1.3 乘法公式&1.4 整式的除法-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年七年级下册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

-8xy。当=4，y=时，原式=-8x4x()=子 29 8.解：有，因为废水的体积为4(2a2b)2c4·4a2(bc)3·8abc2= 512abc°立方分米，又因为512abc°=(8a362c3)3,所以正 方体贮水池的棱长为8ab2c3分米。 第2课时单项式乘多项式 1.D【解析】A.-2(a+b)=-2a-2b,错误；B.a(2a-a2)=2a2- a3,错误：C.-3a(a2-2)=-3a3+6a,错误。故选D。 2.解：(1)原式=3a3+3a2-6a: (2)原式=-10x2+5xy0 3A【解折】三角形的西积=之×底×高=弓(2+灯P)· 6xy=6x3y2+3x2y2-3xy2。故选A。 4.2x3y2-4xy4+2xy 5.A【解析】因为-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+3xy,所以 ☐处应为3xy。故选A。 6.B【解析】由题意，得原式=3×3mn×(4×2m+5n)=9mn· (8m+5n)=72mn+45mn。故选B。 7.解：(1)x2-2x+1-(-3x2)=4x2-2x+1,所以这个多项式是 4x2-2x+1; (2)(4x2-2x+1)·（-3x2)=-12x4+6x3-3x2 8.解：原式=-4a3b3+6a2b2-8ab=-4(ab)3+6(ab)2-8ab=-4× 33+6×32-8×3=-108+54-24=-78。 第3课时多项式乘多项式 1.C 2.解：(1)原式=7x4-21x2y2+8x2y2-24y4=7x4-13x2y2-24y4； (2)原式=2x2-3x+10x-15-2x3+4x2-6x=-2x3+6x2+x-15。 3.解：原式=6x2-9x+2x-3-6x2+24x+5x-20=22x-23。当x= -2时，原式=22×(-2)-23=-67。 4.D【解析】由题意，得长方形的另一边长为2a+b-(a-b)= a+2b:所以长方形的面积为(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2。 故选D。 5.3a2-ab-2b2 6.3【解析】因为(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2,所以需要C类 卡片3张。 7.解：(1)(a2-ab+b2) (2)原式=(x3+y3)-(x3-y3)=x3+y3-x3+y3=2y。 8.解：(1)根据题意，得(x+a)(x+6)=x2+(6+a)x+6a=x2+8x+ 12,(x-a)(x+b)=x2+(-a+b)x-ab=x2+x-6,所以6+a=8, -a+b=1,则a=2,b=3: (2)当a=2,b=3时，(x+a)(x+b)=(x+2)(x+3)=x2+5x +6。 高效同步练习1.3乘法公式 第1课时平方差公式的认识 1.B2.D3.B 4.48【解析】因为(x+y)(x-y)=x2-y2,x+y=6,x-y=8,所以 x2-y2=6x8=48。 【变式】1【解析】因为(2a+2b+1)(2a+2b-1)=(2a+2b)2 -1=3,所以4(a+b)2=4。所以(a+b)2=1。 5.D6.C 7.解：(1)32-22 (2)原武=2×(3-1)(3+1)(32+1)(3+1)(3+1)(36+1) 、 2×(32-1)(32+1)(3+1)(3+1)(36+1)=x(3-1) (3+1D(3+1)(3+10=7×(3-1)(3+1(35+1)=2× (36-10(3+10=322。 第2课时平方差公式的运用 1.D【变式】①②③④ 2.B 3.解：(1)原式=y2-(3x)2-4xy+4y2=y2-9x2-4xy+4y2=5y2 70 同步练习，精炼高效抓考 9x2-4xy; (2)原式=a2-42-4(a-1)(a+1)=a2-16-4(a2-1)=a2-16 -4a2+4=-3a2-12。 4.解：增加了。理由如下：由题可得，原来长方形草坪长(x+ 12)米，宽(x-12)米，面积为(x+12)(x-12)平方米，则草坪 面积的变化为x2-（x+12)(x-12)=144(平方米)，所以改 造后草坪面积增加了144平方米。 5.解：(1)二去括号时，括号前面是负号，括号内的项要变 号，而第二项没有变号 (2)原式=a2+2ab-(a2-b2)=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2。 第3课时完全平方公式的认识 1.B2.C 3.解：(1)原式=a-2a+1; (2)原式=4x2+4xy+y2。 4.C5.A6.±10 7.12【解析】x2+y2=10,xy=1,所以(x+y)2=x2+y2+2xy=10+ 2×1=12。 8.45【解析】(a+b)4的第三项系数为6=1+2+3；(a+b)5的 第三项系数为10=1+2+3+4；；则(a+b)”的第三项系数 为1+2+3+…+(n-2)+(n-1),所以(a+b)0第三项系数为 1+2+3+…+9=45。 第4课时完全平方公式的运用 1.A 2.C【解析】(x-y)2=x2+y2-2xy,所以2xy=x2+y2-(x-y)2= 20-16=4,所以xy=2。故选C。 【归纳总结】①x2+y2=(x+y）2-2xy;②x2+y2=(x-y)2+2xy。 3.D【解析】因为x2+2(b-1)x+4是完全平方式，所以2(b 1)x=2x·2或2(b-1)x=-2x·2,解得b=3或-1。因为 a+3=0,所以a=-3,所以a°=(-3)3=-27或a°=(-3)-1 。故选D。 1 = 4.C 5.解：(1)二 (2)2962=(300-4)2=3002-2×300×4+42=90000-2400+16 =87616。 6.解：原式=x2-2y+y+y-2-2y+2y+y=y,当x=2025y =2025时，原式=1。 7.解：设x-2025=a,x-2028=b,则a2+b2=31,a-b=(x- 2025)-(x-2028)=3,所以a2-2ab+b2=(a-b)2=9,所以 31-2ab=9,解得ab=11,即(x-2025)(x-2028)=11。 高效同步练习1.4整式的除法 1.B 2.解：(1)原式=[20：(-5)]x3-2yz=-4xy; (2)原式=[(-15)÷5]x-y2-1=-3y。 3.C 4.解：(1)原式=16a2b2÷(-2a2b)+6a2b÷(-2a2b)=-86-3; (2)原式=4h6÷写b-a6÷b-了b÷了b=12a-36-1。 5.A【解析】由题意可知(3mn·2)3÷(-3m3n2)=216m3n3: （-3m'n)=-72n。故选A。 6.2026 7.解：(1)由题意得(2a2b+ab)÷(a·b)=（2a+b)cm,2a+b+a +a=(4a+b)cm,故原来长方形纸板的长是(4a+b)cm; (2)b(2a+b)+2ab+2a(2a+b)=(b2+4a2+6ab)cm2,故一个 这样的纸盒需要用(b2+4a2+6ab)平方厘米的包装纸。 追梦第一章章末复习整式的乘除 1.D【解析】原式=a‘+a3-a3=a°。故选D。 2.B【解析】A.-3a2·2a3=-6a;C.6a÷(-2a3)=-3a3;D. （ab)2=ab°。故选B。 3.D4.A5.D6.C7.D8.D 9.x3【解析】根据题中的新定义，得原式=（-x2)3·x2÷[x ·(-x2)]=-x8÷(-x)=x。 ZBB七年级数学下册高效同步练习 第1课时 平) 第 知识点平方差公式的认识及计算 1.(3分)下列算式不能用平方差公式计算的 是( A.(2a+b)(2a-b) B.(-3a+b)(b-3a) C.(x+y)(-x+y) D.（-m+n)(m+n) 【点拨】平方差公式的特，点：(1)左边是两个二项式 相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一 项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反 项的平方；(3)公式中的a和b可以表示具体的数 或单项式，也可以是多项式。 2.（3分)(2+x)(x-2)的结果是( A.2-x2 B.2+x2 C.4+x2 D.x2-4 3.(3分)若(n-m)与一个多项式的乘积可以利 用平方差公式计算，则这个多项式可 以是() A.m-n B.m+n C.mn-1 D.n-m 4.(3分)若x+y=6,x-y=8,则x2-y2= 变式(3分)如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=3, 那么(a+b)2的值为 【点拨】运用平方差公式计算的步骤：(1)确定两个 二项式中相同的项与互为相反数的项；(2)转化为 这两数和与这两数差的乘积的形式；(3)套用平方 差公式进行计算。 5.（3分)如果(-x-2y)·M=4y2-x2,则M表示 的式子为( A.-x+2y B.-x-2y C.x+2y D.x-2y 6.（3分)已知(-3a+m)(46+n)=1662-9a2,则m,n 的值分别为( ) A.m=-4b,n=3a B.m=46,n=-3a C.m=4b,n=3a D.m=3a,n=4b 8 15分钟同步练习，精炼高效抓 1.3乘法公式 方差公式的认识 7.学科素养·应用意识(9分)阅读材料后解决 问题：小明遇到下面一个问题： 计算(2+1)(2+1)(24+1)(28+1)。 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的 变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用 平方差公式解决问题，具体解法如下： (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(2+1)(2-1)(22+1)(2+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =(28-1)(28+1) =216-1。 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以 下的问题： (1)(3+2)(32+22)(34+24)(38+28)(316+216) (2)化简：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)。 考点ZBB七年级数学下册 第2课时 平) 知识点①利用图形验证平方差公式 1.学科素养·几何直观(3分)图1是长为(a+ b),宽为(a-b)的一个长方形，将其进行分割， 剪拼，得到如图2所示的大正方形。通过计算 阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等 式是( +6 图1 图2 A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2 变式(3分)如图，阴影部分是边长是a的大 正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得 到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的 图形，下列4幅图割拼方法中，其中能够验证 平方差公式的是 (填序号)。 图① 图② 图③ 图④ 知识点②利用平方差公式进行简便计算 2.(3分)为了运用平方差公式计算(x+2y-1)(x -2y+1),下列变形正确的是( A.[x-(2y+1)]2 B.[x+(2y-1)][x-(2y-1)] C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1] D.[x+(2y-1)]2 15分钟同步练习，精炼高效抓 方差公式的运用 第 3.[教材例题变式](6分)计算： (1)(3x+y)(y-3x)-4y(x-y); 章 (2)(a-4)(a+4)-2(a-1)(2a+2)。 4.生活情境·草坪改造(8分)某公园原来有一 块长方形草坪，经规划后，长要缩短12米，宽 要加长12米，结果改造后的草坪刚好是一个 边长为x米的正方形，则改造后草坪面积是增 加了还是减少了？通过计算说明理由。 5.学习情境·过程性学习(8分)某同学化简a(a +2b)-(a+b)(a-b)出现了错误，解答过程 如下： 原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步) =a2+2ab-a2-b2(第二步) =2ab-b2(第三步) (1)该同学解答过程从第 步开始出 错，错误原因是 (2)写出此题正确的解答过程。 考点ZBB七年级数学下册 9 第3课时 完全 第 知识点①完全平方公式的认识及计算 1.(3分)下列多项式属于完全平方式的是() A.x2-2x+4 n+号 C.x2-xr+y2 D.4x2-x-1 2.(3分)下列不能用完全平方公式计算的 是() A.(x-2y)2 B.(-x+y)2 C.x2+y2 D.(2x-1)2 3.(4分)计算： (1)(a-1)2; (2)(2x+y)2。 【归纳总结】运用完全平方公式的技巧：(1)当所给 式子中每一项的符号相同时，一般选用“和”的完全 平方公式；当所给式子中有一项的符号相反时，一 般选用“差”的完全平方公式；(2)若首项是负数，将 首项转化为正数，便于运用完全平方公式计算。 知识点②用图形验证完全平方公式 4.学科素养·几何直观(3分)利用图形中面积 的等量关系可以得到某些数学公式。例如， 根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式： (m+n)2=m2+2mn+n2。根据图乙你能得到的 10 15分钟同步练习，精炼高效抓 平方公式的认识 数学公式是() A.m2-n2=(m-n)2 B.(m+n)2=m2+2mn+n2 C.(m-n)2=m2-2mn+n2 D.m2-n2=(m+n)(m-n) n 图甲 图乙 5.(3分)已知x-y=-7,则x2-2xy+y2的值 为() A.49 B.-49 C.7 D.-7 6.数学思想·分类思想(3分)若代数式x2+x+ 25是一个完全平方式，则k= 7.（3分)若x2+y2=10,y=1,则(x+y)2的值 是 8.[教材阅读·思考变式](3分)我国古代数学 的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋 数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算 法》一书中，用图中的三角形解释二项和 (a+b)”的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”。 (a+b)0 (a+b)1.11 (a+b)2.…121 (a+b)3.1331 (a+b）4.14641 (a+b)515101051 44·。·。 则(a+b)0展开式中第3项的系数 是 考点ZBB七年级数学下册 第4课时 完全 知识点①运用完全平方公式进行简便运算 1.[教材随堂练习变式](3分)若用简便方法计 算29992，应当用下列哪个式子() A.(3000-1)2 B.(3000-1)(3000+1) C.(2999+1)2 D.(2999+1)(2999-1) 知识点②完全平方公式的综合运用 2.(3分)已知(x-y)2=16,x2+y2=20,则xy =() A.-2 B.-4 C.2 D.4 3.数学思想·分类思想(3分)若x2+2(b-1)x+4 是完全平方式，且|a+3|=0,则a°=() A.-27 B27或 C7或号 n-27或} 4.新定义(3分)对于任意有理数A,B,现用 “☆”定义一种运算：A☆B=a2+b2。根据这个 定义，代数式(x+y)☆y可以化简为() A.xy+y2 B.xy-y2 C.x2+2xy+2y2 D.x2+2y2 5.学习情境·过程性学习(7分)数学课上老师 出了一道用简便方法计算2962的值的题，喜 欢数学的小亮举手做出了这道题，他的解题 过程如下： 2962=(300-4)2.…第一步 =3002-2×300×(-4)+42.…第二步 =90000+2400+16…第三步 =92416…第四步 老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解 题中的错误。 (1)你认为小亮的解题过程中，从第 步开始出错； 15分钟同步练习，精炼高效抓 平方公式的运用 (2)请你写出正确的解题过程。 第 章 6.(8分)先化简，再求值：(x-y)2+(x-2y)(y- 1 )+y,其中x=2025y=2025。 7.数学思想·换元思想(10分)若x满足(9-x) (x-4)=4,求(4-x)2+(x-9)2的值。 解：设9-x=a,x-4=b,则(9-x)(x-4)=ab= 4,a+b=(9-x)+(x-4)=5, 所以(4-x)2+(x-9)2=a2+b2=(a+b)2- 2ab=52-2×4=17。 请仿照上面的方法求解下面的问题： 若x满足(x-2025)2+(x-2028)2=31,求 (x-2025)(x-2028)的值。 考点ZBB七年级数学下册 11 高效同步练习1 第 知识点①单项式除以单项式 章 1.(3分)计算6m÷2m2的结果为() A.-3m B.3m4 C.3m3 D.-3m4 2.(6分)计算： (1)20x3yz÷(-5x2y); (2)-15xy÷5xy。 知识点②多项式除以单项式 3.（3分)计算：(-12x4+6y-4x)÷(-2x)的结果 是() A.-6x2+3y-4 B.-6x3-3xy+4x C.6x3-3y+2 D.6x3-3x-2 4.(8分)计算： (1)(16a262+6a2b)÷(-2a2b); (2)(4a2b-ab2-1。 1 3b。 【归纳总结】多项式除以单项式的运算中应注意的 问题：(1)将多项式除以单项式的问题转化为单项 式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各 项要包括它前面的符号；(2)多项式除以单项式，被 除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项；(3)多 项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用 其进行检验。 12 15分钟同步练习，精炼高效抓 整式的除法 5.新定义(3分)若定义阝表示(3xyz)3, a c m n bd表示-3ac,则运算b23的结果 为() A.-72n B.72n C.mn D.-mn 6.生活情境·WIF信号(3分)某科技馆中“数理 世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示 的数学问题。小东在参观时认真思索，输入 密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码 是 账号：shu li shi jie [x19y8z8]=1988 [x2yz·xy]=521 [(x5)5y4z÷x5y2]=密码 7.（9分)如图1，在一张长方形纸板的四角各切 去一个大小相同的正方形，然后将四周折起， 制成一个高为acm的长方体无盖纸盒（如图 2)。已知纸盒的体积为(2a2b+ab2)cm3,底面 长方形的宽为bcm。 (1)求原来长方形纸板的长； (2)现要给这个长方体无盖纸盒的外表面贴 一层包装纸，一共需要多少平方厘米的包 装纸？ c 图1 图2 考点ZBB七年级数学下册