高效同步练习19.3.1 矩形-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（沪科版·新教材）

高效同步练习19， 第1课时 矩 知识点①矩形边、角的性质 1.(4分)下列性质中，矩形ABCD不一定具有的 是() A.AB=BC B.AB∥CD C.∠ABC=90° D.AB=CD 2.（4分)在矩形ABCD中，AD=5,CD=12,则AC 的长为() A.9 B.13 C.17 D.20 3.(5分)如图，若将四根木 条钉成的平行四边形木框 B 变形为矩形ABCD的形状，则矩形ABCD的内 角∠ABC的大小为 知识点②矩形的对角线性质 4.(4分)在矩形ABCD中，AB>BC,AC,BD相交 于点0，则图中等腰三角形的个数是() A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 5.(4分)如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交 于O,若BC=3,AB=4,则DB的长为( A.3 B.4 C.7 D.5 变式(4分)在矩形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,若AO=3cm,则BD的长 为() A.3cm B.4cm C.5 cm D.6 cm 6.一题多解(8分)如图，在矩形ABCD中，对角 线AC与BD相交于点O,AE⊥BD于点E,BF ⊥AC于点F.求证：AE=BF 25分钟同步练习，精炼高效抓 3.1矩形 形的性质 知识点③直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 7.(4分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,E 是AC的中点，若AD=6,DE=5,则CD的长等 于() A.5 B.6 C.7 D.8 8.(5分)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中 线，∠BCD=30°，则∠B= 9.(8分)如图，D,E,F分别是△ABC各边的中 第19 点，AH是高，如果ED=5cm.求HF的长 考点ZBK八年级数学下册 45 易错点)没有分类讨论导致漏解 10.(5分)矩形一个角的平分线分矩形一边为 1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为 11.(4分)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC 上一点，过点P作EFBC,分别交AB,CD于 E,F连接PB,PD,若AE=2,PF=8,则图中 阴影部分的面积为() A.10 B.12 C.16 D.8 E 第11题图 第12题图 12.(4分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的 垂直平分线EF,分别交BC,AD于点E,F,若 BE=3,AF=5,则AC的长为() A.4√3B.45 C.10 D.8 13.(4分)如图，矩形ABCD中，∠B0C=120°， BD=12,点P是AD边上一动点，则OP的最 小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 14.（5分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分 章 线交AD于点E,连接CE.若BC=7,AE=4, 则CE= 第14题图 第15题图 15.(5分)如图，在△ABC中，D,E分别是AB, AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF, BF,若AB=16,EF=1,∠AFB=90°，则BC的 长为 46 25分钟同步练习，精炼高效抓 16.（10分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF= ∠ACD (1)求证：DF=CF; (2)若∠CDF=60°，DF=6,求矩形ABCD的 面积. 17.（10分)如图1，在矩形ABCD中，过矩形AB- CD对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交 AB、DC于点E、F. (1)求证：AE=CF; (2)如图2，若G为AE的中点，且∠AOG= 30°，求证：DC=30G C B G E 图1 图2 考点ZBK八年级数学下册 第2课时 知识点①有一个角是直角的平行四边形是矩形 1新考法·开放性试题(5分)如图所示，将 △ABC绕AC的中点0顺时针旋转180°得到 △CDA.在不添加任何辅助线的前提下，添加 一个条件 ,使四边形ABCD为矩形 D 第1题图 第2题图 2.(5分)如图，线段AB⊥BC,以C为圆心，BA 为半径画弧，然后再以A为圆心，BC为半径 画弧，两弧交于点D,则四边形ABCD是矩形， 其判定定理是 3.生活情境·制作木框(5分)木匠师傅在判断 一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均 为0.6m,另一组对边的长均为0.8m,一条对 角线长为1m,于是判断此木框为矩形，此方法 是否合理 .(填“合理”或“不合理”) 4.(8分)如图所示，点E是口ABCD的边AB的 中点，且EC=ED.求证：四边形ABCD是矩形 E B 25分钟同步练习，精炼高效 矩形的判定 知识点②对角线相等的平行四边形是矩形 5.（4分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O,OA=3cm,若要使平行四 边形ABCD为矩形，则OB的长度为( A.4cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 6.生产劳动情境·零件测量(5分)用一把刻度 尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两 组对边是否分别相等，然后测量两条对角线 是否相等，这样做的依据是 知识点③三个角是直角的四边形是矩形 7.学习情境·课堂讨论(4分)在判断“一个四边 形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合 作学习小组的4位同学分别拟定了如下方案， 其中正确的是( A.测量对角线是否相等 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量其中三个角是否都为直角 章 8.(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形， BE,CE,DF,AF分别为四个角的平分线，四边 形MENF是矩形吗？为什么？ 考点ZBK八年级数学下册 47 9.(4分)如图，在□口ABCD中，M,N是BD上两 点，BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个 条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件 是() A.OM=ZAC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND M O B 第9题图 第10题图 10.学习情境·动点探究（4分)如图，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=6,AC=8, 点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别 作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接 MN,则线段MN的最小值为() A.5 B.3.6C.2.4 D.4.8 11.(10分)如图，在平行四边形ABCD中，过点 D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上，且FC =AE,连接AF,BF. (1)求证：四边形DEBF是矩形； (2)若AF平分∠DAB,AE=6,DF=10,求BF 的长 第19章 48 25分钟同步练习，精炼高效抓 12.学习情境·过程性学习(10分)阅读下面材 料，并完成相应的任务 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为 了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它 们的两组对边是否分别相等，还要测量它 们的两条对角线是否相等，你知道其中的 道理吗？ 任务： (1)填空：工人师傅测量对边长度相等，是为 了确保它的形状是 ;再测量它的对 角线相等，就确保了它是矩形.这里主要依 据了矩形的一个判定定理，即 (2)请证明(1)中矩形的判定定理（先画出图 形，写出已知，求证，再给出证明) 已知： 求证： 证明： 考点ZBK八年级数学下册2.C【解析】在口ABCD中，AB=CD=5.:CACOD=21,∴.OC+OD= 21-5=16...AC+BD=2(0C+0D)=2×16=32.故选C 3.B 【变式】A【解析】.AB=3cm,BC=5cm,∴.2cm<AC<8cm..:四 边形ABCD是平行四边形，A0=之AC,1cm<0A<4m故选 4.30【解析】.OE⊥AC且在口ABCD中，AO=CO,∴.EA=EC. EC+BC+BE=AE+BE+BC=AB+BC=30,即△BCE的周长为30. 5.C6.B 7.D【解析】.在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC= 2,BD=4,A0=2AC=1,B0=2BD=2.AB=3,AB2+ A0=B02..∠BAC=90°..BC=W(√5)2+22=√7.AE⊥BC AB·AC=BC·AB,即万X2=万·AE,AB-2Y故选D. 8.解：(1).AC⊥BC,∴.∠BCA=90°..四边形ABCD是平行四边 形，∴.BE= D-5,EG-AC4C-3 (2)SDARCD=AC·BC=8×3=24. 高效同步练习19.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定 1.C2.C3.B 4.平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 5.B6.两组对边分别相等的四边形是平行四边形7.B 8.证明：.·四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.·BE =FD,∴.OE=OF.·OA=OC,∴.四边形AECF是平行四边形 9.C10.D 11.C【解析】延长EP交AB于点G,延长DP交AC于点H. PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,∴.四边形AFPH、四边形PDBG均为 平行四边形，∴.PD=BG,PH=AF.又·△ABC为等边三角形 ∴.△FGP和△HPE也是等边三角形，∴.PE=PH=AF,PF=GF .∴.PE+PD+PF=AF+BG+FG=AB=6.故选C. 12.C【解析】线段EF与AC交于点0且互相平分，得OA=0C, OE=OF,又.：∠AOE=∠C0F,∴.△AOE≌△COF(SAS), ∠EAO=∠FCO,.AD∥BC..AD=BC,.四边形ABCD是平行 四边形，.CD=AB,.四边形CDEF的周长=CD+DE+EF+CF =CD+DE+AB+AE=CD+AB+AD=6+6+10=22.故选C. (∠1=∠2 13.（1)证明：在△BE0和△DF0中，{B0=D0 ,∴.△BEO (∠EOB=∠FOD ≌△DFO(ASA). (2)解：由(1)得：△BEO≌△DF0,∴.EO=FO.又.'AE=CF, AO=CO.又.·BO=DO,.四边形ABCD是平行四边形. 14.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，∴.DC∥AB,∠DCB= ∠DAB=60°.∴.∠ADE=∠CBF=60°..AE=AD,CF=CB, △AED,△CFB是正三角形..∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF= ∠FCE=120°..∠EAF+∠BFC=180°，.AE∥CF,∴.四边形 AFCE是平行四边形. （2)解：上述结论还成立.证明：，·四边形ABCD是平行四边 形，.DC∥AB,∠CDA=∠CBA,∠DCB=∠DAB,AD=BC,DC= AB..∠ADE=∠CBF..AE=AD,CF=CB,.∠AED=∠ADE ∠CFB=∠CBF.∴.∠EAD=∠FCB.又.·∠DAB=∠BCD,∴. ∠EAF=∠FCE..DC∥AB,∴.∠AED+∠EAF=180°，∴.∠AED +∠FCE=180°，∴.AECF,∴.四边形EAFC是平行四边形. 第2课时三角形的中位线 1.D2.83.C4.B5.D 6.D【解标：DE为△ABC的中位线，∴DE/AC,DE2AC3 AD= )AB=2,EF/AB,DE/AC,.四边形ADEF为平行四 形，.四边形ADEF的周长=2×(3+2)=10.故选D. 7.68.1 9.(1)证明：点D,E分别是AC,AB的中点，∴DE为△ABC的中 位线，DE/BC,DE=2BC,CF=3B,BF= 2 BC,..DE= 同步练习，精炼高效抓考点 BF: (2)解：.点D是AC的中点，AC=12cm,∴.CD=6cm,,:DE= 4cm,.BC=8cm,由勾股定理得：DB=√CD+BC=√62+82= 1O(cm),DE=BF,DE∥BC,.四边形DBFE为平行四边形， .四边形DEFB的周长=2×(4+10)=28(cm) 10.8 11.（1)证明：延长BD交AC于E,:AD⊥BD,∴.∠ADB=∠ADE= 90°，'，AD为∠BAC的平分线，∴.∠BAD=∠EAD,在△BAD和 I∠BAD=∠EAD △EAD中，{AD=AD ,∴.△BAD≌△EAD(ASA),.AB= ∠ADB=∠ADE AE,BD=DE,.D为BE的中点，M为BC的中点，.2DM= CE,.'.CE+AE=2DM+AB=AC; (2)解：在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=6,BD=8,∴.由勾 股定理得：AE=AB=√AD+BD2=10,.DM=2,DM=- CE=4,∴.AC=10+4=14. 12.解：(1)D (2)证明：.·DE=EF,AE=CE,.四边形ADCF是平行四边形. ∴.AB∥CF,AD=CF,.AD=BD,∴.BD=CF,.四边形BCFD是 平行四边形..DF∥BC,DF=BC,.DE∥BC,:DE= DE-2BC: (3)(2b-a)【解析】连接并延长BN,交AD延长线于P,:AD ∥BC,.∴∠NBC=∠NPD,∠NCB=∠NDP,,CN=DN,' △NBC≌△NPD(AAS),.BN=PN,即N为BP的中点，BC= PD,M为AB的中点，.MN是△ABP的中位线，AP=2MW =2b米，AD=a米，∴.PD=(2b-a)米，.BC=(2b-a)米. 高效同步练习19.3.1矩形 第1课时矩形的性质 1.A2.B3.90°4.B 5.D【解析】.