温州市荆山公学2025-2026学年上学期寒假作业（2）高二数学

温州市荆山公学2025-2026学年上学期寒假作业（2） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册+选择性必修第二册第四章数列。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.双曲线的虚轴长为(    ) A. B. C. D. 3.记为等比数列的前项和．若则(    ) A. B. C. D. 4.我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则(    ) A. B. C. D. 5.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 6.直线关于直线：对称的直线方程为(    ) A. B. C. D. 7.已知数列满足，，记数列的前项和为若对任意的，都有，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率其中的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.以下四个命题表述正确的是(    ) A. 直线恒过定点 B. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 圆上存在个点到直线的距离都等于 10.已知双曲线的一条渐近线方程为，则(    ) A. 为的一个焦点 B. 双曲线的离心率为 C. 过点作直线与交于两点，则满足的直线有且只有两条 D. 设为上三点且关于原点对称，则斜率存在时其乘积为 11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点满足，则(    ) A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列中，，设其前项和为，且，则其公差          ，其前项和为取得最大值时          ． 13.如图，在长方体中，，，若为中点，则点到平面的距离为          ． 14.已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点、在轴的上方，、两个点到轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知点和直线点是点关于直线的对称点． 求点的坐标 为坐标原点，且点满足若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 16.本小题分 已知圆经过点． 求圆的方程； 求过点且与圆相切的直线的方程； 过引直线与圆交于另一点，若，求的斜率． 17.本小题分 已知数列的前项和为，，． 证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 求数列的前项和； 若对任意恒成立求实数的取值范围． 18.本小题分 如图，四棱锥中，平面，是的中点． 求证：平面； 求平面与平面所成角的余弦值； 在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19.本小题分 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线，均不与轴垂直． 求椭圆的方程； 若，求的方程； 记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 温州市荆山公学2025-2026学年上学期寒假作业（2） 答案和解析 1.【答案】  解：由，可得，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，因，故．故选：． 2.【答案】  解：双曲线方程，故，所以虚轴长．故选C． 3.【答案】  解： ， ，得 ，  ，故选B． 4.【答案】  【解析】解：如图，，所以， 又，则．故选：． 5.【答案】  【解析】解：因为为等腰三角形，，所以， 由斜率为，得，， 由正弦定理得，所以，．故选：． 6.【答案】  【解析】解：联立，解得则交点坐标为． 取直线上一点， 设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得故所求直线过点，， 所以所求直线方程为：，即．故选：． 7.【答案】  解：依题意有，当时，，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即， 所以， 所以  ， 所以的取值范围是，故选：． 8.【答案】  解：依题意有四点共圆，设点坐标为， 则四边形外接圆方程为，又方程为， 将两圆方程：与相减， 得：，解得，， 则 ． 9.【答案】  解：对于，直线，即， 由，解得所以直线过定点，A错误 对于，因为点为直线上一动点，所以设， 显然点不能在圆上，即或， 因为、是圆的两条切线，切点分别为、，为圆心， 所以，所以点在以为直径的圆上，即弦是圆和圆的公共弦． 因为圆心的坐标是，且半径， 所以圆的方程为 ，又， 所以，得， 即公共弦所在的直线方程为， 所以由，得所以直线过定点，B正确； 对于，曲线，即，则圆心，半径为， 曲线，即，则圆心，半径为， 两圆的圆心距为， 因为圆：与圆：有三条公切线， 则两圆属于外切的位置关系， 所以，解得，C正确； 对于，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，又因为， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，D错误；故选BC． 10.【答案】  解：当，即时，双曲线焦点在轴上，双曲线方程为， 由渐近线为，可得，解得，即双曲线方程为； 当，即时，双曲线焦点在轴上，双曲线方程为， 由渐近线为，可得，无解； 对于，由双曲线方程为，可得双曲线的半焦距满足，即，故A错误； 对于，由双曲线方程为，可得双曲线的实半轴长为，， 所以双曲线的离心率为，故B正确； 对于，因为为该双曲线的右焦点，由双曲线的焦点弦性质可得， 当，两点在双曲线的两侧时有； 当，两点位于双曲线的一侧时有． 因为成立，所以，两点可分别位于双曲线的两侧， 由双曲线的对称性可得，此时这样的直线有条； 又因为成立，所以，两点可位于双曲线的右侧， 由双曲线的对称性可得，此时这样的直线有条． 综上，满足的直线有条，故C错误； 对于，由题意，可设在双曲线上， 由，斜率存在可得， 所以有，两式作差可得，即， 所以，故D正确．故选：． 11.【答案】  解：对选项，当时，与重合， ，，，，面， 所以面，又面，所以，同理可得， 又，，面，所以可得平面， 即平面，选项正确； 对选项，与相交，到平面的距离不是定值，又的面积为定值， 对任意，三棱锥的体积不是定值，选项错误； 对选项，当时，与重合，此时易知平面， 当时，与重合，由可知，平面，如图， 设，连接，， 易知平面，又平面， 平面平面，且平面平面， 在平面的射影为，与平面所成角为， 又易知， 存在，使得与平面所成的角为，选项正确； 对选项，正方体的外接球的球心为正方体的体心， 且外接球的直径为正方体的体对角线， ，，当时，为靠近的三等分点， 以为原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取， 球心到平面的距离， 平面截该正方体的外接球所得截面小圆半径 ， 平面截该正方体的外接球所得截面小圆的面积为，选项正确．故选：． 12.【答案】  解：因为在等差数列中，，可得， 又由，可得，解得， 所以， 由，得，又因为，所以当时， 即时，，当时，，所以时，取得最大值． 故空答案为：，空答案为：． 13.【答案】  解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接， 由题意得，，，， ，，． 设平面的法向量为，则， 即令，得，  点至平面的距离为． 14.【答案】  【解答】 解： 设，依题意，设的中点为， 由于，所以，所以，， 由于，所以， 所以，所以或， 由于在双曲线的渐近线上，所以 两式相减并化简得，， 若，则不符合题意，舍去； 若，则，所以； 所以渐近线方程为 ．故答案为． 15.【答案】解：设点，由题线段的中点在直线上， 故：，又直线垂直于直线，故， 联立式解得：，故点的坐标为． 设点，由题，则， 故，化简得， 又直线与圆有公共点， 故，解得  16.【答案】解：因为的中垂线为：，的中垂线为：， 联立解得，， 所以圆心，所以圆的半径， 所以圆的标准方程为； 由得圆的圆心为，半径为，因为点在圆上，所以切线与直线垂直， 因为直线的斜率为， 所以切线的方程为，即； 由题意可知的斜率一定存在，设为，所以的方程为， 设圆心到的距离为，因为，所以，即， 所以，化简得，，即，所以的斜率为．  17.【答案】解：证明：数列的前项和为，，， 由，两边同时除以，可得， 又，所以数列是首项、公差均为的等差数列， 由等差数列的通项公式可得，所以； 由， 可得， 所以， 所以； 若对任意恒成立，即有， 整理得恒成立，令， 则， 当时，，当时，，当时，， 所以，即的最小值为，综上，， 即实数的取值范围是．  18.【答案】解：证明： 取的中点，连接，，因为是的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面； 由题意：平面，且，则两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，是的中点， 所以点的坐标为，，，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，， 由，可得令，得， 故平面的一个法向量为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 设，且，， 则， 设平面的法向量为，则，可得 令，得，所以平面的一个法向量为， 因为点到平面的距离为，所以，解得， 所以存在点，使得点到平面的距离为，此时． 19.【答案】解：由椭圆过点，焦距为， 得，解得故椭圆的方程为． 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得，则， 故 ，解得或， 当时，直线的方程为， 当时，直线经过点，不符合题意，舍去， 所以当时，的方程为， 证明：直线，均不与轴垂直， 所以，，则且， 所以 ， 所以为定值．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $