6.2.3 组合6.2.4 组合数巩固训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3 组合 6.2.4 组合数 1. 身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是（    ） A．5040 B．36 C．18 D．20 【答案】D 【详解】最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法， 另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有（种）. 故选：D. 2. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（    ） A．248种 B．168种 C．360种 D．210种 【答案】D 【详解】根据题意进行分类： 第一类：甲、乙、丙每人分得2本，（种）； 第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本，（种）. 所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法． 故选：D. 3. （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B. 4. 在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（　　） A．120 B．204 C．168 D．216 【答案】B 【详解】分两类，第一类不含数字“0”，从1到9的自然数中任意取出3个，都可以得到严格递增或严格递减顺序排列的三位数，共有个； 第二类含有数字“0”，从1到9的自然数中任意取出2个，三个数只能排出严格递减顺序的三位数，共有个， 根据分类加法计数原理，所以共有个. 故选：B 5. 班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（    ） A．60种 B．54种 C．48种 D．36种 【答案】B 【详解】第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时， 先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有种结果， 然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有种结果， 余下的两个学科给剩下的两个人，有种结果， 所以不同的安排方案共有种， 第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时， 先选两人出来，有种结果， 再将四门不同学科分成两堆，有种结果， 将学科分给学生，有种结果， 所以不同的安排方案共有种， 综合得不同的安排方案共有种. 故选：B. 6. 某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（    ） A．70 B．140 C．252 D．504 【答案】B 【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有种选法， 他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法， 所以此时满足题意的选法有， 由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有种选法， 他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法， 所以此时满足题意的选法有， 综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于种. 故选：B. 7. 据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．50 B．64 C．66 D．78 【答案】A 【详解】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶， 排成的音序有种； ④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶， 排成的音序有种. 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：A. 8. （多选）某校周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 【答案】CD 【详解】不同的安排方法共有种，故选项A错误； 若恰有一项工作无人去参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数， 则不同的安排方法共有种，故选项B错误； 若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去， 此时先从丙、丁两人中，选人或人安排到项工作，然后再安排剩余的人到项工作， 则不同的安排方法共有种，故选项C正确； 学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班， 每个班至少一个名额，采用挡板法，有种方法；故选项D正确． 故选：CD 9. 各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为 （请用数字作答）． 【答案】56 【详解】设，，，对应个位到千位上的数字，则， 且，相当于6个相同的球排成一排，每个球表示1， 先拿一个球装入，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个球用3个隔板分成4组（各组不可为空）， 故共有种． 故答案为：56． 10. 从下图12个点中任取三个点则所取的三个点能构成三角形的概率为 ． 【答案】 【详解】从12个点中任取三个点，有种取法， 由图示得三个点在一条直线上的情况有， 所以所取的三个点能构成三角形的概率为． 故答案为： 11. 现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是 .（用数字作答） 【答案】180 【详解】6本书分给甲乙丙3人，每人至少1本. 则3人书籍本数分为1，1，4；1，2，3；2，2，2三大类情况. 第一类1，1，4情况： 若甲分1本，已分得书籍，则另两人一人1本，1人4本，共有种， 若甲分4本，即再取3本，则剩余2本书分给乙丙，一人一本，则共有种， 故第一类情况共有种； 第二类1，2，3情况： 若甲分1本，已分得书籍，另两人一人2本，1人3本，共有种， 若甲分2本，另两人一人1本，1人3本，共有种， 若甲分3本，另两人一人1本，1人2本，共有种， 故第二类情况共有种； 第三类2，2，2情况： 每人都两本，故甲再取1本，乙丙平均分剩下4本，则共有种； 所以不同的分发方式种数共. 故答案为：180. 12. 如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有 种． 【答案】401 【详解】如图，当路线经过点时，从到有1种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有1种， 所以不同的走法共有（种）. 故答案为：401 13. 求的值； （2） 证明： ． 【详解】（1）由， 所以 （2）因为， ， 所以． 14. 现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球. (1)将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数； (2)从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数； (3)将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数. 【详解】（1）先将4个不同的黑球全排列，有种方法；再将2个不同的红球全排列，有种方法； 接着将4个黑球看成是1个元素连同整体红球共2个元素全排列，有种方法； 最后将2个黄球排在2个大元素形成的三个空位上，有种方法. 所以总的排法数为； （2）从这8个球中取出4个球，要求各种点色的球都取到，取球的方式是1，1，2， 所以取法种数为； （3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，有两类：2，2，4；2，3，3； 所以分堆种数为. 15. 为庆祝3.8妇女节，某中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【详解】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案； （2）总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场： 先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 1. 身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是（    ） A．5040 B．36 C．18 D．20 2. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（    ） A．248种 B．168种 C．360种 D．210种 3. （    ） A． B． C． D． 4. 在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（　　） A．120 B．204 C．168 D．216 5. 班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（    ） A．60种 B．54种 C．48种 D．36种 6. 某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（    ） A．70 B．140 C．252 D．504 7. 据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．50 B．64 C．66 D．78 8. （多选）某校周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 9. 各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为 （请用数字作答）． 10. 从下图12个点中任取三个点则所取的三个点能构成三角形的概率为 ． 11. 现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是 .（用数字作答） 12. 如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有 种． 13. 求的值； （2） 证明： ． 14. 现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球. (1)将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数； (2)从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数； (3)将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数. 15. 为庆祝3.8妇女节，某中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $