个中，共有种放法，则共有种方法； 综上：不同放法的总数为. 故选：C. 【例6.3.】 学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（        ）种不同的分配方案． A．18 B．20 C．28 D．34 【答案】D 【详解】根据本校监考人数分为： 本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案， 所以总数为：； 本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案， 所以总数为：，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34； 故选：D. 【例6.4.】 有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法； B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法； C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法； D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法； 【答案】D 【详解】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误； 选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误； 选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误； 选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确. 故选：D. 【例6.5.】 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．72 B．84 C．100 D．120 【答案】C 【详解】若甲去点，则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点. 当剩余4人只去、两个点时，人员分配为或， 此时的分配方法有； 当剩余4人分为3组去，，3个点时， 先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有， 综上可得，甲去点，不同的安排方法数是. 同理，甲去点，不同的安排方法数也是， 所以，不同的安排方法数是. 故选：C. 【例6.6.】 （多选）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同安排方案的种数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 【答案】BD 【详解】对A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故A错误； 对B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作， 则不同安排方案的种数为，故B正确； 对C，先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是，故C错误； 对D，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组， 安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为； 第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作， 再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作， 则不同安排方案的种数为.所以不同安排方案的种数是，故D正确. 故选：BD. 题型7：用隔板法解组合问题 · 相同元素的组合问题 方法提炼 “个相同元素有序分成组（）”的问题，一般可用隔板法求解： (1) 当每组至少含有一个元素时，其不同分组方式有种，即给个元素的中间个空格中加入个“隔板”. (2) 任意分组，可能出现某个组含0个元素的情况，其不同分组方式有种，即先借过来n个元素，给每个人分一个，将问题转化为将个相同元素分配给n个人，每人至少1个，分完之后每个人再扣除一个. 【例7.1.】 小梁同学将个完全相同的球放入个不同的盒子中有种放法，小郅同学将个完全不同的球放入个相同的盒子中有种放法.若每个盒子中至少有一个球，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意将个完全相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球， 利用隔板法共有种放法，所以； 将个完全不同的球放入个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个球， 可以将个球分成组，有和两种分组方法， 按分组时，有种放法，按分组时，有种放法， 所以，所以. 故选：B 【例7.2.】 把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（    ） A．70 B．99 C．110 D．165 【答案】D 【详解】方法一：当8个相同的蓝球只分给其中1人时，有4种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的4人时，每人至少一个，此时将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有种分法； 因此把8个相同的蓝球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数有： 故选：D. 方法二：根据题意，有种分法. 【例7.3.】 现有13个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一班和二班每班至少3个名额，三班和四班每班至少2个名额，五班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）. A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 【答案】B 【详解】根据题意，先将13个名额分能给一班、二班每班2个，三班、四班每班1个， 而由于五班可以不分配名额， 则将剩下的7个名额加上1个空名额，再分成5组，每组至少1个名额， 由于有，利用“隔板法”，有种分配方式. 故选：B. 【例7.4.】 某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有 种． 【答案】 【详解】第一步，确定分配有4个名额的班，共有4种， 第二步，利用隔板法，剩余16个参赛名额的分配方式有种 则不同的分配方案有； 下面考虑重复的部分： 当有两个班级拿4个名额时，共有种方法，该种分配方式计算了两次； 当有三个班级拿4个名额时，共有种方法，该种分配方式计算了三次； 所以满足要求的分配方法数为： 故答案为：358． 【例7.5.】 20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120种 B．240种 C．360种 D．720种 【答案】A 【详解】先在编2号,3号的盒内分别放入1个球和2个球，还剩17个小球， 三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙， 插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有（种）方法． 故选:A. · 不定方程的整数解 方法提炼 不定方程就是未知数的个数大于方程的个数的一类方程.求这类不定方程的整数解的常用方法是“隔板法”. 【例7.6.】 为研究方程正整数解的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空挡”，在这7个“空挡”中选择2个“空挡”，在每个“空挡”插入1块挡板，2块挡板将这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应，，的一个正整数解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为．据此原理，则方程的正整数解的不同组数为 （用数字作答）；该方程自然数解的不同组数为 （用数字作答）． 【答案】 84 286 【详解】由题意，则方程的正整数解的不同组数为， 若中没有，则有种， 若中有个为，则有种， 若中有个为，则有种， 若中有个为，则有种， 该方程自然数解的不同组数为． 故答案为：84；286． 【例7.7.】 方程的非负整数解个数为（    ）． A．220 B．120 C．84 D．24 【答案】A 【详解】依题意，可知为非负整数， 因为， 所以， 从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球， 一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种. 故选：A 【例7.8.】 用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有 个． 【答案】 【详解】设对应个位到百位上的数字，则且，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，如图， 这11个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为，第二组数的和作为，第三组数的和作为， 故共种， 故答案为：45． 【例7.9.】 方程的非负整数解的组数为（    ） A．40 B．28 C．22 D．12 【答案】A 【详解】因为，故因数2可以选择0，1，2，3，4个，同理因数3可以选择0，1，2，3个，因数5可以选择0，1个，因此的因数有个， 故方程的非负整数解的组数为40． 故选：A 【例7.10.】 某校高一数学兴趣小组一共有15名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法. 【答案】 【详解】设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设， 则有恒等式， 其中，，，， 即，，，， 故式为， 上式四个正整数的和为，相当于个分成四组，运用隔板法，在个空中放块板， 故有种方法. 故答案为： 题型8：排列与组合综合应用题 方法提炼 解决排列与组合的综合问题时，应遵循三大原则：①先特殊后一般；②先组合后排列；③先分类后分步. 【例8.1.】 开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A，B，C三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有（     ） A．6种 B．12种 C．15种 D．18种 【答案】B 【详解】①若甲单独安排到A中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到两个中学， 共有：种方式， ②若甲和另一名防疫专家被安排到A中学，则有：种方式， 则剩下的2名防疫专家分到到两个中学，有：种方式， 由分步乘法原理有：种方式， 又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有：种方式， 故选：B. 【例8.2.】 现将甲乙丙丁四个人全部安排到市､市､市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到市工作的安排种数为（    ） A．12 B．14 C．18 D．22 【答案】D 【详解】若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有安排种数，故有种； 若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，丙丁中一人到市工作，有种选择，其余2人到另外两个地方工作，有种选择，故安排种数有种； 若安排甲乙2人都到市工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有种， 故总共有12+8+2=22种. 故选：D 【例8.3.】 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任联欢晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 【答案】A 【详解】若甲被选出，从其它3位同学选2位有种， 将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种， 所以共有种； 若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种， 综上，共有种. 故选：A 【例8.4.】 某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 【答案】C 【详解】若乙、丙、丁 3 人体验的项目各不相同，则有 种体验方法， 若乙、丙、丁 3 人有 2 人体验的项目相同，则有 种体验方法， 故不同的体验方法共有 24 种. 故选：C. 【例8.5.】 为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法； 若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法， 剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校）， 分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、 （1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校）， 共种排法； 若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法， 若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法； 若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组， 分别有、、种排法，故共有： 种排法. 故选：B. 【例8.6.】 将1，2，3，4，5，6，7，8填入如图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有两列数字之和为9的填法有（    ） A．576种 B．1152种 C．2304种 D．4608种 【答案】D 【详解】依题意，将1，2，3，4，5，6，7，8按照两个数字之和为9分成“18，27，36，45”四组，从中任取2组有种方法， 再在四列方格中任选2列，填入这两组数字，有种方法，每一列的两个数字的排列有种方法； 余下4个数字填入方格有种，满足同列数字和为9的有种， 所以不同填法共有种. 故选：D 【例8.7.】 把分别标有号、号、号、号的个不同的小球放入分别标有号、号、号的个盒子中，没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】个小球放入个盒子，没有空盒子，则有两个小球放入同一个盒子，因此分为两类： 第一类：号小球单独放入一个盒子，分步： 第步，从号、号、号个小球中，选出个小球，放入与未被选中小球标号相同的盒子中，有种方法； 第步，将未被选中的小球和号小球，分别放入另外个盒子中，有种方法. ∴号小球单独放入一个盒子，有种方法. 例如：第步，选出号、号小球放入号盒；第步，号小球放入号盒，号小球放入号盒. 第二类：号小球与另一小球共同放入一个盒子，分步： 第步，从号、号、号个小球中，选出个小球，有种方法； 第步，将号小球与第步选出的小球放入与选出小球标号不同的盒子中，有种方法； 第步，剩余的个小球，其中个，与剩余的两个空盒其中的个标号相同，只有方法放置. ∴号小球与另一小球共同放入一个盒子，有种方法. 例如：第步，选出号球；第步，将号、号小球放入号盒；第步，号小球放入号盒，号小球放入号盒. ∴没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为种. 故选：B. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 目录 知识点一：组合的定义 2 题型1：组合意义的理解 2 知识点二：组合数与组合数公式 4 知识点三：组合数的两个性质 5 题型2： 含组合数的计算、证明或解方程、不等式问题 5 题型3： 无限制条件的组合应用题 7 题型4：有限制条件的组合应用题 9  元素（位置）有限制型 9  “至多”与“至少”型 12 题型5：几何图形中组合应用题 14 题型6：分组与分配问题 16 题型7：用隔板法解组合问题 20  相同元素的组合问题 20  不定方程的整数解 22 题型8：排列与组合综合应用题 25 知识点一：组合的定义 1. 一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 2. 排列与组合之间的联系与区别： （1）共同点：都是从个不同元素中取出个元素，元素无重复. （2）不同点：①排列与顺序有关；组合与顺序无关.②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同；两个组合相等，当且仅当这两个组合的元素完全相同. 题型1：组合意义的理解 【例1.1.】 下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【例1.2.】 下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【例1.3.】 （多选）给出下列问题，属于组合问题的有（    ） A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法 B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法 C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种 D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积 【例1.4.】 （多选）下列问题是组合问题的有（　　） A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价 C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法 知识点二：组合数与组合数公式 1. 组合数 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． 2. 组合数公式 （1） 组合数公式与排列数公式的关系 求“从个不同元素中取出个元素的排列数，可以看作由以下两个步骤得到： 第1步：从个不同元素中取出个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步：将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法. 由分步乘法计数原理得：. （2） 组合数公式 1　 . 2　 因为，所以. 另外，我们规定. 知识点三：组合数的两个性质 性质一： 该性质反映了组合数的对称性，其组合意义是：从个不同的元素中取出个元素后，必然剩下个元素，因此从个不同的元素中取出个元素的组合，与剩下的个元素的组合一一对应.这样，从个不同的元素中取出个元素的组合数，等于从个不同的元素中取出个元素的组合数. 性质二： 其实际意义为：从这个不同的元素中取出个元素的组合数是，可以分为以下两类： 第1类：含有的组合是从这个元素中取出个元素与组成的，共有个; 第2类：不含的组合是从这个元素中取出个元素组成的，共有个. 由分类加法计数原理可得：. 题型2： 含组合数的计算、证明或解方程、不等式问题 【例2.1.】 已知． (1)证明：； (2)证明：． 【例2.2.】 证明下列各等式． （1）＝； （2）； 【例2.3.】 若，则的值为（    ） A．45 B．55 C．120 D．165 【例2.4.】 已知，则的值为 （用数字作答）. 【例2.5.】 化简： . 【例2.6.】 不等式的解为 ． 题型3： 无限制条件的组合应用题 【例3.1.】 某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（    ） A．2025种 B．4050种 C．8100种 D．16200种 【例3.2.】 口袋里有红黄蓝绿的小球各四个，这些球除了颜色之外完全相同，现在从口袋里任意取出四个小球，则不同的方法有（    ）种. A．48 B．77 C．35 D．39 【例3.3.】 如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位，记为第次跳跃后对应数轴上的数字（，），则满足，的跳跃方法有多少种（    ）      A．336 B．448 C．315 D．420 题型4：有限制条件的组合应用题 · 元素（位置）有限制型 【例4.1.】 将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有（   ） A．720种 B．120种 C．32种 D．30种 【例4.2.】 小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（    ） A．28种 B．32种 C．34种 D．40种 【例4.3.】 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（    ） A．66种 B．93种 C．195种 D．273种 【例4.4.】 武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（    ） A．19840种 B．16000种 C．31360种 D．9920种 · “至多”与“至少”型 方法提炼 “至多”“至少”问题，常用的解题方法： 1　 直接分类法，以其中的某个条件为主去进行分类（对于较复杂的分类问题，可以借助集合的图示法来确定分类标准），分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类不重复; 2　 间接法（排除法），要找准对立面，确保不重不漏，注意容斥原理“”的运用. 【例4.5.】 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案） 【例4.6.】 将8块完全相同的巧克力分配给A，B，C，D四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）. 【例4.7.】 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【例4.8.】 某市举行数学“”节竞赛活动，某学校有7名数学成绩优秀的学生，其中4名男生3名女生，该学校需从中选派3人组成代表队参赛，其中男生甲和女生乙至少有一人入选，不同的选派方法共有 种（数字作答）． 【例4.9.】 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为 （ ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型5：几何图形中组合应用题 方法提炼 （1）解决几何图形中的组合问题，首先运用常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出几何问题，寻找一个组合的模型加以处理. （2）图形的个数问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算. （3）在处理几何图形中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决. 【例5.1.】 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 【例5.2.】 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（    ） A．220 B．200 C．190 D．170 【例5.3.】 在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有（    ） A．141种 B．144种 C．147种 D．149种 【例5.4.】 如图，已知图形，内部连有线段．图中矩形总计有（    ）个． A．75 B．111 C．102 D．120 【例5.5.】 从正方体的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到 个不同的四面体. 题型6：分组与分配问题 方法提炼 (1) 将个不同的元素分成组，且都不考虑各组间的顺序， 1　 若每组元素数目均不相等，则分法种数为。 2　 假定其中k组元素个数相等，其分法种数为，如果再有r组均匀分组应再除以。 (2) 将个不同的元素分成组，且考虑各组间的顺序， 1　 若每组元素数目均不相等，则分法种数为 。 2　 假定其中k组元素个数相等，其分法种数为 。 (3) 将个元素按一定要求分给个人，称为分配问题. (4) 分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，就是不可区分的；而后者即使元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的。对于这类问题必须遵循“先分组后排列”的原则. 【例6.1.】 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（    ） A．48 B．54 C．60 D．72 【例6.2.】 将分别标有数字的五个小球放入三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字和的小球放入同一个盒子，则不同放法的总数为（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（        ）种不同的分配方案． A．18 B．20 C．28 D．34 【例6.4.】 有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法； B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法； C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法； D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法； 【例6.5.】 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．72 B．84 C．100 D．120 【例6.6.】 （多选）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同安排方案的种数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 题型7：用隔板法解组合问题 · 相同元素的组合问题 方法提炼 “个相同元素有序分成组（）”的问题，一般可用隔板法求解： (1) 当每组至少含有一个元素时，其不同分组方式有种，即给个元素的中间个空格中加入个“隔板”. (2) 任意分组，可能出现某个组含0个元素的情况，其不同分组方式有种，即先借过来n个元素，给每个人分一个，将问题转化为将个相同元素分配给n个人，每人至少1个，分完之后每个人再扣除一个. 【例7.1.】 小梁同学将个完全相同的球放入个不同的盒子中有种放法，小郅同学将个完全不同的球放入个相同的盒子中有种放法.若每个盒子中至少有一个球，则（     ）. A． B． C． D． 【例7.2.】 把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（    ） A．70 B．99 C．110 D．165 【例7.3.】 现有13个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一班和二班每班至少3个名额，三班和四班每班至少2个名额，五班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）. A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 【例7.4.】 某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有 种． 【例7.5.】 20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120种 B．240种 C．360种 D．720种 · 不定方程的整数解 方法提炼 不定方程就是未知数的个数大于方程的个数的一类方程.求这类不定方程的整数解的常用方法是“隔板法”. 【例7.6.】 为研究方程正整数解的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空挡”，在这7个“空挡”中选择2个“空挡”，在每个“空挡”插入1块挡板，2块挡板将这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应，，的一个正整数解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为．据此原理，则方程的正整数解的不同组数为 （用数字作答）；该方程自然数解的不同组数为 （用数字作答）． 【例7.7.】 方程的非负整数解个数为（    ）． A．220 B．120 C．84 D．24 【例7.8.】 用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有 个． 【例7.9.】 方程的非负整数解的组数为（    ） A．40 B．28 C．22 D．12 【例7.10.】 某校高一数学兴趣小组一共有15名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法. 题型8：排列与组合综合应用题 方法提炼 解决排列与组合的综合问题时，应遵循三大原则：①先特殊后一般；②先组合后排列；③先分类后分步. 【例8.1.】 开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A，B，C三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有（     ） A．6种 B．12种 C．15种 D．18种 【例8.2.】 现将甲乙丙丁四个人全部安排到市､市､市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到市工作的安排种数为（    ） A．12 B．14 C．18 D．22 【例8.3.】 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任联欢晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 【例8.4.】 某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 【例8.5.】 为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 【例8.6.】 将1，2，3，4，5，6，7，8填入如图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有两列数字之和为9的填法有（    ） A．576种 B．1152种 C．2304种 D．4608种 【例8.7.】 把分别标有号、号、号、号的个不同的小球放入分别标有号、号、号的个盒子中，没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $