高效同步练习21.7 正方形-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（冀教版·新教材）

=130°，AB/CD,∠BA0=2LBMD,∠ADC+∠BMD=180 ∴.∠BAD=50°，∴.∠BA0= 2×50°=25°.0E⊥AB,.∠AE0 =90°，.∠A0E=90°-∠BA0=65°.故选B. 5.C【解析】.E、F分别是AB、AD的中点，EF=2..BD=2EF= 4,四边形ABCD是菱形，.AB=AD=BC=DC,∠A=60°， △ABD是等边三角形，∴.AB=BD=4,∴.菱形的周长为4×4= 16.故选C. 【变式】6cm 6.（1)证明：.四边形ABCD为菱形，，AB∥DC,AB=DC,AC⊥ BD..·BE=AB,.DC=BE.·DC∥BE..∴.四边形BDCE为平行 四边形..BD=EC. (2)解：由(1)得四边形BDCE为平行四边形，.BD∥EC, ∠ABD=∠E=50°..AC⊥BD,.∠AOB=90°，.∠BA0=90°- 50°=40° 7.B8.12 9.C【解析】：菱形的周长为40cm,边长 为10cm.如图所示：AB=10cm,AC=16cm, 根据菱形的性质，AC⊥BD,AO=8cm,∴.由 勾股定理得，B0=6cm,BD=12cm,.S菱形三 2×16x12=96(cm2).故选C. 10.C11.D 12.C【解析】作，点M关于AC的对称，点M',连接M'N交AC于 P,此时MP+NP有最小值，为MN.·M是AB边上的中点，： PM=PM',M'是AD的中点.又'N是BC边上的中点，可得 AM'∥BN,AM'=BN,即四边形AM'NB是平行四边形，∴.M'N= B,∴.PM+PN=PM'+PN=M'N=AB=1.故选C. 1324 5 【解析】.四边形ABCD为菱形，∴.AC⊥BD,BD=2BO= 8,AC=2C0.∠B0C=90°.S菱卷Acn=24,7AC·BD=24 ∴.AC=6,C0=3.在Rt△BOC中，C0=3,B0=4,由勾股定理 得BC=5:S美ua=BC·AH,AH=24 【变式)36 14.证明：.四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD,BC=CD,.∠COD =90°..DE∥AC,CEBD,∴.四边形OCED是平行四边形.又 ,∠COD=90°，∴.四边形OCED是矩形，∴.CD=OE.又.CD =BC...OE=BC. 15.（1)证明：连接AC.,BD,AC是菱形ABCD的对角线，∴.BD 垂直平分AC.点E在BD上，.AE=EC. (2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：·四边形ABCD是 菱形，∴.AB=CB.又，∠ABC=60°，∴.△ABC是等边三角形， LBAC=60R.A=EC,LCEF=60°，LEAC=2LCEF =30°.又.∠BAF=∠BAC-∠EAC=30°=∠EAC,.AF是等 边三角形ABC的角平分线.∴.BF=CF.·.点F是线段BC的 中点 第2课时菱形的判定 1.四条边相等的四边形是菱形 2证明：由题意，得AB=AE=DE=CD,∠BME=180X(5-2 108°，.∠ABE=∠AEB=36°，同理：∠BAF=∠BCA=36°，.∴ ∠FAE=108°-36°=72°..∠AFE=180°-72°-36°=72°，AE =EF,同理BC=CF,EF=CF=DE=CD,·四边形CDEF为 菱形. 3.AB∥CD4.菱形 5.解：赞成小洁的说法，补充一个条件为OA=OC,证明如下：. OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.AC1BD, .平行四边形ABCD是菱形 6.B7.C 8.C 【解后反思】本题考查作图，菱形的判定和性质等知识，解题 的关键是熟练掌握菱形的判定方法，通过作图痕迹得出信 息，进而作出判断. 45 9.A0=0C(答案不唯一）10.2cm 11.(1)证明：.·四边形ABCD是矩形，.A0=C0,AD∥BC,. ∠OAE=∠OCF..·EF⊥AC,∴.∠AOE=∠C0F=90°，在△AE0 76 同步练习，精炼高效抓考 (∠OAE=∠OCE 和△CF0中，{A0=C0 ,∴.△AE0≌△CFO(ASA),. (∠AOE=∠COF OE=OF..四边形AECF是平行四边形..EF⊥AC,.四边 形AECF是菱形； (2)解：设AF=x,则BF=4-x.在Rt△ABF中，由勾股定理可 2 得：AF2=AB2+BF2,即x2=32+(4-x)2,解得x= 8菱形 ABCF的周长=4x25_25 82 12.(1)证明：：OH⊥AB于点H,OM⊥BC于点M,且OH=OM, 点O在∠ABC的平分线上，∴.BD平分∠ABC,∴.∠ABD= ∠CBD.,:四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,∴.∠ADB =∠CBD,,∠ABD=∠ADB,.AB=AD,∴.四边形ABCD是 菱形. (2)OH=√3OM,理由：.OH⊥AB于点H,OM⊥BC于点M,. ∠OHB=∠OMB=90°..·四边形ABCD是平行四边形，∠ABC =90°，∴.四边形ABCD是矩形，∴.OA=OC= 2AC,OB=OD= 号BD,且AC=8D0A=0B.4B=OB,品BH=AHE)4B= 2OB.:∠OHB=LOMB=LHBM=90°，“四边形HBM0是 矩形，∴.BH=OM,.OB=2BH=20M,∴.OH=√OB2-B= √(20M)2-0M2=√30M. 高效同步练习21.7正方形 第1课时正方形的性质 1.D 2.A【解析】.四边形ABCD为正方形..AB=AD,∠BAD=90 △ABE是等边三角形，.AB=AE,∠BAE=60°.∴AD=AE ∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°.：.∠ADE=∠AED=15°.故 选A. 【变式】135 3.C4.22.5° 5.B【解析】.·点D(5,3)在边AB上，.BC=5,BD=2.顺时针 旋转90°，则，点D'在x轴负半轴上，OD'=2,∴.D'(-2,0).故 选B 6.D【解析】连接PB.在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD, ∠BAC=∠DAC=45°..·AP=AP,∠BAC=∠DAC=45°，AB= AD,.△ABP≌△ADP(SAS),BP=DP.PE⊥AB,PF⊥BC, LABC=90°，.四边形BFPE为矩形，∴.EF=PB,∴.EF=DP= 3.故选D. 7.(1)证明：.四边形ABCD是正方形，∴.∠D=∠B=90°，AD= AB=BC=CD.又：E,F分别为DC,BC的中点，.DE=BF,在 (AD=AB △ADE和△ABF中，{∠D=∠B,∴.△ADE≌△ABF(SAS). DE=BF (2)解：.四边形ABCD为正方形，边长为4，E,F分别为DC, BC的中点，.∠B=∠D=LC=90°，AD=AB=BC=CD=4,DE= CE=BF=CF=2.∴.S△MEr=SE方形BcD-S△MDE-S△ABr-S△BFc=4×4- 24x2 2×4x2 2×2×2=6.即△AEF的面积为6. 第2课时正方形的判定 1.D 【易错提醒】只有对角线互相平分的四边形是平行四边形，先确 定平行四边形，然后才能确定是否是正方形 2.D3.①②4.C 5.证明：四边形ABCD是菱形，AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. BE=DF,.OE=OF,.四边形AECF是菱形，：OE=OA,,∴.OE =OF=OA=OC,即EF=AC,∴.菱形AECF是正方形. 6.（1)证明：，AB=AC,AD⊥BC,∴.AD平分∠BAC,∠ADC=90° .∠BAD=∠CAD= 2∠BAC.:AW是△ABC的外角∠CAM的 平分线，∴.∠CAN= 2∠CMM.LCAW+LDAC= -∠CAM+ 2 2∠BAC= 2×180°=90°.：CE1AW,LAEC=90°.∠AEC =∠ADC=∠DAE=90°..∴.四边形ADCE为矩形 (2)解：当△ABC满足∠BAC=90时，四边形ADCE是一个正 方形.理由如下：由(1)可知，四边形ADCE是矩形，∠BAD= ∠CAD,.∠BAC=90°，∴.∠DAC=45°..AD⊥BC,.∠ADC= ZBJ八年级数学下册 90°，∴.∠ACD=45°=∠CAD,∴.AD=CD,∴.四边形ADCE为正 方形. 专题与正方形有关的常考模型 1.解：(1)AE=DF （2)过点E作EM⊥BC于点M,则四边形ABME为矩形..：.AB =EM,在正方形ABCD中，AB=BC,.EM=BC.EM⊥BC, ∠MEF+∠EFM=90°.，·BG⊥EF,∴.∠CBG+∠EFM=90°，∴. I∠CBG=∠MEF ∠CBG=∠MEF,在△BCG和△EMF中，{BC=EM (∠C=∠EMF=90° .∴.△BCG≌△EMF(ASA),.∴.BG=EF A 3.证明：（1).·四边形ABCD为正方形，.AB=AD,∠BAD=∠B= ∠ADC=90°.∠EAF=90°，∴.∠BAE=∠DAF,在△ABE和 (∠BAE=∠DAF △ADF中，{AB=AD ,.△ABE≌△ADF(ASA),∴.BE ∠ABE=∠ADF =DF: (2).:△ABE≌△ADF,∴.AE=AF.由题意，得∠EAG=∠FAG (AE=AF 在△AEG和△AFG中， ∠EAG=∠FAG,.∴△AEG≌△AFG AG=AG (SAS),..GE=GF..CF=DG+DF,BE=DF,..BE+DG=EG. 专题特殊平行四边形中的折叠问题 1.B【解析】.四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠ABC=90°.由折 叠性质得，∠NME=∠ABC=90°，ME=BE..·∠DMN=36°，. ∠AME=180°-∠NME-∠DMN=54°，.∠AEM=90°-∠AME= 36°..ME=BE,∴.∠EMB=∠EBM=18°，∴.∠AMB=∠AME+ ∠EMB=72°.故选B. 27或 【解析】①若LAEF=90.LB=∠BCD=90°= ∠AEF,.四边形BCFE是矩形.·将△BEC沿着CE翩折， CB=CF,∴.四边形BCFE是正方形，.BE=BC=AD=8,∴，AE= AB-BE=7;②若∠AFE=90°.，'将△BEC沿着CE翻折，∴.CB =CF=8,∠B=∠EFC=90°，BE=EF.,'∠AFE+∠EFC=180° .点A,点F,点C三，点共线，·AC=AB2+BC2=17,AF=9 :AB2=AF+EP,AE=V81+(I5-AB),解得AB=};③若 ∠EAF=90°..·CD=15>CF=BC=8,∴.点F不可能落在直线 4D上不存在LEAF=90°，综上所述，AE=7或】 3.（1)证明：·四边形ABCD为矩形，.AD∥BC,.∠AFE= ∠FEC,由折叠的性质得：∠AEF=∠FEC,,∠AFE=∠AEF ∴AE=AF (2)解：根据折叠的性质可得AE=EC,设BE=x,则AE=EC=8 -x,在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AB2+BE=AE2,即42+ x2=(8-x)2,解得x=3,BE=3,Sae=2AB·BE=6. 4.B【解析】四边形ABCD为菱形，∠ADC=∠B=70°，AB= AE=AD,∴.∠AED=∠ADE..AD∥BC,∴.∠DAE=∠AEB=70° 六LADB=∠AED=2(180°-∠DAE)=5,∠BDC=70 55°=15°.故选B. 5.75°【解析】连接BD.设DC'与AB交于点P..四边形ABCD 为菱形，AB=AD.:LA=60°，.△ABD为等边三角形， ∠ADC=120°，∠C=60°..·DC'是AB的垂直平分线，.P为AB 的中点，∴.DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°， ∠PDC=90°，∴.由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在 △DEC中.∠DEC=180°-（∠CDE+∠C)=75°. 6.C 7.√3【解析】.·四边形ABCD为正方形，AB=2,过，点B折叠纸 片，使点A落在MN上的点F处，∴.FB=AB=2,BM=1,则在Rt △BMF中，FM=√BF2-BM=√22-1'=√3. 专题特殊平行四边形中的动点与最值问题 1.B 2.解：（1)当四边形ABOP是矩形时，BQ=AP,即t=8-t,解得t= 4.即当t=4时，四边形ABQP是矩形； (2)设t秒后，四边形AQCP是菱形，AQ=CQ,BQ=t,则CQ=AQ =8-t,则在Rt△ABQ中，AQ=AB2+BQ,即(8-t)2=42+t2,解 得t=3.即当t=3时，四边形AOCP是菱形 3.C【解析】.·四边形ABCD是菱形，对角线AC=6,BD=8,. 同步练习，精炼高效抓考 AB=√32+4=5，作E关于AC的对称，点E,连接E'F,则E'F 即为PE+PF的最小值..·AC是∠DAB的平分线，E是AB的中 点，.E在AD上，且E是AD的中点..：F是BC的中，点，.AE =BF,,ADBC,∴.四边形AEFB是平行四边形，EF=AB 5.故选C. 4.C【解析】连接AP.,PE⊥AB,PF⊥AC,∴.∠PEA=∠PFA= 90°.·∠A=90°，∴.四边形AFPE是矩形，∴.EF=AP,由垂线段 最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，.动，点P 从，点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小 变化情况是先减小后增大.故选C. 5.W2【解析】连接AE.,M,N分别是EF,AF的中点，∴.MN是 △AEF的中位线，MN=2AE.:四边形ABCD是正方形， ∠B=90°，.AE=√2+BE,当BE最大时，AE最大，此时 MN最大.，点E是BC上的动点，∴，当点E和，点C重合时，BE 最大，即为BC的长度，∴.此时AE=√22+22=22，∴.MN= 2AE=2,.MW的最大值为2. 24 6. ,【解析】连接OP.:四边形ABCD是矩形，∴.∠DAB=90°， AC=2A0=20C,BD=2BO=20D,AC=BD,..OA=OD=OC= 0B,.Sa40D=Sa0c=Sa40B=4S矩形CD=4X6X8=12.在 Rt△BAD中，由勾股定理得：BD=√/AB+AD=√6+82=10， 六A0=0D=5.:Sa40p+Sam=Sa40,2A0·PE 2D0. 24 PF=12,..5PE+5PF=24,PE+PF= 5 高效同步练习21.8梯形 1.C2.B3.C4.A5.B 6.75【解析】由题意得：下底是35厘米，①腰长为15厘米时 两底是35厘米、10厘米，C=35+15×2+10=35+30+10=75(厘 米)，②腰长为10厘米时，两底是35厘米、15厘米，3515 10,∴.无法构成等腰梯形，不符合题意. 7.解：(1)作DE⊥AB于点E,则∠BED=90°.又.∠B=90°，AB∥ CD;∴.∠B=∠BED=∠C=90°，∴.四边形BCDE是矩形，∴.BC =DE,BE=CD=460m,∴.AE=1060-460=600(m),∴.BC=DE= √/10002-6002=800(m). (460+1060)×800 (2)S四边形ABCD =608000(m2) 数学活动在四边形上构造特殊四边形 1.解：(1)矩形：等腰梯形. (2)四边形DBCE是中母菱形.证明：连接DC、BE.,·D、E分别 是AB、AC的中点，DE/∥BC,DE=)BC,.四边形DBCE是梯 形.又.AB=AC,..DB=EC,∴.梯形DBCE是等腰梯形..·.DC= BE,∴.四边形DBCE是中母菱形. (3)四边形DBCE是中母菱形.证明：连接DC、BE.,BD=AE, ∠BAE=∠CBD,AB=BC,∴.△ABE≌△BCD(SAS),∴.BE=CD, .四边形DBCE是中母菱形. 2.解：(1)菱形 (2)成立，理由：连接AD、BC,'∠APC=∠BPD,∴.∠APC+ ∠CPD=∠BPD+∠CPD,.·.∠APD=∠CPB,.·PA=PC,PD= PB,.△APD≌△CPB(SAS),.AD=CB,·E、F、G、H分别是 AC、AB、BD、CD的中点，∴.EF、FG、GH、EH分别△ABC、△ABD、 △BCD、△ACD的中位线，.EF=2BC、FG=2AD,GH= 2BC,BH=2AD,.EF=FG=GH=EH,四边形EFGH是 2 菱形. (3)如图，四边EFGH是正方形，理由：连 接AD、BC,·(2)中已证△APD≌△CPB, .LPAD=∠PCB,LAPC=90°， ∠PAD+∠1=90°，.∠1=∠2，.∴.∠PCB+ ∠2=90°，.∠3=90°..·（2)中已证GH、 EH分别是△BCD、△ACD的中位线，∴. GH∥BC,EH∥AD,∴.∠EHG=90°..：(2)中已证四边EFGH是 菱形，∴.菱形EFG丑是正方形. ZBJ八年级数学下册 77高效同步练习21.7正方形 第1课时 正方形的性质 知识点正方形的性质 5.学科内部融合(3分)如图，正方形OABC的两 1.(3分)下列结论中，正确的有( 边OA,OC分别在x轴，y轴上.点D(5,3)在 ①正方形具有平行四边形的一切性质 边AB上，以C为中心，把△CDB顺时针旋转 ②正方形具有矩形的一切性质 90°，则旋转后点D的对应点D'的坐 ③正方形具有菱形的一切性质 标是(） ④正方形有两条对称轴 A.(2,10) B.（-2,0) ⑤正方形有4条对称轴 C.(2,10)或(-2,0) D.(10,2)或(2,0) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(3分)如图，在正方形ABCD的外侧作等边 △ABE,则∠AED的大小为() A.15° B.35° C.45° D.55° 第5题图 第6题图 6.（3分)如图，正方形ABCD中，点P在AC上， PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别E,F,EF=3,则 PD的长为() 第2题图 变式题图 A.1.5 B.2 变式(3分)如图，以正方形ABCD的边AB C.2.5 D.3 为一边向内作等边△ABE,则∠BED的度数 7.(8分)如图，正方形ABCD的边长为4.E,F 为 分别为DC,BC的中点 3.（3分)如图，在平面直角坐标系内，正方形 (1)求证：△ADE≌△ABF; 第 OABC的顶点O,B的坐标分别是(0,0)，(2， (2)求△AEF的面积. 0),则顶点C的坐标是( ) 章 A.(1,1) B.（-1,-1) C.(1,-1) D.(-1,1) B 第3题图 第4题图 4.(3分)已知正方形ABCD的边长为1，连接 AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则 ∠ACE= 50 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBJ八年级数学下册 第2课时 正方形的判定 知识点)正方形的判定 5.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 1.(3分)下列叙述错误的是() 相交于点O,点E,F在对角线BD上，且BE= A.既是矩形又是菱形的四边形是正方形 DF,OE=OA.求证：四边形AECF是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.有一个角是直角的菱形是正方形 D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 2.(3分)如图示，在△ABC中，∠ACB=90°， BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于 点E,且BE=BF,添加一个条件，仍不能证明 四边形BECF为正方形的是() A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D.AC=BF 6.新趋势·开放性试题(10分)如图，在△ABC 添加条件 中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D.AN是△ABC 外角∠CAM的平分线，CE⊥AN垂足为点E. 四边形 正方形 第2题图 第3题图 (1)求证：四边形ADCE为矩形； 3.(3分)如图，数学课上老师给出了以下四个条 (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE 件：a两组对边分别相等；b一组对边平行且 是一个正方形？并给出证明， E 相等；c一组邻边相等；d一个角是直角.有三 位同学给出了不同的组合方式：①a,c,d;②b, c,d;③a,b,c.你认为能得到正方形的 是 .(填写你认为正确的序号) 第二十一章 易错点混淆特殊平行四边形的判定导致出错 4.新考法(3分)四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,假设有下列条件：①AB=AD; ②∠DAB=90°；③A0=C0,B0=D0;④四边形 ABCD为矩形；⑤四边形ABCD为菱形；⑥四 边形ABCD为正方形.则下列推理不成立 的是() A.①④→⑥ B.①③→⑤ C.①②→⑥ D.②③→④ 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBJ八年级数学下册 51