2025-2026学年高三数学寒假不等式章节复习试卷（人教A版）

2025-2026学年高三数学寒假不等式章节复习试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册和相关章节内容。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，可得；由，可得， 因为⫋， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 3．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将用和表示出来，再根据已知不等式利用性质求出的取值范围. 【详解】设，则， 所以，解得， 即， ， 则， 因此. 故选：D. 4．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 5．不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知不等式的解集得到的符号及关系，再根据一元二次不等式求解方法解不等式. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且，所以. 所以不等式可化为， 所以或. 所以不等式的解集为. 故选：A 6．若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 7．关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对参数分类讨论求解不等式，再根据解得情况分析可得实数的取值范围. 【详解】由可得 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故正整数解为1，2，3，所以， 综上，实数的取值范围是. 故选：. 8．已知实数a，b满足，则a2 + b2的最小值为（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】通过分析，可得，代入a2 + b2可得到一个关于的二次函数，从而得到最小值． 【详解】由，. 此式成立的条件是与异号（或至少一个为0），且， 即.综合符号关系可知, 故 根据二次函数的图象与性质可得， 当时，的最小值为2. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】对A，举即可判断；对B，根据不等式性质即可判断；对C，利用作差法即可判断；对D，举反例即可. 【详解】对A：当时，由，故A错误； 对B：若，，则根据不等式性质知，故B正确； 对C：根据不等式的性质，若，则， 也就是，故C正确； 对D：当，时，此时，故D错误. 故选：BC 10．已知正实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式的应用，结合选项计算即可判断. 【详解】，当且仅当时取等号，，的最大值为1，故A正确. ， 当且仅当时，取等号，故B正确 ，对称轴，在时单调递减，时单调递增， 的取值范围为，故C错误 ，令，则， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：ABD. 11．已知正实数满足，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值为6 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】选项A，从解出，即可得解；选项B，由已知得到 ，利用基本不等式求解；选项C，由，直接使用基本不等式求解； 选项D，由已知得到，代入，利用求解. 【详解】选项A，，， ，，，，，， ，，，，故选项A正确； 选项B，，，， ，，，当且仅当时取等号， 即，解得，的取值范围是，故选项B错误； 选项C，，，， ，，， 当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为，故选项C正确； 选项D，，，， ，，，，， ，当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为，故选项D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的最小值为 . 【答案】. 【分析】先根据已知条件 ，构造出两个正数，再对代数式进行变形，最后利用基本不等式性质求解最小值. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ，， 所以， 当且仅当 ，即 时，等号成立. 因此 所以 的最小值为 . 故答案为：. 13．对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分段讨论，去掉绝对值求解即可. 【详解】当不等式取等号时， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为：. 14．若关于的不等式：的解集为全体实数，则 . 【答案】4 【分析】根据已知得，问题化为的解集为全体实数，再结合二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】已知可得，即，且时等号成立， 故时，不等式为成立，即，得， 由的解集为全体实数， 等价于的解集为全体实数， 即的解集为全体实数， 整理得的解集为全体实数， 则，故. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知，均为正数，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件等式通分结合基本不等式即可求解； （2）由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解； （3）由重要不等式结合（1）即可计算求解. 【详解】（1）因为，均为正数，， 所以即，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为； （2）由题可得，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为； （3）由（1）可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 16．（15分） 已知关于的不等式的解集是. (1)求实数，的值； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用一元二次方程根与一元二次不等式解集的关系求解即可； （2）利用分式不等式解法求解即可. 【详解】（1）不等式的解集， 和3是方程的两根， 解得. （2）等价于，即， 即，等价于， 则该不等式解集为. 17．（15分） 已知二次函数. (1)若，且都有，求的最小值； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题得到，所以，再利用基本不等式求解即可. （2）不等式等价于，对分三种情况讨论即可 【详解】（1）由题，对称轴为，所以，变形得，则 ， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为. （2）不等式即求解 ①当时，，解集为 ②当时，抛物线开口向上， 若，即时，恒成立，解集为 若，即时，则，解集为 若，即时，不等式解集为 ③当时，抛物线开口向下，此时恒成立， 不等式解集为 18．（17分） 设正数a，b满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)从（ⅰ）（ⅱ）中任选一个问题回答，若回答多个问题，则按第一个问题计分． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用基本不等式即可得出答案； （2）将原式化简，然后代换一下，利用二次函数的性质求最值； （3）若选（ⅰ），代换，然后利用基本不等式即可求解；若选（ⅱ）,也是先代换，然后利用二次函数的性质求最值. 【详解】（1）， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为； （2），所以， ， 当时，取到最小值； （3）若选（ⅰ）,， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为; 若选（ⅱ），，所以， ， 显然当时取到最小值. 19．（17分） 已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若，不等式对恒成立． （i）证明：； （ii）求的最小值． 【答案】(1)，； (2)（i）证明见解析；（ii）最小值为. 【分析】（1）根据解得情况求得关系式，再解一元二次不等式求得正确答案； （2）（i）转化为对恒成立，再利用判别式即可证明； （ii）方法一：令，转化得不等式，再次换元，最后再利用基本不等式即可求解；方法二：利用（i）不等式得，拆开后再利用基本不等式即可. 【详解】（1）因为，所以，即 因为不等式的解集为， 所以（二次函数开口向上），且和是方程的两个根. 则，  解得： （2）（i）因为，所以， 即， 因为该不等式对恒成立，且，所以二次函数开口向下:； 所以，所以 整理得，即 因为，两边除以，整理得； （ii）方法一：由①知，因为， 令，则. 将代入，得， 因为，两边除以，整理得， 则， 令，则上式变为. 根据均值不等式，对于正实数m，n，有， 则，当且仅当，即时等号成立. 所以，再验证等号是否成立： 当时，即，所以， 由，可得，所以： 所以的最小值为. 方法二：（ii）由（i）可知， 所以. 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三数学寒假不等式章节复习试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册和相关章节内容。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 7．关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 8．已知实数a，b满足，则a2 + b2的最小值为（ ） A．4 B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知正实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 11．已知正实数满足，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值为6 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的最小值为 . 13．对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是 ． 14．若关于的不等式：的解集为全体实数，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知，均为正数，. (1)求的最小值；(2)求的最小值；(3)求的最小值. 16．（15分） 已知关于的不等式的解集是. (1)求实数，的值；(2)解关于的不等式：. 17．（15分） 已知二次函数. (1)若，且都有，求的最小值； (2)解关于的不等式：. 18．（17分） 设正数a，b满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)从（ⅰ）（ⅱ）中任选一个问题回答，若回答多个问题，则按第一个问题计分． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值． 19．（17分） 已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若，不等式对恒成立． （i）证明：； （ii）求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $