厘清事件发生的路径，突破排列组合问题-《中学生数理化》高考数学2026年1月刊

解题管款创新题追提潮酒中学生教理化 高三数学2026年1月 厘清事件发生的路径，突破排列组合问题 ■江苏省盐城市伍佑中学 蔡祥 排列组合作为高中数学的核心知识模 指定元素进行全排列，随后在形成的空位中 块，始终是高考命题的重点和难点。近几年 插人指定元素，从而确保不相邻条件的满足。 高考对排列组合的考查主要围绕五类核心题 例2某校举行元旦联欢晚会，从全校 型展开：相邻元素捆绑、不相邻元素插空、特 筛选出了9个节目，其中6个歌舞类节目，3 殊位置优先、分组分配及定序定向排列等。 个语言类节目。为保证晚会活跃性，要求3 本文将系统解析这五类题型的特征识别策略 个语言类节目不能相邻，也不能排首尾，则不 与解题思路，通过题型分类与方法匹配的双 同的排法种数共有一。 向研究，构建从问题分析到方案选择的完整 解析：已知9个节目，其中有6个歌舞类 解题路径，帮助同学们全面掌握排列组合问 节目，先对这6个歌舞类节目进行全排列，有 题的解题要领。 A种。6个歌舞类节目排好之后，除开两端， 一、相邻元素捆绑问题 共有5个空位，从这5个空位中选3个安排 该类问题作为排列组合考查的基础题 语言类节目，共有A:种。所以符合题目日要求 型，具有元素相邻的典型特征，解题时需采用 的排法种数共有A×A=6×5×4×3×2× 捆绑法。首先，将指定相邻元素视为整体进 1×5×4×3=43200。 行全排列；其次，将该整体与其他元素共同参 故填43200。 与排列组合运算；最后，通过分步处理实现问 点评：该题是典型的节目编排类排列组 题的有效求解。 合问题，具有生活化的应用场景。解题关键 例1现有A,B,C等7个人站一排 在于处理不相邻约束条件：先对6个歌舞类 拍照，其中两位老师必须站一起，A,C关系 节目进行全排列，形成5个可选空位（不包括 好，要求站在一起，则不同的站法种数共有 首尾位置)，再将3个语言类节目插入这些空 位中，确保它们不相邻。这种先排非限制元 解析：因为两位老师必须站一起，所以将 素后插限制元素的方法，能有效解决节目相 两位老师捆绑有A:种；又A,C关系好，要求 邻性要求的实际问题。 站在一起，则有A:种。现将A,C当一个人 三、特殊位置优先问题 处理，两位老师当一个人处理，则对5个人进 该类问题作为排列组合中的灵活题型， 行全排列，有A种。所以符合题目要求的站 其考查形式多样且情境复杂。下面将从排队 法种数共有A×A×A=2×1×2×1×5× 问题、组数问题和分配问题展开系统分析。 4×3×2×1=480。 虽然考查形式各异，但是解题核心始终遵循 故填480。 特殊位置优先原则，即优先处理具有特殊位 ,点评：该题是典型的相邻元素排列问题， 置要求的元素，再解决其他元素的排列组合 需采用捆绑法解题：先将两位老师与相邻同 问题 学进行全排列，再将相邻的两人视为整体，最 1.排队问题中的特殊情况 后对整体进行全排列运算。 例3现有A,B等5位同学排队进人 二、不相邻元素插空问题 校史馆，要求A不能排在最前面，B不能排 该类问题的核心特征是指定元素不能相 在最后面，则不同的排法种数共有 邻，其解题关键在于插空法的运用。先对非 解析：根据题意，可以分为两种情况考 17 中学生款理化解超贺学颜照翠 虑：①B排在最前面，包括A在内的4位同 是固定学科，学生需要从物理和历史两个学 学随意排，则有A种；②B不排在最前面，则 科中选择一个学科，然后从政治、地理、生物 从中间的3个位置选一个给B,有A}种，A 和化学四个学科中再选择两个学科进行学 不能排在最前面，但可以排在最后面，所以从 习。现有甲、乙两位同学进行选科，已知甲已 包括最后面的3个位置选一个给A,有A 经确定选物理，乙不喜欢化学，则这两位学生 种，剩余的同学进行全排列，有A种。所以 选科组合的种数共有一。 符合题目要求的排法种数共有A十A×A 解析：因为甲已经确定选物理，所以只需 ×A=4×3×2×1+3×3×3×2×1=78。 要从政治、地理、生物和化学四个学科中选择 故填78。 两个学科可，有C心-签-6（种）。因为 点评：该题是排队情境中的特殊位置问 乙不喜欢化学，所以不选化学即可，现从物理 题，主要涉及两位同学的特殊要求约束。解 和历史两个学科中选择一个学科，有C= 题时需严格遵循特殊位置优先原则：先处理 2(种)，再从政治、地理和生物三个学科中选 特殊元素的位置安排，当约束条件较为复杂 择两个学科，有C=3(种)，故乙的选科组合 时，则需采用分类讨论的方法确保全面覆盖 共有2×3=6（种）。所以甲、乙两位学生选 且避免重复遗漏。值得注意的是：此类问题 科组合的种数共有6×6=36。 通常需要综合运用乘法原理（分步计数）和加 故填36。 法原理（分类计数）进行系统求解。 ,点评：该题以当前热门的“选科走班”为 2.组数问题中的特殊情况 背景，考查组合问题的实际应用，其中“甲必 例4从0,1,2,3,4,5这6个数 须选择物理、乙排斥化学”的个性化条件构成 中，选出4个数组成不重复的4位数，则其中 了解题的关键限制。解题时需严格遵循特殊 为偶数的4位数共有 位置优先原则：首先，固定甲的物理选择；其 解析：要组成一个4位数，所以千位不能 次，根据乙的化学回避条件分类讨论剩余科 排0。又因为是偶数，所以个位只能排偶数。 目组合；最后，通过分步乘法原理计算总方案 为了解决问题，需从个位入手，分两种情况考 数。同学们要特别注意：此类问题需通过组 虑：①个位排0，其他位随意排，则有A个； 合而非排列建模，并依赖清晰的分类逻辑确 ②个位不排0，则从2,4两个数中选一个排个 保运算路径无遗漏。 位，有A个，然后千位不排0，则从剩下4个 四、分组分配问题 数中选一个排千位，有A个，其余位随意排， 该类问题是排列组合中的高频考点与典 有A号个，此时共有A:×A×A个。所以符 型难点，主要涉及一般分组（各组元素数量不 合题目要求的4位数的共有A:+A;×A× 等)和平均分组（各组元素数量相同）两类情 A号=5×4×3+2×4×4×3=156（个）。 形。解题时需严格遵循“先分组、后分配”的 故填156。 操作路径，即先根据题目条件将元素划分为 点评：该题是典型的数字排列组合问题， 若干组（注意平均分组需消除重复计数），再 但附加了“偶数”这一特殊条件即末位必 对组别进行排列或任务分配。这一流程能有 须为0、2、4。此外，虽然题目未明确说明，但四 效避免因步骤混乱导致的重复或遗漏错误， 位数隐含“千位不可为0”的限制，这一细节常 确保思维逻辑的严谨性。 被忽略而导致错误。其解题思路与注意事项 例6现有5名志愿者到小区服务，为 可参照例3的分析方法，需同步考虑数字不重 了工作需要，将5名志愿者安排到3个不同 复、位数有效性及偶数约束的综合影响。 的岗位进行服务，要求3个岗位均要分到志 3.分配问题中的特殊情况 愿者，则不同的安排方法共有 例5在高中的选学科组合中，语数英 解析：根据题意，先将5名志愿者分成3 18 解数型新题碧舉费滑中学生表理化 组，再将3组分配到3个岗位即可。5名志愿 空位（此时定序组视为整体，仅需组合计算位 者分3组，有两种分法：①按照1,1,3的人数 置)。核心要点在于区分处理：不定序元素适 进行分组，共有CCC-5X4X1 用排列（强调顺序差异），而定序组元素适用 =10(种)； A号 2 组合（因内部顺序已锁定）。 ②按照1,2,2的人数分组，共有CCC 2.定向问题 A号 例8小明同学从图1中的A地先到 10X3=15(种)。所以符合题目要求的安排 2 C地，再从C地到达B地，则最短路径共有 方法共有(10+15)×A=150(种)。 条。 故填150。 解析：从图1可知，小明从 点评：对于“3个岗位均分人员”的分配 A地先到C地，最短路径有3 问题，需严格遵循“先分组、后分配”的解题逻 条，再从C地到达B地，最短 辑：先将人员按岗位数量划分为3组（确保分 路径有6条，因此最短路径共 图1 组方案覆盖所有可能情形且不重复遗漏)，再 有3×6=18（条）。 根据题目要求将组别对应至具体岗位，从而 故填18。 保证计算过程的系统性与准确性。 ,点评：该题是典型的多阶段定向移动问 五、定序定向排列问题 题，其核心在于将复合路径分解为横向与纵 该类问题是排列组合中的难点，其核心 向的独立运动分量。具体而言：一是路径拆 分，将“从A地经B地到C地”的连续移动， 挑战在于逻辑性强、情境抽象，使得许多同学 拆解为两个独立阶段(A→C与C→B);二是 在理解上存在障碍。针对这一问题，需要分 类处理：定序问题主要涉及排序方法的确定 方向解析，每个阶段进一步分解为横向与纵 (如固定顺序或相对顺序)，往往需要结合排 向的步数组合，例如，第一阶段可能需要横向 列与组合的综合应用；定向问题主要关注运 移动1单位、纵向移动2单位；三是插空应 用，对同方向移动的重复步骤（如连续横向移 动方向或路径选择的确定性（如单向路径或 动)，通过排列组合中的插空法计算可行路径 多方向限制)。二者均需通过具体案例拆解 数（将纵向移动视为分隔横句步长的“空 逻辑链条，才能突破解题瓶颈。 1.定序问题 位”)。该方法通过降雏处理将复杂路径转化 为基本排列问题，适用于网格行走、机器人导 例7在一次学术报告中，有幸请到了 航等场景。 3位专家作学术讲座。本次报告共8个环 本文系统解构排列组合问题的考查范 节，其中3位专家的讲座不能相邻，且出场顺 式，聚焦相邻元素捆绑（处理强制相邻）、不相 序必须按照学术的贡献率从低到高出场，则 邻元素插空（解决间隔限制）、特殊位置优先 出场顺序的安排方法共有一。 (关键位置优先安排)、分组分配及定序（含均 解析：因为3位专家的出场顺序是确定 分/非均分场景)定向排列（路径或方向约束） 的，所以需要先对其他环节进行全排列，有 五大基础题型，建立题型特征到策略匹配的 A种，再将3位专家进行插空，有C种。所 解题映射体系。研究表明，上述题型构成排 以出场顺序的安排方法共有A×C=5× 列组合的母题架构，例如，分堆问题本质是分 4×3×2×1×20=2400(种)。 组问题的元素同质化特例，其他变式题均可 故填2400。 通过条件转换归人此框架。通过题型分类标 点评：该题的本质是部分定序排列场 准化与策略方法论化，最终形成可迁移的解 景一当3位专家的出场顺序固定时，需先 题思维模型，有效攻克排列组合的抽象性与 对剩余不定序元素进行全排列（使用排列公 复杂性壁垒。 式)，再通过插空法将定序的专家组嵌入可变 (责任编辑 王福华) 19