专题13 抛物线（热点专练）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题13 抛物线 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：近年上海高考中，重点考查焦点坐标、准线方程、对称轴等性质。这类题目多是结合性质计算距离、斜率等基础量，如 2024 年真题通过准线方程求出点的横坐标，再代入抛物线方程求解纵坐标相关的距离。 预测2026年：抛物线与直线结合，考查直线与抛物线的交点问题。此外，要重视抛物线还可能与椭圆等其他圆锥曲线综合。 题型01抛物线的定义及应用 题型02抛物线的标准方程 题型03抛物线的几何性质 题型04抛物线中最值范围问题 题型05阿基米德三角形 题型06直线与抛物线的位置关系 题型07抛物线的弦长、中点弦、焦点弦问题 题型08抛物线中的定点、定值、定直线问题 题型01抛物线的定义及应用 解｜题｜策｜略 利用抛物线的定义可解决的常见问题 （1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定到定点与到定直线距离相等的动点轨迹是抛物线； （2）距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.关于两线段和的最值问题可利用“两点之间的所有连线中，线段最短”，“三角形的两边之和大于第三边”及“直线外一点与直线上任一点连线垂线段最短”. 1.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为 . 2.（2025·江苏盐城二模）若抛物线的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值 3.在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（    ） A．4 B．3 C． D． 题型02抛物线的标准方程 解｜题｜策｜略 求抛物线标准方程的方法 （1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需求出p即可； （2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax（a≠0）；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay（a≠0），a的正负由题设来定，这样就减少了不必要的讨论. 5.已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 6.在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 7.抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 8．已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 题型03抛物线的几何性质 解｜题｜策｜略 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数形结合思想解题的直观性. 9.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则 ． 10.已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则 11．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则（    ） A． B． C． D． 12.（2025·上海金山·二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．8 题型04抛物线中最值范围问题 解｜题｜策｜略 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，根据“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决． 转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 13．（19-20高二上·上海徐汇·期末）已知抛物线：，过焦点作直线与抛物线交于、两点，则的取值范围是 . 14．（22-23高二下·上海虹口·月考）已知点在抛物线上，则点到直线的距离的最小值是 ． 15.已知抛物线y2＝8x的焦点为F，P(x，y)为抛物线上一动点，点A(6，3)，则△PAF周长的最小值为(　A　) A. 13 B. 14　 C. 15 D. 16 16.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上．若点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|MF|＋|MQ|的最小值为(　　) A. 5 B. 4　 C. 3 D. 2 题型05阿基米德三角形 解｜题｜策｜略 抛物线的弦为，过两点做抛物线切线交于点，称为阿基米德三角形, 则有: （1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴 （2）若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点 , 则另一顶点的轨迹为一条直线 （3）底边为的阿基米德三角形的面积最大值为 （4）若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 （5）在阿基米德三角形中, 17.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 18.已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，|AB|＝8，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则△PAB的面积最大值为(　　) A．8 B．16 C．16 D．32 19.若经过抛物线的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（   ） A． B． C． D． 20.阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（  　  ） A． B． C． D． 题型06直线与抛物线的位置关系 解｜题｜策｜略 1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，其中Δ＞0；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到. 2.直线与圆锥曲线只有一个公共点，若直线与椭圆（圆）必相切；若直线与双曲线（抛物线）有两种可能情况（相切或相交）. 21．（2026·上海·期中）已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为 ． 22．（2026·上海青浦·月考）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是 ． 23．（2026·上海杨浦·期中）已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为 . 题型07抛物线的弦长、中点弦、焦点弦问题 解｜题｜策｜略 1.求解弦长的常用方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式求解． 2.用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤 24.（2026·上海虹口·一模）过抛物线()的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于､两点，且，则 . 25.已知为抛物线的焦点，过点的直线l交抛物线于，两点，若，则线段的中点到直线的距离为 ． 26．（2026·上海杨浦·一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 27.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型08抛物线中的定点、定值、定直线问题 解｜题｜策｜略 定点问题包含直线过定点和曲线过定点．定值问题一般是探索某些几何量(斜率、距离、线段长度、面积等)与变量无关，或某些代数式的值(某些量的和、积、商)与变量无关，定点、定值问题在高考题中一般作为压轴题出现，难度较大． 28.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值. 29.已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 30.设是正实数，抛物线的方程为为的焦点，经过的直线与相交于、两点，且在的上方.已知当的倾斜角为时，的横坐标为 (1)求的值； (2)若的面积为4，求的方程； (3)过点作准线的垂线，垂足为点，求证:直线恒经过一定点. 31.已知抛物线和圆，抛物线的焦点为. （1）求的圆心到的准线的距离； （2）若点在抛物线上，且满足， 过点作圆的两条切线，记切点为，求四边形的面积的取值范围； （3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于四点，证明:的充要条件是“直线的方程为” （建议用时：40分钟） 1.（2025·上海普陀·二模）设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 2．（2026·上海金山·一模）已知､､､…､是抛物线上不同的点，点，若，则 3．（2025·江西宜春·一模）已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则 . 4．（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 5．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点．若为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ． 6已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·上海浦东新·二模）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·上海青浦·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 抛物线 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：近年上海高考中，重点考查焦点坐标、准线方程、对称轴等性质。这类题目多是结合性质计算距离、斜率等基础量，如 2024 年真题通过准线方程求出点的横坐标，再代入抛物线方程求解纵坐标相关的距离。 预测2026年：抛物线与直线结合，考查直线与抛物线的交点问题。此外，要重视抛物线还可能与椭圆等其他圆锥曲线综合。 题型01抛物线的定义及应用 题型02抛物线的标准方程 题型03抛物线的几何性质 题型04抛物线中最值范围问题 题型05阿基米德三角形 题型06直线与抛物线的位置关系 题型07抛物线的弦长、中点弦、焦点弦问题 题型08抛物线中的定点、定值、定直线问题 题型01抛物线的定义及应用 解｜题｜策｜略 利用抛物线的定义可解决的常见问题 （1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定到定点与到定直线距离相等的动点轨迹是抛物线； （2）距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.关于两线段和的最值问题可利用“两点之间的所有连线中，线段最短”，“三角形的两边之和大于第三边”及“直线外一点与直线上任一点连线垂线段最短”. 1.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为 . 【答案】 【解析】根据题意，由y2＝－4x得p＝2，焦点坐标为(－1，0)，作出图象，如图， . 因为等于到准线的距离，所以， 可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小， 此时点P的纵坐标为1，将y＝1代入抛物线方程求得， 所以点P的坐标为. 2.（2025·江苏盐城二模）若抛物线的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值 【答案】 【解析】， 因为，所以直线与抛物线相离. 所以P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值 为抛物线的焦点到直线的距离.. 3.在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等， 由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，轨迹方程为，故选D 4.已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离， 可得，解得，故选D. 题型02抛物线的标准方程 解｜题｜策｜略 求抛物线标准方程的方法 （1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需求出p即可； （2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax（a≠0）；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay（a≠0），a的正负由题设来定，这样就减少了不必要的讨论. 5.已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【答案】 【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 6.在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【解析】设，可得以线段为直径的圆的圆心为，半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切，可得，整理得． 7.抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：， 解得：(舍去).故选B. 8．已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为动点到点的距离比到直线的距离小， 所以，点到点的距离和到直线的距离相等， 点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线． 所以，，则，故点的轨迹方程为．故选D. 题型03抛物线的几何性质 解｜题｜策｜略 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数形结合思想解题的直观性. 9.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则 ． 【答案】1    【解析】根据题意可以知道过焦点的倾斜角为直线方程为, 联立 可得： , , 计算得出: , 10.已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则 【答案】3 【解析】点为抛物线的焦点，， 设，，，， 当斜率不存在时，即，所以，不符合题意， 设直线的斜率为，则直线的抛物线为， 联立直线与抛物线方程，化简整理，可得①， 由韦达定理，可得， ，，解得②， 将②代入①可得，，解得或， ，， 又，，． 11．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线的倾斜角分别为30°和150°，这时过焦点的直线与抛物线有两个交点.所以正三角形的个数n＝2，故选C 12.（2025·上海金山·二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】由题意知，（）的焦点为， 的右顶点为，所以，解得.故选D 题型04抛物线中最值范围问题 解｜题｜策｜略 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，根据“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决． 转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 13．（19-20高二上·上海徐汇·期末）已知抛物线：，过焦点作直线与抛物线交于、两点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可得焦点，设，直线， 联立得，， ； 因为，所以. 14．（22-23高二下·上海虹口·月考）已知点在抛物线上，则点到直线的距离的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为点在抛物线 上，设点， 则点到直线的距离为， 当且仅当时，等号成立，所以， 即点到直线的距离的最小值为. 15.已知抛物线y2＝8x的焦点为F，P(x，y)为抛物线上一动点，点A(6，3)，则△PAF周长的最小值为(　A　) A. 13 B. 14　 C. 15 D. 16 【答案】 【解析】 由题知F(2，0)，准线方程为x＝－2.如图，过P作准线的垂线，垂足为Q，过A作准线的垂线，垂足为B，所以△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AB|＋|AF|＝8＋5＝13，当P为AB与抛物线的交点P′时等号成立，即△PAF周长的最小值为13. 16.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上．若点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|MF|＋|MQ|的最小值为(　　) A. 5 B. 4　 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 由题意抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，它与x轴的交点为(－1，0)，焦点为F(1，0).如图，过点M向抛物线的准线作垂线，垂足为N.设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为P(3，0)，则|MF|＋|MQ|＝|MN|＋|MQ|≥|NQ|≥|NP|－r＝|NP|－1≥|DP|－1＝4－1＝3，且|MF|＋|MQ|＝3成立的条件是M，O重合且Q，E重合．综上所述，|MF|＋|MQ|的最小值为3. 题型05阿基米德三角形 解｜题｜策｜略 抛物线的弦为，过两点做抛物线切线交于点，称为阿基米德三角形, 则有: （1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴 （2）若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点 , 则另一顶点的轨迹为一条直线 （3）底边为的阿基米德三角形的面积最大值为 （4）若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 （5）在阿基米德三角形中, 17.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上， 所以点，直线的斜率为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即,故选：C． 18.已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，|AB|＝8，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则△PAB的面积最大值为(　　) A．8 B．16 C．16 D．32 【答案】D 【解析】方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x2－4kx－4b＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b， 又|AB|＝|x1－x2|＝·＝8，故k2＋b＝， 又x2＝4y，∴y＝x2，∴y′＝x，故直线PA的方程为y－y1＝x1(x－x1)， 即y＝x1x－x，同理，直线PB的方程为y＝x2x－x， 联立直线PA，PB方程可得x＝，y＝， 即x＝＝2k，y＝＝－b，即P(2k，－b)，∴点P到直线AB的距离d＝， ∴S△PAB＝|AB|·d＝×8×＝4×·＝， 当k＝0时，(S△PAB)max＝32. 方法二　由阿基米德三角形的性质知(S△PAB)max＝＝＝32. 19.若经过抛物线的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形， 当线段经过抛物线的焦点时， 阿基米德具有以下特征：①点必在抛物线的准线上；②， 抛物线的焦点，准线方程为，由为“阿基米德三角形”， 且线段AB经过抛物线的焦点，得点P必在抛物线的准线上， 由点P的纵坐标为4，得点，则直线PF的斜率为， 而，因此直线AB的斜率为， 所以直线AB的方程为，即. 故选：A 20.阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（  　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，可知点在抛物线的准线上，又点在直线上， 所以，又，所以， 因为，所以，所以直线的方程为，即. 故选：A. 题型06直线与抛物线的位置关系 解｜题｜策｜略 1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，其中Δ＞0；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到. 2.直线与圆锥曲线只有一个公共点，若直线与椭圆（圆）必相切；若直线与双曲线（抛物线）有两种可能情况（相切或相交）. 21．（2026·上海·期中）已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为 ． 【答案】0或 【解析】联立与可得， 当时，此时方程为，解得，符合题意， 当，由可得，即， 综上可知：直线与曲线只有一个公共点，或， 22．（2026·上海青浦·月考）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是 ． 【答案】0或 【解析】如图，因直线的斜率为,且经过定点，又抛物线的对称轴为轴， 故当时，直线与抛物线有且只有一个公共点； 由消去，得：， 由，解得：，此时直线与抛物线相切. 综上，或. 23．（2026·上海杨浦·期中）已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为 . 【答案】 【解析】直线的方程为：， 联立，化为， 直线与抛物线相交于不同的两点， ，即，解得，且． 斜率的取值范围是． 题型07抛物线的弦长、中点弦、焦点弦问题 解｜题｜策｜略 1.求解弦长的常用方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式求解． 2.用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤 24.（2026·上海虹口·一模）过抛物线()的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于､两点，且，则 . 【答案】 【解析】设抛物线的焦点坐标为，由条件可知， 所以，又，所以， 25.已知为抛物线的焦点，过点的直线l交抛物线于，两点，若，则线段的中点到直线的距离为 ． 【答案】5 【解析】如图，抛物线的焦点为，准线为，即． 分别过，作准线的垂线，垂足为，，则有 . 过的中点作准线的垂线，垂足为，则为直角梯形中位线， ，即到准线的距离为5． 26．（2026·上海杨浦·一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【答案】 【解析】设，因为， 所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为， 27.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知抛物线焦点到准线的距离为，即，则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即，设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线，得，则，， 又由抛物线可知，， 所以，故选A. 结论速解： 题型08抛物线中的定点、定值、定直线问题 解｜题｜策｜略 定点问题包含直线过定点和曲线过定点．定值问题一般是探索某些几何量(斜率、距离、线段长度、面积等)与变量无关，或某些代数式的值(某些量的和、积、商)与变量无关，定点、定值问题在高考题中一般作为压轴题出现，难度较大． 28.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值. 【证明】∵抛物线C：y2＝2px(p＞0)， ∴焦点F的坐标为(，0). 由题意知直线l的斜率存在且不为0， ∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为x＝ty＋(t≠0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得y2－2pty－p2＝0， ∴y1＋y2＝2pt，Δ＝4p2t2＋4p2＞0. ∴x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p，∴M(pt2＋，pt). ∴MN的方程为y－pt＝－t(x－pt2－). 令y＝0，解得x＝pt2＋，N(pt2＋，0)， ∴|MN|2＝p2＋p2t2， |FN|＝pt2＋－＝pt2＋p， ∴＝＝2p，为定值. 29.已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 【解】（1）设点的坐标为，因为点在第一象限，所以， 双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上， 所以， 所以点的坐标为，又点在抛物线上， 所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则， 设关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上， 令得： ． 直线过定点． 30.设是正实数，抛物线的方程为为的焦点，经过的直线与相交于、两点，且在的上方.已知当的倾斜角为时，的横坐标为 (1)求的值； (2)若的面积为4，求的方程； (3)过点作准线的垂线，垂足为点，求证:直线恒经过一定点. 【详解】（1） 焦点坐标为，斜率, 可得直线的方程为, 将代入直线的方程，可得 又因为点在抛物线上 所以 即 所以0 解得或 当时，，此时点在轴下方，不符合在上方的条件，舍去. 所以 （2）由（1）知，则抛物线方程为，焦点. 设直线的方程为()，，. ， ，其中 所以 解得 当时，直线的方程为，即 当时，直线的方程为，即 因此，直线的方程为或 （3）由（2）得：， 所以恒经过 31.已知抛物线和圆，抛物线的焦点为. （1）求的圆心到的准线的距离； （2）若点在抛物线上，且满足， 过点作圆的两条切线，记切点为，求四边形的面积的取值范围； （3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于四点，证明:的充要条件是“直线的方程为” 【详解】（1）由可得:，的圆心与的焦点重合， 的圆心到的准线的距离为. （2）四边形的面积为: ， 当时，四边形的面积的取值范围为. （2）证明(充分性) :若直线的方程为，将分别代入 得，，，. ，. (必要性) :若，则线段与线段的中点重合， 设的方程为，，，，， 则，将代入得， ，即， 同理可得，， 即或， 而当时，将其代入得不可能成立； . 当时，由得：，， 将代入得，， ，， ，或（舍去） 直线的方程为. 的充要条件是“直线的方程为”. （建议用时：40分钟） 1.（2025·上海普陀·二模）设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 【答案】9 【解析】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 2．（2026·上海金山·一模）已知､､､…､是抛物线上不同的点，点，若，则 【答案】40 【解析】设，分别过，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， ､､､…､是抛物线上不同的点，点,准线为， . , , . 3．（2025·江西宜春·一模）已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则 . 【答案】4 【解析】因为抛物线C：的焦点为F，所以， 由题意可得, 所以, 又由抛物线定义得：，所以为等边三角形， 设准线与轴交于点， 在直角中，， 所以. 4．（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【答案】 【解析】设抛物线上的点坐标为， 圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离. 令，则，对其求最小值， 根据二次函数性质，当时，最小为. 则与两点间最短距离为.    5．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点．若为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ． 【答案】 【解析】因为为等边三角形，则， 由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线， 设，则点， 又由焦点，是等边三角形，所以， 解得，因此抛物线方程为. 6已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的焦点， 由，可得，不妨令 则，解之得 则抛物线方程为，其准线方程为 故选：B 7．（2026·上海浦东新·二模）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的准线方程为，，则，， ，当时，， 当时，，当且仅当时取等号，而， 所以的最小值是，故选B 8．（2026·上海青浦·期中）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $