4.1 认识三角形-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年七年级下册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

中抽出一张牌花色是梅花的概率为好：C,不透明袋子中有 1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取 出一个球是白浆的概率为号；D.在玩“石头，剪刀，南”的游 戏中，小颗随机出的是“石头“的概率为了。故选A。 高效同步练习3.3等可能事件的概率 第1课时简单随机事件概率的计算 1.C2.B3.D 4号【解折1P(抽到敦字2)=2÷5=亏。 2 5.B6.C 第2课时和摸球有关的概率 1C【解析】P(摸出1个球是红球)=3。=3。 4+3+310。故选C。 1 【变式】5【解析】由题可知a=2(3+2+a),解得a=5。 24【解桥】P(第10次接出红球)3+45子 31 【易错提醒】摸到红球的概率不受摸球次数的影响，只与红 球个数及总球数有关。 3.解：(1)(40-20+8)÷2=14（个），答：袋中蓝色球的个数是 14个； (2)P(摸出1个球是黄色球)=40-20-14_ 40 20答：摸出1 个球是黄色球的概率为3 01 (3)P(摸出1个球是黄色球)=40-20-4+=)，答：摸出 40+2 1个球是黄色球的概率是号。 4.A【解析】总球数：4÷ 3=12(个)，红球：12-5-4=3（个）) P(摸出一个红球)=3片12=1。 4。故选A。 s 6.m+n=10 7.解：例：这个游戏可以设计为：不透明的袋子中装有2个红 球，2个黄球，1个白球，1个黑球，球除颜色外都相同，从袋 中任意摸一个球，P(摸到红球的概率)=2+2+1+1。 2 第3课时和转盘有关的概率 1.A1解析1A,P=0m=4B.P=360°-120°2 360° 360°. 8=2:D.P=5 41 P= 调为行子官宁成选 2.D 33 【解析】P(指针落在C区域)= 1+2+3+410° 80°2 4.解：(1)P(享受七折优惠)= 360°-99 2P得0元)-8- (3)P(得10元)=60+60°1 360°-3； (4)P(中奖得现金)=90°+60°+60.7 360° 12 5.1600【解析1P(获-等奖)=名，P(获二等关)=子= 8=4, 同步练习，精炼高效抓考 则当天参与此项活动的顾客为60：（日+子）=160（人）。 6.解：(1)共有10种等可能出现的结果数，其中“是奇数”的 有5种，“是偶数”的也有5种，因此“是奇数”“是偶数”的 概率都是2(2)共有10种等可能出现的结果数，其中“是 3的倍数”的有3种，“不是3的倍数”的7种，因此“是3的 倍数”颜率是0“不是3的倍数的概率是0：(3)共有10 种等可能出现的结果数，其中“是大于6的数”的有4种， “不是大于6的数”的有6种，因此“是大于6的数”概率是 品号不是大于6的数”的照率是品号因此，猜数者 选择不是3的倍数"，这样状胜的概水是获胜的可能 性最大。 追梦第三章章末复习概率初步 1.C2.C3.A4.B5.0.4 6.解：(1)4 (2)因为大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在 0.95,所以抽到合格品的概率等于0.95，所以x+3= 0.95(x+4),解得x=16。 7.解：(1)81 .10 (20g 88,P(小亮胜)=81-976的545 ②P(小明胜)=835 81-972'872 <),所以小亮胜的机会大，即这个约定对小亮有利。 高效同步练习4.1认识三角形 第1课时三角形的定义和内角和 1.C2.C3.B4.D 5.解：(1)∠1两直线平行，同位角相等 (2)如图所示，过点A作直线BC,所以∠3=∠B(两直线 平行，内错角相等)，∠4=∠C(两直线平行，内错角相等)。 因为∠BAC+∠3+∠4=180°（平角的定义），所以∠BAC+ ∠B+∠C=180°。 3y女·l 第2课时三角形的三边关系 1.D2.D 3.C【解析】3+8=11,8-3=5，第三边的长大于5小于11。 故选C。 【方法点拨】判断三条线段能否组成三角形的方法：先确定 两条较短线段，然后判断其和是否大于最长线段的长度，若 其和大于最长线段的长度，则能构成三角形：反之，则不能 构成三角形。 4.解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为3x厘米，依题意得x+ 3x+3x=21,解得x=3,则等腰三角形的腰长为3×3=9（厘 米)，即等腰三角形的各边长分别为3厘米，9厘米，9厘米； (2)能，理由如下：当5厘米的边为底边时，其腰长为(21 5)÷2=8(厘米)，5+8=13>8，能围成等腰三角形；当5厘米 的边为腰长时，其底边长为：21-5-5=11（厘米），5+5=10< 11,不能构成三角形。综上所述，能围成有一边的长是5厘 米的等腰三角形。 5.32【解析】当6cm长的边为腰时，6+6=12<13，不能构成 三角形；当13cm长的边为腰时，6+13=19>13，能构成三角 形；所以周长为13×2+6=32(cm)。 ZBB七年级数学下册 3 【易错提示】对于等腰三角形问题，易出现两种错误：(1)未 分类讨论，如本题，只考虑到以13cm为腰长，而忽略了另外 一种情况；(2)未对分类结果进行验证，如本题，按照两种情 况直接求周长，得周长为25cm或32cm,忽略了长度为6cm, 6cm,13cm的三条线段不能构成三角形。 6.D【解析】在△ABC中，AC+BC>AB。因为AB=6,所以AC +BC>6,所以AC+BC的值不可能是5。故选D。 7.D 8解：不合理，理由：由题意得圆规先生的两腿与它所画的圆 的一条半径组成一个三角形，设所画的圆的一条半径为 rcm,根据三角形三边关系定理得，r<9+9,即r<18,因为18< 20,所以r<20,即圆规先生不能画出半径为20cm的圆。 第3课时三角形的高、中线、角平分线 1.C 2.B 【方法点拨】锐角三角形三条高的交点在三角形内部；直角 三角形三条高的交点在直角顶点处，钝角三角形三条高的 交点在三角形外部。 3ADB服 ,【解析】因为BE是边AC上的高，所以SABc 2*5x9、9 = 529 4.解：因为∠B=42°，∠C=70°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C= 68。因为AB平分∠BAC,所以∠EAC=7∠BAC=34。因 为AD是BC边上的高，∠C=70°，所以∠DAC=90°-∠C= 20°。所以∠EAD=∠EAC-∠DAC=14°。所以∠AEC=90° -14°=76°。 5.C 6.C【解析】因为，点O是△ABC的重心，所以，点M、N分别是 BC、AC的中点，所以BM=CM,AN=CN,所以S△ABw=S△ACw= 2Saac,SaCy=SaMN=2 SARC,所以Sa0=SaMB,所以 Sg边形MCv0=SAAB0。因为SAMB0=8,所以S四边形MCO=8。故 选C。 7.B 8.A【解析】因为∠BAC=70°，∠B=60°，所以∠C=180°- ∠BAC-∠B=50°。因为AD是△ABC的角平分线，所以 ∠CMD=x70°=35°。所以LADC=180°-∠C-∠CAD= 95°。故选A。 9.D 1 10.C【解析】连接AD。因为Sam=2AB·DE,Sac= 24C·DF,Sc=20,所以24B·DE+24C·DF=20. 1 因为AB=AC=10,所以号AB·(DB+DP)=20,所以DE+ DF=4。故选C。 11.B【解析】因为∠ABC=42°，∠A=60°，所以∠ACB=180° -∠ABC-∠A=78°。因为BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, 所以∠BC=7∠ABC=21,∠BCD=7∠ACB=392。所 以∠BFC=180°-∠EBC-∠BCD=120°。故选B。 12.解：(1)因为在△ABD中，∠ABD=∠BAD=2∠D,且∠ABD +∠BAD+∠D=180°，所以∠ABD=∠BAD=72°，∠D=36°。 因为BE⊥AD,所以∠AEB=90°，则∠ABE=90°-∠BAD =18°； (2)因为AC是∠BAD的平分线，所以∠BAC=∠CAD= 36°。所以∠BFC=∠AFE=180°-∠CAD-∠AEB=54°。 74 同步练习，精炼高效抓考 微专题三角形中线的应用一周长、面积问题 1.D【解析】因为△ACD的周长为10，所以AC+AD+CD=10。 因为AC=4,所以AD+CD=6。因为AD是△ABC的中线，所 以BD=CD。因为AB=5,所以△ABD的周长=AB+AD+BD =AB+AD+CD=11。故选D。 2.48和28【解析】因为AD是△ABC中BC边上的中线，所 以BD=CD。因为AC=2BC,所以BC=)AC。因为BC边上 的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC>AB, 所以AC+CD-(AB+BD)=AC-AB=60-40=20,即AB=AC 20,AG+BG+AB=AC+2AC+AC-20- 40-20=60+40- 100,解得AC=48,则AB=48-20=28。 3.16【解析】因为F是CE的中点，△AEF的面积为4，所以 S△MGB=2SAMr=8。因为E是BD的中点，所以SADE= SAABE,SACDE=SARCE,所以SAACE=SAADE+SACDE=SAABE+S△BGE =)SAc,所以△ABC的面积为16 4.4 【方法点拨】三角形中线的作用：①平分一条边：②将三角形 分成面积相等的两个三角形（等底同高）。 高效同步练习4.2全等三角形 1.D 2.∠B和∠DEF,∠ACB和∠FBC和EF,AC和DF 3.A 4.D【解析】因为△ACE≌△DBF,所以AC=DB=6,AE=DF =3,CE=BF=4,所以△BDF的周长为BD+DF+BF=6+3+4 =13。故选D。 5.30°【解析】因为△ADB≌△EDB≌△EDC,所以∠A= ∠BED=∠CED,∠ABD=∠EBD=∠C。因为∠BED+ ∠CED=180°，所以∠A=∠BED=∠CED=90°。在△ABC 中，∠C+2∠C+90°=180°，所以∠C=30°。 6.40°【解析】因为△ABC≌△DBE,所以∠A=∠D=30°。 所以∠C=180°-∠A-∠ABC=40°。 7.C 8.36°【解析】因为∠ACB=108°，∠B=48°，所以∠CAB= 180°-∠B-∠ACB=180°-48°-108°=24°。又因为△ABC≌ △ADE,所以∠EAD=∠CAB=24°。又因为∠EAB=∠EAD+ ∠CAD+∠CAB,∠CAD=12°，所以∠EAB=24°+12°+24°= 60°，所以∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-60°-48°=72°， 所以∠DEF=∠AED-∠AEB=108°-72°=36°。 【方法点拨】由△ACB的内角和定理求得∠CAB=24°；然后 由全等三角形的对应角相等得到∠EAD=∠CAB=24°。则 结合已知条件易求∠EAB的度数：最后利用△AEB的内角 和是180°和图形来求∠DEF的度数。 9.解：(1)因为△ABC≌△DEB,DE=10,BC=4,所以AB=DE =10,BE=BC=4,所以AE=AB-BE=6; (2)因为△ABC≌△DEB,∠D=30°，∠C=70°，所以∠BAC =∠D=30°，∠DBE=∠C=70°，所以∠ABC=180°-30°-70° =80°，所以∠DBC=∠ABC-∠DBE=10°。 高效同步练习4.3探索三角形全等的条件 第1课时边边边(SSS)】 1.C 2.B【解析】因为AB=AC,EB=EC,AE=AE,所以△ABE≌ △ACE(SSS)。故选B。 3.SSS 4.稳定性 (AB=AD 5.47【解析】在△ABC和△ADE中，{AC=AE,所以△ABC≌ BC=DE △ADE(SSS),所以∠ABC=∠1，∠BAC=∠2。因为∠3+ ∠ACB=180°，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，所以∠3= ZBB七年级数学下册高效同步练习4 第1课时 三角开 知识点①三角形的概念及其表示方法 1.(3分)图中以BC为边的三角形有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点②三角形的内角和 2.生活情境·麦田(3分)如图是某三角形麦田 怪圈，经测量得∠A=85°，∠B=45°，则∠C的 度数为( A.40° B.45° C.50° D.55° 知识点③三角形按角分类 3.[教材随堂练习变式](3分)若一个三角形的 两个内角的度数分别为80°，50°，则这个三角 形是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 知识点④直角三角形的两锐角互余 4.(3分)在一个直角三角形中，若一个锐角等于 60°，则另一个锐角的度数是( A.120° B.90° C.60° D.309 5.学科素养·应用意识(8分)如图，在小学我们 通过观察、试验的方法得到了“三角形内角和 是180”的结论。小明通过这学期的学习知 道：由观察、试验、归纳、类比、猜想得到的结 论还需要通过验证来确认它的正确性。 15分钟同步练习，精炼高效抓 1 认识三角形 彩的定义和内角和 试验方法1 B 试验方法2· 3 受到试验方法1的启发，小明形成了验证该结 论的想法：方法1的拼接方法直观上看，是把 ∠1和∠2移动到∠3的右侧，且使这三个角 的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几 何图形，那么利用平行线的性质就可以解决 问题了。 小明的验证过程如下： 已知：如图，△ABC。试说明：∠A+∠B+∠C =180°。 解：延长BC,过点C作CM∥BA。 所以∠A= （两直线平行，内错角相 第 等)， 章 ∠B=∠2( )。 因为∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）， 所以∠A+∠B+∠ACB=180°。 (1)请你补充完善小明方法1的验证过程； (2)请你参考小明解决问题的方法1的思路， 自行画图标注好顶点字母，写出试验方法2验 证该结论的过程。 考点ZBB七年级数学下册 35 第2课时 三 知识点①三角形按边分类 1.(3分)下列关于三角形按边分类的图示中，正 确的是( ) 等边 三 都不相 等边 角形 角形 都不相 三角形 等的 等边三 5开形 形 角形 角形 角形 A B C D 知识点②三角形的三边关系 2.(3分)下列每组数分别是三根木棒的长度，能 用它们摆成三角形的是() A.3 cm,4 cm,8 cm B.8 cm,7 cm,15 cm C.5 cm,5 cm,11 cm D.13 cm,12 cm,20 cm 3.[教材随堂练习变式](3分)若三角形的两边 长分别为3和8，则下列长度的四条线段中能 作为第三边长的是( A.3 B.5 C.8 D.12 第 4.数学思想·分类讨论(8分)用一条长21厘米 章 的细绳围成一个等腰三角形。 (1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长 是多少？ (2)能围成有一边的长是5厘米的等腰三角 形吗？为什么？ 36 15分钟同步练习，精炼高效抓 角形的三边关系 易错点忽视三边关系而出错 5.(3分)等腰三角形的两边长分别为 6cm,13cm,其周长为 cm 6.(3分)如图，△ABC被木板遮住了一部分，其 中AB=6,则AC+BC的值不可能是( A.11 6 B.9 C.7 D.5 7.[教材例题变式](3分)从长度为1、3、5、7的 四条线段中，任意取出三条线段，能围成三角 形的是( A.1,3,5 B.1,3,7 C.1,5,7 D.3,5,7 8.(9分)某天，所有文具聚在一起开了个茶话 会，圆规先生的话引起了大家的热议，你觉得 圆规先生的话合理吗？如果不合理，请说明 理由。 虽然我腿长只有9cm,但是 我能画出半径为20cm的圆。 考点ZBB七年级数学下册 第3课时三角形 知识点①三角形的高 1.(3分)如图，AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,垂足 分别为C,D,E,则下列说法不正确的是( ) A.AC是△ABC的高 B.DE是△BCD的高 C.DE是△ABE的高 D.AD是△ACD的高 2.(3分)三角形的高所在直线的交点一定在外 部的是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.有一个角是60°的三角形 3.[教材习题变式](3分)如图，在 △ABC中，∠ACB>90°，AD⊥BC, BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为D, E,F,则△ABC的边BC上的高为线 段 ,边AC上的高为线段 若AC=5,BC=4,BB=号则5ae为 4.（10分)如图所示，AD是△ABC的BC边上的 高，AE平分∠BAC,若∠B=42°，∠C=70°，求 ∠AEC和∠EAD的度数。 25分钟同步练习，精炼高效抓 的高、中线、角平分线 知识点②三角形的中线 5.（3分)如图，BD=DE=EF=FC,则△AEC中 EC边上的中线是() A.AD B.AE C.AF D.无法确定 B 第5题图 第6题图 6.(3分)如图，已知△AB0的面积为8，点0为 △ABC的重心，则四边形MCNO的面积 为() A.7 B.7.5 C.8 D.8.5 【点拨】三角形的重心是三角形三条中线的交，点。 三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个 三角形。 第 知识点③三角形的角平分线 章 7.(3分)如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAE= ∠EAF=∠FAC,则△ABC的一条角平分线 为() A.AD B.AE C.AF D.AC 第7题图 第8题图 8.[教材随堂练习变式](3分)如图，在△ABC 中，∠BAC=70°，∠B=60°，AD是△ABC的角 平分线，则LADC的度数是() A.95° B.100° C.105° D.110° 考点ZBB七年级数学下册 37 9.(3分)下列说法正确的是() A.三角形的角平分线是射线 B.连接三角形任意两边中点的线段是三角形 的中线 C.三角形的高都在三角形的内部 D.直角三角形的三条高线交于直角顶点处 10.(3分)如图，在△ABC中，S△ABC=20,AB=AC =10,点D在BC上，DE⊥AB,垂足为E,DF ⊥AC,垂足为F,则DE+DF=() A.2 B.3 C.4 D.5 B D 第10题图 第11题图 11.(3分)如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的 平分线BE,CD相交于点F,且∠ABC=42°， 第 十十一十十州十十十十十十十十十十十十十十十 章 微专题 三角形中线的 1.(3分)如图，AD是△ABC的中线，AB=5,AC =4。若△ACD的周长为10，则△ABD的周 长为() A.8 B.9 C.10 D.11 B D 第1题图 第2题图 2.(3分)如图，在△ABC中(AC>AB),AC= 2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分 成60和40两部分，AC和AB的长分别 为 38 25分钟同步练习，精炼高效抓 ∠A=60°，则∠BFC等于() A.121°B.120° C.119° D.118° 12.（10分)如图所示，在△ABD中，∠ABD= ∠BAD=2∠D,AC是∠BAD的平分线，交AD 边上的高BE于点F。 (1)求∠ABE的度数； (2)求∠BFC的度数。 十十十十十4十十十十十十十十十十十十十十州十+十十十 应用一周长、面积问题 3.(3分)如图，BD是△ABC的中线，点E、F 分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为 4,则△ABC的面积是 B D 第3题图 第4题图 4.(3分)如图，在△ABC中，D是边 BC的中点，E是边AD的中点，阴 影部分的面积为2，则△ABC的面 积是 考点ZBB七年级数学下册