2026年高一数学人教A版寒假作业5 函数的概念与性质

检测5函数的概念与性质-能力卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（   ） A． B． C. D. 4．已知函数若是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知偶函数在上单调递减且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对上的任意实数，，恒有成立，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．“”且“”是“”的充要条件 C．函数与函数是同一函数 D．已知函数，则 10．下列叙述正确的是（    ） A．两个函数，表示的是同一个函数 B．函数的值域为 C．已知幂函数过点，则 D．若函数，则 11．已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（     ） A． B． C．是周期为的周期函数 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知函数则 . 13．已知幂函数为奇函数，则 . 14．已知函数是上的减函数，则的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若对任意，都有恒成立，求实数的最大值． 16．已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并用单调性定义证明； (3)若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围． 17．已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求不等式的解集． 18．已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证之； (2)求在上的最值； (3)设，若，，使得，求实数a的取值范围. 19．已知幂函数的图象关于原点对称． (1)求函数的解析式； (2) （i）判断并证明在上的单调性； （ii）“，”是真命题，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B C B D B CD BCD 题号 11 答案 CD 1．A 【分析】根据题意结合分式、根式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：A. 2．A 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】函数开口向上，对称轴为， 因为函数在上单调递增， 所以，解得，则实数的取值范围是. 故选：A 3．B 【分析】先将点坐标代入到函数解析式中求，再根据函数的奇偶性与增减性选出正确图象. 【详解】将点代入到中，即，解得，故， 易得为偶函数，排除AD选项，且有当时，易得单调递减，B选项符合题意. 故选：B. 4．B 【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数若是上的单调递增函数， 得，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 5．C 【分析】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【详解】由，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为或或， 即或. 故选：C 6．B 【分析】可得出时，，然后根据的值域为可得出，从而得出时，，从而可得出，从而解出的范围即可． 【详解】当时，， ∵的值域为，∴，即， ∴时，， ∴，解得，又因为，所以， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 7．D 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得，结合函数的单调性分析可得与的解集，又由或，分析可得x的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，为偶函数且，则， 又因为在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以的解集为的解集为； 或，即或， 解得：或， 故不等式的解集为； 故选：D． 8．B 【详解】因为函数满足对上的任意实数，， 恒有成立， 所以函数在上递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 9．CD 【分析】对于A，根据偶函数的定义判断即可；对于B，根据充要条件的定义判断即可；对于C，根据同一函数的定义判断即可；对于D，利用配凑法先求出，再计算即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，不关于原点对称， 则函数不是偶函数，故A错误； 对于B，等价于且，或且， 则“”且“”不是“”的充要条件，故B错误； 对于C，函数和的定义域均为， 且，则函数与函数是同一函数，故C正确； 对于D，由，则， 即，故D正确. 故选：CD 10．BCD 【分析】根据函数的定义域判断A，根据函数的单调性求值域判断B，利用待定系数法求出解析式判断C，利用换元法求解析式判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为且，函数的定义域为，二者定义域不同，故不是同一个函数，故A错误： 对于B，由函数的定义域为，且函数在定义域上单调递增可知，，即值域为，故B正确； 对于C，由幂函数过点，可得，即，所以，故C正确； 对于D，令，则，所以，故，故D正确. 故选：BCD. 11．CD 【分析】先根据题意推导出是周期为的周期函数，即可判断选项C，再根据题干关系式和周期性依次计算选项A，B，D即可. 【详解】由函数是定义域为的奇函数，可知且， 因为，代入 得，整理得， 即知，故是周期为的周期函数，C正确； 选项A，B，，由是周期为的周期函数可知，， 同理，故A，B都错误； 选项D，因为，，，， 所以一个周期内， 所以，故D正确. 故选：CD. 12．10 【分析】根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可. 【详解】由题知. 所以 故答案为：10. 13． 【分析】由函数为幂函数且为奇函数确定，即可求解. 【详解】由函数为幂函数可得， 解得，或， 当时，为偶函数，舍去， 当时，，易知其为奇函数， 故， 则， 故答案为： 14． 【分析】根据二次函数和直线的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可. 【详解】依题意得，解得. 故答案为：. 15．(1)2 (2) 【分析】（1）可知1，3为方程的两根，结合韦达定理运算求解即可； （2）可知恒成立，结合判别式运算求解即可. 【详解】（1）若不等式的解集为， 可知1，3为方程的两根， 则，解得， 检验符合题意，所以实数的值为2. （2）若对任意，都有恒成立，即恒成立， 则，解得， 所以实数的最大值为. 16．(1)奇函数，证明见解析； (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用恒等式可证明是奇函数； （2）利用定义法来证明函数单调性即可； （3）利用奇偶性和单调性转化不等式，即可利用一元二次不等式恒成立来求参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 由， 可得，所以是奇函数； （2）令，则， 因为，所以，即， 则当时，有，所以在上单调递减； （3）因为是奇函数，所以不等式， 又因为在上单调递减，所以， 由于不等式对一切恒成立， 所以，解得， 故实数k的取值范围是. 17．(1) (2)偶函数，证明见详解. (3) 【分析】(1)代入已知点坐标，解方程组求出函数解析式中的参数. (2)通过判断与的关系，结合定义域的对称性，确定函数的奇偶性. (3)利用偶函数性质转化不等式，再结合函数在非负区间的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量绝对值的大小关系，进而求解不等式. 【详解】（1）将点，代入中，得方程组 （2）的定义域是，关于原点对称，对任意的，有，故是偶函数. （3）当时，单调递增，则在上单调递减， 又因为是偶函数，则在上单调递增； 由，结合偶函数与单调性的性质可得：， 两边平方并整理得：， 解得：或，因此，不等式的解集为：. 18．(1)单调递增，证明见解析 (2)函数的最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行判断证明即可； （2）根据函数的单调性进行求解即可； （3）根据函数的值域，结合一次函数的单调性、任意性和存在性的定义进行求解即可. 【详解】（1）在区间上单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，则有， ， 因为， 所以， 所以， 所以在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 所以在上单调递增， 所以的最大值为， 的最小值为， 即函数的最大值为，最小值为. （3）当时，由（1）可知函数单调递增， 所以，即. 因为在时，单调递减， 所以，即. 因为，，使得， 所以， 所以， 所以实数a的取值范围为. 19．(1) (2)（i）单调递增，证明见解析（ii） 【分析】（1）利用幂函数定义及函数图象关于原点对称的条件，求函数的解析式； （2）（i）利用函数单调性定义证明函数单调性；（ii）利用函数单调性及已知命题求的取值范围． 【详解】（1）由幂函数定义可知，则，解得 或， 当时，，是奇函数，图象关于原点对称，符合题意； 当时，，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意，舍去； ． （2）， （i）在上单调递增； 证明：设，则 ， ，，且，则， ，即在上单调递增； （ii）已知“，”是真命题，则， 在上单调递增， ， ，解得， 的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测5函数的概念与性质-能力卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（   ） A． B． C. D. 4．已知函数若是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知偶函数在上单调递减且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对上的任意实数，，恒有成立，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．“”且“”是“”的充要条件 C．函数与函数是同一函数 D．已知函数，则 10．下列叙述正确的是（    ） A．两个函数，表示的是同一个函数 B．函数的值域为 C．已知幂函数过点，则 D．若函数，则 11．已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（     ） A． B． C．是周期为的周期函数 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知函数则 . 13．已知幂函数为奇函数，则 . 14．已知函数是上的减函数，则的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若对任意，都有恒成立，求实数的最大值． 16．已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并用单调性定义证明； (3)若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围． 17．已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求不等式的解集． 18．已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证之； (2)求在上的最值； (3)设，若，，使得，求实数a的取值范围. 19．已知幂函数的图象关于原点对称． (1)求函数的解析式； (2) （i）判断并证明在上的单调性； （ii）“，”是真命题，求的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $