4.3.1等比数列的性质课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等比数列的性质及应用 人教A版（2019）选择性必修二 刘雨萌 1. 等比数列的概念　 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为0常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q (q≠0)表示. 等比数列的符号语言： 2. 等比中项　 知识回顾 解答题使用 选择填空题 3. 证明等比数列的方法　 知识回顾 本节内容结束 学习目标 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算. 2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质. 导语 刘雨萌 问题1：你能把等差数列里面的an=am+(n-m)d类比出等比数列中相似的性质吗？ 课堂探究 即an=amqn-m. 两式相除可得==q(n-1)-(m-1)=qn-m 证明：由等比数列的定义可知an=a1qn-1，am=a1qm-1 性质1：已知等比数列{an}中，公比为q，则an= amqn-m 刘雨萌 问题2：结合上面的类比，你能把等差数列里面的am+an=ak+al(m+n=k +l，m，n，k，l∈N*)类比出等比数列中相似的性质吗？ 等差数列的性质 等比数列的性质 m+n=s+t m+n=2k 课堂探究 刘雨萌 猜想：若是公比为的等比数列，正整数 满足，则 l 证明：∵设等比数列的首项为，公比为，则 ， 而，∴. ， 课堂探究 刘雨萌 性质2：(等比数列“下标和”性质) 等比数列 ，公比为，若正整数满足 ，则 . 推论①：特别地，若，则. 推论②： 等式左右两边的项数相同 与首末项“等距”的两项之积相等 推论③： 课堂探究 刘雨萌 解： 典例分析 ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6. ∴a1q2(1＋q2)＝6 ∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36 ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36 本节内容结束 典例分析 本节内容结束 典例分析 本节内容结束 同步练习 本节内容结束 同步练习 本节内容结束 （3）在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124且公比为整数，求a10． 同步练习 本节内容结束 同步练习 本节内容结束 问题3:若{an}是等比数列，公比为q，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公比为qm的等比数列． （等比数列中，按序号成等差数列的项依然成等比数列） 证明： ∵{an}是等比数列，公比为q ∴ak+m=akqm，ak+2m=akq2m 即(ak+m)2=akak+2m 即ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公比为qm的等比数列 课堂探究 性质3:若{an}是等比数列，公比为q，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公比为qm的等比数列． 刘雨萌 性质4:数列{an}, {bn}都是等比数列, 公比分别为p, q，则数列{anbn}是公比为 的等比数列. pq 推论: 若数列{an}, {bn}都是等比数列, 公比分别为p,q ，λ为常数则有 数列 是等比数列，公比为 ； 数列 是等比数列，公比为 ； 数列 是等比数列，公比为 ； 数列 是等比数列，公比为 ； 数列 是等比数列，公比为 ； p p2 | p | p/q 1/p 注：{an + bn}和{an - bn}不一定是等比数列！ 课堂探究 刘雨萌 性质1 通项公式的推广：an＝am· (n，m∈N*) 性质2 若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝ 性质3 性质4 在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝… 性质5 在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列 qn－m am·an 等比数列的性质小结 性质 等差数列首项为a1，公差为d 等比数列首项为a1，公比为q （1）把等差数列前k项去掉，得到一个以ak+1为首项，以d为公差的等差数列 （1）把等比数列前k项去掉，得到一个以ak+1为首项，以q为公比的等比数列 （2）等差数列中，ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列 （2）等比数列中，ak，ak+m，ak+2m，…是公比为qm的等比数列 （3）等差数列中每一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 （3）等比数列中每一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列 （4）两个等差数列相加，还是一个等差数列 （4）两个等比数列相乘，还是一个等比数列 等差数列与等比数列对比 例3:如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 解：取等比数列an=，则an+an+1=0，所以{an+an+1}不是等比数列，故D错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质. 典例分析 D 变式3：已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( ) A.{an+bn}，{anbn}都一定是等比数列 B.{an+bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C.{an+bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D.{an+bn}，{anbn}都不一定是等比数列 解：当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列. 同步练习 C 课堂探究 问题3: （1） （2） 本节内容结束 典例分析 典例分析 本节内容结束 性质1：(等比数列“下标和”性质) 等比数列 ，公比为， 若正整数满足 ，则 . 性质2：若， 是等比数列， 公比为， 公比为 则为等比数列 性质3：若是等比数列，公比为，则是公比为的等比数列．即下标成等差数列,则对应项成等比数列. 课堂总结 刘雨萌 ，. (1)已知 为等比数列．等比数列 满足 ，求 ； 解：在等比数列 中， ， 解：由等比中项， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， ， . (2)已知 为等比数列．若 ， ，求 ； 解：由a4a7＝－512，知a3a8＝－512． 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3a8＝－512，,a3＋a8＝124，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝－4，,a8＝128))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝128，,a8＝－4.)) 由q＝eq \r(5,\f(a8,a3))，得q＝－2或－eq \f(1,2)． 又q为整数，∴q＝－2，a3＝－4，a8＝128． ∴a10＝a8q2＝128×(－2)2＝512． 若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an2}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列 ∴数列 { 3an }是以27为首项,以9为公比的等比数列. 证明: (1)由题意：a1=3, d =2，则{ an }的通项公式为: an =2n+1. ∴ cn+1 - cn = [3-2(n+1)] - (3-2n)= -2 ∴数列 { log3an }是以1为首项,以-2为公差的等差数列. $