利用导数证明不等式 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

利用导数证明不等式 题型一：直接作差法 直接作差法证明不等式的基本步骤 (1) 作差或变形：将不等式（或）变形为（或）； (2) 构造新的函数：； (3) 利用导数研究函数的性质，得到所证不等式. 【例1.1.】 设，，，求证：． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】设，将化为，令即证，构造并利用导数证明不等式；将化为，令即证，构造并利用导数证明不等式，即可得. 【详解】不妨设， 先证，即证，即证． 令，只需证明． 设，， 所以在上单调递减，又， 因此时，，即成立． 故． 再证，即证，即证． 令，只需证明． 设，， 所以在上单调递增．又， 因此时，，即成立． 故． 综上，． 【例1.2.】 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，再分和，由，求解即可； （2）法一：转化为，根据（1）得到，取得到，再由证明；法二：转化为，令利用导数法证明则即可. 【详解】（1）因为， 所以， 苦，则在上单调递增， 若，由，得， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：法一：要证，即证， 令，则， 易知在区间上单调递减，又， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即， 所以得证. 法二：要证，即证， 即证， 由（1）知，时在上单调递增，在上单调递减， 所以， 取得，即， 令，则， 当时，；当时，， 所以当时，取得极小值， 所以，即， 所以， 所以. 【例1.3.】 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导后，结合导数正负与单调性的关系，分及讨论即可得； （2）原问题可转化为证明当时，，构造函数后，利用导数可得该函数的单调性，即可得其最小值，即可得证. 【详解】（1）由题意知， 当时，，所以在上单调递减；     当时，令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增 （2）由（1）得，     要证，即证，即证， 令，则，     令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则恒成立， 所以当时，. 【例1.4.】 已知，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、对数的运算、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得，即证，进而，即证，原不等式即可证明； （2）易知时不等式成立；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可得，即()，变形即可证明. 【详解】（1）令，则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，等号仅当时成立，即， 从而，所以． 综上，． （2）显然时，，即成立． 令，，则，， 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，等号仅当时成立， 从而可得，，所以在和上单调递减． 由（1）知，时，；时，， 所以，即． 又当且时，，所以． 故时，． 题型二：分拆函数法 分拆函数法的一般思路 (1) 在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题； (2) 在证明过程中，将不等式不等号两端分别拆出出两个函数式， ①如图所示，恒成立，这时； ②如图所示，，但由于不在同一处取到最值，这时. ③如图所示，，且在同一处取到最值，这时. (3) 对于较复杂的不等式，也可将不等式的某一部分拆开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证. 【例2.1.】 已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，证明 【答案】(1)当，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减； (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）首先求导得到，再分类讨论求解即可. （2）首先将题意等价于只需证，令，再证即可. 【详解】（1）， ①若，则，在上单调递增； ②若，则当时，，当 时，， 故在上单调递增，在上单调递减． （2）因为，所以只需证. 当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以. 记， 则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以． 综上，当时，， 即，即证：. 【例2.2.】 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）当时，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）证明见详解. 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求函数的定义域，进而对函数求导、通分，进而讨论a的范围，得出单调区间； （2）先将不等式化为，证明左边最大值<右边最小值即可. 【详解】（1） 的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增. 当时，若，则； 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，要证 ，即证，即证. 令函数，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 令函数，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，所以. 因为，所以， 即，从而 得证. 【例2.3.】 设函数，证明. 【答案】证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】等价于，然后构造函数和，利用导数求出的最小值和的最大值进行比较即可 【详解】证明：因为 所以等价于. 设函数，则， 所以当时，；当，时，. 故在上单调递减，在，上单调递增， 从而在上的最小值为. 设函数，则. 所以当时，； 当时，. 故在上单调递增，在上单调递减， 从而在上的最大值为（1）； 因为，， 所以当时，，即. 【例2.4.】 已知函数. （1）讨论函数在的单调性； （2）当时，证明：. 【答案】（1）当时，在的单调递减，当时，在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【解析】（1）先求导，再分类讨论即可得函数的单调性； （2）不等式等价于，令，，只需要证明，分别求导，求出最值，即可证明. 【详解】（1）， 所以， 当时，，此时在的单调递减； 当时，令，可得： 令，可得， 若，即时在的单调递减； 若即在单调递减，在单调递增， 综上所述：当时，在的单调递减， 当时，在单调递减，在单调递增， （2）不等式等价于 令，，只需要证明， ，令解得：， 令解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， ， 当时，，所以在单调递增， 所以， 所以， 所以 【例2.5.】 已知函数． (1)若函数，讨论的单调性． (2)若函数，证明：． 【答案】(1)见解析； (2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导得，分类讨论和，即可求出的单调性. （2）要证明，即，而令，求导讨论单调性知，所以，即证明即可. 【详解】（1）若，则， ． 当时，，在定义域R上单调递增． 当时，令．解得，． 若或，，则在和上单调递增； 若，，则在上单调递减; （2）证明：若，则． 令，则， 当时，，当时，，所以． 则． 令，则． 当时，，当时，，所以． 则，又1≠2，所以中的等号不成立．故． 题型三：放缩证明不等式 证明不等式常见的放缩技巧 (1) 利用基本不等式进行放缩，如：；； (2) ； (3) 切线放缩：; (4) 有时将要证的式子放缩为一个常数或简单函数，再用导数证明这个更简单的式子. 【例3.1.】 求证：当时，． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】先证明，然后利用放缩法、换元法证得不等式成立. 【详解】设， ，所以在区间上单调递减； 在区间上单调递增， 所以，所以. 当时，， ， 只需证，即证， 令，则， 则只需证，显然成立． 所以当时，，证毕． 【例3.2.】 已知函数，其中为正实数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）证明：当时，. 【答案】(Ⅰ) 单调递减区间为，单调递增区间为;(Ⅱ)见解析. 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（Ⅰ）求得函数定义域，由导函数的符号，判断出函数的单调区间． （Ⅱ）构造函数证明出当时，有，所以要证，只需证明，即证明对于任意的恒成立；构造函数，再通过导函数的符号判断在上的单调性，进而证明出． 【详解】（Ⅰ）由得，，所以的定义域为. ， 由得，所以当时，；当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （Ⅱ）证明：令，则， 所以当时，；当时，.所以，所以. 所以当时，有成立，又因为，所以要证， 只需证，即对于任意的恒成立， 令，则，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，. 【例3.3.】 已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数，求证：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，由正负确定单调性； （2）通过分析法将所证不等式转化为；当，由可知不等式成立；当时，采用放缩法将所证不等式转化为，构造函数，利用导数，结合零点存在定理的知识，可求得单调性和最小值，由此可得结论. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，； ①当时，在上恒成立， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增；在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减. （2）要证，只需证， 又，，则只需证； ①当时，，，恒成立； ②当时，，，， 则只需证，即证， 令，则， 令，则， 令，则， 在上单调递增，即在上单调递增， ，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 又，，又， 当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， ，即； 综上所述：当时，恒成立，即. 【例3.4.】 已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. （1）求函数的单调区间； （2）求证：时，. 【答案】（1）的单调增区间为，无减区间（2）详见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）构造新函数h（x）＝ex﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1，证明ex﹣（e﹣2）x﹣1≥x2；令新函数φ（x）＝lnx﹣x，证明x（lnx+1）≤x2，从而证明结论成立． 【详解】（1）由，得. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，所以，即，. 令，则.所以时，，单调递减； 时，，单调递增.所以，所以，单调递增. 即的单调增区间为，无减区间 （2）由（1）知，，所以在处的切线为， 即. 令，则， 且，， 时，，单调递减； 时，，单调递增. 因为，所以，因为，所以存在，使时，，单调递增； 时，，单调递减；时，，单调递增. 又，所以时，，即， 所以. 令，则.所以时，，单调递增； 时，，单调递减，所以，即， 因为，所以，所以时，， 即时，. 【例3.5.】 已知函数，若恒成立， (1)求实数的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）问题转化为在上恒成立，不等式右边构造函数，利用导数研究单调性，并求出其最大值，即可得参数范围； （2）由（1）知，应用分析法，将问题化为证恒成立，讨论、，利用导数研究单调性并确定区间符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上递增，显然，， 故使，则上，上， 所以上，递增；上，递减； 又，即，则， 综上，. （2）由（1）知：， 所以且，要使恒成立， 只需证恒成立，只需证恒成立， 当时，若，则，即递增，又也递增， 所以在上递增，故恒成立， 当时，令且，则，即递增，故， 所以在上恒成立，故， 令，则， 所以在上递减，故，即， 综上，在上恒成立， 所以，时得证. 【强化训练】 1. 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性. （2）证，故问题转化成证，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证. 【详解】（1）由题函数定义域为，， 故当时，恒成立，所以函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，令， 则时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故在上恒成立， 故证证， 即， 令，则， 故当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上恒成立，故， 所以当时，. 2. 已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求在内的单调区间. (2)设函数，证明：. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导根据切线公式得到，，再根据导数的正负得到函数单调区间. （2），设，求导得到函数单调区间，计算最小值为1，设，求导得到单调区间，计算，得到证明. 【详解】（1）因为，所以，又，所以. 当时，；当时，. 所以在内的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）. 设函数，则. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 所以，所以. 设函数，则， 设，则，令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 则，所以，从而增函数， 则，因此，故. 3. 已知函数，，． （1）求证：函数的零点不小于4； （2），若，求证：． 【答案】（1）见证明；（2）见证明 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、求函数的零点 【分析】（1）由，，．得零点，利用基本不等式的性质即可证明． （2），，，由，解得或．由，讨论的大小，利用导数研究函数的单调性与最值即可证明． 【详解】证明：（1）由，，． 得零点，当且仅当时取等号，故结论成立． （2），， ， 由，解得或． ①当时，，则在上恒成立，在上单调递增， ∴，而．结论成立． ②当时，即，在上单调递增，在上单调递减． ∴， 要证明：成立．即证明：成立． 令，． ，∴在上单调递增．∴． ，∴在上单调递减， ． ∴恒成立． 因此，，． 4. 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）先求导得出，再由点斜式计算即可； （2）利用同构法将问题转化为证明，分别构造函数，求其最小值即可； （3）结合第一问先证，再证，通过放缩将问题转化为证明即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 故曲线在点处的切线方程为； （2）要证，即证， 即证， 分别令， 则，显然时，此时单调递增， 时，此时单调递减，则， 所以恒成立，当且仅当时取得等号， 即，当且仅当时取等， 由可得，当且仅当时取得等号， 即有，但等号不能同时取得，所以， 所以成立，证毕； （3）令， 则， 令， 所以定义域上单调递增， 又，则时，单调递减， 时，单调递增， 则有，所以， 故 ， 令， 所以定义域上单调递增，则，即， 所以， 令， 易知其对称轴为，即 ， 易知，所以， 则， 证毕. 5. 已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若函数为偶函数． ①求的值； ②证明：不等式恒成立． 【答案】(1)当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. (2)①，②证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）对进行求导，分为和两种情况，结合极值的概念分别讨论即可； （2）根据偶函数的定义列式求解，即可得到的值；先构造函数证明，利用放缩将不等式化为在恒成立，再构造函数证明即可. 【详解】（1），定义域为， ， 当时，，在上单调递增，无极值. 当时，令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. （2）①， 因为为偶函数，则，即， 化简得，此式对均成立，则，即, 所以的值为. ②可化为， 即证， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 则， 只需证对恒成立， 令，， 令，， 因为，，当且仅当时，等号成立，故，所以，即在上单调递增， 则，则在上单调递增， 则，则对恒成立， 故不等式恒成立. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $利用导数证明不等式 题型一：直接作差法 直接作差法证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形：将不等式f(x)>g(x)(或f(x)<gx))变形为 f(x)-g(x)<0): (2)构造新的函数：h(x)=f(x)-gx): (3)利用导数研究函数h(x)的性质，得到所证不等式， 【例1.1】设a,b>0,a≠b,求证：Vab<,b-a<a+b Inb-Ina 2 【例1.2.】已知函数f(x)=lnx+1)+ax+1. (I)讨论f(x)的单调性： (2)证明：f(x≤e+ar f(x)-gx)>0(或 【例1.3】已知函数f9)=ae-x-3 (a∈R). (I)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a>0时，f(x)>2lna-a2. 【例1.4.】已知x>-1,证明： (1)e-1≥x≥lnx+1; (2)e*-1ln(x+1≥x2. 2 题型二：分拆涵数法 分拆函数法的一般思路 (1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最 值问题： (2)在证明过程中，将不等式不等号两端分别拆出出两个函数式gx),h(x), ①如图所示，gx)mm>h(x)m恒成立，这时g(x)>h(x: g(x) /h(x) ②如图所示，g(y)mm=h(xmx,但由于g(x),hx)不在同一处取到最值，这时 g(x>h(x g(x) /h(x) ③如图所示，g(x)mm=h(x)x,且g(x),hx在同一处取到最值，这时g(x)≥h(x) g(x) h(x) (3)对于较复杂的不等式，也可将不等式的某一部分拆开，单独进行研究，然后再纳入整体 进行论证 3 【例2.l.】已知函数fx=elnx-axa∈R (I)讨论fx)的单调性； (2)当a=e时，证明xf(x-e+2ex≤0 【例2.2.】已知函数f(x)=alnx+x. (1)讨论f(x)的单调性 (2)当a=1时，证明：xf(x)<e. 4 【例2.3.】设函数f=c1nx+2e，,证明f)>1. 【例2.4.】已知函数f(x)=ax-lnx(a∈R) (1)讨论函数f(x)在xe(0,]的单调性； (2)当xe0,e]时，证明：e2x2>(x+1)nr+ 2 【例2.5.】已知函数gx)=ef(x+e2. (1)若函数f(x=x2-4x+a,讨论gx)的单调性， (2)若函数f(x)=x3-2xlnx-3,证明：gx>0. 题型三：放缩证明不等式 证明不等式常见的放缩技巧 ()利用基本不等式进行放缩， a+b≥2Wab(a≥0，b≥0： ②)tanx>x>sinx,x曰0，) (3)切线放缩：lnx≤x-1<x+1≤e; (④)有时将要证的式子放缩为一个常数或简单函数， 【例3.1.】求证：当0<x<2时，lnx+1+√x+1-1 6 如：a2+b2≥2ab(a,b∈R) 再用导数证明这个更简单的式子 9x x+6 【例32】已知函数f)=alr-)+弓，其中a为正实数 (I)求∫(x)的单调区间； (IⅡ)证明：当x>2时，f(x)<e+(a-1)x-2a. 【例3.3.】已知函数f(x)=l1nx-kx+1. (1)讨论函数f(x)的单调性； ②若函数=二，求证：当a0时，g>+r-1. 2 7 【例3.4.】已知函数f(x)=e-ax2,且曲线y=f(x在点x=1处的切线与直线 x+(e-2y=0垂直. (1)求函数f(x的单调区间； (2)求证：x>0时，e-ex-1≥xlnx-1 【例3.5.】已知函数fx=axe-lnx-x,若f(x)≥1恒成立， (I)求实数a的取值范围： (2)当x>0时，证明：xe>1-1+2sinx 8 【强化训练】 l.己知函数fx=alnx-x (1)讨论(x)的单调性； ②证明：当>0所，=日-1 2.已知函数f(x)=ar2lnx+b的图象在点(L,f(I)处的切线方程为y=2x-2 (1)求f(x)在(0，a+b)内的单调区间 (2)设函数g(x)=x2e-x4-2elnx,证明：f(x)+g(x)>1. 9 3.已知函数f(x)=二ar2-a2+1x,x>0,a≥1. 2 (1)求证：函数f(x)的零点不小于4： (2)g)=f)+alhx,若xel,+o),求证：g(x)>-a3_e 1 4.已知函数f(x)=xe-l+ae-(a+1lnx,a∈R). (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程： (2)当a>0时，证明：f(x)>2a+1; (3)证明：x2e-2x-xlnr-2sinr+2>0. 10 +e-2a.