高效同步练习21.3.2 菱形-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（人教版·新教材）

高效同步练习21.3.2菱形 第1课时 菱形的性质 知识点①菱形的性质 6.(8分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于 1.(3分)关于菱形的性质，以下说法不正确的 点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE. 是() (1)求证：BD=EC; A.四条边相等 B.对角线相等 (2)若∠E=50°，求∠BA0的大小 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形 2.一图多变(3分)如下图，菱形ABCD的对角 线AC,BD的长分别为6和8，则这个菱形的 边长是( A.5 B.10 C.6 D.8 变式(3分)如上图，在菱形ABCD中，AB= 第二十一章 13,AC=10,则0B的长为 3.(3分)菱形ABCD的边长为3，则菱形ABCD 的周长为()》 知识点②菱形的面积 A.3 B.12 C.6 D.9 7.(3分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点 4.(3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 O.若AC=2,BD=2,则菱形ABCD的面 BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠ADC 积为( =130°，则∠A0E的大小为( A.1 B.2 A.75 B.65° C.4 D.6 C.55° D.50° 8.(3分)如图，四边形ABCD是菱 形.点O是两条对角线的交点，过 O点的三条直线将菱形分成阴影 第4题图 第5题图 部分和空白部分，当菱形的两条对角线的长分 5.(3分)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F 别为6和8时，阴影部分的面积为 分别是AB、AD的中点，若EF=2,则菱形的周 易错点)错误地运用菱形的面积公式导致错解 长为() 9.(3分)已知菱形的周长为40cm,一条对角线 A.4 B.8 C.16 D.32 长为16cm.那么这个菱形的面积为() 变式(3分)已知菱形的周长为24cm,两邻角 A.40 cm2 B.48 cm2 之比为2：1.则较短的对角线的长为 C.96 cm2 D.192cm2 25分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBR八年级数学下册 29 10.(3分)下列性质中，菱形具有而矩形不一定|14.(7分)如图，点0是菱形ABCD对角线的交 具有的是( )》 点，DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证：OE A.对角线互相平分 =BC. B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.邻边互相垂直 11.「学科内部融合(3分)如图，在平面直角坐标 系中，菱形OABC的顶点C的坐标是(3,4)， 则顶点A,B的坐标分别是( A.(4,0),（7,4) B.(4,0),(8,4) C.(5,0),(7,4) D.(5,0),(8,4) 第二 15.学科素养·几何直观(10分)如图，在菱形 A ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF,交 第11题图 第12题图 章 对角线BD于点E,连接EC. 12.学习情境·动点探究(3分)如图所示，点P (1)求证：AE=EC; 是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一 (2)当∠ABC=60°，∠CEF=60时，点F在线 个动点.点M,N分别是AB,BC边上的中点， 段BC上的什么位置？并说明理由 则MP+PN的最小值是() B.2 C.1 D.√2 13.(3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,已知 B0=4,S菱形BCD=24,则AH= 第13题图 变式题图 变式(3分)如图，四边形ABCD的对角线 AC,BD互相垂直，垂足为O,∠BAD=90°，AB =8,AD=6,若S四边形BcD=60,则 0C= 30 25分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBR八年级数学下册 第2课时菱形的判定 知识点①有一组邻边相等的平行四边形是 5.-题多解](9分)如图，AE∥BF,AC平分 菱形 ∠EAB交FB于点C,BD平分∠ABC交AE于 1.(3分)添加下列一个条件，能使口ABCD成为 点D,连接CD.求证：四边形ABCD是菱形 菱形的是( A.AB=CD B.AC=BD C.∠BAD=90° D.AB=BC D 第1题图 第2题图 知识点②对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2.新趋势·开放性试题(3分)如图，在四边形 第二十 ABCD中，AC⊥BD,垂足为O,AB=CD,要使四 边形ABCD为菱形，应添加的条件 章 6.（10分)如图，已知△ABC中，点D是AC的中 是 (只需写出一个条件即可) 点，过点D作DE⊥AC交BC于点E,过点A 3.(3分)若一个平行四边形的一条边的长为 作AF∥BC交ED的延长线于点F,连接 15,两条对角线的长分别为18和24，则它的 AE、CF. 面积为 (1)求证：四边形AECF是菱形 知识点③四条边相等的四边形是菱形 (2)若CF=2,∠FAC=30°，∠B=45°，求四边 4.学习情境·过程性学习(3分)如图，小聪在作 形ABCF的周长. 线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的： 分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为 半径作弧，两弧相交于点C,D,则直线CD即 为所求。 根据他的作图方法，可知四边形ADBC一定是菱 形，判定四边形ADBC是菱形的依据是( A.对角线互相平分的四边形是 菱形 B.对角线互相垂直的四边形是 菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.有一个角是直角的平行四边形是菱形 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBR八年级数学下册 31=CE=5.·BE=3,∴.BC=8,AB=√AE2-BE=4,.AC=√42+82 =45.故选B. 13.A【解析】.：四边形ABCD是矩形，∴.OA=OB=OC=OD= 2BD=6∠B0C=120=LA0D,∠0AD=∠0DA=30, 当0P1AD时，0P有最小值，.OP=了0D=3.故选A. 2 14.5【解析】.四边形ABCD为矩形，∴.AB=CD,AD∥BC,∠A= ∠D=90°，∴.∠AEB=∠EBC.∠ABC的平分线交AD于点 E,∴.∠ABE=∠EBC,∴.∠AEB=∠ABE,∴.AE=AB=CD=4.· AE=4,BC=7,∴.AD=BC=7,.DE=AD-AE=7-4=3.在 Rt△CDE中，CD=4,DE=3,由勾股定理得CE=√32+4=5. 15.18 16(1)证明：四边形ABCD是矩形，0C=24C,0D=6D, AC=BD,.OC=OD,∴.∠ACD=∠BDC..∠CDF=∠BDC ∠DCF=∠ACD,∴.∠CDF=∠DCF,∴.DF=CF; (2)解：由(1)可知，DF=CF.∠CDF=60,.△CDF是等边 三角形，.CD=DF=6..·∠CDF=∠BDC=60°，OC=OD,∴. △0CD是等边三角形，.0C=0D=6,∴.BD=20D=12.,四 边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∴.BC=√BD2-CD2= 65,.S矩形8c=BC:CD=363. 17.证明：(1)·四边形ABCD是矩形，.CD∥AB,OA=OC,. ∠OCF=∠OAE..·∠COF=∠AOE,..△COF≌△AOE (ASA),∴.AE=CF. (2)连接OB,,EF⊥AC,∴.△AOE是直角三角形，∴.OG=AG =GE,∠BAC=∠A0G=30°，·0E=2AE=GE,∠AB0= ∠BAC=30°，∴.∠A0B=180°-30°-30°=120°，∴.∠B0E= ∠AOB-90°=30°，∴.△OEB是等腰三角形，∴.OE=EB,∴.OG -AG=GE-EB-OE0G-AB-DC,DC-30G. 第2课时矩形的判定 1.∠B=90°（答案不唯一） 2.有一个角是直角的平行四边形是矩形3.合理 4.证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,AD∥BC.E (AD=BC 是AB的中点，∴.AE=BE.在△ADE和△BCE中，DE=CE,∴ AE=BE △ADE≌△BCE(SSS),∴.∠A=∠B..·AD∥BC,∴.∠A+∠B= 180°，.∠A=∠B=90°.又.：四边形ABCD为平行四边形，. 四边形ABCD为矩形. 5.B【解析】.'四边形ABCD是平行四边形，∴.AC=2OA=6cm, OB=OD,要使平行四边形ABCD是矩形，则BD=AC=6cm,. 0B=2BD=3cm,故选B. 6.对角线相等的平行四边形是矩形 7.D 8.解：四边形MENF是矩形.理由如下：：四边形ABCD是平行四 边形，∴.AD∥BC,∴.∠ABC+∠BAD=180°.AF,BE是∠BAD. ∠ABC的平分线，∴.∠BAM+∠ABM=90°，.∠AMB=∠EMF= 90°.同理可得∠F=∠E=90°，∴.四边形MENF是矩形. 9.A【解析】，四边形ABCD为平行四边形，∴.AO=CO,B0= DO.BM=DN,∴.OM=ON.又.AO=C0,∴.四边形AMCN为 平行四边形.：OM=2AC,MN=AC,平行四边形AMCN为 矩形.故选A 10.D【解析】连接AD.∠BAC=90°，且BA=6,AC=8,∴.BC= VAB+AC2=10.DM⊥AB,DN⊥AC,.四边形AMDN为矩 形，∴.AD=MN,∴.当AD最小时，MN最小.当AD⊥BC时，AD 最小，此时S2Mc=)X6x8=7×10xAD,AD=4.8.故选 11.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB,DC=AB. FC=AE,∴.DC-FC=AB-AE,即DF=BE,∴.四边形DEBF是 平行四边形.又，DE⊥AB,.∠DEB=90°，.平行四边形 同步练习，精炼高效抓考点 DEBF是矩形： (2)解：·AF平分∠DAB,.∠DAF=∠BAF.DC∥AB,∴. ∠DFA=∠BAF,∴.∠DFA=∠DAF,∴.AD=DF=1O.在 Rt△AED中，由勾股定理，得DE=√AD-AE2=8,由(1)得四 边形DEBF是矩形，.BF=DE=8. 12.解：(1)平行四边形对角线相等的平行四边形是矩形 (2)已知：AB=CD,AD=BC,AC=BD D 求证：四边形ABCD是矩形 证明：：AB=CD,AD=BC,.四边形ABCD是 0 平行四边形..AO=C0,B0=DO.又.·AC= BD,∴.AO=CO=BO=DO,∴.∠OAB=∠OBA,∠OBC=∠OCB. .∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°，.∠OBA+∠OBC= 90°，即∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是矩形. 高效同步练习21.3.2菱形 第1课时菱形的性质 1.B2.A【变式】123.B 4.B【解析】菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,LADC =130°，∴.AB∥CD,∠ADC+∠BAD=180°，∴.∠BAD=50°， ∠BAO= 2X50°=25°.0E⊥AB,.LAE0=90°，∠40E= 90°-∠BA0=65°.故选B. 5.C【解析】小.E、F分别是AB、AD的中点，EF=2.∴.BD=2EF= 4,四边形ABCD是菱形，.AB=AD=BC=DC,:∠A=60°， △ABD是等边三角形，∴.AB=BD=4,.菱形的周长为4×4= 16.故选C. 【变式】6cm【解析】如图所示，菱形周长为 0 24cm,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点. ∠ABC:∠BAD=2:1,∴.AB=6cm,AC⊥BD,B0= D0=7BD,.∠ABC=2LBAD.∠BAD+∠ABC=180°， ∠BAD=60°，∴.∠BA0=30°.在Rt△AB0中，∠BA0=30°，AB= 6cm,.BO=2 AB=3cm,.".BD=6cm. 6.(1)证明：，·四边形ABCD为菱形，∴.AB∥DC,AB=DC.,·BE= AB,.DC=BE.DC∥BE.∴.四边形BDCE为平行四边形.. BD=EC. (2)解：由(1)得四边形BDCE为平行四边形，∴.BD∥EC,. ∠ABD=∠E=50°.，四边形ABCD为菱形，∴.AC⊥BD,. ∠A0B=90°，∴.∠BA0=90°-50°=40°. 7.B8.12 9.C【解析】，菱形的周长为40cm,∴.边长 为10cm.如图所示：AB=10cm,AC=16cm, 根据菱形的性质，AC⊥BD,A0=8cm,∴.由 勾股定理，得B0=6cm,∴.BD=12cm,∴ S发形Bcn=2×16×12=96(cm2).故选C. 10.C11.D 12.C【解析】作，点M关于AC的对称，点M',连接M'N交AC于 P,此时MP+NP有最小值，为M'N.M是AB边上的中点，PM =PM”,.M'是AD的中点.又，·N是BC边上的中点，可得AM BN,AM'=BN,即四边形AM'NB是平行四边形，∴.M'N=AB, ∴.PM+PN=PM'+PN=M'N=AB=1.故选C. 1324 【解析】.·四边形ABCD为菱形，∴.AC⊥BD,BD=2BO=8, 5 AC=2C0.∠B0C=90°S菱wBCm=24,.2AC·BD=24..AC =6,C0=3.在Rt△B0C中，C0=3,B0=4,由勾股定理得BC=5. Sam=BC·A,A=24 1 【变式1 14.证明：.四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD,BC=CD,∴.∠COD =90°.：DE∥AC,CEBD,∴.四边形OCED是平行四边形.又 .∠COD=90°，.四边形OCED是矩形，.CD=OE.又.CD =BC...OE=BC. 15.（1)证明：连接AC.,BD,AC是菱形ABCD的对角线，∴.BD ZBR八年级数学下册 73 垂直平分AC..:点E在BD上，.AE=EC (2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：·四边形ABCD是 菱形，.AB=CB.又：∠ABC=60°，.△ABC是等边三角形 LBAC=609.:AB=EC,LCEF=60°，LBAC=2LCEF =30°.又：∠BAF=∠BAC-LEAC=30°=∠EAC,.AF是等 边三角形ABC的角平分线.∴.BF=CF..点F是线段BC的 中点 第2课时菱形的判定 1.D2.AD=BC(答案不唯一)3.2164.C 5.证明：方法一：AEBF,.∠ADB=∠DBC,∠DAC=LBCA. AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴.∠DAC=∠BAC, ∠ABD=∠DBC,∴.∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB,∴.AB=BC, AB=AD,.AD=BC..AD∥BC,.四边形ABCD是平行四边形 ,AD=AB,∴.四边形ABCD是菱形 方法二：同方法一可证四边形ABCD是平行四边形.：AD∥ BC,∠DAB+∠CBA=180.:AC平分∠BAD,BD平分∠ABC, ∴.∠BAC= 2∠BAD,∠ABD=2∠ABC,.∠BAC+∠ABD= 2∠BMD+号∠ABC=(LBAD+LABC)= 2×180°=90°，即 AC⊥BD,·.四边形ABCD是菱形. 6.(1)证明：在△ABC中，点D是AC的中点，AD=DC.AF∥ BC,·.∠FAD=∠ECD,∠AFD=∠CED,.△AFD≌△CED (AAS),.AF=EC,四边形AECF是平行四边形，又DE⊥ AC,∴.平行四边形AECF是菱形. (2)解：过点A作AG⊥BC于点G,由(1)知四边形AECF是菱 形，.∠FAC=30°，.AE=CE=AF=CF=2,AF∥EC,∠FAE= 2∠FAC=60°，∴.∠AEB=∠FAE=60°..·AG⊥BC,∴.∠AGB= ∠AGE=90°，∴.∠GAE=30°，.GE=1,AG=√3..∠B=45°，∴ △ABG是等腰直角三角形，.BG=AG=√3，.BC=√3+1+2= √3+3，AB=√6，.四边形ABCF的周长=AB+BC+CF+AF=√6+ √5+7. 高效同步练习21.3.3正方形 第1课时正方形的性质 1.D 2.A【解析】.四边形ABCD为正方形.∴.AB=AD,∠BAD=90° .·△ABE是等边三角形，.AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°..AD =AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°.∴.∠ADE=∠AED=15 故选A, 【变式】135 3.C4.22.5° 5.B【解析】小点D(5,3)在边AB上，∴.BC=5,BD=2.顺时针 旋转90°，则点D'在x轴负半轴上，OD'=2,.D'(-2,0).故 选B. 6.D【解析】连接PB.在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD, ∠BAC=∠DAC=45°.AP=AP,∠BAC=∠DAC=45°，AB= AD,∴.△ABP≌△ADP(SAS),.BP=DP..·PE⊥AB,PF⊥BC ∠ABC=90°，∴.四边形BFPE为矩形，∴.EF=PB,∴.EF=DP= 3.故选D. 7.（1)证明：，四边形ABCD是正方形，∴.∠D=∠B=90°，AD= AB=BC=CD.又E,F分别为DC,BC的中点，∴.DE=BF,在 AD=AB △ADE和△ABF中， ∠D=∠B,∴.△ADE≌△ABF(SAS) DE=BF (2)解：，四边形ABCD为正方形，边长为4，E,F分别为DC, BC的中点，∴.∠B=∠D=∠C=90°，AD=AB=BC=CD=4,DE= CE=BF=CF=2.∴.S△ABr=S正方形BcD-SADs-SAABF-SABc=4X4- 2x4x2 2×4X2-2×2x2=6.即△AEF的面积为6. 第2课时正方形的判定 1.D 【易错提醒】只有对角线互相平分的四边形是平行四边形，先确 定平行四边形，然后才能确定是否是正方形 74 同步练习，精炼高效抓考 2.D3.①②4.C 5.证明：.四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD..BE =DF,.OE=OF,四边形AECF是平行四边形.AC⊥BD,.四 边形AECF是菱形，.OE=OA,∴.OE=OF=OA=OC,即EF=AC,∴. 四边形AECF是正方形 6.（1)证明：AB=AC,AD⊥BC,∴.AD平分∠BAC,∠ADC=90° .∠BAD=∠CAD= ∠BAC.:AW是△ABC的外角LCAM的 2 1 LCw+wn7=Vl7"·N0》x-”W·肠7 1 ∠CAM+2∠BAC=2XI80°=90：CE LAN,∠AEC=90 .∴.∠AEC=∠ADC=∠DAE=90°..四边形ADCE为矩形. (2)解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正 方形.理由如下：由(1)知四边形ADCE为矩形，，·∠BAC= 90°，∠BAD=∠CAD=45°，.∠ACD=45°，.AD=DC,.四 边形ADCE为正方形 数学活动 1.解：(1)15v5-15 (2)证明：连接AB..·四边形MWCB是正方形，MN=2,由折叠 的性质得：NC=2,BA=BC=2,4C=分NC=1,在直角三角形 ABC中，由勾股定理得：AB=√AC+BC=√5，.AD=AB=√5， CD√5-1 CD=A0-AC=5-1,8C2,矩形BCDF是黄金 矩形； (3)这个矩形的面积为45或65+10.【解析】由折叠的性 质得：∠BAQ=LDAQ,又：BQ∥AD,.LBQA=∠DAQ, LBAQ=∠BQA,.BQ=BA=5.又EB=AC=1,.EQ=V5+ 1,在直角三角形AEQ中，由勾股定理得：AQ=AE2+EQ2=10+ 25,当40为黄金矩形的长时，尉宽为540，则西积为： 5,AQ=45;当40为黄金矩形的宽时，则长为0=5+1 5-12 AQ,则面积为AQ· 5+40=65+10,综上所迷，这个短形的 面积为45或6√5+10. 2.解：(1)22 (2)①43【解析】.·△ABM≌HQN,.AB=HQ=4,AM=HN, AD=4,EN=DM=1,AM=4-1=3,.HN=3; ②由①可知H0=4,HN=3,在Rt△QHN中，由勾股定理得：QW =√H0+HW2=5,在Rt△B0N中，由勾股定理得：BN2-ON2= BQ,在Rt△BHQ中，由勾股定理得：BH+HQ=BQ,BN2- QNP=BF+H02设BH=*,(x+3)2-5子=x2+4,解得x=6, Bm=兰在直角三角形Bi0中，由勾股定理得B0=V不+B丽 =3,·正方形BQPG的边长是20 31 追梦第二十一章章末复习四边形 1.B2.D3.D4.C 5.B【解析】连接OP.·PM⊥AB,PN⊥BC,∠ABC=90°，. ∠PMB=∠PNB=90°，∴.四边形MBNP是矩形，∴.BP=MN= 2B0.AB=3,AC=5,.BC=4.当BP⊥AC时，BP最小. Sc2AB:BC=分4C·B即，BP=A8aC=24,B0= AC BP=1.2.故选B. 1 6.AB=AD(答案不唯一) 7.40cm【解析】.E、F、G、H为四边形ABCD各边中点，∴.HE、 ZBR八年级数学下册