专题10 分式方程的实际问题（5题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪科版2024）

专题10 分式方程和实际问题 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：审清题意，分清已知量和未知量，找到相等关系 (2)设：直接设未知数或间接设未知数 (3)找：根据题意寻找已知的或隐含的等量关系 (4)列：列出分式方程 (5)解：把分式方程化为整式方程，并解这个整式方程 (6)验：看整式方程的解是否满足原分式方程，是否满足实际意义 (7)答：写出实际问题的答案 2 注意 (1)审题时，首先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系.当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程. (2)设未知数会有多种可能：在一些实际问题中，有时直接设题目中所求的量为未知数在解题时可能比较麻烦，这时需要间接设未知数，或设多个未知数，即设辅助未知数来解决问题. (3)在“设”和“答”时要根据题意带上单位，中间列方程和解方程就不必带单位了. (4)列分式方程解应用题时一定要检验，同时还要保证其结果符合实际意义. 我们在列分式方程解应用题时，应熟记一些常用的数量 3 常用数量关系 (1) 行程问题的基本数量关系： 路程=速度×时间；速度＝；时间=； (2) 工程基本数量关系： 工作量=工作效率×工作时间； 合作的效率=各自单独完成任务的效率和. (3) 销售问题的基本数量关系： 利润=售价-进价； 利润=进价×利润率. 压轴题型一：分式方程增根问题 √满分技法 根据分式方程有增根求字母参数的值的一般步骤 (1) 把分式方程化为整式方程；(2)令最简公分母为0，求出未知数的值；(3)把未知数的值代入整式方程，从而求出字母参数的值. 1．已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义． （1）将代入分式方程，再解方程即可； （2）分式方程化为整式方程，由整式方程有增根的含义求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）解：去分母，得， 解得， 该分式方程有增根， ，即， ，解得， 当时，该分式方程有增根． 2．已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 【答案】(1)一，正确解法见解析 (2) 【分析】本题考查了分式方程的增根，步骤如下：①分式方程化为整式；②最简公分母为0确定增根；③将增根代入整式方程求解．也考查了解分式方程． （1）检查甲同学解方程过程，找出错误步骤分析即可； （2）原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解． 【详解】（1）解：甲同学从第一步开始出现错误， 正确的解法： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解：去分母，得：， ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得， 解得， ∴原方程有增根时，． 3．分式方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解： 去分母得：， 即， 由分式方程有增根，得到， 解得：或， 把代入整式方程得：； 把代入整式方程得：， 则的值是6或0． 当时，原方程为，此时无解， ∴． 4．当m为何值时，解关于x的分式方程会出现增根？ 【答案】当时，分式方程有增根． 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将或代入计算，即可求出的值． 【详解】∵关于x的分式方程有增根， ∴或， ∴或． 方程两边同乘，得， 整理得， 当时，； 当时，． 当时，方程为，此时方程无解， ∴当时，分式方程有增根． 压轴题型二：分式方程无解问题 √满分技法 分式方程的无解问题包含两大类情况，一是增根时会产生无解，另一种是分式方程化为整式方程后，未知数的次数为0时，方程也无解。 5．已知关于的分式方程： (1)当时，求此方程的解； (2)当为何值时，此方程无解； 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把代入方程并转化为整式方程，解方程并验证即可； （2）把方程转化为整式方程得，当或或时，方程无解，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为 去分母得： 检验：把代入最简公分母 是此时方程的解． （2）解：原方程去分母得： ①当即时原方程无解 ②把增根代入整式方程 得： 此时 ③把增根代入整式方程 得： 此时 综上所述，满足条件的值为或或． 6．当k为何值时，分式方程无解？ 【答案】或 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：（1）让最简公分母为0确定增根；（2）化分式方程为整式方程；（3）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程两边乘以去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出或1，将或1代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：， 方程两边同乘以得：， 化简得：， 又∵分式方程无解， ， 解得：或1， 当时，代入整式方程得：， 解得：， 当时，代入整式方程得：， 解得：， 则当或时，分式方程无解． 7．已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)若方程有增根，的取值为或 (2)若方程无解，的取值为或或 (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可； 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 8．已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)m的值为或1.5 (2)m的值为或或1.5 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键． （1）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程；若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得解； （2）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得 ， 整理得， ∵原分式方程有增根， ∴， 解得：或， 当时，； 当时，； 综上，m的值为或1.5． （2）解：当时，该整式方程无解，则原分式方程也无解，此时； 当时，要使原方程无解，由（2）得：或， 综上，m的值为或或1.5． 压轴题型三：行程问题 √满分技法 常用数量关系 行程问题的基本数量关系： 路程=速度×时间；速度＝；时间=； 9．列分式方程解应用题： 2024年7月27日，北京中轴线申遗成功．中轴线南起永定门，北至钟鼓楼．某班级两个小组分别在永定门和钟鼓楼参观之后，他们同时出发到故宫集合．第一小组从永定门骑行至故宫，行程约，第二小组从钟鼓楼步行至故宫，行程约．已知骑行的速度是步行速度的2倍，第一小组比第二小组提前6分钟到达，求第二小组步行的速度是每小时多少千米． 【答案】第二小组的步行速度是每小时5千米 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键． 设第二小组的步行速度是每小时x千米，则第一小组的骑行速度是每小时千米，根据第一小组比第二小组提前6分钟到达，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设第二小组的步行速度是每小时x千米，则第一小组的骑行速度是每小时2x千米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第二小组的步行速度是每小时5千米． 10．【数学与生活】某校八年级的学生去距学校10千米的博物馆开展研学活动，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 【学以致用】设骑车学生的速度为x千米/小时，用含有x的式子表示： (1)汽车的速度为________千米/小时； (2)骑车学生总共用的时间为________小时，乘汽车的学生总共用的时间为________小时． (3)请列分式方程并求出骑车学生的速度． 【答案】(1) (2)， (3)骑车同学的速度为 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意不要忘记检验． （1）设骑车学生的速度为x千米/小时，根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，可得出答案； （2）用代数式分别表示出骑车学生总共用的时间及乘汽车的学生总共用的时间为； （3）根据题意可得等量关系：骑自行车同学所用时间乘汽车同学所用时间分钟，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设骑车学生的速度为x千米/小时，根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，得出汽车的速度为千米/小时， 故答案为：； （2）解：根据题意，可得骑车学生总共用的时间为小时，乘汽车的学生总共用的时间为小时． 故答案为：，； （3）由题意得：， 解得， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， 答：骑车同学的速度为． 11．为了拓展学生学习视野，开启多元成长之旅，全方位提升学生综合素质与实践能力，某市教育局积极推进研学交流活动的展开．现有甲乙两所学校各租用了一辆大巴车，组织部分师生分别从距目的地45千米和44千米的两地同时出发，前往研学教育基地．已知乙校师生所乘坐的大巴车的平均速度是甲校师生所乘坐大巴车的平均速度的1.2倍，甲校师生比乙校师生晚10分钟到达目的地，求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为多少？ 【答案】甲学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时，乙学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系式是解题的关键． 设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时，根据时间=路程速度，结合甲校师生比乙校师生晚10分钟到达目的地，即可得出关于的分式方程，求解并检验即可得出答案． 【详解】解：设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时，乙学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时． 12．下面是小金学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度． 方法 分析问题 列出方程 解法 一 设…… 等量关系：步行的时间－骑自行车的时间 解法 二 设…… 等量关系：步行的速度=骑自行车的速度 任务： (1)从下列选项中选择正确的一个选项填入对应的括号内： ①解法一所列的方程中的x表示（   ）  ②解法二所列的方程中的x表示（   ） A． 步行的速度为 B． 骑自行车的速度为 C． 步行的时间为 D． 骑自行车的时间为 (2)任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度，请写出完整的解答过程． 【答案】(1)A，C (2)步行的速度为，骑自行车的速度为，过程见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是找出等量关系，列出方程，注意分式方程要验根； （1）根据等量关系即可解答； （2）根据等量关系列出方程，解方程即可． 【详解】（1）根据题意得： 解法一所列方程中的x表示步行的速度为；解法二所列方程中的x表示步行的时间为； 故选：A，C； （2）解法一： 解：设步行的速度为，则骑自行车的速度为， 依题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 答：步行的速度为，骑自行车的速度为， 解法二： 解：设步行的时间为，则骑自行车的时间为， 依题意，得： ， 解得：，        经检验，是原方程的解，       ∴步行的速度为，骑自行车的速度为 答：步行的速度为，骑自行车的速度为， 压轴题型四：工程问题 √满分技法 常用数量关系 工程基本数量关系： 工作量=工作效率×工作时间； 合作的效率=各自单独完成任务的效率和. 13．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植的草地，已知2班每小时比1班多制作的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍，求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整． 小聪：设1班每小时种植的草地，所列方程为：_____； 小薏：设_____，所列方程为：_____； (2)任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少的草地： (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【答案】(1)；2班所用时间为y小时；6 (2)1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地 (3)两班速度保持不变，他们不能在乘车前完成任务；理由见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可； （2）解分式方程即可； （3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果． 【详解】（1）解：小聪：设1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地，所列方程为：； 小薏：设2班所用时间为y小时，则1班所用时间为，所列方程为：； （2）小聪：解：设1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地； 小薏：解：设2班所用时间为y小时，则1班所用时间为，根据题意得： ， 解得：； 经检验是原方程的解， ∴，； 答：1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地； （3）解：不能；1小时20分钟小时 1班已完成：； 2班已完成：； 还剩余：； 两队合作1小时可完成：， ∵， ∴两班速度保持不变，他们不能在乘车前完成任务． 14．某初中为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地建设为劳动基地，现需要利用护栏将菜地圈起来，学校以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作． 某小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项综合与实践的活动，完成了实践调查并形成了如下活动报告． 请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 劳动基地菜地护栏建设 调查方式 走访调研、实地查看 测量过程及计算 调研内容及图示      相关数据及说明： 护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分， 且要求所有的安装工作在一天内完成， 安装横杠的工人每人当天费用为元， 安装竖杠的工人每人当天费用为元； 共招募7名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作， 要求两项安装任务同时开始， 并在当天同时完成； 整个任务需要安装根横杠和根竖杠． 计算结果 【答案】支付工人的总费用为元． 【分析】此题考查了分式方程的应用，设安排x名工人安装横杠，名工人安装竖杠，要求两项安装任务同时开始， 并在当天同时完成，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设安排x名工人安装横杠，名工人安装竖杠， 得， 解得：． 检验：当时，． 所以原分式方程的解为． 当时，（名）， 费用：（元）． 答：支付工人的总费用为元． 15．“路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． (1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天修，乙工程队每天修 (2)天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天修，则甲工程队每天修，根据题意列出分式方程计算并检验即可； （2）设安排甲工程队施工天，则乙施工天，根据题意列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天修，则甲工程队每天修， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天修，乙工程队每天修； （2）解：设安排甲工程队施工天，则乙施工天， 由题意得：， 解得， 的最小值为， 答：至少安排甲工程队施工天． 16．某市对一段道路的提升改造工程进行招标，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)求甲、乙单独完成这项工程各需多少天? (2)在确保如期完成的情况下，你认为选择方案_____最节省工程款（请直接填①②③）． 【答案】(1)甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天 (2)③ 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，掌握了以上知识是解答本题的关键； （1）设工程期为天，则甲队单独完成用天，乙队单独完成用天，把工作总量看做单位1，根据甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成列出方程求解即可； （2）根据（1）所求分别求出对应方案的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设工程期为天，则甲队单独完成用天，乙队单独完成用天， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天； （2）解：选择方案③最节省工程款； 方案①的费用为万元， 方案②的费用万元，但耽误工期，不符合题意（舍） 方案③的费用为万元． 综上所述：选择方案③最节省工程款． 压轴题型五：经济问题 √满分技法 销售问题的基本数量关系： 利润=售价-进价； 利润=进价×利润率. 17．某中学开展运动会，八（2）班准备为参与入场式的运动员购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用400元购进A款文化衫和用320元购进B款文化衫的数量相同． (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ (2)八（2）班参与入场式的运动员共有50人．在实际购买时，由于八（2）班参与了学校团购，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，若采购人员发现所需资金与A款文化衫数量无关，试求m的值及所需资金． 【答案】(1)A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元 (2)m的值为5，所需资金为1750元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件元，结合用400元购进A款和用320元购进B款的文化衫的数量相同，可列出关于的分式方程，即可求解； （2）设购买y件A款文化衫，则购买件B款文化衫，根据A款七折优惠，B款每件让利m元，列出方程，求解，再根据所需资金与A款文化衫数量无关，求出m即可． 【详解】（1）解：设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元． （2）设购买y件A款文化衫，则购买件B款文化衫，依据题意得总费用： ， ∵采购人员发现资金与A款文化衫数量无关， ∴，解得 所需资金：（元） 答：m的值为5，所需资金为1750元． 18．李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：千米 每千米行驶费用： 新能源车 电池容量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：▲ 已知燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元． (1)求的值． (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7700元．每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用比燃油车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用） 【答案】(1)的值为600 (2)当每年行驶里程大于千米时，买新能源的年费用更低 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． (1)根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用，进而列出方程，解方程即可得解； (2)根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为：(元), ∵燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元， ∴， 解方程得，， 经检验，是原方程的解且符合题， ∴的值为600； （2）解：设每年行驶里程为千米， ∵(元),(元)， ∴由题意得：, 解得, 答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源的年费用更低． 19．随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐，“元旦”前夕，某玩具商店用元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，销售完后又用元购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的倍，且单价比第一批贵元． (1)第一批小型无人机的单价是多少元？ (2)若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使小型无人机全部售完后利润不少于元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】(1)第一批小型无人机的单价是元 (2)销售单价至少为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设第一批小型无人机的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设小型无人机销售价格为元，根据题意“小型无人机全部售完后利润不少于元，”列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）设第一批小型无人机的单价是元． 根据题意，得． 解得． 经检验是原分式方程的解． 答：第一批小型无人机的单价是元． （2）第一批小型无人机的数量是． 设小型无人机销售价格为元． 根据题意，得． 解得，． 答：销售单价至少为元． 20．某公司会计欲查询甲、乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 进货单 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高； 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． (1)求甲、乙商品的进价及数量； (2)公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过4870元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 【答案】(1)甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，乙商品80件； (2)43件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出分式方程及一元一次不等式． (1)设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为元/件，利用数量=总价÷单价，结合购进甲商品的数量比乙商品多40件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出乙商品的进价，将其代入中，可求出甲商品的进价，再利用数量总价单价，即可求出购进甲、乙两种商品的数量； (2)设购买甲商品m件，则购买乙商品件，利用总价单价数量，结合总价不超过4870元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为元/件，根据题意得 ， 解得∶， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴ (元)， ∴ (件)， (件)． 答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，乙商品80件； （2）解：设购买甲商品m件，则购买乙商品件， 根据题意得∶， 解得∶， 又∵m是整数， ∴m的最大值为43． 答：采购员李阿姨最多可购买甲商品43件． 压轴题型六：和差倍分问题 21．小华计划购买A，B两种型号的笔记本，已知A，B两种型号笔记本的单价比是3：2，用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，求A，B两种笔记本的单价． 【答案】A笔记本的单价为30元/本，则B笔记本的单价为20元/本 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A笔记本的单价为3x元/本，则B笔记本的单价为2x元/本，根据用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，列出分式方程，解方程，即可 【详解】解：设A笔记本的单价为3x元/本，则B笔记本的单价为2x元/本． 由题意，得，解得． 经检验，原分式方程的解是，且符合题意． 元/本，元/本 答：A笔记本的单价为30元/本，则B笔记本的单价为20元/本． 22．某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用450元购进的足球的数量和用600元购进的篮球数量相同．求每个足球的价格． 【答案】每个足球的价格为90元 【分析】本题主要考查分式方程的应用，设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元．根据用450元购进的足球的数量和用600元购进的篮球数量相同列分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元，根据题意，得： ， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每个足球的价格为90元． 23．某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？（请提供两种不同的方法） 【答案】甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，方法1：设甲种图书每本x元，则乙种图书每本元，根据用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同列出方程求解即可；方法2：根据甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元列出方程求解即可． 【详解】解：解法一：设甲种图书每本x元，则乙种图书每本元，根据题意得， ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以， 答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元； 解法二：设购进甲乙两种图书为y本，根据题意得， ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元． 24．扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了，两种型号扫地机器人，已知型每个进价比型的倍少元，采购相同数量的，两种型号扫地机器人，分别用了元和元．请问，两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？ 【答案】元；元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设每个型扫地机器人的进价为元，则每个型扫地机器人的进价为元，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设每个型扫地机器人的进价为元，则每个型扫地机器人的进价为元， 依题意得：． 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：每个型扫地机器人的进价为元，每个型扫地机器人的进价为元． 压轴题型七：其它问题 25．在综合与实践活动中，数学兴趣小组想通过清洗夏季校服来探索清洗衣物的节水策略． 【洗衣目标】 经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干． 重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：）． 根据以上信息完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留的洗衣液浓度降为,需要清水； (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标. 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，代数式的求值等知识点， 依题意，直接代入公式求解即可得解； 依题意，先求得第一次漂洗后的洗衣液溶度，再求第二次漂洗后洗衣液的溶度看是否即可； 正确根据题意代入公式求解是解决此题的关键． 【详解】（1）解：依题意，把代入：， 解得：,经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴只经过一次漂洗，使校服上残留的洗衣液浓度降为,需要清水； （2）解：第一次漂洗：把代入：，得, 第二次漂洗：把,代入：，得， ∵, ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标. 26．近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注.某师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车 油箱容积：50升 油价：7元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是______元. (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元 ①分别求出这两款车的每千米行驶费用. ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7346元.问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)元 (2)①新能源车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：； （2）解：①根据题意可得： ． 解得：． 经检验：是原方程的解． ，． 答：新能源车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元． ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 根据题意得：， 解得：． 答：每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 27．为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【答案】(1)，，； (2)该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元 (3)这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程和不等式． （1）利用数量总价单价填表即可； （2）根据花费14000元订购《朝花夕拾》的数量比花费7000元订购《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出订购《西游记》的单价，再将其代入中，即可求出订购《朝花夕拾》的单价； （3）设这个班订购本《朝花夕拾》，则订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各订购方案，再求出各订购方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该校初二年级购买《西游记》的单价为元，则购买《红楼梦》的单价为元， 购买《西游记》的数量为本，购买《红楼梦》的数量为本， 故答案为：，，； （2）解：据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元； （3）解：设这个班订购本《红楼梦》，则订购《西游记》本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为3，4，5，6， 这个班共有4种订购方案， 方案1：订购3本《红楼梦》，7本《西游记》，所需总费用为（元； 方案2：订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，所需总费用为（元； 方案3：订购5本《红楼梦》，5本《西游记》，所需总费用为（元； 方案4：订购6本《红楼梦》，4本《西游记》，所需总费用为（元． ， 按照这些方案订购最低总费用为112元． 答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元． 28．已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)的平方差倒数是______； (2)是n的平方差倒数，求m的值； (3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据（是正整数，m叫作n的平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是n的平方差倒数”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：， 的平方差倒数是， 故答案为：； （2）解：由题易得，， 即， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时； （3）解： ， ， ， ，b，n为正整数， 可取的最小值为6， 的最小值为． 1．若关于的方程有增根．求的值． 【答案】3 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到或，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边都乘， 得， 整理得：， 原方程有增根， 最简公分母， 解得或， 当时，； 当时，，此时原方程为，，这个整式方程无解， 的值为3. 2．若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，注意分母不为0这个隐含条件是解题的关键．将看作已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【详解】解： 解得： 分式方程的解为非负数，且 解得且 故答案为：且 3．学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须才行． (1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______； (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根） (2)且 (3)当或时原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况． （1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． 故答案为：小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）； （2）解方程，得， 方程的解为非负数， ， ， ， ， 且； （3）原方程化简为： 原方程无解， 或 ①当时，解得； ②当时，解得 当或时原方程无解． 4．某天上午，甲乙两位同学相约去博物馆参观，甲乘坐出租车，乙乘坐公共汽车，到博物馆门口集合，行进路线如图所示．参观回来后，两个人对话如下： 甲说：我家到博物馆的距离是，我比你晚出发了20分钟，还比你早到了10分钟； 乙说：我家到博物馆比你家近，你的速度是我的速度的3倍； 甲说：参观结束，我们11：00一起乘坐出租车按原路返程； 乙说：我们一起在我家下车后，你是步行回家的． (1)若设乙的速度是，则甲的速度为________（用含x的代数式表示）； (2)求甲乙两人的速度分别是每小时多少千米？ (3)若甲同学最晚在11：45回到家，则步行速度至少是_______（结果精确到0.1）？ 【答案】(1) (2)甲的速度为每小时千米，乙的速度为每小时千米； (3) 【分析】此题考查了分式方程的应用，列代数式、一元一次方程的应用． （1）根据甲的速度是乙的速度的3倍即可写出答案； （2）设乙的速度是，则甲的速度为，甲比乙晚出发了20分钟，还比乙早到了10分钟，据此列方程并解方程，检验后即可得到答案； （3）设步行速度为，甲同学最晚在11：45回到家，据此列方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：若设乙的速度是，则甲的速度为， 故答案为： （2）设乙的速度是，则甲的速度为， 则， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则， 答：甲的速度为，乙的速度为 （3）设步行速度为， ， 解得 答：步行速度至少是 5．中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展．某公司主营高速公路建设施工，高速公路施工包括平地施工、隧道施工和桥梁施工．近期，该公司承接了一条长420千米的高速公路施工，已知该高速公路施工中有255千米是平地施工，桥梁施工里程比隧道施工里程的3倍少15千米． (1)桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？ (2)经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间多20%，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多1千米，求该公司完成隧道施工的时间． 【答案】(1)桥梁施工和隧道施工的里程分别是千米和千米 (2)该公司完成隧道施工的时间是天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用， （1）设隧道施工的里程是x千米，则桥梁施工的里程是千米，根据平地施工、隧道施工和桥梁施工的里程之和是420千米，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设该公司完成隧道施工的时间是y天，则该公司完成桥梁施工的时间是天，利用工作效率=工作总量÷工作时间，结合每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多1千米，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设隧道施工的里程是千米，则桥梁施工的里程是千米，根据题意得： ，解得：， 当时，， 答：桥梁施工和隧道施工的里程分别是千米和千米． （2）设该公司完成隧道施工的时间是天，根据题意得： ，解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：该公司完成隧道施工的时间是天． 6．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A，B两种型号的学习用品，已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． (1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元； (2)若购买A，B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】(1)A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元 (2)最多购买B型学习用品80件 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设A型学习用品的单价是元，则B型学习用品的单价是元，根据题意列出分式方程解方程即可求解； （2）设购买B型学习用品件，则购买A型学习用品件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）设A型学习用品的单价是元，则B型学习用品的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元． （2）设购买B型学习用品件，则购买A型学习用品件， 根据题意，得， 解得． 答：最多购买B型学习用品80件． 7．忠县临江公园美化后的夜景引来众多游客观赏，拍照打卡者络绎不绝，也带来了商机．李师傅今年元旦节网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园为游客开展陪拍服务，已知购进1盒A型号相纸比购进一盒B型号相纸便宜13元，并且花费180元购进A型号相纸和花费232元购进B型号相纸盒数相等． (1)求购进A、B两型号相纸的单价分别是多少元？ (2)李师傅购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸，并把A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张进行陪拍服务，如果李师傅计划本次陪拍服务后的总利润不低于1890元，那么最多购进A型号相纸多少盒？ 【答案】(1)购进A、B两种型号相纸单价分别是45、58元 (2)30盒 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设型号相纸的单价是元，则型号相纸的单价是元，利用数量总价单价，结合花费180元购进型号相纸和花费232元购进型号相纸盒数相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即型号相纸的单价），再将其代入中，即可求出型号相纸的单价； （2）设购进型号相纸盒，则购进型号相纸盒，利用总利润每盒型号相纸可获得的利润购进型号相纸的数量每盒型号相纸可获得的利润购进型号相纸的数量，结合总利润不低于1890元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设型号相纸的单价是元，则型号相纸的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元． 答：型号相纸的单价是45元，型号相纸的单价是58元； （2）解：设购进型号相纸盒，则购进型号相纸盒， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为30． 答：最多购进型号相纸30盒． 8．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了7500千克． (1)“丰收1号”的单位面积产量________千克/米，“丰收2号”的单位面积产量________千克/米； (2)单位面积产量高的是________（填“丰收1号”或“丰收2号”）； (3)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长． 【答案】(1)， (2)“丰收2号” (3)100米 【分析】本题考查了分式的除法以及分式方程的应用； （1）根据单位面积产量等于产量除以面积，即可求解； （2）根据（1）的结论，作商比较大小即可求解； （3）根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，“丰收1号”的单位面积产量千克/米，“丰收2号”的单位面积产量千克/米， 故答案为：，． （2）解：∵ ∴单位面积产量高的是“丰收2号” 故答案为：“丰收2号”． （3）解：∵高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.02倍， ∴      解得：     经检验是原方程的解     ∴，     ∴“丰收2号”小考试验田的边长为100米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 分式方程和实际问题 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：审清题意，分清已知量和未知量，找到相等关系 (2)设：直接设未知数或间接设未知数 (3)找：根据题意寻找已知的或隐含的等量关系 (4)列：列出分式方程 (5)解：把分式方程化为整式方程，并解这个整式方程 (6)验：看整式方程的解是否满足原分式方程，是否满足实际意义 (7)答：写出实际问题的答案 2 注意 (1)审题时，首先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系.当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程. (2)设未知数会有多种可能：在一些实际问题中，有时直接设题目中所求的量为未知数在解题时可能比较麻烦，这时需要间接设未知数，或设多个未知数，即设辅助未知数来解决问题. (3)在“设”和“答”时要根据题意带上单位，中间列方程和解方程就不必带单位了. (4)列分式方程解应用题时一定要检验，同时还要保证其结果符合实际意义. 我们在列分式方程解应用题时，应熟记一些常用的数量 3 常用数量关系 (1) 行程问题的基本数量关系： 路程=速度×时间；速度＝；时间=； (2) 工程基本数量关系： 工作量=工作效率×工作时间； 合作的效率=各自单独完成任务的效率和. (3) 销售问题的基本数量关系： 利润=售价-进价； 利润=进价×利润率. 压轴题型一：分式方程增根问题 √满分技法 根据分式方程有增根求字母参数的值的一般步骤 (1) 把分式方程化为整式方程；(2)令最简公分母为0，求出未知数的值；(3)把未知数的值代入整式方程，从而求出字母参数的值. 1．已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 2．已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 3．分式方程有增根，求m的值． 4． 当m为何值时，解关于x的分式方程会出现增根？ 压轴题型二：分式方程无解问题 √满分技法 分式方程的无解问题包含两大类情况，一是增根时会产生无解，另一种是分式方程化为整式方程后，未知数的次数为0时，方程也无解。 5．已知关于的分式方程： (1)当时，求此方程的解； (2)当为何值时，此方程无解； 6．当k为何值时，分式方程无解？ 7．已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 8．已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 压轴题型三：行程问题 √满分技法 常用数量关系 行程问题的基本数量关系： 路程=速度×时间；速度＝；时间=； 9．列分式方程解应用题： 2024年7月27日，北京中轴线申遗成功．中轴线南起永定门，北至钟鼓楼．某班级两个小组分别在永定门和钟鼓楼参观之后，他们同时出发到故宫集合．第一小组从永定门骑行至故宫，行程约，第二小组从钟鼓楼步行至故宫，行程约．已知骑行的速度是步行速度的2倍，第一小组比第二小组提前6分钟到达，求第二小组步行的速度是每小时多少千米． 10．【数学与生活】某校八年级的学生去距学校10千米的博物馆开展研学活动，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 【学以致用】设骑车学生的速度为x千米/小时，用含有x的式子表示： (1)汽车的速度为________千米/小时； (2)骑车学生总共用的时间为________小时，乘汽车的学生总共用的时间为________小时． (3)请列分式方程并求出骑车学生的速度． 11．为了拓展学生学习视野，开启多元成长之旅，全方位提升学生综合素质与实践能力，某市教育局积极推进研学交流活动的展开．现有甲乙两所学校各租用了一辆大巴车，组织部分师生分别从距目的地45千米和44千米的两地同时出发，前往研学教育基地．已知乙校师生所乘坐的大巴车的平均速度是甲校师生所乘坐大巴车的平均速度的1.2倍，甲校师生比乙校师生晚10分钟到达目的地，求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为多少？ 12．下面是小金学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度． 方法 分析问题 列出方程 解法 一 设…… 等量关系：步行的时间－骑自行车的时间 解法 二 设…… 等量关系：步行的速度=骑自行车的速度 任务： (1)从下列选项中选择正确的一个选项填入对应的括号内： ①解法一所列的方程中的x表示（   ）  ②解法二所列的方程中的x表示（   ） A． 步行的速度为 B． 骑自行车的速度为 C． 步行的时间为 D． 骑自行车的时间为 (2)任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度，请写出完整的解答过程． 压轴题型四：工程问题 √满分技法 常用数量关系 工程基本数量关系： 工作量=工作效率×工作时间； 合作的效率=各自单独完成任务的效率和. 13．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植的草地，已知2班每小时比1班多制作的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍，求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整． 小聪：设1班每小时种植的草地，所列方程为：_____； 小薏：设_____，所列方程为：_____； (2)任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少的草地： (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 14．某初中为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地建设为劳动基地，现需要利用护栏将菜地圈起来，学校以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作． 某小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项综合与实践的活动，完成了实践调查并形成了如下活动报告． 请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 劳动基地菜地护栏建设 调查方式 走访调研、实地查看 测量过程及计算 调研内容及图示      相关数据及说明： 护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分， 且要求所有的安装工作在一天内完成， 安装横杠的工人每人当天费用为元， 安装竖杠的工人每人当天费用为元； 共招募7名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作， 要求两项安装任务同时开始， 并在当天同时完成； 整个任务需要安装根横杠和根竖杠． 计算结果 15．“路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． (1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 16．某市对一段道路的提升改造工程进行招标，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)求甲、乙单独完成这项工程各需多少天? (2)在确保如期完成的情况下，你认为选择方案_____最节省工程款（请直接填①②③）． 压轴题型五：经济问题 √满分技法 销售问题的基本数量关系： 利润=售价-进价； 利润=进价×利润率. 17．某中学开展运动会，八（2）班准备为参与入场式的运动员购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用400元购进A款文化衫和用320元购进B款文化衫的数量相同． (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ (2)八（2）班参与入场式的运动员共有50人．在实际购买时，由于八（2）班参与了学校团购，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，若采购人员发现所需资金与A款文化衫数量无关，试求m的值及所需资金． 18．李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：千米 每千米行驶费用： 新能源车 电池容量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：▲ 已知燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元． (1)求的值． (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7700元．每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用比燃油车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用） 19．随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐，“元旦”前夕，某玩具商店用元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，销售完后又用元购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的倍，且单价比第一批贵元． (1)第一批小型无人机的单价是多少元？ (2)若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使小型无人机全部售完后利润不少于元，那么销售单价至少为多少元？ 20．某公司会计欲查询甲、乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 进货单 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高； 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． (1)求甲、乙商品的进价及数量； (2)公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过4870元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 压轴题型六：和差倍分问题 21．小华计划购买A，B两种型号的笔记本，已知A，B两种型号笔记本的单价比是3：2，用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，求A，B两种笔记本的单价． 22．某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用450元购进的足球的数量和用600元购进的篮球数量相同．求每个足球的价格． 23．某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？（请提供两种不同的方法） 24．扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了，两种型号扫地机器人，已知型每个进价比型的倍少元，采购相同数量的，两种型号扫地机器人，分别用了元和元．请问，两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？ 压轴题型七：其它问题 25．在综合与实践活动中，数学兴趣小组想通过清洗夏季校服来探索清洗衣物的节水策略． 【洗衣目标】 经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干． 重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：）． 根据以上信息完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ 26．近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注.某师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车 油箱容积：50升 油价：7元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是______元. (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元 ①分别求出这两款车的每千米行驶费用. ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7346元.问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 27．为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 28．已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)的平方差倒数是______； (2)是n的平方差倒数，求m的值； (3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值． 1．若关于的方程有增根．求的值． 2．若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 3．学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须才行． (1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______； (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 4．某天上午，甲乙两位同学相约去博物馆参观，甲乘坐出租车，乙乘坐公共汽车，到博物馆门口集合，行进路线如图所示．参观回来后，两个人对话如下： 甲说：我家到博物馆的距离是，我比你晚出发了20分钟，还比你早到了10分钟； 乙说：我家到博物馆比你家近，你的速度是我的速度的3倍； 甲说：参观结束，我们11：00一起乘坐出租车按原路返程； 乙说：我们一起在我家下车后，你是步行回家的． (1)若设乙的速度是，则甲的速度为________（用含x的代数式表示）； (2)求甲乙两人的速度分别是每小时多少千米？ (3)若甲同学最晚在11：45回到家，则步行速度至少是_______（结果精确到0.1）？ 5．中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展．某公司主营高速公路建设施工，高速公路施工包括平地施工、隧道施工和桥梁施工．近期，该公司承接了一条长420千米的高速公路施工，已知该高速公路施工中有255千米是平地施工，桥梁施工里程比隧道施工里程的3倍少15千米． (1)桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？ (2)经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间多20%，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多1千米，求该公司完成隧道施工的时间． 6．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A，B两种型号的学习用品，已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． (1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元； (2)若购买A，B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？ 7．忠县临江公园美化后的夜景引来众多游客观赏，拍照打卡者络绎不绝，也带来了商机．李师傅今年元旦节网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园为游客开展陪拍服务，已知购进1盒A型号相纸比购进一盒B型号相纸便宜13元，并且花费180元购进A型号相纸和花费232元购进B型号相纸盒数相等． (1)求购进A、B两型号相纸的单价分别是多少元？ (2)李师傅购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸，并把A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张进行陪拍服务，如果李师傅计划本次陪拍服务后的总利润不低于1890元，那么最多购进A型号相纸多少盒？ 8．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了7500千克． (1)“丰收1号”的单位面积产量________千克/米，“丰收2号”的单位面积产量________千克/米； (2)单位面积产量高的是________（填“丰收1号”或“丰收2号”）； (3)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$