高效同步练习 9.3 分式方程-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年七年级下册数学活页同步练习（沪科版·新教材）

高效同步练习 第1课时 知识点①分式方程的概念 1.(4分)下列关于x的方程中，是分式方程 的是() A.3x=2 B.x+23+x 54 D.3x-2y=1 知识点②分式方程的解法 2.(4分解分式方程乙十23时，去分母 化为一元一次方程，正确的是( A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1) 3.(4分)若关于：的分式方程-1的根为女 =2,则m的值为() A.5 B.4 C.3 D.2 x-2 式x+2的值相 4.(5分)已知代数式2，与代数式3 等，则x= 变式(5分)分式的值比分式，的值大 3,则x的值为 5.(8分)解方程： x+2' x-1 25分钟同步练习，精炼高效抓 9.3分式方程 分式方程 (2)2 4 1x2-4x+4 知识点③分式方程的增根 6.(4分)关于x的分式方程7 +3= m 有增 x-1 根，则增根为( A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3 7.(4分)关于x的分式方程7x+5=2m-1有增 x-1 x-1 根，则m的值为( A.1 B.3 C.4 D.5 【注意】(1)增根是去分母后所得整式方程的根，但 不是原分式方程的根；(2)若一个分式方程有增根， 则此增根必使最简公分母的值为零。 易错点)忽视分式有意义的条件而导致出错 8.(4分)已知关于x的分式方程”-2=6的 x-1 1-x 根为正数，则飞的取值范围为() A.-2<k<0 B.k>-2且k≠-1 C.k>-2 D.k<2且k≠1 变式(5分)若整数a使关于x的分式方程 ax-2 x-3 2=2-,1的根为整数，则所有满足条件的 3-x 整数a的值之和为 考点ZBK七年级数学下册 49 9.新定义(4分)对于实数a,b,定义一种新运 第“⑧为：⑧6。这里等式有边是实数 运算例如：1四3==号则方程8 (-2)=2 -4 1的根是(） A.x=7 B.x=6 C.x=5 D.x=4 10.数学思想·数形结合(5分)如图，点A,B在 数轴上，它们对应的数分别为-2，本1且点A, B到原点的距离相等则x的值为 A B -2 0 Ⅱ(10分)小华在解分式方程，25，品3时， 由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚 (1)她把这个数“？”猜成-3，请你帮小华解 这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原 分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？” 代表的数是多少？ 第9章 50 25分钟同步练习，精炼高效抓 12.学科素养·应用意识(10分)阅读下面材料， 解答后面的问题： 解方程-14 =0 x x-1 解：设y,则原方程化为y号0，方程 两边同乘以y,得y2-4=0,解得y=±2. 经检验：y=±2都是方程)y4=0的根 y 所以当y=2时，-2，解得x=-1: 当)-2时，2，解得x=写 1 经检验：x=-1或=弓都是原分式方程 的根 所以原分式方程的根为x三-1或x=? 上述这种解分式方程的方法称为换元法 问题： (山)若在方程=0中，设)，则 4xx-1 原方程可化为 ,原方程的根 为 (2)模仿上述换元法解方程：-】-3 =0. 考点ZBK七年级数学下册 第2课时分 知识点分式方程的应用 1.(4分)一辆汽车开往距出发地420km的目的 地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km,则 提前1小时到达目的地.设这辆汽车原计划的 速度是xkm/h,根据题意所列方程是( 4.420、420 420 +1 B.420 +1= xx-10 x+10 C.420420 +1 +1=420 D.42 xx+10 x-10 2.跨学科试题·物理(5分)如图，把 R 电阻值分别为R,R2的两电阻并 R S 联后接入某电路中，已知其总电 阻值R(单位：n)满足-1+ ,若R的电阻 RRR 值是1D,R2的电阻值是32，则R,的电阻值 是 2: 3.(8分)某快递分拣中心引入“小宇”人工智能 机器人后，分拣效率大幅提升.已知“小宇”机 器人单独分拣一小时的快递件数比人工分拣 团队工作一小时的快递件数多3000件.已知 “小宇”机器人完成的快递分拣任务4800件 所需的时间和人工分拣团队完成的快递分拣 任务1200件所需的时间相等.求“小宇”机器 人每小时能完成多少件快递分拣任务？ 25分钟同步练习，精炼高效抓 式方程的应用 4.科技前沿(10分)我国自主研发的HGCZ 2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术， 能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一 辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里 数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更 换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公 里钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快 速换轨车每小时更换钢轨多少公里？ 5.（10分)【数学与生活】某校七年级的学生去 距学校10千米的博物馆开展研学活动，一部 分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学 生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车 的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的 速度 【学以致用】设骑车学生的速度为x千米/小 时，用含有x的式子表示： (1)汽车的速度为 千米/小时； (2)骑车学生总共用的时间为 小时， 第9 宣 乘汽车的学生总共用的时间为 小时. (3)请列分式方程并求出骑车学生的速度， 考点ZBK七年级数学下册 51 6.文化情境·数学文化(5分)《九章算术》中有 一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文 为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市， 所需时间比规定时间多1天：若改为快马派 送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马 的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时 间为x天，则可列出的方程为 7.(10分)某县为了落实中央的“强基惠民工 程”，计划将某村的居民自来水管道进行改 造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时 间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需 天数是规定天数的3倍.如果由甲、乙队先合 做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还 需10天. (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙 队每天的施工费用为3500元.为了缩短工期 以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终 决定该工程由甲、乙队合做来完成.则该工程 施工费用是多少？ 第9章 52 25分钟同步练习，精炼高效抓 8.热点情境·AR+AI眼镜(12分)在杭州市余杭 区经济高质量发展大会上，Rokd创始人兼 CE0戴着一副AR+AI眼镜站在演讲台上.他 没有低头看讲稿，也没有使用传统的提词器， 就顺利完成了一场脱稿演讲而当他说出“我 的发言稿就在眼镜里，翻页通过手上的戒指 完成”之后，“AI眼镜”也瞬间成为网络热词. 请你根据以下素材，探索完成任务： 某科技公司推出的AI智能眼镜“灵 眸X”和“智视Po”因其宛如一台集 摄像头、传感器、处理器和显示屏于 一体的超迷你电脑，成为爆款.某科 素材1技商店被授权出售这两款眼镜，“灵 眸X”的标价比“智视Pro”的标价贵 700元，调查发现，商店不做活动时， 用6000元购买“灵眸X”的数量与用 3200元购买“智视Pro”的数量相同. 某公司计划购买这两款眼镜共20 素材2副，作为优秀员工的奖励，预算为 20000元. AI眼镜还处于起步阶段，为了让AI 素材3 眼镜走近千家万户，商店此时正在降 价促销：“灵眸X”按原价的8折出 售，“智视Po”比原价优惠50元. 求每副“灵眸X”和“智视Pro”眼镜 任务1 的标价； 任务2最多能购买多少副“灵眸X”? 考点ZBK七年级数学下册n+1n+2 nn+li (2)乙款礼盒的苹果单价更合算，理由如下：设包装盒的质 kg,其中0<m<5.,侧甲款礼盒的苹果单价为 款礼盒的苹果单价为，100,50100。 50m 10-m'5-m10-m(5-m)(10-m) 因为0<m<5,所以50m>0,(5-m)(10-m)>0,所以 50m (5-m)(10-m >0,所以50100 所以乙款礼盒的苹果 5-m10-m1 单价更合算. 第2课时分式的混合运算 1.A2.C 3.解：(1)原式=x-1)(+1).￥ =x+1: x-1 (2)原式=m-45.m-2_(m-3)(m+3),m-2 m-2m-3 m-2 、m-3m+3; (3)原式=(30-2a .(a+1)(a-l_3a2+3a-2a2+2a a-1a+11 a (a+1)(a-1) (a+1)(a-)=a+5. 4.解：原式=a+1-2a a (a-1)2 a(a+1)(a-1)a(a+1)(a-1) +,根据分式有意义的条件可得a≠0，士1，所以当a=2 时，原武行（装集不喻-） 5.解：(1)②③ (2)选择小圳的解法，解法如下：原式=之.9，之。 x+3x-3 -9.x.(x+3)(x-3)+名.（x+3)(x-3）=-3+x+3 xx+3 x-3 =2x. 6D【解析J已知11 P-=4,则二“=4，所以a-b=-4ab,原式 ab “密签号故n 7.D 8.解：小军的说法正确，理由：因为M=2红.（x+1)(x-1)+2= x+1 x-1(x+1)(x-1)-x+1=+1,所以M-N=2x-2-1 2x,N=& =-(x-1)2.因为x≠1，所以(x-1)2>0,所以-(x-1)2<0,所 以M<N. 微专题分式的化简求值 a(a+1）a-2.a-1_a-2,当 1解：原式1a-a+)(a-0-1 a=-2时，原式=2. 2解原人=-因为当=-101 时原分式无意义，所以x=2,当x=2时，原式=2=11 2+13 3解：原式=(a-36)2÷。-46-50。(a-362 a-2b a-2b a-26 a-2b =a-36」 (a+36)(a-36)a+36,由题意，得a+3=0,b+2=0,解得a =-3,6=-2,所以当a=-3,6=-2时，原式=3+6-1 -3-63 高效同步练习9.3分式方程 第1课时分式方程 1.C 76 同步练习，精炼高效抓考 【方法点拨】判断一个方程是否为分式方程的依据是分式方 程的定义，即①方程中含有分式，②分母中含有未知数，需 注意的是分母中仅含有字母是不行的，必须是表示未知数 的字母 2.C3.B 410【解析】由题意，得2，=3，解得x=10,检验：当x=10 x-2x+21 时，（x-2)(x+2)≠0，所以x=10是原方程的根； 【变式1【解标1由题志，得23，解得=山，经检 验x=1是原分式方程的根 5.解：(1)原方程可化为+4￥=0，方程两边同乘以最简公 x+2x-1 分母(x+2)(x-1),得(x+4)(x-1)-x(x+2)=0,展开，得x2- x+4x-4-x2-2x=0.解方程，得x=4.检验：当x=4时，（x+2) (x-1)≠0，所以，原方程的根是x=4. 2(x-2)=L方程两边同乘以最简公 (2)原方程可化为x-4 分母(x-2)2,得x(x-2)-4=(x-2)2,展开，得x2-2x-4=x2- 4x+4.解方程，得x=4.检验：当x=4时，(x-2)2≠0，所以， 原方程的根是x=4. 6.A 7.C【解析】由分式方程有增根，得到x-1=0,即x=1.方程 两边同乘以最简公分母(x-1),得12x-5=2m-1,将x=1代 入，解得m=4.故选C. 8B【解析】解分式方程，得2，所以x=2+k因为该分式 方程有根且为正数，所以2什01所以>-2且≠1.故 选B. 【方法点拨】先按解分式方程的步骤解分式方程（用含字母 k的式子表示未知数x),再根据解为正数和分母不为零列 不等式组解答 【变式】7【解析】解方程，得x=- 3 因为方程的根为整 a-2 数，所以a=±1,3,5.当x=3时，x-3=0,所以x=3不是原方 程的根，所以a≠1，所以a=-1,3,5,所以-1+3+5=7. 9.C 2【解析由题意，得2，解得x=-2经检验x=2 是原方程的根. 11.解：(1)原方程两边同乘以最简公分母(x-2),得2x-3= 3(x-2),解得x=3,经检验，x=3是原分式方程的根. (2)设“？”为m,则分式方程为2红+m=3,方程两边同乘 x-2x-2 以最简公分母(x-2),得2x+m=3(x-2),整理得，x=m+6, 由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即x=2,把 x=2代入得2=m+6,解得m=-4,所以，原分式方程中“？” 代表的数是-4. 12.解：(1)子}=0x=-1或x=分 1 4 y (2)原方程化为】+2=0，设y= x+2x-1 ),则原方程化为y- 两边同乘以y,得Y1=0,解得) y=±1都是方程y-=0的根所以当y=1时，1，该 y ”x+2 方程无锅，当)=一-1时分-1，解得=子经检验：= x+2 宁是原分式方程的根，所以原分式方程的根为x=号 1 点 ZBK七年级数学下册 第2课时分式方程的应用 1.C2.1.5 3.解：设人工分拣团队每小时能完成x件快递分拣任务，则 “小宇”机器人每小时能完成(x+3000)件快递分拣任务，根 据题意，得1200-4800 xx+3000,解得x=1000,经检验，x=1000是 所列方程的根，且符合题意，所以x+3000=4000.答：“小宇” 机器人每小时能完成4000件快递分拣任务， 4.解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里，根据 题意，得80116-2，解得x=2,经检验，=2是原方程的 0.5xx 根，且符合题意，答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢 轨2公里. 5.解：(1)2x(2)1010 x 2x 3)根器题在，科00忍解得=15，经橙验15是吸 方程的根，且符合题意.答：骑车学生的速度为15千米/ 小时. 692 x+1 7.解：(1)设这项工程的规定时间是x天，根据题意得(1 )×15+01.解得x=30,经橙验x=30是原分式方程的 根.答：这项工程的规定时间是30天。 (2)该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷(30+30x3 =22.5(天)，22.5×(6500+3500)=225000（元）.答：该工程 的施工费用为225000元， 8.解：任务1：设每副“灵眸X”眼镜的标价为x元，则“智视 Pm”眼镜的标价为(x-700)元，由题意，得6000-3200，解 xx-700 得x=1500,经检验，x=1500是原方程的根，且符合题意，所 以x-700=800,答：每副“灵眸X”眼镜的标价为1500元， “智视Pro”眼镜的标价为800元； 任务2：设能购买m副“灵眸X”,则能购买(20-m)副“智视 Pro”,由题意，得1500×0.8m+(800-50)(20-m)≤20000，解 得m≤100因为m为正整数，所以m的最大值为11，答：最 9 多能购买11副“灵眸X” 追梦第9章章末复习分式 1.A2.D x2-16 3.A【解析】原式=[ x+4 x-4 (x-4)(x+4)(x-4)(x+4) △ 2x父-162“A.当△=2x时，1，结果是整数，符 x2-16△△ 合题意.故选A 4.B5.D6.D 7.B【解析】设小官通过AB路段的速度是x米/秒，则小官通 过BC路段的速度是1.6r米/秋.依题意得8+8=13，解 x1.6x 得x=1,经检验，x=1是原方程的根，且符合题意.故选B. 8.a2bc9.24 10.4或2【解析】方程两边同乘以最简公分母(x+3),得mx 2(x+3)=2x,整理，得(m-4)x=6.当m-4=0,即m=4时 此方程无解，原分式方程也无解；当m-4≠0时，由x+3=0, 得x=-3,把x=-3代入(m-4)x=6解得m=2,此时原分式 方程无解.所以m=4或2. 11.解：(1)方程两边同乘以最简公分母(x-2),得x-1+2(x 同步练习，精炼高效抓考 2)=-3,解方程，得x=子检验：当x=子时，-2≠0，所以， 女=子是原方程的根 (2)方程两边同乘以最简公分母(x2-1),得x(x+1)+4=x2 -1,解方程，得x=-5.检验：当x=-5时，x2-1≠0，所以，x= -5是原方程的根. 12.解：原式=2x-3-x+2 2(x-1)x-由分式的分母不能为 x-21 1 零，得x≠1,2，故当x=0时，原式=0--1 13.解：(1)解法一：设第一批服装的购进单价是x元，则第二 批服装的购进单价是(x+20)元.由题意，得4800×5 x+20,解得x=40.经检验：x=40是原方程的根，且符合题 9000 意，所以x+20=60.答：第一批服装的购进单价是40元，第 二批服装的购进单价是60元； 解法二：设购进第一批服装的数量为m件，则购进第二批 服装的数量为m件由题意，得20.4800=20，解得n- 5 4m 120.经检验，m=120是原方程的根，且符合题意，所以4800 m. =40,40+20=60.答：第一批服装的购进单价是40元，第二 批服装的购进单价是60元； (2)9000÷60=150(件)，设第二批服装的售价定为a元.由 题意，得(150-40)a+40×0.8a-9000≥5200，解得a≥100. 答：第二批服装售价至少定为100元. 14.解：(1)B型玩具的单价购进A型玩具的数量 (2)设可购进A型玩具a个，则B型玩具(200-a)个.由 (1)中甲可得A、B型玩具的价格分别是5×1.6=8（元），5 元，根据题意得8a+5(20-0）≤1350，解得a≤16子，所 以整数a最大值是116，即最多可购进A型玩具116个. 高效同步练习10.1相交线 第1课时对顶角 1.D 【归纳总结】判断两个角是对顶角的依据：(1)这两个角必须 是两直线相交得到的；(2)这两个角有公共顶点；(3)这两个 角的两边互为反向延长线.必须同时满足这些条件，才能说 明这两个角是对顶角. 2.B3.A 4.D【解析】因为∠1=∠2，∠1+∠2=80°，所以∠1=∠2= 40°.∠B0C=180°-40°=140°.因为0E平分∠B0C,所以 1 ∠3=2∠B0C=2×140°=70°.故选D. 【变式】120°【解析】因为OE平分∠BOD,OF平分∠COB, 所以∠B0E=1 F∠BOD,∠BOF=)∠BOC.因为∠BOD+ ∠B0C=180°，所以∠B0E+∠B0F=90°.因为∠AOD= ∠B0C,∠AOD=4∠E0D,所以∠BOC:∠B0E=4:1,所以2 ∠B0F:∠B0E=4:1,所以∠B0E=30°，∠B0F=60°.因为 ∠B0F+∠A0F=180°，所以∠A0F=120°. 5,或90解析】根据题意可得：当(2x-10)°=(100-x)° 时，解得x=110,当(2x-10)°+(100-x)°=180°时，解得x =90. 6.A【解析】由对顶角相等得∠BDF=∠1=43°.因为∠2= ZBK七年级数学下册 77