6.2.1 排列 6.2.2 排列数讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.1 排列 6.2.2排列数 目录 知识点一：排列的定义 2 题型1：对排列定义的理解 2 知识点二：排列数与排列数公式 3 题型2： 含排列数的计算、证明或解方程、不等式问题 4 题型3： 无限制条件的排列问题 5 题型4：有限制条件的排列问题 5 题型5：“在”与“不在”问题 6 题型6：“相邻”与“不相邻”问题 6 题型7：数字的排列问题 7 题型8：含重复元素的排列问题 8 题型9：某些元素顺序确定的排列问题 9 知识点一：排列的定义 一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列． 题型1：对排列定义的理解 方法提炼 (1) 只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列. (2) 判断一个具体问题是否为排列问题，就是从个不同元素中取出个元素，判断在安排这个元素的时候是否有序，有序就是排列;无序就不是排列.而检验是否有序的依据就是交换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有序；无变化就是无序. 【例1.1.】 下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【例1.2.】 （多选）下列问题是排列问题的为（　　） A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课 B．某班名同学在假期互发微信 C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除 D．10个车站，站与站间的车票 【例1.3.】 （多选）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从10人中选2人去游泳 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 【例1.4.】 （多选）下列问题中，属于排列问题的有（    ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法 C．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 D．从1，2，3，4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数 知识点二：排列数与排列数公式 1. 排列数 从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． 2. 排列数公式 (1) 排列数公式的推导 假设有排好顺序的个空位， 从个元素中任取个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数. 填空可以分为个步骤完成： 根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为. 所以，我们就得到排列数的公式为 其中，，且. (2) 全排列与阶乘 特别地，我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，这时，排列数公式中，即有 这个公式中等号的右边是正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示. 于是，全排列数公式可以写成，规定. 排列数公式写成阶乘的形式为： 题型2： 含排列数的计算、证明或解方程、不等式问题 方法提炼 (1) 拆项的技巧 1　 或 证明： 2　 (2) 化简的技巧 1　 或 2　 【例2.1.】 （    ） A． B．3 C． D． 【例2.2.】 （多选）已知，则的可能取值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2.3.】 ． 【例2.4.】 若，则M的个位数字为 ． 【例2.5.】 解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【例2.6.】 证明下列等式． （1）. （2）； （3）． 题型3： 无限制条件的排列问题 【例3.1.】 从4名学生中挑选2人，分别担任正、副班长，则不同的安排方案有（    ）种． A．6 B．12 C．16 D．20 【例3.2.】 将5名司机、5名售票员分配到5辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则所有分配方案的种数为（    ）. A． B． C． D． 【例3.3.】 8名学生站成两排，前排3人，后排5人，则不同站法的种数为（    ） A． B． C． D． 题型4：有限制条件的排列问题 【例4.1.】 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【例4.2.】 将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有 种． 【例4.3.】 现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（   ） A．6 B．15 C．20 D．30 【例4.4.】 将数字、、、、、、、排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（    ） A． B． C． D． 题型5：“在”与“不在”问题 方法提炼 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置的排列问题，一般从以下三种思路考虑： (1) 以元素为主体：即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2) 以位置为主体：即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置; (3) 用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数. 【例5.1.】 某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（   ） A．184种 B．196种 C．252种 D．268种 【例5.2.】 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（    ） A．44 B．46 C．48 D．54 【例5.3.】 甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（    ） A．128种 B．96种 C．72种 D．48种 【例5.4.】 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 题型6：“相邻”与“不相邻”问题 方法提炼 （1）将个不同元素排成一排，其中某个元素排在相邻位置上，求排列数时，使用捆绑法，具体方法如下： 1　 先把排在一起的个元素“捆绑在一起”，并把捆绑在一起的元素当作一个“大元素”与其他元素进行排列，共有种排法； 2　 将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，共有种排法； 3　 根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种. （2）将个不同的元素排成一排，其中个元素互不相邻 ，求排列数时，使用插空法，具体方法如下： 1　 先把没有不相邻要求的个元素排好，有种排法； 2　 个不同元素有个空，将个不同元素放入这个空中，有种排法； 3　 由分步乘法计数原理，共有种排法. 【例6.1.】 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（    ）种不同的情况. A．18 B．24 C．36 D．48 【例6.2.】 6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（   ） A．72种 B．144种 C．216种 D．256种 【例6.3.】 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有 种（用数字作答）. 【例6.4.】 某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 【例6.5.】 7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（    ）种站排方式． A．672 B．864 C．936 D．1056 题型7：数字的排列问题 方法提炼 含有数字“0”的排列问题，隐含了数字“0”不能在首位（即最高位）的条件，应将其视为有限制条件的元素优先进行排列. 【例7.1.】 “回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（    ） A．100个 B．125个 C．225个 D．250个 【例7.2.】 从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A．36 B．42 C．45 D．54 【例7.3.】 用这九个数字组成的无重复数字的四位奇数中，各位数字之和为偶数的共有（    ） A．120个 B．600个 C．720个 D．840个 【例7.4.】 形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为（    ） A．13 B．16 C．20 D．25 【例7.5.】 用五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？ 题型8：含重复元素的排列问题 方法提炼 对含有相同元素求排列种数的方法： 有个不同元素，其中各元素重数分别为，且，则这个元素的排列种数为． 【例8.1.】 将这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入，且每个格子中只能填一个数，则不同的填法共有 种.（用数字作答） 【例8.2.】 有的方格中停放三辆完全相同的红色车和三辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，则停放的方法数为（    ） A．720 B．2160 C．8400 D．14400 【例8.3.】 某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有 种（用数字作答）． 题型9：某些元素顺序确定的排列问题 方法提炼 含定序元素的排列问题常规方法： (1) 全排消序法 若有个元素排成一列，其中个元素必须按照一定顺序排列，将这个元素全排列有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他个元素的位置不动，把这个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有 种满足条件的排法. (2) 插空法：先排好个元素，只有1种排法；剩下的个元素插入由以上个元素形成的个空当中. (3) 只选不排法：先从个位置中选出个位置，排列这个元素有种，剩下的个元素在剩下的个位置进行排列，有种，共有种排法. 【例9.1.】 高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．42 B．30 C．21 D．15 【例9.2.】 如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 【例9.3.】 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【例9.4.】 某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 （用数字作答） 【例9.5.】 如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（    ） A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.1 排列 6.2.2排列数 目录 知识点一：排列的定义 2 题型1：对排列定义的理解 2 知识点二：排列数与排列数公式 4 题型2： 含排列数的计算、证明或解方程、不等式问题 5 题型3： 无限制条件的排列问题 7 题型4：有限制条件的排列问题 8 题型5：“在”与“不在”问题 9 题型6：“相邻”与“不相邻”问题 12 题型7：数字的排列问题 15 题型8：含重复元素的排列问题 18 题型9：某些元素顺序确定的排列问题 19 知识点一：排列的定义 一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列． 题型1：对排列定义的理解 方法提炼 (1) 只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列. (2) 判断一个具体问题是否为排列问题，就是从个不同元素中取出个元素，判断在安排这个元素的时候是否有序，有序就是排列;无序就不是排列.而检验是否有序的依据就是交换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有序；无变化就是无序. 【例1.1.】 下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题； B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题； C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题； D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题． 故选：D 【例1.2.】 （多选）下列问题是排列问题的为（　　） A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课 B．某班名同学在假期互发微信 C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除 D．10个车站，站与站间的车票 【答案】BCD 【详解】对于A：不存在顺序问题，不是排列问题； 对于B：存在顺序问题，是排列问题； 对于C：两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题； 对于D：车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题． 故选：BCD 【例1.3.】 （多选）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从10人中选2人去游泳 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 【答案】AD 【详解】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题； 对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题； 对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题； 对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题． 故选：AD 【例1.4.】 （多选）下列问题中，属于排列问题的有（    ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法 C．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 D．从1，2，3，4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数 【答案】ACD 【详解】对于A，因为两名同学担任的是正、副班长，所以是排列问题，A正确； 对于B，因为两名同学参加的志愿者活动与顺序无关，所以不是排列问题，B错误； 对于C，对于C，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，C正确； 对于D，四个数字中任取两个组成两位数，与顺序有关，是排列问题，D正确． 故选：AD 知识点二：排列数与排列数公式 1. 排列数 从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． 2. 排列数公式 (1) 排列数公式的推导 假设有排好顺序的个空位， 从个元素中任取个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数. 填空可以分为个步骤完成： 根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为. 所以，我们就得到排列数的公式为 其中，，且. (2) 全排列与阶乘 特别地，我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，这时，排列数公式中，即有 这个公式中等号的右边是正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示. 于是，全排列数公式可以写成，规定. 排列数公式写成阶乘的形式为： 题型2： 含排列数的计算、证明或解方程、不等式问题 方法提炼 (1) 拆项的技巧 1　 或 证明： 2　 (2) 化简的技巧 1　 或 2　 【例2.1.】 （    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 【例2.2.】 （多选）已知，则的可能取值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【详解】因为，所以，所以， 其中，而 ， 所以的值可能是2或3． 故选：CD． 【例2.3.】 ． 【答案】0 【详解】. 故答案为：0. 【例2.4.】 若，则M的个位数字为 ． 【答案】3 【详解】∵当时，， ∴当时的个位数字为0． 又∵， ∴M的个位数字为3． 故答案为:. 【例2.5.】 解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【答案】(1)n=5 (2)x=8 【详解】（1）因为=2， 由，解得， 由原式可得，解得或或． 又因为，所以． （2）因为<6， 由，解得且， 由原不等式可得， 化简可得，解得， 又且，所以． 【例2.6.】 证明下列等式． （1）. （2）； （3）． 【详解】（1）证明：由排列数公式可知， . （2）证明：由排列数的公式，可得： ． （3）证明：由排列数公式，可得． 题型3： 无限制条件的排列问题 【例3.1.】 从4名学生中挑选2人，分别担任正、副班长，则不同的安排方案有（    ）种． A．6 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【详解】依题意从4名学生中挑选2人，分别担任正、副班长有种安排方法. 故选：B 【例3.2.】 将5名司机、5名售票员分配到5辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则所有分配方案的种数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】安排5名司机有种方案，安排5名售票员有种方案，由分步乘法计数原理，知共有种方案. 故选：C 【例3.3.】 8名学生站成两排，前排3人，后排5人，则不同站法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】8名学生站成两排，前排3人，后排5人，等价于8人去站已排好的8个位置，无任何条件限制， 所以不同站法的种数为. 故选：D 题型4：有限制条件的排列问题 【例4.1.】 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 【例4.2.】 将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有 种． 【答案】120 【详解】由题意得，如果分给甲的两张参观券是连号，则有5种分法， 再将剩余的4张分给剩余4个人，有种分法， 所以一共有种分法. 故答案为：120 【例4.3.】 现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（   ） A．6 B．15 C．20 D．30 【答案】D 【详解】把星期一到星期六记为1，2，3，4，5，6，则不连续值日的三组数可列举为，， ，，， 所以符合条件的方法有种． 故选：D 【例4.4.】 将数字、、、、、、、排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则第一行数字是、、、的全排列，共种，现考虑第一行数字的排列为， 则第二行数字的排列可以是：、、、、、、、、，共种. 由分步乘法计数原理可知，不同的排列方法共有种. 故选：A. 题型5：“在”与“不在”问题 方法提炼 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置的排列问题，一般从以下三种思路考虑： (1) 以元素为主体：即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2) 以位置为主体：即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置; (3) 用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数. 【例5.1.】 某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（   ） A．184种 B．196种 C．252种 D．268种 【答案】C 【详解】从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人安排到假期的四天值班，一共有种方法； 甲在第一天值班有种方法；乙在第四天值班有种方法； 甲在第一天值班且乙在第四天值班有种方法； 因此从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，甲在第一天不值班，乙在第四天不值班共有种方法， 故选：C. 【例5.2.】 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（    ） A．44 B．46 C．48 D．54 【答案】B 【详解】解法一：多重限制的排列问题： 甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数， 甲的排位有可能是第二、三、四3种情况： ①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有种排法，则有； ②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有种排法，则有； ③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有种排法，则有； 综上，该5名同学可能的名次排情况种数为种. 解法二：间接法： 甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有种排法，共有种不同的情况； 但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有种排法，故共有种不同的情况； 从而该5名同学可能的名次排情况种数为种. 故选：B. 【例5.3.】 甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（    ） A．128种 B．96种 C．72种 D．48种 【答案】B 【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位， 当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩最后2位，甲不在两端， 第一步先排末位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 当乙丙及中间人占据中间四位，此时两端还剩2位，甲不在两端， 第一步先排两端有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩前2位，甲不在两端， 第一步先排首位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：B. 【例5.4.】 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 题型6：“相邻”与“不相邻”问题 方法提炼 （1）将个不同元素排成一排，其中某个元素排在相邻位置上，求排列数时，使用捆绑法，具体方法如下： 1　 先把排在一起的个元素“捆绑在一起”，并把捆绑在一起的元素当作一个“大元素”与其他元素进行排列，共有种排法； 2　 将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，共有种排法； 3　 根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种. （2）将个不同的元素排成一排，其中个元素互不相邻 ，求排列数时，使用插空法，具体方法如下： 1　 先把没有不相邻要求的个元素排好，有种排法； 2　 个不同元素有个空，将个不同元素放入这个空中，有种排法； 3　 由分步乘法计数原理，共有种排法. 【例6.1.】 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（    ）种不同的情况. A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】由题意知，将丙和丁看成一个整体， 分4种情况分析： ①丙和丁的整体分别为第1、2名，有种情况； ②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第4、5名，有种情况； ③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、5名，有种情况； ④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、3名，有种情况； 所以共有种情况. 故选：B 【例6.2.】 6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（   ） A．72种 B．144种 C．216种 D．256种 【答案】B 【详解】先将丙与丁看成一“个”人，与除甲和乙之外的另外两个人留下4个空， 在其中选2个给甲和乙，有种方法； 再考虑丙丁这“个”人和另两个人进行全排，有种排法； 最后将丙丁“松绑”，有种方法，由分步计数原理，可得不同排法数为：种. 故选：B. 【例6.3.】 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有 种（用数字作答）. 【答案】288 【详解】第一步：先将3名母亲作全排列，共有种排法； 第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法； 第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法； 第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间， 然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法. 所以不同的排法种数有：（种）. 故答案为：288 【例6.4.】 某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】C 【详解】设剩下的两人分别为丁和戊， ①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素， 丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站， 则共有种； ②丁、戊在甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法， 丁、戊排列有种排法， 甲、乙之间排列也有种排法， 丙有3个位置可站， 则该种情况共有种， 则总共有种不同安排方法. 故选：C. 【例6.5.】 7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（    ）种站排方式． A．672 B．864 C．936 D．1056 【答案】D 【详解】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有种站排方式；    当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种站排方式；    故总共有种站排方式. 故选：D． 题型7：数字的排列问题 方法提炼 含有数字“0”的排列问题，隐含了数字“0”不能在首位（即最高位）的条件，应将其视为有限制条件的元素优先进行排列. 【例7.1.】 “回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（    ） A．100个 B．125个 C．225个 D．250个 【答案】C 【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同， 求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法： 最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种， 不同“回文数”的个数是个， 最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种， 不同“回文数”的个数是个， 由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个. 故选：C 【例7.2.】 从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A．36 B．42 C．45 D．54 【答案】B 【详解】当任选2个偶数中含有0时，0可以放在个位或十位，共2种情况， 再从3个奇数中选一个，2个偶数中选一个，放在剩余的数位上，共种选择， 此时共种情况， 当任选2个偶数中不含有0时，从3个奇数中选一个，并和2,4进行全排列，共种情况， 综上，组成没有重复数字的三位数个数为. 故选：B 【例7.3.】 用这九个数字组成的无重复数字的四位奇数中，各位数字之和为偶数的共有（    ） A．120个 B．600个 C．720个 D．840个 【答案】D 【详解】根据题意，若想组成四位奇数且各位数字之和为偶数，分以下两种情况： （1）四位数均为奇数：包含种； （2）四位数中两位奇数两位偶数：包含种. 综上所述一共包含个. 故选：D 【例7.4.】 形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为（    ） A．13 B．16 C．20 D．25 【答案】B 【详解】依题意，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的十位、千位数字分别为5与4或5与3， 当十位、千位数字为5与4时，排十位、千位数字有种，排另三个数位有种，共有种， 当十位、千位数字为5与3时，则4与5必相邻，且4只能为最高位或个位，即4与5可视为一个整体， 1，2，3视为一个整体，且3在1与2的中间，因此不同排法有种， 所以构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为. 故选：B 【例7.5.】 用五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)120 (2)96 (3)32 【详解】（1）从5个数字任取4个进行全排列，故有个； （2）首位不能为0，则有个； （3）由题意，是偶数个位数必须是. 分3种情况讨论： ①0在个位，十位必须比0大，千位数字不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位数字在剩下的数字选一个，所以共有； ②在个位，十位数字必须比2大，千位数不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位剩下2个里面选一个.有种选法； ③4在个位，里面没有比4大的数字，不存在这种可能.则共有种情况. 题型8：含重复元素的排列问题 方法提炼 对含有相同元素求排列种数的方法： 有个不同元素，其中各元素重数分别为，且，则这个元素的排列种数为． 【例8.1.】 将这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入，且每个格子中只能填一个数，则不同的填法共有 种.（用数字作答） 【答案】 1512 【详解】将这9个数填入，不同的填法种数为. 【例8.2.】 有的方格中停放三辆完全相同的红色车和三辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，则停放的方法数为（    ） A．720 B．2160 C．8400 D．14400 【答案】D 【详解】首先假设6辆车是不同的车，第一辆车有36种方法，第二辆车不能与第一辆车同行，同列，则有25种方法，同理，第三辆车有16种方法，第四辆车有9种方法，第5辆车有4种方法，第6辆车有1种方法， 因为3辆红色车相同，3辆黑色车相同，所以不同的停放方法为. 故选：D 【例8.3.】 某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有 种（用数字作答）． 【答案】1259 【详解】英文单词“million”中字母的顺序记错了， 因为有两个i，两个l重复，那么他在书写该单词时， 共有种可能， 而正确的拼写只有1种，故写错的情况有1259种. 故答案为：1259 题型9：某些元素顺序确定的排列问题 方法提炼 含定序元素的排列问题常规方法： (1) 全排消序法 若有个元素排成一列，其中个元素必须按照一定顺序排列，将这个元素全排列有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他个元素的位置不动，把这个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有 种满足条件的排法. (2) 插空法：先排好个元素，只有1种排法；剩下的个元素插入由以上个元素形成的个空当中. (3) 只选不排法：先从个位置中选出个位置，排列这个元素有种，剩下的个元素在剩下的个位置进行排列，有种，共有种排法. 【例9.1.】 高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．42 B．30 C．21 D．15 【答案】A 【详解】7位同学排成一排照相，共有种排法，原来5位同学的排列方法有种， 所以保持原来5位同学的相对顺序不变的排法种数为. 故选：A 【例9.2.】 如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 【答案】A 【难度】0.65 【详解】如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为1,2,3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走）4,5,故不同取法的种数是 ， 故选：A 【例9.3.】 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有， 再将商、角插入4个空中的2个，有， 所以共有种． 故选：C． 【例9.4.】 某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 （用数字作答） 【答案】 【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑， 然后要求在的左边，在的右边， 由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种. 故答案为：. 【例9.5.】 如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（    ） A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条 【答案】D 【详解】先假设是实线， 则从到，向上次，向右次，最短路径有条， 其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条， 所以，当不通时，最短路径有条. 故选：D ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $