高效同步练习21.3.3 正方形-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（人教版·新教材）

高效同步练习2 第1课时 知识点)正方形的性质 1.(3分)下列结论中，正确的有() ①正方形具有平行四边形的一切性质 ②正方形具有矩形的一切性质 ③正方形具有菱形的一切性质 ④正方形有两条对称轴 ⑤正方形有4条对称轴 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(3分)如图，在正方形ABCD的外侧作等边 △ABE,则∠AED的大小为( A.15° B.35° C.45° D.55° 章 第2题图 变式题图 变式(3分)如图，以正方形ABCD的边AB 为一边向内作等边△ABE,则∠BED的度数 为 3.生活情境·地理位置(3分)某天放学，三名同 学准备从学校回家.如图，点0为学校所在的 位置，三名同学的家在平面直角坐标系中的 位置如图所示，正方形OABC的顶点O,B的 坐标分别是(0,0)，（2,0)，则顶点C的坐 标是() A.(1,1) B.(-1,-1) C.(1,-1) D.(-1,1) ☒ 第3题图 第4题图 4.（3分)已知正方形ABCD的边长为1，连接 AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则 ∠ACE= 32 15分钟同步练习，精炼高效抓 21.3.3正方形 E方形的性质 5.学科内部融合(3分)如图，正方形OABC的 两边OA,OC分别在x轴，y轴上.点D(5,3) 在边AB上，以C为中心，把△CDB顺时针旋 转90°，则旋转后点D的对应点D'的坐 标是() A.(2,10) B.(-2,0) C.(2,10)或(-2,0)D.(10,2)或(2,0) ✉B D OA BL 第5题图 第6题图 6.(3分)如图，正方形ABCD中，点P在AC上， PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别E,F,EF=3,则 PD的长为() A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 7.(8分)如图，正方形ABCD的边长为4.E,F 分别为DC,BC的中点 (1)求证：△ADE≌△ABF; (2)求△AEF的面积. 考点ZBR八年级数学下册 第2课时 知识点)正方形的判定 1.（3分)下列叙述错误的是() A.既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.有一个角是直角的菱形是正方形 D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 2.(3分)如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°， BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于 点E,且BE=BF,添加一个条件，仍不能证明 四边形BECF为正方形的是() A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D.AC=BF 添加条件 四边形 正方形 第2题图 第3题图 3.「新考法(3分)如图，数学课上老师给出了以 下四个条件：a两组对边分别相等；b一组对 边平行且相等；c一组邻边相等；d一个角是直 角.有三位同学给出了不同的组合方式：①a, c,d;②b,c,d;③a,b,c.你认为能得到正方形 的是 ·(填写你认为正确的序号)》 易错点)混淆特殊平行四边形的判定导致出错 4.新考法(3分)四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,假设有下列条件：①AB=AD; ②∠DAB=90°；③A0=C0,B0=D0;④四边形 ABCD为矩形；⑤四边形ABCD为菱形；⑥四 边形ABCD为正方形.则下列推理不成立 的是() A.①④→⑥ B.①③→⑤ C.①②→⑥ D.②③→④ 15分钟同步练习，精炼高效抓 E方形的判定 5.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,点E,F在对角线BD上，且BE= DF,OE=OA.求证：四边形AECF是正方形 第二十 6.（10分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, 垂足为D.AN是△ABC外角∠CAM的平分 线，CE⊥AN垂足为点E. (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明 A M 考点ZBR八年级数学下册 33 数学 活动T黄金矩形 1(0分Ⅱ背豪知识]宽与长的比等于)-的 矩形称为黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、 匀称的美感.世界上很多著名建筑，为了取得 最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计， 如希腊帕特农神庙等， (1)经测量帕特农神庙的长约为30米，它的 宽度是 米；（结果保留根号） 【实验操作】折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折 出一个正方形MNCB,然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩 第 形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线AB,并将AB 折到图3所示的AD处； 章 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DF, 得到矩形BCDF(如图4). M B MEB N C NAC 图1 图2 MEB O MEBF 0 NACD 图3 图4 【问题思考】 (2)若MW的长为2，请证明：矩形BCDF是黄 金矩形； (3)在(2)的条件下，以图3中的折痕AQ为 边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的 面积. 34 15分钟同步练习，精炼高效抓 活动 活动2剪拼正方形 2.（10分)数学活动课上，学习小组开展“剪拼 正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠。 【初步尝试】 (1)如图1，长方形纸片ABCD可看作由2个 全等的小正方形组成，E是AD的中点，沿着 BE,CE剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持 ③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方 形纸片BFCE若AB=2,则BF= 【拓展迁移】 (2)如图2，同学们从刘徽设计的“青朱出入 图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片 ABCD,GCEF剪拼成一个大正方形纸片 BQPG.P,M,N为剪痕与原正方形边的交点， 已知AB=4,EN=1. ①HQ= HN= ②求正方形BQPG的边长， E M 出 ①① ② ③ B 青出 出 图1 考点ZBR八年级数学下册垂直平分AC..:点E在BD上，.AE=EC (2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：·四边形ABCD是 菱形，.AB=CB.又：∠ABC=60°，.△ABC是等边三角形 LBAC=609.:AB=EC,LCEF=60°，LBAC=2LCEF =30°.又：∠BAF=∠BAC-LEAC=30°=∠EAC,.AF是等 边三角形ABC的角平分线.∴.BF=CF..点F是线段BC的 中点 第2课时菱形的判定 1.D2.AD=BC(答案不唯一)3.2164.C 5.证明：方法一：AEBF,.∠ADB=∠DBC,∠DAC=LBCA. AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴.∠DAC=∠BAC, ∠ABD=∠DBC,∴.∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB,∴.AB=BC, AB=AD,.AD=BC..AD∥BC,.四边形ABCD是平行四边形 ,AD=AB,∴.四边形ABCD是菱形 方法二：同方法一可证四边形ABCD是平行四边形.：AD∥ BC,∠DAB+∠CBA=180.:AC平分∠BAD,BD平分∠ABC, ∴.∠BAC= 2∠BAD,∠ABD=2∠ABC,.∠BAC+∠ABD= 2∠BMD+号∠ABC=(LBAD+LABC)= 2×180°=90°，即 AC⊥BD,·.四边形ABCD是菱形. 6.(1)证明：在△ABC中，点D是AC的中点，AD=DC.AF∥ BC,·.∠FAD=∠ECD,∠AFD=∠CED,.△AFD≌△CED (AAS),.AF=EC,四边形AECF是平行四边形，又DE⊥ AC,∴.平行四边形AECF是菱形. (2)解：过点A作AG⊥BC于点G,由(1)知四边形AECF是菱 形，.∠FAC=30°，.AE=CE=AF=CF=2,AF∥EC,∠FAE= 2∠FAC=60°，∴.∠AEB=∠FAE=60°..·AG⊥BC,∴.∠AGB= ∠AGE=90°，∴.∠GAE=30°，.GE=1,AG=√3..∠B=45°，∴ △ABG是等腰直角三角形，.BG=AG=√3，.BC=√3+1+2= √3+3，AB=√6，.四边形ABCF的周长=AB+BC+CF+AF=√6+ √5+7. 高效同步练习21.3.3正方形 第1课时正方形的性质 1.D 2.A【解析】.四边形ABCD为正方形.∴.AB=AD,∠BAD=90° .·△ABE是等边三角形，.AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°..AD =AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°.∴.∠ADE=∠AED=15 故选A, 【变式】135 3.C4.22.5° 5.B【解析】小点D(5,3)在边AB上，∴.BC=5,BD=2.顺时针 旋转90°，则点D'在x轴负半轴上，OD'=2,.D'(-2,0).故 选B. 6.D【解析】连接PB.在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD, ∠BAC=∠DAC=45°.AP=AP,∠BAC=∠DAC=45°，AB= AD,∴.△ABP≌△ADP(SAS),.BP=DP..·PE⊥AB,PF⊥BC ∠ABC=90°，∴.四边形BFPE为矩形，∴.EF=PB,∴.EF=DP= 3.故选D. 7.（1)证明：，四边形ABCD是正方形，∴.∠D=∠B=90°，AD= AB=BC=CD.又E,F分别为DC,BC的中点，∴.DE=BF,在 AD=AB △ADE和△ABF中， ∠D=∠B,∴.△ADE≌△ABF(SAS) DE=BF (2)解：，四边形ABCD为正方形，边长为4，E,F分别为DC, BC的中点，∴.∠B=∠D=∠C=90°，AD=AB=BC=CD=4,DE= CE=BF=CF=2.∴.S△ABr=S正方形BcD-SADs-SAABF-SABc=4X4- 2x4x2 2×4X2-2×2x2=6.即△AEF的面积为6. 第2课时正方形的判定 1.D 【易错提醒】只有对角线互相平分的四边形是平行四边形，先确 定平行四边形，然后才能确定是否是正方形 74 同步练习，精炼高效抓考 2.D3.①②4.C 5.证明：.四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD..BE =DF,.OE=OF,四边形AECF是平行四边形.AC⊥BD,.四 边形AECF是菱形，.OE=OA,∴.OE=OF=OA=OC,即EF=AC,∴. 四边形AECF是正方形 6.（1)证明：AB=AC,AD⊥BC,∴.AD平分∠BAC,∠ADC=90° .∠BAD=∠CAD= ∠BAC.:AW是△ABC的外角LCAM的 2 1 LCw+wn7=Vl7"·N0》x-”W·肠7 1 ∠CAM+2∠BAC=2XI80°=90：CE LAN,∠AEC=90 .∴.∠AEC=∠ADC=∠DAE=90°..四边形ADCE为矩形. (2)解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正 方形.理由如下：由(1)知四边形ADCE为矩形，，·∠BAC= 90°，∠BAD=∠CAD=45°，.∠ACD=45°，.AD=DC,.四 边形ADCE为正方形 数学活动 1.解：(1)15v5-15 (2)证明：连接AB..·四边形MWCB是正方形，MN=2,由折叠 的性质得：NC=2,BA=BC=2,4C=分NC=1,在直角三角形 ABC中，由勾股定理得：AB=√AC+BC=√5，.AD=AB=√5， CD√5-1 CD=A0-AC=5-1,8C2,矩形BCDF是黄金 矩形； (3)这个矩形的面积为45或65+10.【解析】由折叠的性 质得：∠BAQ=LDAQ,又：BQ∥AD,.LBQA=∠DAQ, LBAQ=∠BQA,.BQ=BA=5.又EB=AC=1,.EQ=V5+ 1,在直角三角形AEQ中，由勾股定理得：AQ=AE2+EQ2=10+ 25,当40为黄金矩形的长时，尉宽为540，则西积为： 5,AQ=45;当40为黄金矩形的宽时，则长为0=5+1 5-12 AQ,则面积为AQ· 5+40=65+10,综上所迷，这个短形的 面积为45或6√5+10. 2.解：(1)22 (2)①43【解析】.·△ABM≌HQN,.AB=HQ=4,AM=HN, AD=4,EN=DM=1,AM=4-1=3,.HN=3; ②由①可知H0=4,HN=3,在Rt△QHN中，由勾股定理得：QW =√H0+HW2=5,在Rt△B0N中，由勾股定理得：BN2-ON2= BQ,在Rt△BHQ中，由勾股定理得：BH+HQ=BQ,BN2- QNP=BF+H02设BH=*,(x+3)2-5子=x2+4,解得x=6, Bm=兰在直角三角形Bi0中，由勾股定理得B0=V不+B丽 =3,·正方形BQPG的边长是20 31 追梦第二十一章章末复习四边形 1.B2.D3.D4.C 5.B【解析】连接OP.·PM⊥AB,PN⊥BC,∠ABC=90°，. ∠PMB=∠PNB=90°，∴.四边形MBNP是矩形，∴.BP=MN= 2B0.AB=3,AC=5,.BC=4.当BP⊥AC时，BP最小. Sc2AB:BC=分4C·B即，BP=A8aC=24,B0= AC BP=1.2.故选B. 1 6.AB=AD(答案不唯一) 7.40cm【解析】.E、F、G、H为四边形ABCD各边中点，∴.HE、 ZBR八年级数学下册