四边形ABCD是矩形，∴，∠ABC=90°，AC=BD., BC=3,AB=4,.AC=V√AB+BC=5,.DB=5.故选D. 【变式】D 6.证明：方法一：四边形ABCD是矩形，.OA=OB.,AE⊥BD于 点E,BF⊥AC于点F.∴.∠AE0=∠BF0O=90°.：∠AOE= ∠BOF,∴.△AEO≌△BFO(AAS),∴.AE=BF. 方法二：四边形ABCD是矩形，.AC=BD,S△Aam=S△MBc心2 4E·BD=)AC·BE.∴AE=BR 7.D 8.30 【技巧点拨】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CD= 2AB=BD,再根据等腰三角形性质即可解决问题， 9.解：·D,E,F分别是BC,AB,AC的中点，∴.DE是△ABC的中位 线，.DE=2AC.:DE=5cm,AC=2DE=10cmAH是 △ABC的高，LAHC=90°.又：F是AC的中点，F=之× 10=5(cm),即HF的长为5cm. 10.4cm2或12cm2【解析】矩形ABCD中BE平分∠ABC交AD 于E点.AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴.∠AEB=∠CBE..BE 平分∠ABC,∴.∠ABE=∠CBE,∴.∠AEB=∠ABE,∴.AB=AE. ①当AE=1am时，AB=CD=1cm,AD=4em=BC,=1X4 =4(cm2).②当AE=3cm时，AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,此 时S形cm=3×4=12(cm2).故矩形ABCD的面积为4cm2或 12cm2. 11.C【解析】过P作PM⊥AD于点M,交BC于点N,则有四边 形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩 形..S△ADC=S△MBC,S△AP=S△AEP,S△PBE=S△PaN,S△PD=SAPDM, Se=SAen由面积关系可得SAm=SAm=2×2x8=8,S =8+8=16.故选C. 12.B ZBK八年级数学下册 75 13.A【解析】：四边形ABCD是矩形，.OA=0B=0C=OD=1 BD=6.,∠B0C=120°=∠A0D,∴.∠0AD=∠0DA=30°，当 OP⊥AD时，OP有最小值，OP=2OD=3.故选A. 14.5【解析】.四边形ABCD为矩形，∴.AB=CD,AD=BC,AD∥ BC,LD=90°，.LAEB=∠EBC.:∠ABC的平分线交AD于 点E,∴.∠ABE=∠EBC,∴.∠AEB=∠ABE,∴.AE=AB=CD=4. .AE=4,BC=7,∴.AD=BC=7,∴.DE=AD-AE=7-4=3.在 Rt△CDE中，CD=4,DE=3,由勾股定理得CE=√32+42=5. 15.18 16.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.0C=司 21 AC=BD,.∴.OC=OD,.∠ACD=∠BDC..:∠CDF=∠BDC, ∠DCF=∠ACD,∴.∠CDF=∠DCF,∴.DF=CF; (2)解：由(1)可知，DF=CF..∠CDF=60°，∴.△CDF是等边 三角形，.CD=DF=6..·∠CDF=∠BDC=60°，OC=OD, △0CD是等边三角形，∴.0C=0D=6,BD=20D=12.四边 形ABCD是矩形，.∠BCD=90°，.BC=√BD2-CD2=63, S矩形ABC =BC·CD=36√3. 17.(1)证明：·四边形ABCD是矩形，.CD∥AB,.∠OCF= ∠OAE..·∠COF=∠AOE,OA=OC,.△COF≌△AOE(ASA), ∴.AE=CF. (2)证明：连接OB,.EF⊥AC,∴.△AOE是直角三角形，.：G 为AE的中点，∴.OG=AG=GE,∴.∠BAC=∠AOG=30°，∴.OE= 2AE=GE.:四边形ABCD为矩形，OA=OB,∠AB0= ∠BAC=30°，∴.∠A0B=180°-30°-30°=120°，∴.∠B0E=120 -90°=30°，.∴∠AB0=∠BOE,∴.OE=EB,∴.OG=AG=GE=EB =0E0G=专4B=号C,即DC=30c 第2课时矩形的判定 1.∠B=90°（答案不唯一） 2.有一个角是直角的平行四边形是矩形3.合理 4.证明：.四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC.·E (AD=BC 是AB的中点，AE=BE.在△ADE和△BCE中，{DE=CE, AE=BE △ADE≌△BCE(SSS),.∠A=∠B..AD∥BC,.∴.∠A+∠B= 180°，∴.∠A=∠B=90°..四边形ABCD为矩形. 5.B 6.对角线相等的平行四边形是矩形7.D 8.解：四边形MENF是矩形.理由如下：四边形ABCD是平行四 边形，∴.AD∥BC,∴.∠ABC+∠BAD=180°.，AF,BE是∠BAD ∠ABC的平分线，∴.∠BAM+∠ABM=90°，∴.∠AMB=∠EMF= 90°.同理可得∠F=∠E=90°，.四边形MENF是矩形. 9.A 10.D【解析】连接AD.·∠BAC=90°，且BA=6,AC=8,.∴.BC= √AB2+AC2=10..·DM⊥AB,DN⊥AC,.四边形AMDN为矩 形，∴.AD=MN,∴.当AD最小时，MN最小.当AD⊥BC时，AD 最小，此时S△BC= 2x6x8= 2×10xAD,.AD=4.8.故选D. 11.（1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB,DC=AB. .'FC=AE,∴.DC-FC=AB-AE,即DF=BE,∴.四边形DEBF是 平行四边形.又：DE⊥AB,∴.∠DEB=90°，∴.四边形DEBF是 矩形； (2)解：.AF平分∠DAB,∴.∠DAF=∠BAF..·DC∥AB,. ∠DFA=∠BAF,.∠DFA=∠DAF,∴.AD=DF=10.在Rt△AED 中，由勾股定理，得DE=√AD-AE=8,由(1)得四边形 DEBF是矩形，，BF=DE=8. 12.解：(1)平行四边形对角线相等的平行四边形是矩形 (2)如图所示： 0 已知：AB=CD,AD=BC,AC=BD 求证：四边形ABCD是矩形 76 同步练习，精炼高效抓考点 证明：，·AB=CD,AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形.. AO=C0,B0=DO.又.AC=BD,∴.A0=C0=B0=D0,.∠OAB =∠OBA,∠OBC=∠OCB..∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB= 180°，∴.∠OBA+∠OBC=90°，即∠ABC=90°，∴.四边形ABCD 是矩形. 高效同步练习19.3.2菱形 第1课时菱形的性质 1.B2.A【变式】123.B 4.B【解析】.·菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC =1309,4B/CD,∠BA0=∠BAD,LADC+∠BD-1s0e. ∴.∠BAD=50°，∴.∠BAO= 2×50°=25.0E⊥AB,.∠AE0= 90°，∴.∠A0E=90°-∠BA0=65°.故选B. 5.C 【变式】6cm【解析】菱形周长为24cm,菱形ABCD的对角线 AC,BD相交于O点.∠ABC:∠BAD=2:1,∴.AB=6cm,AC⊥BD, BO=DO=BD.LABC:LBAD=2:1,..LABC=2LBAD. ∠BAD+∠ABC=180°，∴.∠BAD=60°，∴.∠BA0=30°.在Rt △AB0中，∠BA0=30°，AB=6cm,∴.B0= 2 AB=3cm,.BD= 6cm. 6.(1)证明：，四边形ABCD为菱形，.AB∥DC,AB=DC,AC⊥ BD.,BE=AB,∴.DC=BE.,DC∥BE.∴.四边形BDCE为平行 四边形..BD=EC. (2)解：由(1)得四边形BDCE为平行四边形，AC⊥BD,∴.BD∥ EC,∠AOB=90°，∴.∠ABD=∠E=50°，∴.∠BA0=90°-50°= 40°. 7.B8.12 9.C【解析】.菱形ABCD的周长为40cm,∴.边长为10cm,AB= 10cm,AC=16cm,根据菱形的性质，AC⊥BD,A0=8cm,∴.B0= V10-82=6cm,BD=12cm,心Sx8=7×16×12=96(cm).故 选C. 10.C11.D 12.C【解析】作，点M关于AC的对称点M',连接M'N交AC于P, 此时MP+NP有最小值，为MN..M是AB边上的中点，.PM =PM',M'是AD的中点.又N是BC边上的中点，可得AM∥ BN,AM'=BN,即四边形AM'NB是平行四边形，.M'N=AB, PM+PN=PM'+PN=M'N=AB=1.故选C. 1324 【解析】.四边形ABCD为菱形，∴.AC⊥BD,BD=2BO=8,AC =2C0..LB0C=909:Swm=24,24C·BD=2A.AC=6, C0=3.在Rt△BOC中，C0=3,B0=4,由勾股定理得BC=5..: S爱m-BC·AH,Ah=2 【变式 【技巧点拨】对角线互相垂直的四边形的面积=对角线乘积的 一半，再根据等面积法可先求出OA,再求出OC,即可解决问 14.证明：.四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD,BC=CD,.∠COD= 90°..DE∥AC,CE∥BD,∴.四边形OCED是平行四边形.又 ∠COD=90°，.四边形OCED是矩形，∴.CD=OE.又.CD= BC,∴.OE=BC. 15.（1)证明：连接AC.,BD,AC是菱形ABCD的对角线，∴.BD垂 直平分AC.点E在BD上，∴.AE=EC. (2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，四边形ABCD是 菱形，AB=CB.又：∠ABC=6O°，.△ABC是等边三角形， ∠BAC=60.:AE=EC,LCEF=60°，.∠EAC=2 LCEF= 30°.又.·∠BAF=∠BAC-∠EAC=30°=∠EAC,∴.AF是等边 三角形ABC的角平分线.∴.BF=CF.∴.点F是线段BC的中 点. ZBK八年级数学下册