第四章 因式分解 章末复习-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

追梦第四章章未 一、选择题（每小题3分，共21分） 1.下列各式从左到右的变形为因式分解的 是() A.x2-y2=(x-y)2 B.x2-8x+16=(x-4)2 C.(a+2)(a-1)=a2+a-2 D.a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a 2.若x-y=1,y=2,则x2y-xy2的值为( 4.、1 B.-2 c D.2 3.对于任意整数n,多项式（4n+5)2-9 都能( A.被6整除 B.被7整除 C.被8整除 D.被6或8整除 4.如果多项式x2+bx+c分解因式的结果是(x 3)(x+2),那么b,c的值分别是() A.3,-2 B.-2,3 C.-1,-6 D.1,-6 5.如图，大小两个正方形的边长分别是4和3， 叠放在一起后两个阴影部分的面积分别为a, b(a<b),则2a(a-1)-2(a2-b)的值为() A.2 B.7 C.14 D.2 6.已知三角形的三边a,b,c满足(b-a)(b2+c2) =ba2-a3,则△ABC是( A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 25分钟同步练习，精炼高效抓 复习 因式分解 7.新定义如果一个正整数能表示成两个连续 奇数的平方差，那么称这个正整数是“和谐 数”，如8=32-12,16=52-32，因此8和16都 是“和谐数”，那么下列各数是“和谐数”的 是() A.36 B.34 C.42 D.48 二、填空题（每小题3分，共9分） 8.2x2与4xy的公因式是 9.若多项式x2+2(m-2)x+25能用完全平方公 式因式分解，则m的值为 10.传统文化·数学文化我国南宋著名数学家杨 辉精研数学，著有《详解九章算法》，对数的 运算进行了深人研究与总结。类比其中的 思想方法，可以解决很多数与式的计算问 题。现已知a,b为实数，且a+b=3,ab=1,计 算可得：a2+b2=7,a3+b3=18,a4+b4=47,…, 由此求得a+b= 0 第四 三、解答题（共40分） 11.（10分)把下列各式因式分解： (1)n2(m-2)+(2-m); (2)(x-1)(x-3)+1。 考点ZBB八年级数学下册 45 12.(10分)若干张正方形和长方形卡片如图1 所示，其中甲型、乙型卡片分别是边长为a,b (a>b)的正方形，丙型卡片是长为a、宽为b 的长方形。选取2块甲型卡片，2块乙型卡 片，5块丙型卡片，拼成如图2所示的大长方 形卡片。 b丙 图1 图2 (1)观察图2，写出一个多项式的因式分 解 (2)若图2中甲型、乙型卡片的面积和为 136,大长方形卡片的周长为60，求大长方形 卡片的面积。 第 章 13.(10分)在因式分解中有一类形如二次三项 式x2+(p+q)x+pg=(x+p)(x+q)的分解因式 的方法叫“十字相乘法”。例如：将二次三项 式x2+7x+10因式分解，这个式子的二次项 系数是1，常数项10=2×5，一次项系数7=2 +5,则x2+7x+10=(x+2)(x+5),如图所示： 1 1×5+1×2=7 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：x2+5x+6;小亮做了如下分析： 一次项为：O+口=5，则常数项为：O×口=6； 则O= ;□= ∴.x2+5x+6=(x+ )(x+ (2)因式分解：x2-8x+15; 46 25分钟同步练习，精炼高效抓 (3)若二次三项式x2+ax-8可以分解成两个 一次因式乘积的形式，求整数a所有可能 的值。 14.新定义(10分)如果一个正整数能表示为 两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数 为完美数。例如：12=42-22,20=62-42,28= 82-6,则12、20、28这三个数都是完美数 (1)按照上述规律，请你写出一个与上面不 同的完美数，并表示成两个连续偶数的平方 差形式（直接写出） (2)试说明任意一个完美数都能够被4 整除； (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从2开 始的连续偶数…，按此规律拼叠到正方形 ABCD,其边长为40，求阴影部分的总面积。 B2468 考点ZBB八年级数学下册高效同步练习2提公因式法 1.D2.D3.B4.A 5.B【解析】原式=y(a-b)(x2+x+1),公因式是y(a-b),另一个 因式为x2+x+1。故选B。 6.解：(1)原式=-9mn(m-3n+2); (2)原式=2x(x+2y+y2)。 7.-4a(4ab-4a2+b2)） 【归纳总结】提公因式的注意事项：如果多项式的首项系数是负 数，通常要提出“-”号。可按照下列口诀分解因式：首项有 “负”先提“负”，各项有“公”要提“公” 某项提出莫漏“1”，括 号里面分到底。 8.A【解析】.·长方形的长和宽分别为a,b,周长为20，面积为 16,∴.2(a+b)=20,ab=16,∴.a+b=10,∴.(a-b)2=(a+b)2-4ad =102-4×16=36。a>b,∴.a-b=6,.原式=ab(a-b)=16×6 =96。故选A。 9.C10.x2+6x+8=(x+2)(x+4)11.-2m 12.25【解析】.一次函数y=-x+5的图象经过点A(a,b)和B （c,d),∴.b=-a+5,d=-c+5,即a+b=5,c+d=5,∴.a(c+d)+b (c+d)=(a+b)(c+d)=5×5=25。 13.解：△ABC是等腰三角形。理由如下：.：a+2ab=c+2bc,.（1+ 2b)(a-c)=0。:1+2b≠0，∴.a=c。.△ABC为等腰三角形。 高效同步练习3公式法 第1课时用平方差公式分解因式 1.C2.-1(答案不唯一)3.B 4.解：（1)原式=x(x2-5-4)=x(x2-9)=x(x+3)(x-3); (2)原式=x2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x2-1)=(x-1)(x+1)(x 1)=(x+1)(x-1)2。 5.(x-2) 6.A【解析】原式=(3x+5)2-42=(3x+5+4)(3x+5-4)=(3x+ 9)(3x+1)=3(x+3)(3x+1),即多项式(3x+5)2-16一定能被 3整除，故选A。 7.B【解桥】：2-16y2=(x+4y)(x-4y)=16,x+4y=2①，x 4y=322,联立①2解得：x=6 63 4y=16x-y= 6。故选B。 32 8.D 9.C【解析】原式=(x2-y2)(a2-b2)=(x+y)(x-y)(a+b)(a- b),由题可知，x+y对应“我”，x-y对应“爱”，a+b对应“河” a-b对应“南”，则结果呈现的密码信息可能是“我爱河南”，故 选C 10.解：依题意得8.62π-0.72π×4=(8.62-1.4)m=(8.6+1.4)× (8.6-1.4)T=72π=226.08(cm2)。答：剩余钢板面积为 226.08cm。 第2课时用完全平方公式因式分解 1.A2.C3.C 4解：(1)原式=+2a·之(=(a+7； (2)原式=(2x)2-2·2x·5y+(5y)2=(2x-5y)2。 5.B 6.解：(1)原式=-(4ab+4a2+b2)=-[(2a)2+2·2a·b+b2] =-(2a+b)2; (2)原式=2a(-4ab+a2+4b2)=2a[a2-2·a·(2b)+(2b)2]= 2a(a-2b)2。 7.8m(答案不唯一)8.C 9.B【解析】：M=x2+y2,N=2xy,.M-V=x2+y2-2xy=(x-y)2。 (x-y)2≥0，.M≥N。故选B。 10.D【解析】小.多项式“4x2+▲+9y2”能用完全平方公式分解因 式，.“▲”处的一项是：±2(2x·3y)=±12xy。故选D。 11.解：选取①④⑦，多项式为4m2+4n2-8mn,4m2+4n-8mn= 4(m2+n2-2mn)=4(m-n)。（答案不唯一) 追梦第四章章末复习因式分解 1.B2.D 3.C【解析】原式=[(4n+5)+3][(4n+5)-3]=8(n+2)(2n+ 1),.对于任意整数n,多项式(4n+5)2-9都能被8整除。故 选C。 4.C 5.C【解析】由题意，得b-a=b+空白面积-(a+空白面积)=大 正方形面积-小正方形面积=42-32=7。∴.2a(a-1)-2(a2-b) =2b-2a=2(b-a)=14。故选C。 同步练习，精炼高效抓考 6.D【解析】(b-a)(b+c2)=ba2-a3=a2(b-a),则(b-a)（b2+ c2)-a2(b-a)=0,(b-a)(b2+c2-a2)=0,则b-a=0或b2+c2-a1 =0,则b=a或b2+c2=a2,故△ABC是等腰三角形或直角三角 形，故选D。 7.D【解析】设这两个连续的奇数是2n+1,2n-1.:(2n+1)2- (2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n,.“和谐 数”是8的倍数。D.48是8的6倍，故48是“和谐数”。故 选D。 8.2x9.7或-3 10.123【解析】.'a4+b4=47,a+b=3,∴.（a4+b4)(a+b)=47×3= 141,∴a3+ab4+ba4+b3=141,.a3+b=141-ab-ba=141- ab(a3+b3)=141-1×18=123。 11.解：(1)原式=n2(m-2)-(m-2)=(m-2)(n2-1)=(m-2)(n +1)(n-1); （2)原式=x2-4x+3+1=x2-4x+4=(x-2)2。 12.解：(1)2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b) (2):图2中甲型、乙型卡片的面积和为136，大长方形卡片 的周长为60，.2a2+2b2=136,即a2+b2=68,2[(2a+b)+(a+ 2b)]=60,即a+b=10。(a+b)2=a2+b2+2ab,.102=68+ 2ab,.ab=16,∴.2a2+5ab+2b2=136+5×16=216,.∴.大长方形 卡片的面积为216。 13.解：(1)2323 (2)一次项为：(-3)+(-5)=-8，则常数项为(-3)×(-5)= 15,则x2-8x+15=(x-3)(x-5); (3)若x2+ax-8可分解为两个一次因式的积，则整数a的所 有可能的值是：-8+1=-7：-1+8=7：-2+4=2：-4+2=-2，即 整数a的所有可能的值是：±7，±2。 14.解：(1)36=10-82（答案不唯一） (2)设两个连续的偶数为2n,2(n+1),n为自然数， [2(n+1)]2-(2n)2=[2(n+1)-2n][2(n+1)+2n]=4(2n+ 1),:n为自然数，2n+1为正整数，.4(2n+1)能被4整 除，即任意一个完美数都能够被4整除； (3)根据题意，得：42-22+82-62+…402-382=（4-2)×(4+2)+ (8-6)×(8+6)+…+(40+38)×(40-38)=2×(4+2)+2×(8+6) +…+2×(40+38)=2×(2+4+6+8+…+38+40)=840。 高效同步练习1分式及其基本性质 第1课时认识分式 1.C2.D 3.x= 1 ,【解析】根据分式无意义的条件得2x-1=0,解得x 2 1 20 4.B5.C 6.m元钱购买单价为(n+2)元的笔记本的本数（答案不唯一） 7.B【解析】由题意得：x2-4=0且x+2≠0，解得x=2。故选B。 【易错提醒】分式的值是在分式有意义的前提下考虑的，所以使 分式A的值为0的条件是A=0且B≠0，二者缺一不可。 8.y（答案不唯一） x2+1 95【解析】当-1时，分式无意义，即-1+a=0,解得a 1;当x=4时，分式b的值为0，即4-6=0且4+≠0，解得6 "xta 4,所以a+b=1+4=5。 10. a-2x 11.解：(1)由题意得2-3x=0,解得x= 2 39 （2)由题意得1=0且2-3x0,解得x=1,x≠号，所以x=1 (3)当x=2时，-1=2-1.1 时2-3x2-3x24;当x=6时，23=，6 (4)由题意可分两种情况：①侣380无解，②台20，解 得2 <x<1.若分式的值是正数，则x的取值范围是 3下 <1。 ZBB八年级数学下册 75