筑牢线性回归模型，破解其他回归模型问题-《中学生数理化》高考数学2026年1月刊

中学生表理化学创新降程费源 筑牢线性回归模型，破解其他回归模型问题 ■湖南省长沙市第一中学 徐金波 回归模型作为成对数据研究的重要方法， 表1 近年来成为高考数学的热点考查内容。从命 10.15 14.00 题趋势来看，主要聚焦于幂函数模型、指数函 y,-13s.y 5=1 数模型及对数函数模型。本文重点探讨幂函 ty. -13t·y -2.10 数、指数函数和对数函数三大回归模型的线性 =1 108.40 化技巧，通过巧妙的变量转换，将复杂的非线 -13s9 11.67 =1 性问题转化为标准的线性回归框架，从而简化 3.04 2 -13t2 0.21 解题过程，有效突破回归模型问题。 一、幂函数模型 0.16 y-13y 21.22 幂函数模型作为常见的数学模型之一， =】 在数据分析与实际问题求解中有着重要应 (1)用相关系数说明哪种模型建立y关 用。其典型应用场景表现为：当通过散点图 于x的回归方程更合适； 观察或数据分析发现变量间呈现非线性关联 (2)根据(1)的结果及表1中的数据，建 时，数据分布特征符合幂函数规律，即可建立 立y关于x的回归方程。 幂函数回归模型y=a.x“十b。具体求解过程 附数据和公式：0.21×21.22=4.4562， 可分为三个关键步骤：首先，通过散点图形态 11.67×21.22=247.6374,√/247.6374≈ 识别或统计检验确认模型适用幂函数型；其 U,U,一nl·U 次，运用变量替换x“=u将非线性模型转化 15.7,β= i=1 ,a=U一Bu,相关 为线性形式；再次，采用最小二乘法拟合线性 -nu 回归方程；最后，通过逆变换将结果还原为原 始幂函数模型，从而完成整个建模过程。 51 系数r 例1创新研究院课题组为了促进锂 电产业发展，对某企业研发经费的投人和企 =1 解析：(1)由题意知r2=一0.9953，r1= 业当年的销售收人的关系进行了研究，他们 收集了上一年不同企业销售收入y(单位：10 ∑sy-13s· ,=1 万元)与一定范围内的研发经费x(单位：10 万元)的数据，根据收集的13组观测数据绘 -13 y-13y 制得到如图1所示的散点图，分别利用y=a 14 14 14 十b√x或y=c十dx1建立y关于x的回归 /11.67×/21.22 √247.6374 ≈15.7≈ 方程，令s=√，t=上得到表1中的数据，且 0.8917。 因为|r1<|r2|<1,所以用模型y= (s,y:)与(t:,y,)(i=1,2,3,…,13)的相关 c十dx1建立y关于x的回归方程更合适。 系数分别为r1,r2,其中r2=一0.9953。 由1)可得回归方程为y 1 (2)令t= 个销售收入(10万元) 112 c+dt。 11 110 109 -2.10 108 因为a 107 ∑t-13t 0.21 投入经费(10万元) 1060346810121416,1820 图1 22 解数型新题舉费滑中学生表理化 -10,所以c=y-at=108.40+10×0.16 天数x的回归方程类型。（给出判断即可，不 =110。 必说明理由) 所以y关于x的回归方程为y=c十dt= (2)根据(1)的判断结果及表3中的数据， 110-10t,即y=110-10x1。 求y关于x的回归方程（保留两位有效数字）， ,点评：本题在已知数据集和散点图的条件 并预测活动推出第8天售楼部来访的人次。 下，需要从两个候选的幂函数回归模型中确定 最优拟合模型。在解答时需遵循以下步骤：首 参考数据：其中v,=lgy,0= 7 先，通过散，点图分布特征或统计检验初步筛选 表3 模型类型；其次，通过变量替换，将非线性幂 己 ∑x,u 10.8别 数转化为线性形式：再次，利用最小二乘法拟 =1 1.84 58.55 合线性回归方程并评估其显著性；最后，通过 6.9 逆变换还原为原始幂函数方程，从而完成模型 在线性回归方程y=.x十a中，b= 的优选与参数求解。这一过程兼顾了模型选 xiyi-nx y 择的科学性与计算的可行性，确保最终回归方 i-1 ,a=y-bx。 程既能反映数据规律，又具备数学可解释性。 ∑x-nz' = 二、指数函数模型 解析：(1)根据散点图的分布规律，随着 通过观察数据在散点图中呈现的单调加 x的增大，y的增长速度越来越快，符合指数 速增长（或衰减）趋势，或经残差分析验证其相 函数的增长特征，所以y=c·d(c,d均为 对误差符合等比特性时，可判定该数据适用于 大于零的常数)适宜作为人次y关于活动推 指数函数型回归模型。建立此类模型的标准 出天数x的回归方程类型。 化流程包含四个关键步骤：首先，基于数据分 (2)由(1)知，y=c·d,两边同时取对 布特征确认指数函数模型的适用性；其次，对 数得lgy=lgc+lgd·x。 原始方程y=kar(k>0,a>0,a≠1，b≠0)的 令lgy=v,则=lgd·x+lgc。 两边取自然对数转化为线性形式；再次，运用 最小二乘法拟合最佳直线参数；最后，通过指 由题意知v:=1gy:,0=1.84,】 y工：U i=1 数运算将线性回归方程还原为指数型预测模 =58.55,又x=7(1+2+3+4+5+6+7) 型，完成从对数到原始数据的逆向转换。 例2某楼盘统一推出了为期10天的 =4, x号=12+22+32+42+52+62+7 优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼 部来访客户的情况，得到表2中的数据： x:v:-7xv 表2 =140,所以1gd 第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天 x号-7x9 12224268132202392 根据表2中的数 ◆y(人次) 58.55-7×4×1.84≈0.25，lgc=0-1gd· 140一7×42 据，用x表示活动推出350 x=1.84-0.25×4=0.84,1gy=0.84+ 300 的天数，y表示每天来 250 0.25x。 20 访的人次，绘制了如图150 所以y关于x的回归方程为y= 100 2所示的散点图。 50 100.81+0.25x=6.9×100.25 0 01234567x(天) (1)请根据散点图 图2 当x=8时，y=6.9×10°.25×8=690。 判断，以下两个函数模 所以预测活动推出第8天售楼部来访的 型：y=a十bx,y=c·d(c,d均为大于零的 人次为690。 常数)，哪一个适宜作为人次y关于活动推出 ,点评：本题通过统计获得原始数据并绘 23 中学生款理化解贺学自瓢鼻 制散，点图后，需完成两项核心任务：①基于散 据：1n102.3。 点图特征，在线性回归模型与指数型回归模 解析：(1)由散点图可知，y=clnx十d更 型中进行最优拟合模型选择；②针对确定的 适合作为每年1月份的游客数量y关于年份 指数函数型回归方程进行参数求解。解题的 代码x的回归直线方程类型。 关键步骤在于对指数函数y=c·d(c,d均 令u=lnx,则y=cu+d。 为大于零的常数)的两边同时取以10为底的 因为u=1.3,y=165,∑u=17.02, 对数，将其转化为线性形式1gy=gc+ =1 xlgd,随后运用最小二乘法分别计算截距项 2wy-8ay lgc与斜率项lgd的数值。 之wy,=1901.5,所以= i=1 三、对数函数模型 ∑w-8 =1 这类题型通过分析散点图的数据分布特 1901.5-8×1.3×165=185.5 17.02-8×1.3 3.5 =53,a=y 征，判断其是否符合对数函数型回归模型，即 满足y=clog.x十d(c,d为常数，a>0且a -cu=165-53×1.3=96.1,则y=531nx+ 卡1)。解题的核心步骤是采用换元法，将原 96.1。 方程转化为线性回归方程形式，随后运用最 所以每年1月份的游客数量y关于年 小二乘法求解参数，最终通过逆代换还原为 份代码x的回归直线方程为y=53lnx十 对数函数型回归方程。 96.1。 例3某景区统计2018~2025年这8 (2)由(1)知，当x=10时，y≈53×2.3 年1月份的游客数 游客数量y/万 十96.1=218，所以预测2026年1月份的游 250 量（单位：万），并绘200 客数量为218万。 制如图3所示的散 150 点评：本题包含两个核心任务：①通过分 100 点图（年份代码对 50 析题目数据变化趋势及散点图分布特征，在 应1,2，…，8)。 0 2345678 给定的线性回归方程与对数型回归方程中， 年份代码， (1)经计算得 选择拟合效果最优的模型并求解其回归方 图3 出表4中的数据，根 程；②基于第(1)问所确定的回归方程进行预 据散点图，在模型①：y=bx十a与模型②：y 测分析。解题的关键在于通过变量转换u= =clnx十d(a,b,c,d均为常数)中，选择一 lnx,将非线性关系y=clnx十d转化为线 个更适合作为每年1月份的游客数量y关于 性形式y=cu十d,进而运用最小二乘法求解 年份代码x的回归直线方程类型，并求出y 回归直线方程的参数。 关于x的回归直线方程。 本文聚焦成对数据研究中的回归分析问 (2)根据所求的回归直线方程预测2026 题的解题策略，通过系统梳理发现各类回归 年1月份的游客数量。 模型均可转化为线性回归模型求解。其中， 表4 幂函数型和对数函数型回归方程通过变量转 换即可线性化，而指数函数型回归方程则需 (x =1 采用两边取对数的转换方法。这种转化策略 1.3165 204 17.02 42 6448.31901.5 揭示了线性回归在解决非线性问题中的核心 地位。文章系统探讨了回归分析问题的解题 其中u=lnx,u, 1nx:(i=1,2,…,8)。 方法，深人剖析线性回归模型的核心原理，进 附参考公式：在线性回归方程y=bx十a 而将其分析框架拓展至非线性领域。这种以 》x:y;-nxy 线性回归为核心的解题范式，为处理各类回 中，b ,a=y一bx。参考数 归问题提供了统一的方法论基础。 -na (责任编辑王福华)》 24