专题16 导数压轴题突破（热点专练）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题16 导数压轴题突破 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：多集中于考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式的证明等问题，常结合函数的零点、最值等问题综合考查，诸如含参函数单调性问题、恒成立问题等. 预测2026年：加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值，导数与函数的最值的认知，理解化归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用 题型01分离参数法解决恒（能）成立问题 题型02分类讨论法解决恒（能）成立问题 题型03拆解法求解双变量的恒（能）成立问题 题型04作差构造法证明不等式 题型05隔离转化法证明不等式 题型06适当放缩法证明不等式 题型07数形结合法研究函数的零点 题型08函数性质法研究函数的零点 题型09导数与函数与其他知识的交汇 题型10导数与函数的新定义问题 题型01分离参数法解决恒（能）成立问题 解｜题｜策｜略 分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量分离的一种方法.一般地，若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min.若存在x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；若存在x0∈D，使a＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.由此构造不等式，求参数的范围 1.已知函数（）．若恒成立，求a的取值范围． 【解】，其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为，所以． 2.已知函数f(x)=ex+ax2-x.当x≥0时,f(x)≥x3+1恒成立,求a的取值范围. 【解】由f(x)≥x3+1得 ex+ax2-x≥x3+1,其中x≥0, ①当x=0时,不等式为1≥1,显然成立,此时a∈R. ②当x>0时,得a≥-, 记g(x)=-, g'(x)=-. 令h(x)=ex-x2-x-1(x>0), 则h'(x)=ex-x-1, 令H(x)=ex-x-1,则H'(x)=ex-1>0, 故h'(x)在(0,+∞)上单调递增, 因此h'(x)>h'(0)=0, 故函数h(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴h(x)>h(0)=0, 即ex-x2-x-1>0恒成立, 故当x∈(0,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减. 因此,g(x)max=g(2)=, 综上,实数a的取值范围是. 3.已知函数为自然对数的底数，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【解】当时，恒成立，此时； 当时，问题转化为对任意的恒成立， 令，则， 令， 则， 因为，所以，则在上单调递增， 又因为，故当时，---3分 则在上单调递减； 当时，则在上单调递增， 所以，所以 当时，问题转化为对任意的恒成立， 仿上设函数，则有， 因为，所以，则函数在上单调递减， 所以， 故当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，所以 综上所述，的取值范围为． 题型02分类讨论法解决恒（能）成立问题 解｜题｜策｜略 根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 4.已知函数．当时，恒成立，求的取值范围． 【解】， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 5.已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 【解】由题意得有解，即有解. 令， 则 若，则， 则，符合题意； 若，即，则，不符合题意； 若，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以 解得. 综上，的取值范围为. 6.已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【解】（1）由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； （2）， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 题型03拆解法求解双变量的恒（能）成立问题 解｜题｜策｜略 “双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换有： （1）∀x1，x2∈D，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max； （2）∀x1∈D1，∃x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min； （3）∃x1∈D1，∀x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max. 7.已知函数f（x）＝aex－4，g（x）＝ln x－x－1，其中e为自然对数的底数，a∈R.若对任意的x2∈（0，1]，总存在x1∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），求a的取值范围. 【解】任意的x2∈（0，1]，总存在x1∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2）， 则f（x）max≥g（x）max， 因为g（x）＝ln x－x－1， 则g'（x）＝－1＝≥0对任意的x∈（0，1]恒成立， 所以函数g（x）在区间（0，1]上单调递增，则g（x）max＝g（1）＝－2. 因为f（x）＝aex－4， 所以当a＝0时，f（x）＝－4，不满足f（x）max≥g（x）max，故a≠0； 当a＞0时，f（x）＝aex－4在（0，1]上单调递增， 所以f（x）max＝f（1）＝ae－4，即ae－4≥－2，解得a≥； 当a＜0时，f（x）＝aex－4在（0，1]上单调递减，f（x）＜f（0）＝a－4＜－2，不满足题意. 综上，a的取值范围为［，＋∞）. 8.设函数f(x)＝(x－1)·(ex－e)，g(x)＝ex－ax－1，其中a∈R.若∀x2∈[0，＋∞)，都∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求a的取值范围. 【解】由题意，f(x)＝(x－1)(ex－e)，x∈R， 当x<1时，x－1<0，ex－e<0，∴f(x)>0， 当x≥1时，x－1≥0，ex－e≥0， ∴f(x)≥0，∴f(x)≥0恒成立， 且f(x)min＝f(1)＝0. ∵∀x2∈[0，＋∞)，都∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立， ∴∀x2∈[0，＋∞)，f(x1)min≤g(x2)恒成立， 因∀x2∈[0，＋∞)，g(x2)≥0恒成立， 即∀x∈[0，＋∞)，g(x)＝ex－ax－1≥0恒成立. g′(x)＝ex－a，易知g′(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴当x≥0时，g′(x)≥g′(0)＝1－a， ①当1－a≥0，即a≤1时，g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴此时g(x)在[0，＋∞)上的最小值为g(0)＝0， ∴a≤1满足题意； ②当1－a<0，即a>1时， 令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a， ∴当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，g′(x)>0， ∴g(x)在(0，ln a)上单调递减， 在(ln a，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0， ∴此时g(x)在[0，＋∞)上的最小值为g(ln a)<0， ∴a>1不满足题意. 综合①②可得，a的取值范围为(－∞，1]. 9.（2025·江苏南京二模）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的最小值； (2)若函数，对，，使成立，求实数a的取值范围． 【解】（1）因为，所以， 又因为函数在区间上单调递增，所以， 所以恒成立， 单调递增，所以，所以； （2）函数，对，，使成立， 所以， 函数， 当单调递减，所以， 因为，所以， 因为单调递增，所以， 当时，所以，所以单调递减，所以，所以，，所以； 当时，， ，所以单调递减，，所以单调递增， ，所以最大值是中较大的，所以且， 所以， 当时，所以，所以单调递增，所以，所以，，所以无解； 综上得：. 题型04作差构造法证明不等式 解｜题｜策｜略 作差构造法证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形：将不等式f（x）＞g（x）（或f（x）＜g（x））变形为f（x）－g（x）＞0（或f（x）－g（x）＜0）； （2）构造新的函数：h（x）＝f（x）－g（x）； （3）利用导数研究函数h（x）的性质，得到所证不等式. 10.已知函数． 当，时，求证：．（参考数据：） 【解】当，时，， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 故当时，，即， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，即， 故，时，. 11.已知，曲线在处的切线方程为． (1)求； (2)证明． 【解】（1）由可得， 则，所以曲线在点处的切线斜率为， 又因为，所以切线方程为：，即. 所以. （2）要证明，只要证， 设，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，所以. 12.已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【解析】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 题型05隔离转化法证明不等式 解｜题｜策｜略 隔离转化法的一般思路 （1）在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题； （2）在证明过程中，“隔离”转化是关键，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f（x），g（x），使f（x）min＞g（x）max恒成立，从而f（x）＞g（x），但f（x）与g（x）取到最值的条件不是同一个“x”的值； （3）对于较复杂的不等式，也可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证. 13.证明： 【证明】要证明，只需证， 由题意得：的定义域为，的定义域为， 因为， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 设，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 故，当且仅当时等号成立， 故只需证，且等号成立的条件与不同， 故； 14.已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：. 【解】（1）由题知：，其定义域为，. 当时，则，在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）要证，即证. 由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，即， ，. 令， ， ∴在上单调递增， ∴当时，，即， ∴，即， ∴原不等式成立. 15.已知函数f（x）＝eln x－ax（a∈R）. （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当a＝e时，证明：xf（x）－ex＋2ex≤0. 【解】（1）f'（x）＝－a（x＞0）， ①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上是增函数； ②若a＞0，则当0＜x＜时，f'（x）＞0；当x＞时，f'（x）＜0. 故f（x）在（0，）上单调递增，在（，＋∞）上单调递减. （2）证明：因为x＞0，所以只需证f（x）≤－2e， 当a＝e时，由（1）知，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减. 所以f（x）max＝f（1）＝－e. 设g（x）＝－2e（x＞0），则g'（x）＝， 所以当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减； 当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增， 所以g（x）min＝g（1）＝－e. 综上，当x＞0时，f（x）≤g（x），即f（x）≤－2e. 故不等式xf（x）－ex＋2ex≤0得证. 题型06适当放缩法证明不等式 解｜题｜策｜略 适当放缩法证明不等式常见的放缩技巧 （1）利用基本不等式进行放缩，如：a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；a＋b≥2（a≥0，b≥0）； （2）ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号； （3）ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号. 16.已知函数f（x）＝，g（x）＝，证明：f（x）＞2g（x）－1. 【证明】要证f（x）＞2g（x）－1，即证＞－1， 因为当x＞0时ex＞x＋1＞0，即＞，也即＞，－1＞－1. 只需证≥－1，即证xln x≥x－1. 令m（x）＝xln x－x＋1，则m'（x）＝ln x， 所以当x∈（0，1）时，m'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，m'（x）＞0， 所以m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， 所以m（x）min＝m（1）＝0，即m（x）≥0， 所以xln x≥x－1，f（x）＞2g（x）－1得证. 17.设函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：. 【解】（1）解：函数的定义域为，所以， 当时，即在上单调递减， 故函数单调递减区间为，无单调递增区间； （2）解：当时，， 要证， 即证 即证 设，则     所以当时，时，所以在上单调递增，在上单调递减， 设     则当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增,   所以 又 所以当时， 18.已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【解析】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 题型07数形结合法研究函数的零点 解｜题｜策｜略 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数范围. 19.已知函数f（x）＝ex－（a∈R），讨论函数f（x）的零点个数. 【解】由f（x）＝0，得xex＝a（x≠0）. 设h（x）＝xex（x≠0），得h'（x）＝（x＋1）ex， 令h'（x）＞0得x＞－1且x≠0，令h'（x）＜0，得x＜－1， 所以h（x）在（－1，0）和（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单调递减， 所以h（x）min＝h（－1）＝－. 又x＜0时，h（x）＜0，x＞0时，h（x）＞0， 据此可画出h（x）的大致图象如图， 所以①当a＜－或a＝0时，f（x）无零点； ②当a＝－或a＞0时，f（x）有一个零点； ③当－＜a＜0时，f（x）有两个零点. 20.已知函数f（x）＝x2＋bex（b∈R），若函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围. 【解】函数y＝f（x）有3个零点，即关于x的方程f（x）＝0有3个根， 也即关于x的方程b＝－有3个根. 令g（x）＝－，则直线y＝b与g（x）＝－的图象有3个交点. g'（x）＝， 由g'（x）＜0解得0＜x＜2； 由g'（x）＞0解得x＜0或x＞2， 所以g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增. g（0）＝0，g（2）＝－， 当x＞0时，g（x）＜0； 当x→＋∞时，g（x）→0； 当x→－∞时，g（x）→－∞， 作出g（x）的大致图象如图所示，作出直线y＝b. 由图可知，若直线y＝b与g（x）的图象有3个交点，则－＜b＜0， 即b的取值范围为（－，0）. 21.已知函数. (1)当时，求证：最大值小于； (2)若有两个零点，求实数k的取值范围. 【解】（1）当时，， 先证明：，令，其中，则， 当时， ， 所以 在上单调递增，即， 则不等式在上恒成立， 再证明：，令，其中， 则， 则当时， ，当时， ， 所以在上递增，在上递减， 即， 则不等式在上恒成立， 所以有，证毕； （2）由得：， 构造函数，由，因为，所以， 即函数在上单调递增， 由，根据单调性可得： 再构造，则， 则当时， ，当时， ， 所以在上递减，在上递增，即 当时，由，可知， 当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知， 而函数有两个零点等价于直线与函数有两个交点， 根据数形结合可得：. 题型08函数性质法研究函数的零点 解｜题｜策｜略 利用函数性质研究函数零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件. 22.曲线与在上有两个不同的交点，求的取值范围 【解析】令，即， 令 则， 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以. 23.设函数．记，若，试讨论在上的零点个数． 【解】由已知得，所以， 令，则． 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减． 当时，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为，故函数在上无零点， 又因为，由零点存在定理可得在上有且只有一个零点． 综上所述，当时，函数在上的零点个数为1． 24.已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若只有一个零点，求的取值范围． 【解】（1）函数的定义域为，， ①若，，则在单调递减； ②若，时，，单调递减，时，，单调递增. 综上：时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增. （2）若，，. 结合函数的单调性可知，有唯一零点. 若，因为函数在上单调递减，在上单调递减，所以要使得函数有唯一零点，只需，解得或. 综上：或或. 题型09导数与函数的新定义问题 解｜题｜策｜略 1.拉格朗日中值定理：若f(x)满足以下条件： (1)f(x)在闭区间[a，b]上连续； (2)f(x)在开区间(a，b)内可导，则f(x)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=. 2.几何意义：弦AB的斜率k==f'(ξ)，在曲线弧AB上至少有一点，在该点处的切线平行于弦AB. 25.约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件： ①函数在区间上连续（函数图象没有间断）； ②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”． (1)求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数； (2)对于任意的实数，，证明：； (3)已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：． 【解】（1）因为，， ，， 所以在上的“拉格朗日中值点”的个数为. （2）设，有， 易知函数在上满足拉格朗日中值定理的两个条件， 当时， 显然有，当时，不妨设， 由拉格朗日中值定理可知， 存在，使得， 有， 又由，有， 可得， 由上知，不等式成立. （3）由，有， 又由， 设， 有 可得函数单调递增， 由拉格朗日中值定理可知， 存在， 使得 同理可知，存在， 使得， 又由和函数单调递增， 有， 有， 由化简可得， 故不等式成立 26.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)讨论函数，的凹凸性； (2)在中，求证：； (3)若个正实数满足，求证：. 【解】（1）， 则， 当时，， 所以是凹函数； （2）由（1）知，当且仅当时等号成立 （3）设， 则， 在上恒成立， 所以在上是凹函数 个正实数满足， 则， 所以 ， 即， 所以． （建议用时：60分钟） 1．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【解】（1）由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； （2）由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 2．（2025·上海嘉定·一模）已知. (1)若，求函数的单调区间. (2)若在上存在零点，求实数的最大值. 【解】（1）由题设，则， 当或，即在上单调递增， 当，即在上单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； （2）在上，令， 所以在上有解， 即与在上有交点， 由且， 所以，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当或，有，且， 所以，故最大的为. 3．（25-26高三上·上海·月考）已知函数，其中. (1)若，求函数的图像在处的切线方程; (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)设函数（为自然常数）.若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围. 【解】（1）时，，求导得. 所以，而， 所以函数的图像在处的切线方程为，即. （2）根据题意知，求导得. 因为在处有极值，所以，解得. 所以. 当时，；当或时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极值点，故符合要求. 因为有3个不同的实根，， 根据函数的单调性和极值画出图像为： 所以当时，满足题意，解得. （3）单调递减，对任意且时， . 则对任意且时，均有成立， 转化为，对任意且时，均有成立， 即， 所以函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，故， 得在上恒成立，令，令，得. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，故. ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，故， 得在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数， 故，此时. 综上，实数的取值范围为. 4．（2026·上海崇明·一模）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.    (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式； (3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大. 【解】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，，    设曲线所在的抛物线方程为，，点，在抛物线上， 则，解得，， 所以曲线段所在的抛物线方程为. （2）因为点在曲线段上，，，所以， ∴，. （3）∵，， 令，解得， 当时，，当时，， 所以时，函数单调递增，时，函数单调递减， 因此，当时，是极大值也是最大值， 即当点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 【解】（1）因为，所以，所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为，即； （2）由得， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． （3）， 由，得对于恒成立，设， 则， 因为，所以时，单调递减， 时，单调递增，所以，所以． 6．（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 【解】（1），令，解得或， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极大值点；是函数的极小值点. 又，当时，； 当 时，. （2）因为 ，所以 ，， 则 ， 令 ，，， 令 ，即 ，因为 ，所以 ， 当 时，，所以 在上严格递增， 当 时，，所以 在上严格递减， 所以函数在 处取得最大值 ； 当 时，；当 时，， 时， 的图象无交点；当 时，的图象有 1 个交点；当 时，的图象有 2 个交点， 所以当 时，方程 无解；当 时，方程 有 1 个解；当 时，方程 有 2 个解； （3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得， 即时 ， 由最大值的定义且 可导，且，， 因为当，，所以 ， 所以 ，由于 ，所以 ，所以 ， 但 ，而 ，这与 矛盾， 因此，函数 在 上的最大值只能在端点 或 处取得， 即 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 导数压轴题突破 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：多集中于考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式的证明等问题，常结合函数的零点、最值等问题综合考查，诸如含参函数单调性问题、恒成立问题等. 预测2026年：加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值，导数与函数的最值的认知，理解化归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用 题型01分离参数法解决恒（能）成立问题 题型02分类讨论法解决恒（能）成立问题 题型03拆解法求解双变量的恒（能）成立问题 题型04作差构造法证明不等式 题型05隔离转化法证明不等式 题型06适当放缩法证明不等式 题型07数形结合法研究函数的零点 题型08函数性质法研究函数的零点 题型09导数与函数与其他知识的交汇 题型10导数与函数的新定义问题 题型01分离参数法解决恒（能）成立问题 解｜题｜策｜略 分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量分离的一种方法.一般地，若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min.若存在x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；若存在x0∈D，使a＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.由此构造不等式，求参数的范围 1.已知函数（）．若恒成立，求a的取值范围． 2.已知函数f(x)=ex+ax2-x.当x≥0时,f(x)≥x3+1恒成立,求a的取值范围. 3.已知函数为自然对数的底数，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 题型02分类讨论法解决恒（能）成立问题 解｜题｜策｜略 根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 4.已知函数．当时，恒成立，求的取值范围． 5.已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 6.已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 题型03拆解法求解双变量的恒（能）成立问题 解｜题｜策｜略 “双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换有： （1）∀x1，x2∈D，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max； （2）∀x1∈D1，∃x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min； （3）∃x1∈D1，∀x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max. 7.已知函数f（x）＝aex－4，g（x）＝ln x－x－1，其中e为自然对数的底数，a∈R.若对任意的x2∈（0，1]，总存在x1∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），求a的取值范围. 8.设函数f(x)＝(x－1)·(ex－e)，g(x)＝ex－ax－1，其中a∈R.若∀x2∈[0，＋∞)，都∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求a的取值范围. 9.（2025·江苏南京二模）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的最小值； (2)若函数，对，，使成立，求实数a的取值范围． 题型04作差构造法证明不等式 解｜题｜策｜略 作差构造法证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形：将不等式f（x）＞g（x）（或f（x）＜g（x））变形为f（x）－g（x）＞0（或f（x）－g（x）＜0）； （2）构造新的函数：h（x）＝f（x）－g（x）； （3）利用导数研究函数h（x）的性质，得到所证不等式. 10.已知函数． 当，时，求证：．（参考数据：） 11.已知，曲线在处的切线方程为． (1)求； (2)证明． 12.已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 题型05隔离转化法证明不等式 解｜题｜策｜略 隔离转化法的一般思路 （1）在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题； （2）在证明过程中，“隔离”转化是关键，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f（x），g（x），使f（x）min＞g（x）max恒成立，从而f（x）＞g（x），但f（x）与g（x）取到最值的条件不是同一个“x”的值； （3）对于较复杂的不等式，也可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证. 13.证明： 14.已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：. 15.已知函数f（x）＝eln x－ax（a∈R）. （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当a＝e时，证明：xf（x）－ex＋2ex≤0. 题型06适当放缩法证明不等式 解｜题｜策｜略 适当放缩法证明不等式常见的放缩技巧 （1）利用基本不等式进行放缩，如：a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；a＋b≥2（a≥0，b≥0）； （2）ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号； （3）ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号. 16.已知函数f（x）＝，g（x）＝，证明：f（x）＞2g（x）－1. 17.设函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：. 18.已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 题型07数形结合法研究函数的零点 解｜题｜策｜略 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数范围. 19.已知函数f（x）＝ex－（a∈R），讨论函数f（x）的零点个数. 20.已知函数f（x）＝x2＋bex（b∈R），若函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围. 21.已知函数. (1)当时，求证：最大值小于； (2)若有两个零点，求实数k的取值范围. 题型08函数性质法研究函数的零点 解｜题｜策｜略 利用函数性质研究函数零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件. 22.曲线与在上有两个不同的交点，求的取值范围 23.设函数．记，若，试讨论在上的零点个数． 24.已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若只有一个零点，求的取值范围． 题型09导数与函数的新定义问题 解｜题｜策｜略 1.拉格朗日中值定理：若f(x)满足以下条件： (1)f(x)在闭区间[a，b]上连续； (2)f(x)在开区间(a，b)内可导，则f(x)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=. 2.几何意义：弦AB的斜率k==f'(ξ)，在曲线弧AB上至少有一点，在该点处的切线平行于弦AB. 25.约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件： ①函数在区间上连续（函数图象没有间断）； ②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”． (1)求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数； (2)对于任意的实数，，证明：； (3)已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：． 26.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)讨论函数，的凹凸性； (2)在中，求证：； (3)若个正实数满足，求证：. （建议用时：60分钟） 1．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 2．（2025·上海嘉定·一模）已知. (1)若，求函数的单调区间. (2)若在上存在零点，求实数的最大值. 3．（25-26高三上·上海·月考）已知函数，其中. (1)若，求函数的图像在处的切线方程; (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)设函数（为自然常数）.若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围. 4．（2026·上海崇明·一模）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.    (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式； (3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 6．（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $