4.2.4 等差数列的前n项和公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

2026-02-03

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等差数列的前n项和公式人教A版（2019）选择性必修二第四章　数列返回导航下一页上一页 2．由等差数列衍生的新数列：若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 d cd 2d pd＋qd′ 知识回顾 1. 若数列{an}是公差为d的等差数列，则具有以下性质： (1) an＝am＋(n－m)d，d＝(an－am)/n－m(n≠m). (2) 若m＋n＝s＋t，则am＋an＝as＋at．特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(以上 m, n, s, t, p∈N*). 第四章　数列返回导航下一页上一页学习目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程； 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用； 3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题. 第四章　数列返回导航下一页上一页问题1：等差数列前n项和公式的推导。问题2：等差数列前n项和公式。阅读课本18--20页，完成以下问题：研读教材第四章　数列返回导航下一页上一页据说，200多年前，高斯解决过类似的问题： 1＋2＋3＋‧‧+50+51+‧‧＋98＋99＋100=？高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 101 50对 101 101 101 101 = = 思考：高斯的方法妙在哪里？相同数(即101)的求和简化运算不同数的求和问题配对法问题探究第四章　数列返回导航下一页上一页 S100 = 1 +2 +3 + ⋯ + 99 +100 ① =102×101 S100 = 100 +99 + ⋯ + 3 + 2 + 1 ② 杨辉总结民间乘除捷算法、"垛积术"、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。还曾论证过弧矢公式，时人称为"辉术"。与秦九韶、李冶、朱世杰并称"宋元数学四大家"。 1＋2＋3＋‧‧‧＋98＋99＋100=？ 1 2 3 100 100 99 98 1 借助几何图形之直观性，把这个“三角形”倒置，与原图补成平行四边形. 100 100 99 2 ①+②得：2S100 =(1+101)+(2+100) + ⋯+ (100+2)=10100 ∴S100 =5050 倒序相加法倒序正序问题探究思考：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗? 高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)= 高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，前100项的和问题。数列的性质2：若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at (等差数列中，下标和相等的两项和相等。) 设an=n，则：=== 知识探究第四章　数列返回导航下一页上一页问题2：你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n 吗？需要对项数的奇偶进行分类讨论当n为偶数时， + 当n为奇数数时， n－1为偶数 + 所以对任意正整数n，都有1＋2＋3＋… ＋n. 知识探究第四章　数列返回导航下一页上一页思考：我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦. 能否设法避免分类讨论? 这种求和方法叫倒序求和法设an=n，则：=== , ① ,② 得 , 由此得等差数列的前项和公式为首项加末项乘以项数除以2 知识探究第四章　数列返回导航下一页上一页 1、求等差数列前n项和常用的方法—— （1）配对法（2）倒序相加法 2、等差数列{an}前n项和公式1： 3、等差数列{an}的前n项和公式2：首项，末项与项数首项，公差与项数知识归纳公式一：已知量是：公式二：已知量是：等差数列{an}的相关公式及性质： 1.等差数列{an}的通项公式： 2.等差数列{an}的前n项和公式： 3.等差数列{an}的重要性质：在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二. 知识归纳第四章　数列返回导航下一页上一页例6 ：已知数列{an}是等差数列. 等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，Sn”五个量，故知三可求其二．已知an选公式1，已知d选公式2 典例分析第四章　数列返回导航下一页上一页例7：已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 典例分析第四章　数列返回导航下一页上一页根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50; (3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 课本P22 同步练习第四章　数列返回导航下一页上一页 2. 等差数列－1, －3, －5, ‧‧‧的前多少项的和是－100 ? 课本P22 同步练习第四章　数列返回导航下一页上一页 3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 . 课本P23 同步练习第四章　数列返回导航下一页上一页 4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k. 课本P23 同步练习第四章　数列返回导航下一页上一页 5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261. 求此数列中间一项的值以及项数. 课本P23 同步练习第四章　数列返回导航下一页上一页 6. 求集合M＝{m| m＝2n－1, n∈N*, 且m<60}中元素的个数，并求这些元素的和. 课本P24 同步练习第四章　数列返回导航下一页上一页回顾本节课的探究过程，你学到了什么？ 1、等差数列{an}的前n项和公式： 2、求数列前n项和的一种方法： “倒序相加”法 3、求等差数列的前n项和的最值方法 ①通项公式法 ②前n项和法课堂小结 (1) (2) 第四章　数列返回导航下一页上一页 19 数列结论 {c＋an} 公差为_______的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为_______的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为_______的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为________的等差数列(p，q为常数) $

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