精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

1元月月考高三数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知,则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若，则0<a<b， 则 是0<a<b 成立的必要不充分条件， 故选B． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系进行转化是解决本题的关键． 2. 已知圆台的侧面积为，上､下底面的面积比为，高为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由底面面积比可得半径比，利用侧面积公式及母线、高、上下底面半径之差的关系求解半径与母线长，再由体积公式得解. 【详解】根据题意，上､下底面的面积比为，可得上､下底面的半径比为， 设该圆台上底面的半径为，下底面的半径为，母线长为， 因为圆台的侧面积为，所以，即， 又，求解可得， 所以该圆台的体积， 故选：B. 3. 已知复数满足，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算结合共轭复数的定义求得. 【详解】由题得， 所以的共轭复数为. 故选：B. 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. －81 B. －27 C. 27 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项的公式进行求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，即. 故选：D. 5. 如图所示的菱形中，对角线交于点，将沿折到位置，使平面平面.以下命题: ①； ②平面平面； ③平面平面； ④三棱锥体积为. 其中正确命题序号为（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】通过证面可判断①②；求两平面所成的二面角可判断③；得到三棱锥的高后可判断④. 【详解】如图： 因为四边形是菱形，， 所以，为的中点， 所以，，，面， 所以面，又面，所以，即①正确； 由①知面，又面，所以平面平面，即②正确； 如图： 取的中点为，连接，，依题意，， 所，，所以是二面角的平面角， 又因为平面平面，平面平面， 所以面，和是边长为2的正三角形， 所以，且有， 所以在中，， 又和是两全等的等腰三角形，， 的中点为，所以， 由已知可得是边长为2的正三角形，得， 则在中，容易算得，，， 所以，所以二面角不是直二面角，故③错误； 由已知可得是边长为2的正三角形，又由上得面， 所以三棱锥的高即为，，是边长为2的正三角形， 所以三棱锥的体积为，故④正确. 故选：D. 6. 如图，梯形是一平面图形的直观图，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法还原图形，利用勾股定理，可得答案. 【详解】由题意还原图形如下图： 则，，由，则， 所以. 故选：C. 7. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出的展开式的通项，根据通项得到，即可求出项的系数. 【详解】的展开式的通项为：. 令，解得. 所以展开式中项的系数. 故选：B 【点睛】本题主要考查二项式定理中指定项的系数，熟记二项式定理的通项为解题的关键，属于简单题. 8. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中，点到轴的距离为求解即可． 【详解】点到轴的距离为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则（ ）． A. 是偶函数 B. 在上的最大值为1 C. 在上为减函数 D. 在上有且仅有1个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】A．根据的大小关系进行奇偶性判断； B．先求解出，然后根据的正负判断出的单调性，从而求解出的最大值并进行判断； C．根据的正负确定出在上的单调性； D．根据端点值以及单调性确定出的零点个数. 【详解】因为，，所以，所以不是偶函数，故A错误． ，设，则． 令，所以， 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以，所以． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，，， 所以函数在上单调递增，最大值为，故B正确． 函数在上先减后增，故C错误． 又，，所以在上为有且仅有1个零点，故D正确． 故选：BD. 【点睛】思路点睛：利用导数分析函数的零点个数的一般思路： 当原函数的导函数无法直接判断出正负时，可先通过将原函数的导函数看作新函数，利用导数思想先分析的单调性以及取值正负，由此确定出的单调性并分析其取值正负，从而的正负可分析，则根据的单调性以及取值可讨论零点个数. 10. 已知展开式中的二项式系数和为32，若，则（ ） A. n＝5 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由二项式系数的性质求得，判断A，然后根据二项式定理判断BC，用赋值法求解判断D． 【详解】由，得n＝5，A正确．令x＝0，得，B正确．因为n＝5，所以，C错误．令x＝－1，得，D正确． 故选：ABD． 11. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题可对A判断求解；利用基本不等式可对B判断求解；利用不等式性质可对C判断求解；利用基本函数单调性可对D判断求解. 【详解】对于A，，当时取等号，故A正确； 对于B，因为，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，因为，所以，则，故C错误； 对于D，函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，则当时取到最小值，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题p：对，，若p为真命题，则实数a的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式恒成立，求出a的范围作答. 【详解】因为，，于是，解得， 所以实数a的最小值是. 故答案为： 13. 已知，则的虚部为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由复数乘除运算法则化简复数，进而根据共轭复数概念得即可得其虚部. 【详解】因为， 所以 故的虚部为. 故答案为：. 14. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：或，． 考点：（1）同角三角函数的基本关系（2）二倍角公式 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）化简： （2）证明恒等式： 【答案】（1）； （2） 右边 左边. . 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）从右边开始变形，利用倍角公式及两角和的正切公式变形证明即可. 【详解】（1）； （2）略 16. 已知正的边长为，内切圆圆心为，点满足. （1）求证：为定值； （2）把三个实数，，的最小值记为，b，c}，若，求的取值范围； （3）若，，求当取最大值时，的值. 【答案】（1）51；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出的坐标，依题意设，求得的坐标，进而可求得结果； （2）由（1）求得，，，由对称性考查时的情况可得结果； （3）依题意可得，令得，进而由判别式法可求得结果. 【详解】（1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示. 由正弦定理得外接圆半径，则，进而可得，. 因为，所以点在圆上，故设， 则，，，所以 （2）由（1）知， 同理可得，， 由对称性下面考查时的情况， 当时，，，，此时，最小； 当时，，，不是最小， 故的取值范围是. （3）， 所以，代入整理得， ，两边同时除以得：， 令，则，即， 所以，即， 解得，所以（即）的最大值为. 此时，，因此， 所以，从而. 【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，将问题转化为三角函数和不等式问题. 17. 已知函数，数列满足，数列的前项和为，且，． （1）分别求，的通项公式； （2）定义，为实数的整数部分，为小数部分，且记，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)由，当时，，可得，利用等比数列的通项公式即可求出． (2)由题意，；；当时，可以证明，因此，再利用“错位相减法”与等比数列的前项和公式即可得出结果． 【小问1详解】 易知． 当时，，， ，又令，得． ，即是以为首项，公比也为2的等比数列， 所以． 即的通项公式为. 【小问2详解】 依题意，；； 当时，易知，即， ， 则，，． 令，， 两式相减并化简得． ，检验知，不合，适合， ． 18. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD边上的高. （1）证明：PH⊥平面ABCD； （2）若PH=1，AD=，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积； （3）证明：EF⊥平面PAB. 【答案】（1）因为PH为△PAD边上的高,所以PH⊥AD, 又因为AB⊥平面PAD，平面PAD,所以AB⊥PH, 又因为ABAD=A,所以PH⊥平面ABCD; （2） （3）取PA的中点Q,连结EQ、DQ， 则因为E是PB的中点，所以EQ∥AB且EQ=AB，又因为DF=AB且DF∥AB，所以EQ∥DF且EQ=DF，所以四边形EQDF是平行四边形，所以EF∥DQ，由(1)知AB⊥平面PAD，所以AB⊥DQ,又因为PD=AD，所以DQ⊥PA,因为PAAB=A,所以DQ⊥平面PAB,因为EF∥DQ，所以EF⊥平面PAB. 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为E是PB的中点，所以点E到平面BCF的距离等于点P到平面ABCD距离的一半, 即=,又因为=,所以三棱锥E-BCF的体积为; 【小问3详解】 略 【点睛】考点：本题考查空间线线、线面的平行与垂直的证明以及三棱锥体积的求解，考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析与解决问题的能力. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上的动点，点是线段与轴的交点，点满足，． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设点是轨迹上的动点，点、在轴上，圆内切于，求的面积的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】设点的坐标为，由题设确定根据抛物线的定义可知点的轨迹为抛物线，根据焦点和准线方程，则可得抛物线方程． 设，，，且，则直线的方程可得，由题设知，圆心到直线的距离为，把，代入化简整理可得，同理可得，进而可知，为方程的两根，根据求根公式，可求得，进而可得的面积的表达式，根据均值不等式可知当当时面积最小，进而求得点的坐标． 【小问1详解】 设点的坐标为，则 点是线段与轴的交点， 由题意可得，设的坐标为， 则直线的方程为，令，得， 故，是线段的中点， ， ，即，求解可得， ， ，， ， ， 解得， 动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 设，，，且， 故直线的方程为， 由题设知，圆心到直线的距离为， 即， 注意到，化简上式，得， 同理可得， 由上可知，，为方程的两根， 根据求根公式，可得， 将代入上式可得：， 故的面积为， 根据均值不等式可得： ， 等号当且仅当时成立． 此时点的坐标为或 综上所述，当点的坐标为或时，的面积取最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1元月月考高三数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知,则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知圆台的侧面积为，上､下底面的面积比为，高为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. －81 B. －27 C. 27 D. 81 5. 如图所示的菱形中，对角线交于点，将沿折到位置，使平面平面.以下命题: ①； ②平面平面； ③平面平面； ④三棱锥体积为. 其中正确命题序号为（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ①②④ 6. 如图，梯形是一平面图形的直观图，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则（ ）． A. 是偶函数 B. 在上的最大值为1 C. 在上为减函数 D. 在上有且仅有1个零点 10. 已知展开式中的二项式系数和为32，若，则（ ） A. n＝5 B. C. D. 11. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题p：对，，若p为真命题，则实数a的最小值是______． 13. 已知，则的虚部为________. 14. 已知，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）化简： （2）证明恒等式： 16. 已知正的边长为，内切圆圆心为，点满足. （1）求证：为定值； （2）把三个实数，，的最小值记为，b，c}，若，求的取值范围； （3）若，，求当取最大值时，的值. 17. 已知函数，数列满足，数列的前项和为，且，． （1）分别求，的通项公式； （2）定义，为实数的整数部分，为小数部分，且记，求数列的前项和． 18. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD边上的高. （1）证明：PH⊥平面ABCD； （2）若PH=1，AD=，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积； （3）证明：EF⊥平面PAB. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上的动点，点是线段与轴的交点，点满足，． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设点是轨迹上的动点，点、在轴上，圆内切于，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $