核心素养测评(第9章 第56讲 变量的相关性与一元线性回归模型)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:60分) 六十六　变量的相关性与一元线性回归模型 基础保分练 一、单选题 1.(5分)下列有关线性回归的说法,不正确的是(　　) A.具有相关关系的两个变量不是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.任一组数据都有线性回归方程 【解析】选D.根据两个变量具有相关关系的概念,可知A正确;散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度,且回归直线最能代表它们之间的相关关系,所以B,C正确;具有线性相关关系的样本数据才有线性回归方程,所以D不正确. 2.(5分)对变量x,y由观测数据得散点图①,对变量y,z由观测数据得散点图②.由这两个散点图可以判断(　　) A.变量x与y呈现负相关,x与z呈现正相关 B.变量x与y呈现负相关,x与z呈现负相关 C.变量x与y呈现正相关,x与z呈现正相关 D.变量x与y呈现正相关,x与z呈现负相关 【解析】选B.由题中散点图可知,变量x与y呈现负相关,变量y与z呈现正相关,所以x与z呈现负相关. 3.(5分)在线性回归模型中,变量x与y的一组样本数据对应的点均在直线y=x+1上,R2=1-,即R2等于(　　) A. B. C.1 D. 【解析】选C.样本数据对应的点均在直线y=x+1上,所以相关系数R2=1. 4.(5分)两个线性相关变量x与y的统计数据如表: x 9 9.5 10 10.5 11 y 11 10 8 6 5 其回归直线方程是=x+40,则相应点(9,11)的残差为(　　) A.0.2 B.-0.2 C.0.5 D.-0.5 【解析】选B.因为=×(9+9.5+10+10.5+11)=10,=×(11+10+8+6+5)=8, 所以8=10+40,解得=-3.2, 所以=-3.2x+40,当x=9时,=11.2, 所以残差为11-11.2=-0.2. 5.(5分)(2024·石家庄模拟)某公司过去五个月的广告费支出x(万元)与销售额y(万元)之间有下列对应数据: x 2 4 5 6 8 y ▲ 40 60 50 70 工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失.已知y与x呈线性相关关系,且经验回归方程为=6.5x+17.5,则下列说法不正确的有(　　) A.销售额y与广告费支出x正相关 B.丢失的数据(表中▲处)为30 C.该公司广告费支出每增加1万元,销售额一定增加6.5万元 D.若该公司下月广告费支出为8万元,则预测销售额约为69.5万元 【解析】选C.由经验回归方程=6.5x+17.5,可知=6.5>0,所以销售额y与广告费支出x正相关,所以A正确;设丢失的数据为m,由表中的数据可得=5,=,把(5,)代入经验回归方程,可得=6.5×5+17.5,解得m=30,所以B正确;该公司广告费支出每增加1万元,销售额不一定增加6.5万元,所以C不正确;当x=8时,=6.5×8+17.5=69.5(万元),所以D正确. 二、多选题 6.(5分)某商品的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据(如表所示),用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程是=-0.32x+,样本相关系数r≈-0.992 3,则下列说法正确的有(　　) x 90 95 100 105 110 y 11 10 8 6 5 A.变量y与x负相关且相关性较强 B.=40 C.当x=75时,y的估计值为14.5 D.相应于点(95,10)的残差为0.4 【解析】选ABD.对于A,由经验回归方程可得变量x,y负相关,且由样本相关系数r的绝对值|r|≈0.992 3可知相关性较强,故正确;对于B,由题可得=×(90+95+100+105+110)=100,=×(11+10+8+6+5)=8,故经验回归直线恒过点(100,8),故8=-0.32×100+,即=40,故正确;对于C,当x=75时,=-0.32×75+40=16,故错误;对于D,相应于点(95,10)的残差=10-(-0.32×95+40)=0.4,故正确. 【加练备选】 (多选题)下列说法正确的是(　　) A.若随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X≤4)=0.6,则P(3<X≤4)=0.2 B.若线性相关系数|r|越接近1,则两个变量的线性相关性越强 C.对具有线性相关关系的变量x,y,其经验回归方程为=0.3x-m,若样本点的中心为(m,2.8),则实数m的值是-4 D.有11个样本xi(i=1,2,…,11),它们依次成公差d=2的等差数列,若第60百分位数为25,则它们的平均数为23 【解析】选BCD.对于A,由X~N(3,σ2),且P(X≤4)=0.6,得P(3<X≤4)=P(X≤4)-0.5=0.1,A错误; 对于B,线性相关系数|r|越接近1,则两个变量的线性相关性越强,B正确; 对于C,依题意,(m,2.8)满足经验回归方程为=0.3x-m,即2.8=0.3m-m,则m=-4,C正确; 对于D,由第60百分位数为25,11×60%=6.6,得x7=25,则x6=x7-d=23, x1+x2+…+x11==11x6=253,因此这11个样本的平均数为=23,D正确. 三、填空题 7.(5分)某食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系,在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品,并测定了其芳香度(如表). 年份x 0 1 4 5 6 8 芳香度y 1.3 1.8 5.6 7.4 9.3 由最小二乘法得到经验回归方程y=1.03x+1.13,但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液,污损了一个数据,请你推断该数据为__________.  【解析】由题中表格数据知=4,设污损的数据为a,则=,所以=1.03×4+1.13,解得a=6.1,即污损的数据为6.1. 答案:6.1 8.(5分)(2025·南昌模拟)某公司为了了解某商品的月销售量y(单位:万件)与月销售单价x(单位:元)之间的关系,随机统计了5个月的销售量与销售单价,并制作了对照表: 月销售单价x(元) 10 15 20 25 30 月销售量y(万件) 11 10 8 6 5 由表中数据可得回归方程=x+中=-0.32,则=________.  【解析】因为=×(10+15+20+25+30)=20,=×(11+10+8+6+5)=8, 又回归方程为=x+,所以8=-0.32×20+,解得=14.4. 答案:14.4 四、解答题 9.(10分)小李准备在某商场租一间商铺开服装店,为了解市场行情,在该商场调查了20家服装店,统计得到了它们的面积x(单位:m2)和日均客流量y(单位:百人)的数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),并计算得xi=2 400,yi=210,=42 000, (xi-)(yi-)=6 300. (1)求y关于x的回归直线方程; (2)已知服装店每天的经济效益W=k+mx(k>0,m>0),该商场现有60~150 m2的商铺出租,根据(1)的结果进行预测,要使单位面积的经济效益Z最高,小李应该租多大面积的商铺? 附:回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=-. 【解析】(1)由已知可得=xi=120,=yi=10.5, ===0.15, =-=10.5-0.15×120=-7.5, 所以回归直线方程为=0.15x-7.5. (2)根据题意得Z==+m,60≤x≤150. 设f(x)==-, 令t=,≤t≤, 则f(x)=g(t)=0.15t-7.5t2=-7.5×(t-0.01)2+0.000 75, 当t=0.01,即x=100时,f(x)取最大值, 又因为k,m>0, 所以此时Z也取最大值, 因此,小李应该租100 m2的商铺. 创新提分练 10.(5分)(多选题)某地新开了一条夜市街,每晚平均客流量为2万人,每晚最多能接纳的客流量为10万人,主办公司决定通过APP进行广告宣传提高营销效果.通过调研,公司发现另一处同等规模的夜市街投入的广告费x(单位:万元)与每晚增加的客流量y(单位:千人)存在如下关系: x/万元 1 2 3 4 5 6 y/千人 5 6 8 9 12 20 现用曲线C:=+×2x拟合变量x与y的相关关系,并利用一元线性回归模型求参数,(精确到0.1),依所求回归方程C为预测依据,则(　　) 参考数据:=10,xiyi=257,=91,2i=126,=5 460,2iyi=1 906. 附:一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式:=,=-. A.=5.8 B.曲线C经过点(log221,9.4) C.广告费每增加1万元,每晚客流量平均增加3 000人 D.若广告费超过9万元,则每晚客流量会超过夜市街的接纳能力 【解析】选BD.由题知,2iyi=1 906,=10, 2i=×126=21,=5 460, 所以==≈0.2, =10-×21=≈5.2,A错误; 所以=+×2x,即=5.2+0.2×2x, 令x=log221,求得≈9.4,B正确; 由上式可知,x每增加1,y不是平均增加的,C错误; 若x>9,则>107.6, 而每晚最多能接纳的客流量为10万人,故D正确. 11.(5分)网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到相关数据(其中“x=1”表示2020年,“x=2”表示2021年,且x为整数,依次类推;y表示人数): x 1 2 3 4 5 y(万人) 20 50 100 150 180 根据表中的数据,可以求出==42,若预测该公司的网购人数能超过300万人,则x的最小值为__________.  【解析】由题设==3,==100, 所以=+,即=100-42×3=-26, 则=42x-26, 令=42x-26>300,可得x>≈7.76, 又x为整数,所以x的最小值为8. 答案:8 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $